Divisibilidade e Números Inteiros

Divisibilidade e Números Inteiros Introdução à Aritmética Modular Samuel Jurkiewicz

page i Sobre o Autor Samuel Jurkiewicz é carioca e Doutor em Matemática pela Universidade Pierre et Marie, em Paris. Atualmente é professor da Escola de Engenharia da UFRJ. Já atuou como docente em todos os níveis, inclusive no pré-escolar. Além do ensino de graduação e pós-graduação, tem desenvolvido atividades junto a professores e alunos do Ensino Médio através de oficinas de Matemática Discreta.

Divisrevisadofr page ii Sumário 1 Divisão de Números Naturais 4 1.1 Múltiplos, Fatores e Divisores.............. 9 1.2 Critérios de Divisibilidade e o Sistema de Numeração. 11 1.3 Outras Propriedades dos Restos: Multiplicação e Potenciação......................... 31 1.4 Números Primos e Números Compostos........ 36 1.5 Infinitude do Conjunto dos Números Primos...... 41 1.6 Número de Divisores................... 45 1.7 Um Tema Avançado: Números Perfeitos........ 49 1.8 Maior Divisor Comum.................. 51 1.9 Algoritmo de Euclides.................. 54 1.10 Menor Múltiplo Comum................. 56 1.11 Um Truque de Divisibilidade.............. 62 1.12 Uma Aplicação Geométrica............... 63 ii

page iii SUMÁRIO iii 2 Aritmética Modular 67 3 Material Complementar 89 A Para saber mais 130

Antes de começar Caros Colegas, Professores e Estudantes É com grande satisfação que levamos às suas mãos este primeiro volume de uma série destinada a acompanhá-los durante o estágio de premiação da I Olimpíada de Matemática da Escola Pública. O principal motivo desta satisfação é saber que as mãos que irão recebê-lo são de pessoas que gostam de pensar, praticar, descobrir e se divertir com a Matemática. Isso representa para nós grande responsabilidade: a de manter vivo esse gosto pelo conhecimento e pelo estudo. Aqueles que estão recebendo este material mostraram, além de competência, que o prazer de aprender e de resolver problemas já está presente. Nossa intenção é fazer com que este sentimento cresça e se espalhe. Felizmente, a Matemática nos oferece muitas escolhas e não nos faltaria assunto para muitas páginas. Ao pensar que tipo de material seria adequado, tivemos em mente três aspectos: o conteúdo, a forma e a profundidade adequadas. No caso do conteúdo pensamos em abordar temas clássicos, como a Di- 1

2 SUMÁRIO visibilidade, a Geometria, os Conjuntos Numéricos; temas menos frequentes no currículo habitual, como a Combinatória; e alguns temas ligados à fundamentação da Matemática como a argumentação lógica. Nossa intenção é contemplar, sempre que possível, aspectos originais da Matemática que por diversos motivos não se encontram facilmente nos livros didáticos do Ensino Fundamental. Claro, não poderemos fugir aos conhecimentos centrais da Matemática, mas procuraremos nos valer de sua versatilidade para oferecer material que desperte interesse além do que já conhecemos. Na questão da forma, os fascículos terão sempre algumas características comuns: exposição de conteúdos, exercícios resolvidos, exercícios propostos, propostas de atividades e curiosidades relativas ao tema em estudo. O ponto mais delicado é o da profundidade, por estarmos nos dirigindo a uma população com idades e história escolar bastante diversificada. É certamente um desafio oferecer material que seja adequado a todos. Optamos por dividir o material em duas partes, com dificuldades variadas. Um primeiro exemplo é este volume que vocês têm em mãos. A divisibilidade, a decomposição em números primos, a divisibilidade, a obtenção do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum, tudo isto é bem familiar aos alunos do Ensino Fundamental. Nossa experiência, entretanto, nos faz acreditar que este é um aspecto fundamental da Matemática que vale a pena revisitar. Um motivo adicional é o renovado interesse sobre estes assuntos na Matemática Superior e nas aplicações computacionais, como a Criptografia e a codificação de informações. Este é o material da primeira parte.

SUMÁRIO 3 A segunda parte se dedica à Aritmética Modular, que será novidade para a maior parte dos alunos. Ela se apóia nos conteúdos fundamentais de que falamos, mas trazendo um aspecto generalizador que é a base da Álgebra abstrata moderna. Procuramos manter esta parte em nível acessível, trabalhando passo a passo. Procuramos fazer o melhor mas certamente o trabalho terá falhas. Sugestões e críticas são benvindas. Mais ainda, incentivamos o professor a complementar o trabalho com suas próprias idéias, uma vez que o assunto é vasto e rico de aspectos interessantes que não caberiam num fascículo deste porte. Ao estudante lembramos que nada substitui a iniciativa e a imaginação. Não se contentem com o que já sabem, peçam mais de seus professores e procurem mais nos livros. Espero que estas páginas sejam úteis a todos, e espero receber notícias. Um abraço Samuel Jurkiewicz jurki@pep.ufrj.br

Capítulo 1 Divisão de Números Naturais Se quisermos dividir 3 queijos por duas pessoas não teremos problemas, cada pessoa ficará com 1 queijo e meio. A operação matemática que fizemos foi dividir 3 por 2: 3:2= 3 2 Observação. Podemos indicar a divisão com os símbolos /, : e. Usaremos 5:7para indicar 5 dividido por 7. Mas nem todos os problemas podem ser resolvidos com divisões fracionárias. Se quisermos dividir 27 livros por 4 alunos, não temos a opção de cortar um livro em pedaços. Por isso, é interessante que estudemos as divisões com números naturais. Nas páginas seguintes estaremos falando sempre de números inteiros, positivos ou negativos. 4

5 Aqui vale a pena fazer uma observação: o conjunto N dos números naturais é o conjunto dos números que usamos para contar. Muitos professores incluem o 0 (zero) no conjunto N, mas isso não é obrigatório. No nosso caso o conjunto dos números naturais será N = {1, 2, 3, 4,...} mas o zero será utilizado pois tem um papel importante. Então você verá frequentemente este conjunto expresso como N {0} (os naturais e o zero). Em alguns casos, trabalharemos também com o conjunto dos números inteiros negativos, { 1, 2, 3,...}. Vamos então voltar ao problema de dividir os livros. Vamos colocar um livro de cada vez na pilha do aluno 1, depois na pilha do aluno 2, depois na pilha do aluno 3 e depois na pilha do aluno 4. Voltamos ao aluno 1 e assim por diante. Quando paramos? Paramos quando, depois de colocar um livro para o aluno 4, sobram menos do que 4 livros. No nosso caso cada aluno ficou com 6 livros e ainda sobraram 3 livros. Essa situação pode ser retratada matematicamente como: 27 : 4 = 6 com resto 3. Note que podemos descobrir o número de livros que tínhamos no começo se soubermos: quantos alunos receberão livros (4); quantos livros cada aluno recebeu (6); quantos livros sobraram (3). De fato, basta fazer a conta 4 6+3=24+3=27.

6 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Observação. Embora seja bastante comum simbolizar a multiplicação por um ponto (como em 7 8=56)usaremoscomfreqüência osímbolo (como em 7 8=56). Em geral, só usaremos o ponto para indicar multiplicação entre símbolos literais. Estamos prontos para entender o que é a divisão entre números naturais. Temos: um número que queremos dividir (chamado de dividendo -no nosso caso, o 27); um número que vai dividir o dividendo (chamado de divisor - no nosso caso, o 4). Lembre-se: o divisor é sempre diferente de 0; o maior número de vezes que conseguimos colocar o divisor dentro do dividendo (chamado de quociente ou resultado -no nosso caso, o 6); o número de unidades que resta (chamado de resto e que deve ser menor que o divisor - no nosso caso, o 3). Usando os símbolos: D para dividendo; d para divisor (que deve ser diferente de 0); q para quociente; r para resto (que deve ser menor que d).

7 Podemos resumir o que está acima: D = d q + r, r < d, d > 0 ; D, d, q, r N {0} (1.1) O fato de que, dados dois números naturais D e d seja sempre possível encontrar números q e r dentro das condições acima é um teorema (que não demonstraremos aqui) e que se baseia no Princípio da Boa Ordenação. É uma prova interessante e que se apoia no algoritmo da divisão. Arestriçãor<dassegura que o quociente q é único, oque nos permite trabalhar com tranquilidade. Veremos mais adiante, que esta equação dá origem a um algoritmo para o cálculo do máximo divisor comum entre dois números. Tanto a equação como o algoritmo aparecem pela primeira vez, de forma organizada, nos Elementos, de Euclides de Alexandria. Exemplo: Uma caixa de 33 lápis deve ser dividida entre 7 pessoas. Quanto cada um receberá? Quantos lápis sobrarão? Descreva a situação usando a equação de Euclides, nossa equação (1.1). Solução: 33 : 7 = 4 com resto 5. Cada pessoa receberá 4 lápis. Sobrarão 5 lápis. A situação pode ser descrita por: 33 = 7 4+5.

