FÍSICA Professor Ricardo Fagundes MÓDULO 13 GRAVITAÇÃO I
Vários estudiosos, ao longo da história, se dedicaram ao estudo da mecânica celeste. Por praticidade vamos começar com Kepler. Sua contribuição foi incrível para a ciência. Após anos de observações pode concluir o que ficou conhecido com as 3 leis de Kepler: 1ª Lei de Kepler ou Lei das Órbitas: As órbitas descritas pelos planetas ao redor do Sol são elipses, com o Sol em um dos focos.
Kepler percebeu também que o módulo da velocidade dos planetas muda. A velocidade aumenta conforme se aproximam do Sol e diminui conforme vão se afastando, quebrando a ideia de movimento uniforme. Mas o motivo de isso acontecer, para Kepler, era a atuação de uma força no plano da órbita, tangencial a ela que variasse com o inverso da distância, ou seja, completamente errado (a força é central e varia com o inverso ao quadrado da distância). E, além disso, fez o cálculo errado das áreas varridas pelo raio vetor que liga cada planeta ao Sol. Mas, apesar de todos os erros, conseguiu, com sorte, chegar a um resultado certo:
ª Lei de Kepler ou Lei das Áreas: O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempo iguais.
Ou seja, em um mesmo intervalo de tempo, o planeta de deslocaria mais quando estava na região mais próxima em relação ao Sol (periélio) que na região mais afastada (afélio), mostrando que, na região mais próxima a sua velocidade seria maior. Obs.: Newton, mais tarde, conseguirá explicar de maneira correta a relação acima, chegando na relação abaixo: r 0 v 0 = r f v f =constante Ou seja, se a distância do planeta ao Sol no afélio for 5% maior que no periélio, podemos ver que a sua velocidade quando estiver no periélio será 5% maior: 1,05v A = v P
Kepler publicou essas duas leis em seu livro Astronomia Nova em 1609. Quase uma década depois, perto da sua morte, publicou a 3ª Lei. Ele sempre tentou buscar uma regularidade com os raios médios das órbitas e o período de revolução dos planetas, até que, em 1618, conseguiu o que tanto buscava:
3ª Lei de Kepler ou Lei dos Períodos: Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias ao Sol. Ou seja: R 3 R 3 1 T T 1 Em 164, após todas essas descobertas, nasceu Isaac Newton. Não conseguiria, nesse módulo, falar toda a contribuição de Newton para a ciência. Vamos nos ater apenas a algumas das contribuições de Newton na gravitação.
Aplicando a ª Lei de Newton em um planeta de massa m que realiza uma trajetória (aproximadamente) circular ao redor do Sol (massa M), temos que: R F ma m R 4 m T Esse é o módulo da força que o Sol exerce no planeta aponta para o centro da trajetória (resultante centrípeta). Como: R 3 T k
A relação acima proposta por Kepler é constante para todos os planetas. Logo: m F 4 k R Mostrando, assim, que a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância. Além disso, pela 3ª Lei de Newton, a força que o Sol faz em um planeta é igual ao que o planeta faz no Sol, em módulo, concluindo que a sua magnitude depende não só da massa do planeta, mas do produto entre a massa do planeta e a do Sol, chegando à expressão abaixo: F GMm R Onde G é a constante universal. Esta é a Lei de Newton da gravitação.
Podemos inferir, através de sua lei, que aceleração resultante que os planetas sofrem devido exclusivamente ao Sol, centrípeta, nada mais é que a gravidade gerada pelo Sol no ponto onde o planeta se encontra. Logo: a g GM c R Generalizando essa relação, qual seria a gravidade em um ponto a uma distância R (sendo R o raio da Terra) da superfície da Terra (desconsidere a atuação de campos gravitacionais de outros planetas e do Sol nesse ponto)?
Resolução: Como quem gera o campo gravitacional é a Terra, basta substituirmos a massa do Sol pela da Terra na expressão acima: g GM R Terra Terra GM 4R Onde: GM g Terra sup erfície R 10m s Perceba que a distância entre o C.M. da Terra e do ponto é R. Considerando que o raio médio da Terra é de aproximadamente 6370 km, um corpo a 6370 km da superfície da Terra sofre uma gravidade ¼ da superfície da Terra, ou seja, aproximadamente,5 m/s.
GRAVIDADE NO INTERIOR DE UM PLANETA Sabemos a expressão da gravidade a uma distância r do centro de um planeta. E se estivéssemos a uma distância r < R (R = raio do planeta)? Podemos fazer uma analogia com a questão do campo elétrico a uma distância r < R em uma esfera isolante de carga Q. Podemos criar uma espécie de gaussiana, onde apenas a massa dentro dessa superfície faria campo gravitacional no ponto:
Vamos chamar de m a massa dentro da região pontilhada da figura. Então: g GM r Considerando a densidade do planeta uniforme, temos que: m M r m M 4 4 3 3 3 R r R 3 3 3 Logo: GM g R 3 r
Perceba o caráter linear da função. A gravidade aumenta linearmente com a distância, até que r = R. A partir desse ponto, a gravidade diminui com o inverso do quadrado da distância, caracterizando uma hipérbole, conforme mostra o gráfico g x r abaixo:
Obs.: No interior de um planeta, como a aceleração local é proporcional a distância, se fosse possível cavar um túnel de uma ponta a outro do diâmetro do planeta e colocássemos uma corpo de massa m para se locomover ao longo do túnel, o seu movimento seria um M.H.S., cuja velocidade seria zero quando chegasse a superfície e seria máxima no centro do planeta, assim como a aceleração seria máxima na superfície, como vimos, e zero no seu centro.