ALGUMAS IDÉIAS PARA RESOLVER A LISTA 9 - MCC1-2009/2 Profa. Sandra de Amo Exercicio 1 Problema:Encontrar uma relação de recorrência para o número de cadeias de bits (sequências de 0 e 1) de tamanho n que contenham um par de 0s consecutivos. Por exemplo, 101001 é uma cadeia deste tipo, 1010001 também é uma cadeia deste tipo. Mas 1111, 10101 não são cadeias deste tipo. Seja a n = número de sequências de bits de tamanho n contendo um par de 0s consecutivos. 1. Se s é uma sequência de bits de tamanho n 1 que contém um par de zeros consecutivos, o que você pode concluir sobre a sequência obtida juntando-se um n-ésimo bit a s? Ela também satisfaz a propriedade de ter 2 zeros consecutivos? 2. Quantas sequências de tamanho n com 2 zeros consecutivos podem ser obtidas por este processo de juntar 1 bit a uma sequência de tamanho n 1 contendo 2 zeros consecutivos? 3. Toda sequência de tamanho n com 2 zeros consecutivos é obtida por este processo? (de juntar 1 bit a uma sequência de tamanho n 1 contendo 2 zeros consecutivos) Se você não sabe responder a esta questão, o que você me diz da sequência 0100? Ela contém 2 zeros consecutivos, certo? Veja que ela é obtida juntando o bit 0 no final da sequência 010. Mas a sequência 010 não contém 2 zeros consecutivos. E agora, você sabe responder à questão? Você se convenceu de que existem sequências de tamanho n, com 2 zeros consecutivos, que não são obtidas juntando-se um bit no final de uma sequência de tamanho n 1 com 2 zeros consecutivos? 4. Como são as sequências de tamanho n com 2 zeros consecutivos que não podem ser obtidas juntando-se 1 bit no final de uma sequência de tamanho n 1 de tamanho n 1 com 2 zeros consecutivos? Veja o exemplo da sequência 0100: ela é obtida juntando-se um ZERO no final de uma sequência de tamanho 3 que termina em ZERO, E QUE NÃO CONTÉM 2 ZEROS CONSECUTIVOS! 5. Quantas sequências de tamanho n 1 existem que terminam em zero e QUE NÃO CONTÉM DOIS ZEROS CONSECUTIVOS? Veja que se uma sequência de tamanho n 1 termina em ZERO e não contém dois zeros consecutivos, então necessariamente seus
2 últimos elementos são 10 e os n 3 primeiros elementos constituem uma sequência de tamanho n 3 que não contém 2 zeros consecutivos. 6. Tente agora reunir todas as respostas às questões precedentes para propor a relação de recorrência para calcular a n (número de sequências de bits de tamanho n contendo um par de 0s consecutivos). RESPOSTA FINAL : Exercicio 2 a n = 2a n 1 + 2 n 3 a n 3 Problema:Encontrar uma relação de recorrência para o número de cadeias de bits (sequências de 0 e 1) de tamanho n que não contenham três 0s consecutivos. Por exemplo, 1010001 é uma cadeia deste tipo, 10100001 também é uma cadeia deste tipo. Mas 1111, 101001 não são cadeias deste tipo. Seja a n = número de sequências de bits de tamanho n que não contém três 0s consecutivos. 1. Seja b n é o número de sequências de bits de tamanho n que CONTÉN três 0s consecutivos. Qual a relação entre a n e b n? 2. Vamos tentar encontrar uma relação de recorrência para b n. A partir desta relação de recorrência e da resposta à questão anterior será fácil determinar uma relação de recorrência para a n, conforme pedido no exercicio. A idéia para encontrar a relação de recorrência para b n é parecida com a idéia utilizada no exercicio anterior, como se segue: 3. Se s é uma sequência de bits de tamanho n 1 que contém 3 zeros consecutivos, o que você pode concluir sobre a sequência obtida juntando-se um n-ésimo bit a s? Ela também satisfaz a propriedade de ter 3 zeros consecutivos? 4. Quantas sequências de tamanho n com 3 zeros consecutivos podem ser obtidas por este processo de juntar 1 bit a uma sequência de tamanho n 1 contendo 3 zeros consecutivos? 5. Toda sequência de tamanho n com 3 zeros consecutivos é obtida por este processo? (de juntar 1 bit a uma sequência de tamanho n 1 contendo 3 zeros consecutivos) Se você não sabe responder a esta questão, o que você me diz da sequência 01000? Ela contém 3 zeros consecutivos, certo? Veja que ela é obtida juntando o bit 0 no final da