8 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Exercícios 1. Efetue as divisões e descreva o resultado na forma da equação de Euclides (equação (1.1)). (a) 44 : 5 (i) 210 : 100 (b) 44 : 7 (j) 1285 : 100 (c) 353 : 3 (k) 1285 : 1000 (d) 483 : 438 (l) 11285 : 10 (e) 1253 : 125 (m) 157325 : 10000 (f) 757 : 75 (n) 157325 : 1000 (g) 21 : 10 (o) 57325 : 100 (h) 1210 : 10 (p) 57325 : 10 2. Efetue as divisões e descreva o resultado na forma da equação de Euclides (equação (1.1)). O que observa na seqüência dos restos? (a) 48 : 4 (f) 43 : 4 (b) 47 : 4 (g) 42 : 4 (c) 46 : 4 (h) 41 : 4 (d) 45 : 4 (i) 40 : 4 (e) 44 : 4 3. Porque o resto tem que ser menor do que o divisor?

SEC. 1.1: MÚLTIPLOS, FATORES E DIVISORES 9 1.1 Múltiplos, Fatores e Divisores Com freqüência desejamos que a divisão dê certinha. Ou melhor, que ela seja exata. O que queremos dizer com isso? Queremos que não sobre nada, queremos que o resto seja 0. 45 : 7 é uma divisão exata? Não, pois o quociente é 6 mas ainda temos o resto de 3. 45 : 9 é uma divisão exata? Sim, pois o quociente é 5 e o resto é0. Porque é tão importante que o resto seja 0? Para responder a esta pergunta observemos que quando r =0a equação de Euclides (nossa equação (1.1)). D = d q + r, r < d, d > 0 ; D, d, q, r N {0} (1.1) se reduz a D = d q, d > 0 ; D, d, q N {0} (1.2) Isto é, temos que tratar somente com multiplicação. Se a divisão tem resto 0 dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor. Mais ainda, como a ordem dos números do lado direito da igualdade da equação (1.2) pode ser trocada (pois a multiplicação é uma operação comutativa), o dividendo também é múltiplo do quociente. No nosso simples exemplo: 45 = 9 5 45 é múltiplo de 9 e 45 é múltiplo de 5.

10 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Podemos dizer também que 5 é divisor de 45, eque9 édivisorde 45. Osnúmeros5 e 9 produzem o número 45 por multiplicação. De certa maneira o número 45 é composto pelos números 5 e 9, por isso dizemos também que: 5 e 9 são fatores de 45. Demos bastante ênfase a esta nomenclatura, pois vamos usá-la com freqüência. Exemplo: Quais os fatores do número 12? 1 e 12, pois 12 = 1 12; 2e6,pois12 = 2 6; 3e4,pois12 = 3 4; Conjunto dos fatores de 12 é D 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Observação. É bastante freqüente usar a notação: D 12 conjunto dos fatores de 12. Essa forma nos será conveniente em alguns casos.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 11 Exercícios 1. Determine os fatores de (a) 42 (g) 13 (b) 6 (h) 23 (c) 18 (i) 37 (d) 15 (j) 101 (e) 25 (k) 1001 (f) 100 2. Quais os fatores de 2471? Você testou até que divisor? 1.2 Critérios de Divisibilidade e o Sistema de Numeração Em alguns casos, não precisaremos tentar dividir para saber se um número é ou não múltiplo de outro. Para isso usaremos as características de nosso sistema de numeração e algumas propriedades do resto de uma divisão. Vamos lembrar alguns fatos: Fato 1: No nosso sistema usamos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) cujo valor aumenta ou diminui conforme sua posição. Exemplo: 12948 = 1 10000 + 2 1000 + 9 100 + 4 10 + 8.

12 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Fato 2 : Se um número é fator(divisor) de dois outros números, ele é fator(divisor) da sua soma (e da sua diferença). Exemplo: 6éfatorde30 6éfatorde48 Então, 6 é fator de 30 + 48 = 78. E 6 também é fator de 48 30 = 18 (pois 18 = 6 3). Fato 3: Dividimos dois números por um mesmo divisor. Se a soma (diferença) dos restos for menor que o divisor, ela será igual ao resto da soma (diferença) dos dois números. Exemplo: Soma 22 : 7 = 3 eorestoé1 33 : 7 = 4 eorestoé5 A soma dos restos é 6 (que é menor que 7) 22 + 33 = 55 55 : 7 = 7 eorestoé6. Diferença 5 1=4 33 22 = 11 11 : 7 = 1 eorestoé4.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 13 Observação. Se a diferença for um número negativo, somamos o divisor. Exemplo: 44 : 7 = 6 eorestoé2 26 : 7 = 3 eorestoé5 2 5= 3 3+7=4 44 26 = 18 18 : 7 = 2 eorestoé4. Fato 4: Dividimos dois números por um mesmo divisor; se a soma dos restos for maior que o divisor, subtraímos o valor do divisor e o resultadoseráorestodasomadosdoisnúmeros. Exemplo: 26 : 7 = 3 eorestoé5 32 : 7 = 4 eorestoé4 A soma dos restos é 9 (que é maior que 7). Então o resto é 9 7=2. De fato, temos: 26 + 32 = 58 58 : 7 = 8 eorestoé2. Pergunta-exercício: A diferença entre os restos pode ser maior que o divisor? Em algum caso necessitaremos adicionar o divisor mais do que uma vez?

14 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Exercício Sem executar a soma, determine o resto das divisões: (a) (47 + 73) : 7 (g) (43 + 49) : 3 (b) (354 + 432) : 10 (h) (200 + 40 + 7) : 3 (c) (47 + 73) : 8 (i) (100 +40 +7) : 3 (d) (35 + 46) : 6 (j) (100 + 20 + 4) : 9 (e) (123 + 258) : 10 (k) (400 + 10 + 7) : 9 (f) (16 + 22 +35) : 3 (l) (400 + 10 + 4) : 9 1.2.1 Divisibilidade por 2: Números Pares e Ímpares O critério de divisibilidade mais conhecido é a divisão por 2. Para determinar se um número é divisível por 2 (isto é, par) ou não (ímpar) só precisamos verificar se o último algarismo é par ou ímpar. Observe que: 10 = 2 5, 100 = 2 50, 1000 = 2 500. E assim por diante... Então, veja os exemplos a seguir: 1. 456 = 4 100 + 5 10 + 6 400 = 200 2 é par (divisível por 2) 50 = 25 2 é par (divisível por 2) 6=3 2 é par (divisível por 2) Então 456 é par.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 15 2. 7568142635 é ímpar (não é divisível por 2). 3. 7568142636 é par (divisível por 2). Observação. Um fato importante é que todos os fatores de um número ímpar são ímpares. Assim, basta um fator par para que o número seja par. 1.2.2 Divisibilidade por 4 e 8 Observe que: 100 = 4 25, 1000 = 4 250. E assim por diante: 1000000 = 4 250000. Isto é, as potências de 10, a partir de 100, são todas divisíveis por 4. Mas 10 não é divisível por 4. Então, para saber se um número é divisível por 4 não precisamos nos preocupar com as centenas, milhares, e assim por diante. Estas classesjátêmo4comofator. Para saber se um número é divisível por 4, basta saber se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. Para saber o resto da divisão de um número por 4, basta saber o resto da divisão dos seus dois últimos algarismos por 4.

16 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Exemplos: 1. 125867432 é divisível por 4? Basta verificar para 32 32 = 4 8 com resto 0 2. Qual o resto de 35971659 : 4? Basta verificar o resto de 59 : 4. 59 : 4 = 14 com resto 3 A divisibilidade por 8 segue o mesmo padrão. Observe que: 1000 = 8 125, 10000 = 8 1250. E assim por diante: 1000000 = 8 125000. Isto é, as potências de 10, a partir de 1000, são todas divisíveis por 8. Mas 10 não é divisível por 8 e 100 também não é divisível por 8. Então, para saber se um número é divisível por 8 não precisamos nos preocupar com os milhares, dezenas de milhares e assim por diante. Estas classes já têm o 8 como fator. Para saber se um número é divisível por 8, basta saber se os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Para saber o resto da divisão de um número por 8, basta saber o resto da divisão dos seus três últimos algarismos por 8.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 17 Exemplos: 1. 125867344 é divisível por 8? Basta verificar para 344. 344 = 8 43 com resto 0 2. Qual o resto de 35971659 : 8? Basta verificar o resto de 659 : 8. 659 : 8 = 82 com resto 3. Exercício Calcule o resto das divisões: (a) 1425782 : 2 (d) 658591 : 2 (b) 1425782 : 4 (e) 658591 : 4 (c) 1425782 : 8 (f) 658591 : 8 1.2.3 Divisibilidade por 5 e por 10 As mesmas idéias da divisibilidade por 2 podem ser usadas na divisibilidade por 5 e por 10. Basta observar que 10 = 5 2, 100 = 5 10 2, 1000 = 5 100 2. E assim por diante...

