Resolução de Problemas Lista 01 Relembramos algumas dicas discutidas no livro-texto para ajudar na resolução de um problema em Matemática. (D1) Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações disponíveis. (D2) Resolver casos particulares ou casos mais simples de problemas similares, para adquirir familiaridade com o problema. (D3) Mudar a representação do problema, transformando-o em um problema equivalente. (D4) Usar a imaginação, pesquisando caminhos alternativos. Além dessas dicas, vamos acrescentar mais algumas outras: (D5) Reúna todos os fatos que você conhece e que estejam relacionados ao problema; Em seguida, selecione alguns deles que você ache que possam servir para resolver o problema. (D6) Se o problema permitir, ache um invariante. Isto é, uma quantidade ou propriedade que não muda e que possa ser usada para resolver seu problema. (D7) Se for possível e conveniente, comece de trás-para-frente, iniciando na situação final onde você deseja chegar e, a partir de jogadas válidas, tente chegar na situação inicial. (D8) Antes de avançar demais, cheque o trabalho já desenvolvido, verificando se você cometeu algum erro. Isso lhe poupará tempo. Claramente, nenhuma dessas dicas faria sentido se lida isoladamente e desconectada de um problema específico. Além disso, nenhuma delas é universal, permitindo-lhe tornar-se um grande resolvedor de problemas. Na verdade, resolver problemas é algo que só se aprende fazendo. Porém, adotar estratégias como as que listamos acima pode ajudá-lo a ganhar tempo. A seguir, vamos listar alguns problemas para que você tente empregar as estratégias descritas acima e, eventualmente, outras que você venha a criar. Boa sorte!
Buscando um Invariante Em algumas situações, a busca de uma quantidade ou de uma propriedade que não muda quando um processo ocorre, pode levar à solução do problema. Essa quantidade é chamada de invariante. Isso é particularmente verdadeiro quando consideramos problemas quem involvem impossibilidades, como os que vamos descrever abaixo. Aplique a dica (D6) aos problemas 5, 6, 7 e 8. 1. Seis pessoas formando um círculo seguram pequenos quadros em suas mãos, nos quais estão escritos números. A cada rodada, escolhe-se uma das pessoas e adiciona-se uma unidade ao número escrito no quadro dessa pessoa, bem como uma unidade aos números nos quadros de seus vizinhos. (a) Se os números iniciais forem 1,0,1,0,0,0 é possível, após repetir esse procedimento um certo número de vezes, fazer com que todos os quadros tenham os mesmos números? (b) Se os números iniciais forem 5,2,0,3,5,6 mostre que é possível, após repetir esse procedimento um certo número de vezes, fazer com que todos os quadros tenham os mesmos números. (c) Se os números iniciais forem 5,2,0,3,5,6, qual o menor número de jogadas de modo que todos os quadros tenham os mesmos números? 2. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. 3. Num tabuleiro de xadrez 8 8 é permitido escolher um quadrado 2 2 qualquer e trocar as cores de uma das linhas ou colunas deste quadrado. É possível que se chegue a uma situação na qual todos os quadrados do tabuleiro 8 8 sejam brancos, exceto um? 4. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. 5. Os números 1, 2, 3,..., 99 são escritos no quadro-negro e é permitido realizar a seguinte operação: apagar dois deles e substituí-los pela diferença do maior com o menor. Fazemos esta operação sucessivamente até restar apenas um último número no quadro. Pode o último número que restou ser o zero?
Resolvendo de Trás-para-frente Andar para trás pode ser uma ferramenta importante na solução de um problema. A técnica consiste em supor que chegamos ao objetivo que pretendemos (posição vitoriosa, por exemplo, ou uma configuração especial) e, fazendo movimentos para trás, tentamos chegar na situação inicial. Resolva o seguinte problema usando a dica (D7): 6. João e Maria brincam com um monte de 30 palitos. É permitido a cada um deles retirar no seu turno 1, 2 ou 3 palitos. Ganha quem retirar o último palito. Sabendo que João começa e que os dois aprenderam a jogar com o mestre sabetudo, quem ganha o jogo? E retirando-se 1,2,3 ou 4 palitos, quem ganharia? O jogo anterior se inclui numa classe chamada de jogos progressivamente finitos. Esta classe é constituida de jogos que necessariamente acabam após um número de jogadas. Outro exemplo deste tipo de jogo é o seguinte: 7. Suponha agora que na pilha existam 10 7 palitos e que a cada rodada, João e Maria se alternam, escolhendo um primo p, n 0 é inteiro não-negativo e retirando p n palitos. Ganha quem retirar o último palito. Pergunta-se: se João começa o jogo, quem ganha? 8. Agora, João e Maria dispõem de dois montes com 30 palitos cada. Em cada turno, o jogador escolhe somente um dos montes e retira quantos palitos quiser, inclusive o monte inteiro. Ganha quem retirar o último palito. Sabendo que João começa, quem ganha o jogo? 9. João e Maria se alternam desenhando diagonais de um 2012-ágono. Perde quem desenhar uma diagonal cruzando alguma outra já desenhada. Qual é a estratégia vitoriosa para esse jogo? Usando equações 10. Demonstre que: (a) n 4 + 4 não é primo se n > 1; (b) Generalize, mostrando que n 4 + 4 n não é primo, para todo n > 1. 11. Nove cópias de certas notas custam menos de R$ 10,00 e dez cópias das mesmas notas (com o mesmo preço) custam mais de R$ 11,00. Quanto custa uma cópia das notas? 12. As páginas de um livro são numeradas de 1 até n. Ao somarmos estes números, por engano um deles é somado duas vezes, obtendo-se o resultado incorreto: 2.012. Qual é o número da página que foi somado duas vezes?