sequência 0100. Mas a sequência 0100 não contém 3 zeros consecutivos. E agora, você sabe responder à questão? Você se convenceu de que existem sequências de tamanho n, com 3 zeros consecutivos, que não são obtidas juntando-se um bit no final de uma sequência de tamanho n 1 com 3 zeros consecutivos? 6. Como são as sequências de tamanho n com 3 zeros consecutivos que não podem ser obtidas juntando-se 1 bit no final de uma sequência de tamanho n 1 de tamanho n 1 com 3 zeros consecutivos? Veja o exemplo da sequência 01000: ela é obtida juntando-se um ZERO no final de uma sequência de tamanho 3 que termina com dois zeros. 7. Quantas sequências de tamanho n 1 existem que terminam com 2 zeros e QUE NÃO CONTÉM 3 ZEROS CONSECUTIVOS? 8. Tente agora reunir todas as respostas às questões precedentes para propor a relação de recorrência para calcular a n (número de sequências de bits de tamanho n contendo 3 zeros consecutivos). Exercicio 3 Problema:Encontrar uma relação de recorrência para o número de maneiras de subir n degraus se a pessoa que estiver subindo as escadas pode subir um ou dois degraus por vez? Seja a n = número de maneiras de subir n degraus se a pessoa que estiver subindo as escadas pode subir um ou dois degraus por vez. 1. Vamos representar cada maneira de se subir n degraus seguindo as regras especificadas, utilizando uma sequência de 0s e 1s. Veja como: Suponha n = 5. Uma maneira de subir os 5 degraus é: piso no degrau 1, pulo o 2, piso no 3, pulo o 4 e piso no 5. Esta maneira pode ser representada pela sequência (1,0,1,0,1): colocamos 1 no degrau que é tocado, e 0 no degrau que é pulado. Outra maneira: (1,1,1,1,1), que significa que os degraus foram subidos um a um. A sequência (1,0,0,1,1) corresponderia a uma maneira de subir os degraus? Veja que se a resposta fosse sim, isto significaria que os degraus 2 e 3 são pulados, o que não segue a regra do problema: a pessoa só pode pular no máximo 1 degrau! Além disto, repare que o último degrau deve ser 1, já que a pessoa tem de pisar nele (não há nada acima dele, este degrau está no nível do chão). 2. Você se convenceu de que a n = número de sequências de bits de tamanho n QUE NÃO CONTÉM DOIS ZEROS CONSECUTIVOS E QUE TERMINAM COM o bit 1? 3. Você pode resolver este problema utilizando o Exercicio 1!!
Exercicio 6 Problema: Quantas mensagens diferentes podem ser transmitidas em n microsegundos, usando três sinais diferentes, se um sinal requer 1 microsegundo para a transmissão e os outros dois sinais requerem 2 microsegundos cada um para a transmissão? Seja a n = número de mensagens que podem ser transmitidas em n microsegundos utilizando-se os 3 sinais (não necessariamente TODOS) em sequência. Vamos denotar os sinais por 0, 1 e 2. O sinal 0 é transmitido em 1 microsegundo, os sinais 1 e 2 são transmitidos em 2 microsegundos cada um. Por exemplo, a mensagem 12012 é transmitida em 9 microsegundos. As mensagens que podem ser transmitidas em 4 microsegundos são: 0000, 12, 21, 200, 002, 020, 100, 010, 011. Nosso primeiro passo é: TRANSFORMAR O PROBLEMA DADO EM OUTRO PROBLEMA DE MAIS FÁCIL SOLUÇÃO, como se segue: Veja que podemos denotar as mensagens de outra maneira, utilizando sequências dos simbolos 0, 1 e 2, mas de modo que os simbolos 1 e 2 sempre apareçam aos pares. Assim a mensagem 200 seria denotada por 2200, a mensagem 12 seria denotada por 1122, a mensagem 21 por 2211, etc. Veja que desta maneira, o TAMANHO da sequência coincide exatamente com a DURAÇÃO em microsegundos da mensagem. Assim sendo, a n = número de sequências de tamanho n, com os simbolos 0, 1, 2 tais que os simbolos 1 e 2 aparecem aos pares. Seu trabalho agora é determinar uma relação de recorrência para a n. 1. Se s é uma sequência de 0, 1 e 2 de tamanho n que termina em 0 e onde os simbolos 1 e 2 aparecem aos pares, o que você pode concluir sobre a sequência dos n 1 primeiros simbolos? Os simbolos 1 e 2 aparecem aos pares nesta sequência? 2. Quantas sequências de tamanho n existem terminando com zero, e onde os simbolos 1 e 2 aparecem aos pares? 3. Toda sequência de tamanho n onde os simbolos 1 e 2 aparecem aos pares termina com zero? O que você me diz das sequências 011011? 011022? 4. Você se convenceu de que existem sequências satisfazendo a propriedade dos simbolos 1 e 2 aparecerem aos pares, e que terminam em 1 ou 2? 5. Como são tais sequências? 6. Qual a relação destas sequências com seus prefixos de tamanho n-1?
7. Você concorda que os prefixos de tamanho n 1 destas sequências devem terminar em 1 ou 2? 8. Quantas sequências de tamanho n 1 existem que terminam em 1? Quantas sequências de tamanho n 1 existem que terminam em 2? 9. Tente agora reunir todas as respostas às questões precedentes para propor a relação de recorrência para calcular a n.