18 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Isso mostra que: Um número é divisível por 5 se, e só se, o último algarismo for 5ou0. Um número é divisível por 10 se, e só se, o último algarismo for 0. Para saber o resto da divisão de um número por 5, bastasabero resto da divisão do seu último algarismo por 5. Para saber o resto da divisão de um número por 10, bastasaber o resto da divisão do seu último algarismo por 10, istoé,bastasaber o seu último algarismo. Exemplos: 1. Sem executar a soma, determine o resto das divisões: (a) (457 + 378 + 19) : 10 Os últimos algarismos somam 24, logo o resto da divisão é 4. (b) (358 + 57917 + 123) : 5 Os últimos algarismos somam 18, logo o resto da divisão é 3. 2. Se somarmos todos os números de 1 a 587 qual o resto da divisãopor5? A soma dos algarismos de 1 a 9 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) é 45, logo até 580 a soma dos números será um múltiplo de

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 19 45 (58 45), logo um múltiplo de 5. Só precisamos nos preocupar com o último algarismo dos sete últimos números: 1+2+3+4+5+6+7=28. O último algarismo é 8 e o resto da soma é 3. 3. Se somarmos todos os números de 1 a 536 qual o resto da divisão por 10? Asomadosalgarismosde1a9(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) é 45, logo até 530 a soma dos últimos algarismos dos números será 53 45, um número com último algarismo igual a 5. Só precisamos nos preocupar com este 5 e com o último algarismo dosseisúltimosnúmeros: 5+1+2+3+4+5+6= 26. O último algarismo é 6 e o resto da soma é 6. Exercícios 1. Sem executar a soma, determine o resto das divisões: (a) (3257 + 12378 + 1569) : 10 (b) (354567 + 356 + 1) : 10 (c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 5 (d) (1+3+5+7+9+11+13):2 (e) (1+3+5+7+9+11+13):5 (f) (1+3+5+7+9+11+13):10 2. Se somarmos todos os números de 121 a 587 qual o resto da divisão desta soma por 5?

20 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS 3. Se somarmos todos os números de 131 a 536 qual o resto da divisão desta soma por 10? 4. Estabeleça um critério de divisibilidade por 100, por1000 e, em geral, por 10 t. 5. Estabeleça um critério de divisibilidade por 25, por125 e, em geral, por 5 t. 1.2.4 Divisibilidade por 3 e por 9 Vamos lembrar de um dos exercícios que já fizemos: Qual o resto de (200 + 40 + 7) : 3? 200 : 3 = 66 com resto 2 - o mesmo resto de 2:3 40 : 3 = 13 comresto1-omesmorestode4:3 7:3=2com resto 1 - o mesmo resto de 7:3 Orestode247 : 3 éomesmorestode(2+4+7) : 3,istoé,o mesmo resto de 13 : 3. Como13 : 3 = 4 com resto 1 segue que 247 : 3 tem resto 1. Vamos investigar um pouco: 1:3=0com resto 1 10 : 3 = 3 com resto 1 100 : 3 = 33 com resto 1 E assim por diante, 1000000 : 3 = 333333 com resto 1. O resto das potências de 10 quando divididas por 3, é sempre 1. Cada classe contribui com uma unidade para o resto da divisão por 3.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 21 Por exemplo, 4000 contribui com 4 unidades para o resto da divisão 4573 : 3. Resumindo: O resto da divisão de um número por 3 é o mesmo resto da divisão da soma de seus algarismos por 3. Exemplos: 1. Para calcular o resto de 4573 : 3 observamos que: 4573 = 4 1000 + 5 100 + 7 10 + 3 =4 (999 + 1) + 5 (99 + 1) + 7 (9 + 1) + 3 =4 999 + 5 99 + 7 9+4+5+7+3. Basta então calcular o resto de 4+5+7+3 = 19 por 3. O resto é 1. 2. O resto da divisão de 4567 por 3 é o resto da divisão de 4+5+ 6+7=22por3,istoéorestodadivisãode2+2=4por 3, isto é (finalmente) 1. De fato, 4567 = 1522 3+1. 3. Se somarmos todos os números de 1 a 536 qual o resto da divisão por 3? Orestode(1 + 2 + 3) : 3 é 0; orestode(4 + 5 + 6) : 3 é 0; e assim por diante, sempre indo de três em três até o próximo múltiplo de 3. Temos que nos preocupar apenas com os números após o último múltiplo de 3, nocaso534 (pois 5+ 3+ 4 = 12). Basta verificar asoma535 + 536 = 1071. A soma dos algarismos é 9, queé múltiplo de 3. Logo, o resto será 0.

22 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Observação. Podíamos também somar os alagarismos de 535 e 536, o que nos daria 27, nos dando o resto 0. Isso pode ser feito pois: 535 + 536 = 5 100 + 3 10+5+5 100 + 3 10 + 6 =5 (99 + 1) + 3 (9 + 1) + 5 + 5 (99 + 1)+ 3 (9 + 1) + 6 =5 99 + 3 9+5 99 + 3 9+5+3+5+ 5+3+6. Exercícios 1. Qual o resto das divisões indicadas? (a) (3257 + 12378 + 1569) : 3 (b) (354567 + 356 + 1) : 3 (c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 3 (d) (1+3+5+7+9+11+13):3 2. Se somarmos todos os números de 121 a 587 qual o resto da divisãopor3? 3. Se somarmos todos os números de 131 a 536 qual o resto da divisãopor3? Para a divisibilidade por 9 podemos usar a mesma idéia. Vejamos um exemplo:

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 23 Qual o resto de (400 + 80 + 7) : 9? 400 : 9 = 44 com resto 4 - o mesmo resto de 4:9 80 : 9 = 8 com resto 8 - o mesmo resto de 8:9 7:9=1com resto 7 - o mesmo resto de 7:9 Orestode487 : 9 éomesmorestode(4+8+7) : 9,istoé,o mesmo resto de 19 : 9. Como19 : 9 = 2 com resto 1 segue que 487 : 9 tem resto 1. Como fizemos no caso da divisibilidade por 3 estamos usando o fato de que: 487 = 4 100 + 8 10 + 7 =4 (99 + 1) + 8 (9 + 1) + 7 =4 99 + 8 9+4+8+7. Basta então calcular o resto de 4+5+7+3 = 19 por 3. Orestoé1. Vamos investigar um pouco: 1:9=0com resto 1 10 : 9 = 1 com resto 1 100 : 9 = 11 com resto 1 E assim por diante: 1000000 : 9 = 111111 com resto 1. O resto das potências de 10 quando divididas por 9, é sempre 1. De fato: 10 = 9 + 1 100 = 99 + 1 1000 = 999 + 1 e assim por diante. Cada classe contribui portanto com uma unidade

24 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS para o resto da divisão por 9. Por exemplo, 4000 contribui com 4 unidades para o resto da divisão 4000 : 9. Exemplos: 1. O resto de 4585 : 9 é orestode4 1000 + 5 100 + 8 10 + 5, isto é, o mesmo resto que 4 1+5 1+8 1+5, ou ainda 4+5+8+5=22.Orestoé4. Resumindo: O resto da divisão de um número por 9 é o mesmo resto da divisão da soma de seus algarismos por 9. 2. O resto da divisão de 4567 por 9 é o resto da divisão de 4+5+ 6+7=22 por 9, isto é, o resto da divisão de 2+2=4por 9, isto é (finalmente) 4. De fato, 4567 = 507 9+4. 3. Se somarmos todos os números de 1 a 536 qual o resto da divisão destasomapor9? Orestode(1+2+3+4+5+6+7+8+9):9éomesmode 45 : 9 que é 0; orestode(10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) : 9 éo mesmo de 126 : 9 que é 0; e assim por diante. Temos que nos preocupar apenas com os números após o último múltiplo de 9, no caso 531 (pois 5+3+1=9). Basta verificar asoma532 + 533 + 534 + 535 + 536. A soma dos algarismos é 60. O resto de 60 : 9 é6,logoorestodasomaé6.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 25 Exercícios 1. Qual o resto das divisões indicadas? (a) (3257 + 12378 + 1569) : 9 (b) (354567 + 356 + 1) : 9 (c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 9 (d) (1+3+5+7+9+11+13):9 2. Se somarmos todos os números de 121 a 587 qual o resto da divisão por 9? 3. Se somarmos todos os números de 131 a 536 qual o resto da divisão por 9? 1.2.5 Divisibilidade por 7 Vamos mostrar dois critérios de divisibilidade por 7. Oprimeiro será feito por etapas e o segundo será deixado como exercício. Mostre que 10x + y é divisível por 7 se e só se x 2y também for divisível por 7. Solução 10x + y é divisível por 7 10x + y 7x 7y é divisível por 7 3x 6y é divisível por 7 3(x 2y) é divisível por 7 x 2y é divisível por 7.