13. Analise variações deste problema. Por exemplo, permita que se some dois números consecutivos duas vezes, ou ainda, o mesmo número três vezes. Mude o valor da soma. Para cada mudança que você fizer, discuta com seus colegas do PROFMAT a série onde um desafio desse poderia ser proposto. 14. Mostre que entre os retângulos com um mesmo perímetro, o de maior área é um quadrado. 15. Mostre que para quaisquer a, b, c reais vale a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc. 16. Usando cada dígito 1,2,3,4,5,6,7,8, 9 somente uma vez, decida se é possível escrever números de modo que sua soma seja 100. 17. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior. 18. João está na beira de um rio com dois baldes de 9 e 4 litros, sem marcações. Ele deseja medir exatamente 6 litros de água para poder levar para Maria fazer uma deliciosa sopa para sua numerosa família. Mostre como João deverá proceder para obter os 6 litros de água. 19. Analise variações deste problema. Por exemplo, permita que a quantidade a ser separada seja diferente de 6, ou ainda, que os baldes tenham outra capacidade. Por exemplo, discuta o que ocorre quando os baldes tem MDC diferente de 1. Decida o grau de dificuldade da resolução de cada problema que você criar. É apropriado para que ano? Discuta com seus colegas do PROFMAT. 20. Faça mentalmente as seguintes multiplicações: (a) 27 37 (b) 21 23 21. Invente e resolva um problema, usando como inspiração o problema anterior.
Sugestões de Leitura Revista Eureka! Na revista Eureka! é possível encontrar vários problemas interessantes e desafiadores, além de artigos que tratam de assuntos que não são rotineiros na sala de aula. A revista está disponível no site www.obm.org.br, onde podem ser encontradas as provas (muitas resolvidas) da Olimpíada Brasileira de Matemática. Coleção de Iniciação Científica Júnior da OBMEP A coleção é destinada aos alunos premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Pode ser baixada em http://www.obmep.org.br, onde é possível também obter um banco de problemas e soluções. Tio Petros http://tiopetrus.blogia.com/ Um blog interessante, com vários recursos que podem ser aproveitados. Cabe ao leitor uma leitura crítica. Além da coleção Olimpíadas de Matemática e da coleção Professor de Matemática, que podem ser adquiridos no site www.sbm.org.br, recomendo a leitura dos seguintes livros: How to solve it - G. Polya, Princeton Science Library. Princeton University Press, 1945. Excelente livro sobre didática da Matemática e a arte de resolver problemas. O autor apresenta seu ponto de vista sobre as técnicas de resolução de problemas, com alguns exemplos discutidos. A discussão envolve problemas de todos os níveis (Fundamental e Médio). Sem tradução (que eu conheça) para o português. Mathematical Circles: Russian Experience (Mathematical World, Vol. 7) Dimitri Fomin, Sergey Genkin, Ilia V. Itenberg. Excelente livro, com vários problemas interessantes para ampliar a visão do estudante. Está dividido em duas partes, sendo a primeira dedicada aos primeiros anos do Fundamental II. Os problemas são daqueles que consideramos de raciocínio, privilegiando a criatividade e ideias novas dos estudantes. Pode ser usado como livro para um clube ou grupo especial de treinamento de Matemática na sua escola. Problem Solving Strategies - A. Engel. Problem Books in Mathematics, Springer. Uma coletânea de exercícios, em geral do nível de olimpíadas de matemática. Está separado por temas (geometria, indução etc) e com dicas e resoluções para os exercícios propostos. Pode ser usado numa turma avançada de preparação para olimpíadas ou exames difíceis.