26 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Use o exercício anterior para estabelecer o seguinte critério de divisibilidade por 7: Para saber se um número é divisível por 7 multiplicamos o último algarismo do número por 2 e subtraimos o resultado do número obtido do número inicial pela supressão do último algarismo. Exemplos: 1. 294 29 4 29 8=21 294 é divisível por 7. 2. 248738 24873 16 = 24857 2485 14 = 2471 247 2 = 245 24 10 = 14 248738 é divisível por 7. 3. 7557 755 14 = 741 74 2 =72 7 4 =3 7557 não é divisível por 7. Observação. Podemos expressar teoricamente o algoritmo acima. Um número qualquer é expresso por algarismos: ABCDE KLM. Se fizermos x = ABC KL e y = M, teremos ABCDE KLM =10x + y que só será divisível por 7 se x 2y = ABC KL 2M também for. Invente seus exemplos. Verifique que, ao contrário dos algoritmos usuais, esse critério NÃO permite descobrir o resto de uma divisão por 7.

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 27 Observação. De fato, no exemplo 3 7557 755 14 = 741 74 2=72 7 4=3 7557 não é divisível por 7. Masorestodadivisãode7557 por 7 é 4 enão3. Outro Critério de Divisibilidade por 7 Um outro critério de divisibilidade por 7 éoseguinte: Tomamos o primeiro algarismo àesquerda, multiplicamos por 3 e somamos ao segundo algarismo à esquerda e em seguida substituímos o resultado pelos dois primeiros algarismos à esquerda. Se o número original é divisível por 7 o número resultante também será. Exemplos: 1. 3486 3 3+4=13 1386 1 3+3=6 686 6 3+8=26 266 2 3+6=12 126 1 3+2=5 56 5 3+6=21 21 2 3+1=7 E 3486 é múltiplo de 7

28 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS 2. 5129 5 3+1=16 1629 1 3+6=9 929 9 3+2=29 299 2 3+9=15 159 1 3+5=8 89 8 3+9=33 33 3 3+3=12 12 1 3+2=5 E 5129 não é múltiplo de 7, mas... Observe que 5129, quando dividido por 7, deixa o resto 5. Exercícios 1. Prove que o critério de divisibilidade por 7 enunciado acima realmente funciona. (Sugestão: Considere o número como sendo da forma XY Z = X 10 t + Y 10 t 1 + Z). 2. Mostre que este algoritmo nos dá o resto do número original por 7. 1.2.6 Divisibilidade por 11 Para obter um critério de divisibilidade por 11 vamos lançar mão, outra vez, do valor posicional dos algarismos. Para isso vamos observar que:

SEC. 1.2: CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAÇÃO 29 1 Para cada unidade haverá sobra de uma unidade ao dividir por 11; 10 Para cada dezena haverá falta de uma unidade para completar 11 (pois 10 + 1 = 11); 100 Para cada centena haverá sobra de uma unidade ao dividir por 11 (pois 100 1=99=11 9); 1000 Para cada milhar haverá falta de uma unidade para completar 11 (pois 1000 + 1 = 1001 = 11 91) e assim por diante... Exercício Mostre que o resto da divisão de 10 t por 11 é 1 se t épare10 se t é ímpar. (Lembrete: 10 0 =1). Essa observação nos dá o seguinte critério: Para saber se um número é divisível por 11 somamos os algarismos de ordem par (unidades, centenas, etc.) e subtraímos a soma dos algarismos de ordem ímpar. Se o resultado for múltiplo de 11, onúmero original será múltiplo de 11.(Lembrete: A ordem das unidades é 0, das dezenas é 1, etc.). Exemplos: 1. 4520835 Algarismos de ordem par 5+8+2+4=19 Algarismos de ordem ímpar 3+0+5=8

30 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS 19 8=11 4520835 é divisível por 11 2. 75893482 Algarismos de ordem par 2+4+9+5=20 Algarismos de ordem impar 8+3+8+7=26 20 26 = 6 Como o resultado foi negativo, isso mostra que faltam 6 unidades para o número ser divisível por 11, istoéorestoda divisão de 75893482 por 11 é 11 6=5 Exercícios 1. Como podemos saber se um número é divisível por 6? 2. Como podemos saber se um número é divisível por 36? 3. Como podemos saber se um número é divisível por 55? 4. Pedro estava tentando dividir um número de 4 algarismos por 7. João então lhe disse: Basta tirar o algarismo das centenas. Pedro viu que estava correto. Que número era este? 5. Qual o menor número que tem todos os algarismos pares e é divisível por 18? 6. Qual o menor número composto por 4 algarismos pares e é divisível por 18?

SEC. 1.3: OUTRAS PROPRIEDADES DOS RESTOS: MULTIPLICAÇÃO E POTENCIAÇÃO31 7. Qual o menor número composto por 6 algarismos pares e é divisível por 18? 8. Qual o menor número composto por 30 algarismos pares e é divisível por 18? 1.3 Outras Propriedades dos Restos: Multiplicação e Potenciação Vimos que quando dividimos dois números pelo mesmo divisor, a soma (ou diferença) dos restos é igual ao resto da soma (ou diferença) dos números - eventualmente temos que corrigir a soma ou diferença, somando ou subtraindo o valor do divisor. Exemplos: Veja os exemplos no Fato 2 e no Fato 3 mais acima. Mas será que a mesma idéia permanece se usarmos a multiplicação? Veremos que sim, e para isso teremos que usar nossa velha equação de Euclides (a equação (1.1)): D = d q + r, r < d, d > 0 ; D, d, q, r N {0} (1.1) Em que: D é o dividendo; d é o divisor (que deve ser diferente de 0); q éoquociente;

32 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS r é o resto (que deve ser menor que d). Vamos experimentar um exemplo: 45 : 7 = 6 com resto 3 37 : 7 = 5 com resto 2 45 37 = 1665 1665 : 7 = 237 com resto 6 Observe que o produto dos restos é igual ao resto do produto! Outro exemplo: 40 : 6 = 6 com resto 4 29 : 6 = 4 com resto 5 40 29 = 1160 1160 : 6 = 193 com resto 2 O que aconteceu? O produto dos restos é 20, muito maior do que o divisor. Vamos retirando 6 unidades até obter um resto menor do que 6, isto é, 20 6 6 6=2. Na verdade dividimos 20 : 6 = 3 com resto 2. São exemplos de que podemos conhecer o resto de uma multiplicação por um dado divisor, sabendo o resto da divisão dos fatores deste número pelo mesmo divisor. Vamos entender porque isso acontece. Digamos que tenho dois números D 1 e D 2 que vamos dividir pelo mesmo divisor d. Pela equação de Euclides (equação (1.1)) podemos escrever: D 1 = d q 1 +r 1, r 1 <d, d>0 ; D 1,d,q 1,r 1 N {0}

SEC. 1.3: OUTRAS PROPRIEDADES DOS RESTOS: MULTIPLICAÇÃO E POTENCIAÇÃO33 D 2 = d q 2 +r 2, r 2 <d, d>0 ; D 2,d,q 2,r 2 N {0} e daí tirar: D 1 = d q 1 + r 1, com 0 r 1 <d; D 1,d,q 1,r 1 N {0} D 2 = d q 2 + r 2, com 0 r 2 <d; D 2,d,q 2,r 2 N {0} Observe que não precisamos colocar índice no divisor d pois ele é igual nas duas equações. Vamos fazer a multiplicação D 1 D 2 : D 1 = d q 1 + r 1, D 2 = d q 2 + r 2, donde D 1 D 2 =(d q 1 +r 1 ) (d q 2 +r 2 )=d 2 q 1 q 2 +r 1 d q 2 +r 2 d q 1 +r 1 r 2. Observe que d 2 q 1 q 2, r 1 d q 2 e r 2 d q 1 têm d como fator. Pelos fatos citados lá no começo, vemos que o resto da divisão (D1 D2) : d é o mesmo resto da divisão (r 1 r 2 ):d. Exemplos: 1. Qual o resto da divisão (6779 3846) : 9? Calculamos os restos das divisões 6799 : 9 e 3486 : 9 ; 6779 : 9 deixa resto 2, pois a soma dos algarismos é 29 ( 29 27 = 2) 3486 : 9 deixa resto 3, pois a soma dos algarismos é 21

34 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS ( 21 18 = 3) Orestode(6779 3846) : 9 é 2 3=6. 2. Qual o resto da divisão (297 684 128) : 5? Calculando os restos: 297 : 5 deixaresto2(7 5=2) 684 : 5 deixa resto 4 128 : 5 deixaresto3(8 5=3) O produto dos restos é 2 4 3=24. Orestode24 : 5 é 4. Oresto(297 684 128) : 5 também é 4. 3. Qual o resto da divisão (295 63 128) : 3? Poderíamos fazer todas as contas, mas basta observar que 63 é múltiplo de 3, logo o resto de 63 : 3 é 0. O produto dos restos será 0, e o resto pedido será 0. De fato, como 3 é fator de 63, 3 será fator do produto 295 63 128; isso quer dizer que o produto também é múltiplo de 3 (e logo, o resto da divisão por 3será0). Exercícios 1. Sem efetuar os produtos, calcule o resto das divisões: (a) (43 27 38 537) : 2 (b) (453 127 38) : 9

SEC. 1.3: OUTRAS PROPRIEDADES DOS RESTOS: MULTIPLICAÇÃO E POTENCIAÇÃO35 (c) (45 37 91) : 9 (d) (24 48 96) : 5 (e) (1289 2365 1589) : 5 (f) (37 43 57) : 10 Já que conseguimos mostrar que os restos são bem comportados quanto à multiplicação, podemos também usar as propriedades dos restos para a potenciação. Exemplos: 1. Qual o resto de 12 5 :5? 12 5 =12 12 12 12 12 Orestode12 : 5 é2 2 2 2 2 2=32 Orestode32 : 5 é2 logo, o resto de 12 5 :5é2. 2. Qual o resto de 3 7 :2? Como 3 é ímpar, 3 7 também é ímpar e o resto de de 3 7 :2é1. 3. Qual o resto de 3 7 :5? Note que só nos interessa o último algarismo: 3=3 3 3=9 9 3=27último algarismo: 7

36 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS 7 3=21último algarismo: 1 1 3=3 3 3=9...e os últimos algarismos continuam a se repetir nestaordem:3;9;7;1;3;... Como os últimos algarismos se repetem de 4 em 4, 3 5 terá 3 como último algarismo e 3 7 terá 7 como último algarismo. Logo, o resto de 3 7 :5é2(pois7 5=2). 4. Qual o resto de 3 62 :5? Usando a mesma idéia do exemplo anterior, vemos que o último algarismo se repete a cada 4 potências de 3. Como 62 : 4 = 15 com resto 2, vemos que o ciclo 3; 9; 7; 1...se repete 15 vezes e as duas últimas potências produzem um número com final 9. Logo, o resto de 3 62 :5é4(pois9 5=4). 1.4 Números Primos e Números Compostos Estamos trabalhando com o conceito de múltiplos, divisores (que também chamamos de fatores) e podemos perceber que alguns números têm muitos fatores, como por exemplo, o 24. O conjunto D 24 dos fatores de 24 é: D 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Onúmero1 é divisor de todos os números.

SEC. 1.4: NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS 37 Observe que o número que tem só um divisor é 1, pois D 1 = {1}. Por outro lado, há números que têm apenas dois fatores, como por exemplo o número 7. De fato: D 7 = {1, 7}. Os números que só têm dois fatores distintos (o 1 e ele próprio), são chamados números primos. O único divisor diferente de 1 de um número primo é ele mesmo. Os números diferentes de 1 e que não são primos, são chamados de compostos. Um fato bem conhecido é que podemos escrever qualquer número natural diferente de 1 como um produto de números primos - é a chamada decomposição em números primos. Mais ainda, se colocarmos os fatores em ordem crescente, só há uma única forma de fazer esta decomposição. Este fato é importante, pois nos permite comparar as decomposições dos números inteiros e deduzir propriedades. Embora já conhecido há mais tempo, Euclides apresenta uma demonstração na sua obra Os Elementos. Devido à sua larga utilização, é comumente chamado Teorema Fundamental da Aritmética

38 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Observação. O número 1 é especial. O motivo é que ele divide todos os números naturais. Quais os divisores de um natural que interessam? Apenas os divisores diferentes de 1. Procuramos os divisores diferentes de 1. Os números primos são os números naturais, diferentes de 1, com o menor número de divisores, apenas dois divisores. Com os números primos construímos os números compostos. Exemplos: 1. Os números 2, 3, 5, 37, 3413 e 7919 são primos. À medida que os números vão crescendo, vai ficando mais difícil determinar se um número é primo ou composto. 2. 512 é composto. Sua decomposição é 512 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2. É mais cômodo escrever 512 = 2 9. 3. 825 é composto pois 825 = 3 5 5 11, ou melhor, 825 = 3 5 2 11. 4. 296783 é composto pois 296783 = 463 641. Observe que 463 e 641 são números primos. Pode ser bastante difícil a decomposição em fatores primos. Exercício Determine se os números abaixo são primos ou compostos. Caso sejam compostos decomponha-os em fatores primos.

SEC. 1.4: NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS 39 (a) 35 (f) 625 (b) 43 (g) 6480 (c) 105 (h) 1961 (d) 131 (i) 5292 (e) 1001 (j) 3003 1.4.1 O Crivo de Eratóstenes O nome não deve assustar o leitor. Crivo quer dizer peneira e Eratóstenes foi o sábio grego a quem se atribui sua invenção. É uma peneira de números. Vamos peneirar os números divisíveis por 2, por 3 e assim sucessivamente. Com este crivo podemos obter ao menos os primeiros números primos, ou melhor todos os números primos até um certo número. No nosso exemplo vamos peneirar até 50. Começamos por riscar de 2 em 2, tirando os múltiplos de 2 (mas não riscamos o 2 - ele é primo): 1 2 3 4/ 5 6/ 7 8/ 9 // 10 11 // 12 13 // 14 15 // 16 17 // 18 19 // 20 21 // 22 23 // 24 25 // 26 27 // 28 29 // 30 31 // 32 33 // 34 35 // 36 37 // 38 39 // 40 41 // 42 43 // 44 45 // 46 47 // 48 49 // 50 Retiramos os números que passaram na peneira do 2. O próximo primo é o 3. Riscamos de 3 em 3, tirando os múltiplos de 3 (mas não riscamos o 3 - ele é primo):

40 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS 1 2 3 5 7 9/ 11 13 // 15 17 19 // 21 23 25 // 27 29 31 // 33 35 37 // 39 41 43 // 45 47 49 Retiramos os números que passaram na peneira do 3. O próximo primo é o 5. Riscamos de 5 em 5, tirando os múltiplos de 5 (mas não riscamos o 5 - ele é primo): 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 // 25 29 31 // 35 37 41 43 47 49 Retiramos os números que passaram na peneira do 5. O próximo primo é o 7. Riscamos de 7 em 7, tirando os múltiplos de 7 (mas não riscamos o 7 - ele é primo): 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 // 49 Retiramos o 49, que não passou na peneira do 7. Aqui paramos. Por quê? O próximo primo seria o 11, mas

SEC. 1.5: INFINITUDE DO CONJUNTO DOS NÚMEROS PRIMOS 41 qualquer número (até 50) dividido por 11 vai nos dar um quociente menor do que 11 pois 11 11 é maior do que 50. Quando aplicamos o crivo ou examinamos se um determinado número é primo, basta verificar até o maior número que, elevado ao quadrado, não ultrapasse o número examinado. No nosso caso 7 7 = 49,e7éomaior número que, elevado ao quadrado, ainda é menor que 50. Na nossa peneira então só sobraram os números primos. Lembramos que 1 não éprimo. Primos até 50: P 50 = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47}. Nem sempre é fácil procurar fatores. O crivo funciona bem com números pequenos, mas um número primo grande pode complicar a nossa vida. Por exemplo: 34020977 é primo ou composto? Ele é composto mas sua decomposição é 34020977 = 5077 6701. Imagine o tamanho da peneira que você teria que usar! 1.5 Infinitude do Conjunto dos Números Primos Uma questão que surge naturalmente é se o conjunto dos números primos é finito ou infinito. Este problema é antigo e a demonstração da infinitude do conjunto dos primos mais acessível consta dos Elementos de Euclides. Antes de expor esta demonstração vamos investigar um pouco. Suponhamos que eu já sei que 2, 3, 5 e 7 são números primos. Se

42 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS eu multiplicar esses números e somar 1 fico com: 2 3 5 7 + 1 = 211 Fazemos duas observações: 211 não é divisível por 2, 3, 5 ou 7. Isso é decorrência da forma como obtivemos este número. 211 éprimo. Bem, gostaríamos que este fosse um método para fabricar números primos. Infelizmente isso não é verdade (e fabricar números primos com uma fórmula é uma façanha que ainda não foi conseguida). Vejamos o que acontece se tomamos os primos até 13. 2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031 Comoantesobservamosque30031 não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 ou 13. Mas desta vez obtivemos um número que não é primo. De fato: 30031 = 59 509 Entretanto apareceram dois números primos que não estavam na minha lista, o 59 eo509. Na verdade, à partir de um conjunto de números primos, esse procedimento produz: Ou um número primo que não estava no conjunto inicial Ou pelo menos um número que tem na sua composição um númeroprimoquenãoestavanoconjuntoinicial.

SEC. 1.5: INFINITUDE DO CONJUNTO DOS NÚMEROS PRIMOS 43 Vejamos alguns exemplos: Números primos O produto +1 Outro(s) número(s)primo(s) 2, 3 2 3+1=7 7 3, 5 3 5+1=16=2 4 2 3, 7 3 7+1=22=2 11 2 e 11 3, 11 3 11 + 1 = 34 = 2 17 2 e 17 7, 11 7 11 + 1 = 78 = 2 3 13 2, 3 e 13 2, 3, 5 2 3 5+1=31 31 2, 5, 7 2 5 7+1=71 71 2, 3, 5, 7 2 3 5 7 + 1 = 211 211 Estas observações nos permitem formalizar o teorema a seguir. Teorema. O conjunto dos números primos é infinito. Demonstração: A demonstração será feita por absurdo, isto é, faremos uma suposição contrária ao que desejamos e concluiremos que ela nos leva a um absurdo. Suponhamos que o conjunto dos números primos é finito, com digamos t elementos. Vamos enfileirar os números primos: p 1 =2 p 2 =3 p 3 =5. p t Onúmeror = p 1 p 2 p 3 p 4...p t 1 p t +1 não é divisível por nenhum primo de nossa lista. Temos duas possibilidades:

44 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Onúmeror éprimoou Onúmeror não é primo e tem um fator primo que não pertence ao conjunto {p 1,p 2,p 3,...,p t 1,p t }. Os dois casos contrariam a hipótese inicial que, portanto, é absurda. Logo o conjunto dos números primos é infinito. Exercício Veremos que verificar se um número é ou não primo pode ser complicado. Use uma máquina de calcular e: (a) Verifiqueseonúmero2 3 5 7 11 13 17 + 1 éounão primo. (b) Verifique se o número 2 3 5 7 11 13 17 19 + 1 éou não primo. (c) Verifique se o número 2 3 5 7 11 13 17 19 23 + 1 é ou não primo.

SEC. 1.6: NÚMERO DE DIVISORES 45 1.6 Número de Divisores Uma outra questão, também bastante antiga, é a de quantos divisores tem um determinado número. Vamos ver alguns exemplos, e veremos que não só obteremos quantos mas também quais. Exemplo: Quantos divisores tem o número 30? Para responder a isso começamos por decompor o número 30 em fatores primos. 30 = 2 3 5. Ora, os divisores de 30 serão produto desses fatores. Então: Podemos escolher não usar o 2 ou usar o 2. Podemos escolher não usar o 3 ou usar o 3. Podemos escolher não usar o 5 ou usar o 5. Temos então 2 2 2=8possibilidades. De fato, os divisores são: 1 Não usamos nenhum divisor 2 usamos só o 2 3 usamos só o 3 5 usamos só o 5 6 usamos o 2 eo3 10 usamos o 2 eo5 15 usamos o 3 eo5 30 usamos o 2, o3 eo5

46 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Observe que o que fizemos foi atribuir expoente 0 ou 1 a cada fator. Por exemplo 1=2 0 3 0 5 0 ; 15 = 2 0 3 1 5 1. Exemplo: Tomemos agora um número que tenha fatores com expoente maior do que 1. Quantos divisores tem 360? 360 = 2 3 3 2 5 1. Podemos escolher usar onúmero2 três vezes, duas vezes, uma vez ou nenhuma vez. Podemos escolher usar onúmero3 duas vezes, uma vez ou nenhuma vez. Podemos escolher usar onúmero5 uma vez ou nenhuma vez. Temos então 4 3 2 = 24 possibilidades. Podemos esquematizar a obtenção de divisores no quadro a seguir.

SEC. 1.6: NÚMERO DE DIVISORES 47 Fator primo 5 3 2 divisor elevado a 0 0 0 1 elevado a 0 0 1 2 elevado a 0 0 2 4 elevado a 0 0 3 8 elevado a 0 1 0 3 elevado a 0 1 1 6 elevado a 0 1 2 12 elevado a 0 1 3 24 elevado a 0 2 0 9 elevado a 0 2 1 18 elevado a 0 2 2 36 elevado a 0 2 3 72 elevado a 1 0 0 5 elevado a 1 0 1 10 elevado a 1 0 2 20 elevado a 1 0 3 40 elevado a 1 1 0 15 elevado a 1 1 1 30 elevado a 1 1 2 60 elevado a 1 1 3 120 elevado a 1 2 0 45 elevado a 1 2 1 90 elevado a 1 2 2 180 elevado a 1 2 3 360 Podemos então formalizar estas idéias. Seja um número n esua decomposição em fatores primos: n = p t 1 1 p t 2 2 p t 3 3...p t r 1 r 1 ptr r Lembrete: Os p i s são todos diferentes. O número de divisores de n éiguala (t 1 +1) (t 2 +1) (t 3 +1) (t r 1 +1) (t r +1).

48 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Exercício: Escolha alguns números e descubra quantos e quais são os seus divisores. Quando temos três ou menos fatores podemos utilizar uma forma gráfica para visualizar a composição dos divisores. É o que chamamos de reticulado. Exemplificaremos com os divisores de 450 = 2 3 2 5 2. 450 = 2 X 3 2 X5 2 3 2 5 450 150 90 50 225 30 18 75 10 45 6 25 15 2 9 5 3 1 Observe que a cada fator corresponde uma direção - caminhando sobre essa direção multiplicamos ou dividimos pelo fator correspondente. Exercício 1. Construa o reticulado de 180. Em que ele se parece com o de 450?

SEC. 1.7: UM TEMA AVANÇADO: NÚMEROS PERFEITOS 49 2. Construa os reticulados de 36, de72 ede108. Oquevocê observa? 1.7 Um Tema Avançado: Números Perfeitos Um número inteiro é perfeito quandoasomadeseusdivisores próprios (isto é, excluindo o próprio número) é igual ao número. Uma forma equivalente de definir é dizer que um número inteiro n éperfeito quando a soma de seus divisores é 2 n. O menor número perfeito conhecido é 6. De fato, D 6 = {1, 2, 3, 6} e 1+2+3=6.Opróximoé28 (confirme!). Uma forma conhecida de formar números perfeitos é calcular 2 t 1 (2 t 1), desdeque2 t 1 seja primo. Exemplos: 1. Se t =3, 2 2 (2 3 1) = 4 7=28que é um número perfeito. Note que 7 éumnúmeroprimo. 2. Se t =4,2 3 (2 4 1) = 8 15 = 120 que não éumnúmero perfeito. Note que 15 não é um número primo. Euler provou que todo número perfeito par é da forma 2 t 1 (2t 1) com (2 t 1) primo. Não se sabe ainda se existe algum número perfeito ímpar. Não apresentamos a demonstração de Euler, mas vamos mostrar que, de fato, 2 t 1 (2 t 1) é perfeito, desde que 2 t 1 seja primo.

50 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Para isso precisaremos mostrar inicialmente que 2 0 +2 1 +2 2 + +2 t 1 =2 t 1. No2 o grau isto é feito por divisão de polinômios. Aqui faremos por indução: É verdade para t =1,pois2 1 1 =2 0 =1=2 1 1. Se é verdade para t, temos 2 0 +2 1 +2 2 + +2 t 1 =2 t 1. Então 2 0 +2 1 +2 2 + +2 t 1 +2 t =2 t 1+2 t =2 2 t 1=2 t+1 1. Logo, é verdade para t +1. Vamos à nossa fórmula. Seja n =2 t 1 (2 t 1) Se 2 t 1 é um número primo (digamos p) osdivisoresden são: D n = {1, 2, 4...2 t 1 } {1 p, 2 p, 4 p,...,2 t 1 p}. A soma dos elementos do primeiro conjunto é 2 t 1 eadoselementos do segundo conjunto é p (2 t 1). Somando tudo: (2 t 1) + p (2 t 1) = (2 t 1) (p +1). Como p =2 t 1, p +1=2 t =2 2 t 1 e a nossa soma fica: (2 t 1) (p +1)=(2 t 1) 2 2 t 1 =2 2 t 1 (2 t 1) Isto é, a soma dos divisores de n é o dobro de n. Logon éumnúmero perfeito.

SEC. 1.8: MAIOR DIVISOR COMUM 51 Atenção: A ressalva de que (2 t 1) seja primo não é nada inocente! Na verdade, não é tão fácil assim encontrar primos desta forma. Eles são chamados primos de Mersenne em homenagem a Marin Mersenne (1588-1648) embora outros matemáticos já tivessem trabalhado com estes números anteriormente. Para se ter uma idéia das dificuldades, até 2006 só haviam sido confirmados 44 primos de Mersenne, sendo que esse 44 o número primo é 2 32582657 1. Esse número tem 9808358 dígitos! Só para exemplificar, o 12 o primo de Mersenne é 170141183460469231731687303715884105727. 1.8 Maior Divisor Comum Uma das principais utilizações da decomposição em números primos é a determinação do maior divisor comum (mdc) e do menor múltiplo comum (mmc). Vamos supor que temos que remeter duas encomendas de sabonete para dois compradores diferentes. Um pediu 420 sabonetes e outro 480 sabonetes. Queremos fazer uma embalagem que sirva para os dois compradores. Estamos procurando um número de sabonetes que seja divisor (ou fator) de 420, mas também seja um divisor (fator) de 480. Isto é: um fator comum (ou divisor comum) de 420 e 480. Isso é fácil, basta usar embalagens de 10 sabonetes (10 é um fator de 420 e de 480). O primeiro comprador receberia 42 embalagens e o segundo 48 embalagens.

52 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Mas gostaríamos de usar poucas embalagens, ou melhor de colocar mais sabonetes em cada embalagem. Então não queremos apenas um divisor comum, queremos o maior divisor comum. Vamos usar a decomposição para isso. 420 = 2 2 3 5 7 480 = 2 5 3 5. Quais os fatores comuns? 2, 3 e 5. Porém, o 2 pode ser usado duas vezes, pois em ambos os números ele aparece duas vezes. Embora ele apareça mais vezes como fator de 480, só podemos utilizá-lo duas vezes, o número de vezes que o 2 aparece como fator no 420. Enfim, o maior divisor que podemos obter será: mdc(420; 480) = 2 2 3 5=60. De fato, 60 é fator de 420 e de 480, e não é possível haver um fator maior. Podemos fazer embalagens com 60 sabonetes: o primeiro comprador receberá 7 embalagens e o segundo 8 embalagens. Note que 7 é o quociente que obtemos ao dividirmos 420 por 2 2 3 5 e que 8=2 3 é o quociente que obtemos ao dividir 480 por 2 2 3 5. Exemplos: 1. Calcular mdc(30; 45). 30 = 2 3 5 45 = 3 2 5 Tomando os fatores comuns, temos mdc(30; 45) = 3 5=15.

SEC. 1.8: MAIOR DIVISOR COMUM 53 2. Podemos calcular o mdc de mais de dois números simultaneamente: mdc(84; 72; 180) 84 = 2 2 3 7 72 = 2 3 3 2 180 = 2 2 3 2 5 mdc(84; 72; 180) = 2 2 3=12. 3. mdc(16; 45) 16 = 2 4 e 45 = 3 2 5 Nãoháfatorcomumanãosero1. mdc(16; 45) = 1. Observação. Neste caso, dizemos que 16 e 45 são primos entre si. Exercícios 1. Calcular : (a) mdc(49; 84) (f) mdc(343; 91; 169) (b) mdc(36; 60; 72) (g) mdc(7; 11; 13) (c) mdc(8; 32; 128) (h) mdc(1800; 2700; 4500) (d) mdc(13; 39; 21) (i) mdc(1001; 1002) (e) mdc(45; 135; 81) (j) mdc(1001; 1078) 2. Observe o reticulado do 450 (da seção anterior). Onde está o mdc(50, 90)?eomdc(75, 90)? O que você pode concluir?

54 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Está tudo muito bem, mas nem sempre é fácil fatorar um número. Tente fatorar, por exemplo, os números a seguir: 102209, 102229, 102233, 102989, 107533, 107581, 107659, 107671, 107759 e 107687. (Uma pista: Cinco são primos, cinco são compostos.) 1.9 Algoritmo de Euclides Espero que você tenha se convencido de que às vezes (quase sempre) pode ser complicado encontrar uma decomposição em fatores primos. Mas a nossa boa e velha equação de Euclides (equação (1.1)) nos dá uma outra forma de calcular o mdc entre dois números. Vamos supor que quero encontrar o mdc(168; 49). A equação de Euclides (equação (1.1)) nos diz que 168 = 49 3+21. Ora, estou procurando um divisor comum de 168 ede49. A equação acima mostra que ele terá que ser também um divisor de 21. Pela mesma equação um divisor comum de 21 e 49 deve obrigatoriamente ser divisor de 168. Resumindo, os divisores comuns de 168 ede49 são os mesmos divisores comuns de 21 e 49. Então, posso encontrar o mdc de 168 e 49 procurando o mdc de 49 e 21. Mas 49 = 21 2+7.

SEC. 1.9: ALGORITMO DE EUCLIDES 55 Pelo mesmo raciocínio posso procurar o mdc(21; 7). Mas 21 = 7 3, semresto. Logo, 7 divide 21, isto é mdc(7; 21) = 7. Voltando passo a passo, mdc(21; 49) = 7, efinalmentemdc(168; 49) = 7. O procedimento acima permite encontrar o mdc de números grandes sem o uso da decomposição. Exemplos: 1. mdc(4873; 275) 4873 = 17 275 com resto 198 275 = 1 198 com resto 77 198 = 2 77 com resto 44 77 = 1 44 com resto 33 44 = 1 33 com resto 11 33 = 3 11 sem resto mdc(4873; 275) = 11 2. Esse procedimento é chamado algoritmo de Euclides para determinação do mdc. Ele pode ser apresentado de uma forma gráfica: Quociente 17 1 2 1 1 3 4873 275 198 77 44 33 11 Resto 198 77 44 33 11 0 Note que o quociente não nos interessa neste algoritmo. Basta o resto.

56 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Exercício 1. Calcular, usando o algoritmo de Euclides: (a) mdc(1176; 471) (b) mdc(57; 36) (c) mdc(175; 98) (d) mdc(2536; 938) (e) mdc(12578; 6248) (f) mdc(1589; 3584) 1.10 Menor Múltiplo Comum Outra utilização da decomposição em números primos é a determinação do menor múltiplo comum. Vejamos um exemplo. Três amigos passeiam de bicicleta, na mesma direção, em torno de uma pista circular. Para dar uma volta completa um deles demora 15 minutos, outro demora 18 minutos e o terceiro demora 21 minutos. Eles partem juntos e combinam interromper o passeio quando os três se encontrarem pela primeira vez no ponto de partida. Já que eles vão dar voltas completas, o tempo gasto será múltiplo de 15 minutos, por causa do primeiro amigo. Será também um múltiplo de 18 e de 21 por causa dos outros amigos. Procuramos, portanto

SEC. 1.10: MENOR MÚLTIPLO COMUM 57 um múltiplo comum. Não há problema em conseguir um múltiplo comum de 15, 18 e 21; basta multiplicá-los: 15 18 21 = 5670. Mas o que queremos saber é a primeira vez que todos se encontram no ponto de partida, queremos o menor múltiplo comum. Vamos examinar as decomposições: 15 = 3 5; ummúltiplode15deveter3e5comofatores. 18 = 2 3 2 ; um múltiplo de 18 deve ter 2 e 3 2 como fatores. 21 = 3 7; ummúltiplode21deveter3e7comofatores. Um múltiplo comum de 15, 18 e 21 deve ter esse fatores todos (2,3,5 e 7), mas podemos economizar fatores: apotênciamaisaltade2queprecisamosé2 1 apotênciamaisaltade3queprecisamosé3 2 apotênciamaisaltade5queprecisamosé5 1 apotênciamaisaltade7queprecisamosé7 1 Resumindo, o menor múltiplo comum de 15, 18 e 21 é: mmc(15; 18; 21) = 2 1 3 2 5 1 7 1 = 630. Os três amigos se encontrarão na linha de partida depois de 630 minutos. Isso quer dizer que eles vão pedalar durante 10 horas e meia! ou eles são muito bons na bicicleta ou alguma coisa está errada nos dados do problema!

58 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Isso acontece com freqüência nos livros de Matemática. A gente se preocupa com a Matemática e esquece do bom senso...o mais correto seria pensar em uma pista rápida, e que os amigos fizessem o contorno em 15, 18 e 21 segundos. Assim, a solução nos daria um tempo de 630 segundos, isto é, 10 minutos e meio. Agora sim... Exemplos: 1. mmc(25; 15; 9) 9=3 2 ;15=3 5; 25 = 5 2 mmc(25; 15; 9) = 3 2 5 2 = 225 2. mmc(16; 27) 16 = 2 4 27 = 3 3 mmc(16; 27) = 2 4 3 3 = 432 Note que os números não tem fatores comuns, logo o mmc é o produto dos dois números. 3. mmc(6;8;24) 6=2 3 8=2 3 24 = 2 3 3=24 Note que 24 é múltiplo de 6 e de 8, logo é ele mesmo o menor múltiplo comum.

SEC. 1.10: MENOR MÚLTIPLO COMUM 59 Exercício Calcular: (a) mmc(49; 84) (f) mmc(7; 11; 13) (b) mmc(36; 60; 72) (g) mmc(343; 91; 169) (c) mmc(8; 32; 128) (h) mmc(1800; 2700; 4500) (d) mmc(13; 39; 21) (i) mmc(1001; 1002) (e) mmc(45; 135; 81) (j) mmc(1001; 1078) O algoritmo de Euclides, que utilizamos para calcular o mdc de dois números, pode ser utilizado para calcular o mmc se lançarmos mão do seguinte fato. Fato 5: Dados dois números naturais, seu produto é igual ao produto do seu mmc pelo seu mdc. Exemplos: 1. 12 e 18. mdc(12; 18) = 6 mmc(12; 18) = 36 36 6 = 216 12 18 = 216. Não faremos uma prova formal deste fato. observar o que acontece neste caso: 12 = 2 2 3 18 = 2 3 2 Mas vamos

60 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Usamos as maiores potências para o mmc e as menores para o mdc. Assim mdc(12; 18) = 2 3 e mmc(12; 18) = 2 2 3 2. Observe que todas as potências foram usadas uma e só uma vez. IssoexplicaoFato5. Se um dos números não tiver uma das potências colocamos à potência 0 (todo número elevado a 0 é igual a 1). 2. 45 e 21. 21 = 3 1 5 0 7 1 45 = 3 2 5 1 7 0 mdc(21; 45) = 3 1 5 0 7 0 =3 1 1=3 mmc(21; 45) = 3 2 5 1 7 1 =9 5 7 = 315 Outra vez, todas as potências foram usadas uma e só uma vez. 21 45 = 3 315 = 945. Atenção: Esta propriedade só vale para dois números. Para três ou mais números ela pode falhar. Veja: Tomemos os números 6, 8 e 12. Temos: mdc(6;8;12) =2 mmc(6;8;12) =24 Mas 6 8 12 = 576 e 2 24 = 48. Os valores são bem diferentes. Exemplo: 1. Calcule o mmc(4873; 275). Agora sabemos que 4873 275 = mmc mdc.

SEC. 1.10: MENOR MÚLTIPLO COMUM 61 Já calculamos antes o mdc(4873; 275) = 11 Quociente 17 1 2 1 1 3 4873 275 198 77 44 33 11 Resto 198 77 44 33 11 0 Temos: 4873 275 = mmc 11 1340075 = 11 mmc mmc = 1340075 : 11 = 121825 Exercício 1. Calcular usando o algoritmo de Euclides e o Fato 5: (a) mmc(1176; 471) (b) mmc(57; 36) (c) mmc(175; 98) (d) mmc(2536; 938) (e) mmc(12578; 6248) (f) mmc(1589; 3584) 2. Observe o reticulado do 450 (da seção anterior). Onde está o mmc(5, 9)?eommc(5, 18). O que você pode concluir?

62 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS 1.11 Um Truque de Divisibilidade Pense num número de 3 algarismos (por exemplo 347). Escreva-o duas vezes formando um número de 6 algarismos (no nosso exemplo 347 347). Divida esse número por 13. (no nosso exemplo, o resultado é 26719). Divida esse número por 11. (no nosso exemplo, o resultado é 2429). Divida esse número por 7. (no nosso exemplo, o resultado é... 347). Experimente com seu número agora. Você verá que: As divisões são exatas e o número final é o que você escolheu. Por que isto acontece? Bem, se fizemos divisões exatas e obtivemos o mesmo número, é porque o número duplicado é múltiplo do número original. O que fizemos? 327 327 é a mesma coisa que 1000 327 + 327. Ou melhor: 327 327 = 327 1001. Você já fatorou o 1001 num exercício anterior: 1001 = 7 11 13 Está explicado o mistério. Ao duplicar o número (sempre de 3 algarismos), você multiplicou o número por 7, por 11 e por 13. Uma variação deste truque é usar um número de dois algarismos mas colocando um zero na duplicação:

SEC. 1.12: UMA APLICAÇÃO GEOMÉTRICA 63 35 35035 35035 : 13 = 2695 2695 : 11 = 245 245 : 7 = 35 1.12 Uma Aplicação Geométrica Um retângulo de lados inteiros 6 e 10 é dividido em quadrados de lado 1. Um raio de luz entra no retângulo por um dos vértices, na direção da bissetriz do ângulo reto, e é refletido sucessivamente nos lados do retângulo. Quantos quadrados são atravessados pelo raio de luz? Observe que seja qual for o trajeto, o raio deve atravessar um múltiplo de 6 quadrados, cada vez que vai do lado de baixo até o

64 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS lado de cima, ou de cima para baixo (mesmo ricocheteando). Isso também é verdade para os trajetos que vão de um lado para outro, só que aí deve ser um múltiplo de 10 quadrados. Na primeira vez que o raio atinge um vértice (depois da entrada) ele percorreu um número de quadrados múltiplo de 10 e de 6, na verdade o menor múltiplo comum pois é a primeira vez que isso acontece. Como mmc(10; 6) = 30, o raio percorreu 30 quadrados. Observação. Para que essa solução esteja correta temos que garantir que o raio de luz não passe pelo mesmo quadrado duas vezes. Uma forma de ver isto é colorir os quadrados alternadamente, como no tabuleiro de jogo de damas. Observe que o raio atravessa quadrados de mesma cor até refletir, quando então passa a atravessar quadrados da outra cor. Assim, raios paralelos passam por quadrados da mesma cor e raios perpendiculares passam por quadrados de cores diferentes. Se o raio de luz passar pelo centro de uma casa anteriormenete visitada haveria dois raios perpendiculares passando por casas da mesma cor, o que já vimos que não pode acontecer.

SEC. 1.12: UMA APLICAÇÃO GEOMÉTRICA 65 Pergunta 1: Se eu quiser que o raio atravesse todos os quadrados, que dimensões deve ter o meu retângulo? Pergunta 2: Se eu quiser que o raio atravesse o retângulo sem ricochetear, que dimensões deve ter o meu retângulo? Uma outra forma de visualizar o problema é pavimentar o plano com cópias do retângulo (veja figura adiante). Fica bastante aparente que tenho que percorrer 3 vezes a largura (3 10 = 30) e 5 vezes a altura (5 6=30) do retângulo.

66 CAP. 1: DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Esta visualização dá uma pista para responder à pergunta 2 acima. 30 6 6 6 6 6 30 10 10 10

Capítulo 2 Aritmética Modular UmaIntroduçãoPassoaPasso Os conceitos de divisibilidade, mdc e mmc que acabamos de ver podem parecer bem simples, mas são a semente de uma parte muito interessante da Matemática. Vamos abordar algumas idéias através de questões e respostas, passo a passo. A tabela da página seguinte mostra os números naturais (e o zero) até 115 colocados em determinada ordem. Você acha que todos os números naturais poderiam entrar nesta tabela? (Se tivéssemos papel e tempo suficiente, é claro). 67

68 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 Tabela 1

69 1.1. Em que coluna você colocaria: (a) o número 116? (b) o número 117? (c) o número 119? (d) o número 200? (e) o número 223? (f) o número 15792732? (g) o número 1359735? 1.2. Nessa tabela qual o número que fica: (a) imediatamente abaixo do número 53? (b) imediatamente acima do número 107? (c) imediatamente abaixo do número 563? (d) imediatamente acima do número 107? (e) imediatamente acima do número 15792732? (f) imediatamente abaixo do número 15792732? (g) 5 linhas abaixo do número 114 (mas na mesma coluna)? (h) 5 linhas acima do número 1421 (mas na mesma coluna)? 1.3. Como você descreveria os números da coluna do 0? 1.4. Se você somar dois números quaisquer da coluna do 0, em que coluna vai cair o resultado? 1.5. Observe que a tabela apresentada pode ser considerada como uma tabuada. Se quisermos saber a soma de 84 + 3 basta

70 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR encontrar o número que está na linha do 84 e na coluna do 3, isto, é 87. 1.6. Na questão 1.3 você deu uma descrição da primeira coluna: são os múltiplos naturais de 4 (lembre-se que estamos incluindo o 0). Podemos escrever isso em Matematiquez : O conjunto dos números da forma 4n, onde n éumnúmero natural ou ainda {4 n n N}. Se quisermos descrever os números da segunda coluna (a coluna do 1) podemos escrever: O conjunto dos números naturais que, quando divididos por 4, dão resto 1 ou O conjunto dos números da forma 4 n +1, onde n N ou ainda {4 n +1 n N} Observação. Você deve ter notado que passamos a usar a notação de ponto para indicar a multiplicação. Isso se deve a que agora estamos indicando multiplicação entre símbolos literais (letras), em que o símbolo poderia gerar confusão. Para indicar a multiplicação entre números continuaremos a usar, pois o ponto poderia nos confundir - embora usemos vírgulas para números decimais menores do que 1 as máquinas de calcular que usamos utilizam o ponto.

71 1.7. Como você descreveria os elementos da coluna embaixo do 2? 1.8. E da coluna embaixo do 3? 1.9. Se você escolher dois números da coluna do 3 e subtrair o menor do maior, em que coluna estará a diferença? 1.10. Se você escolher dois números da coluna do 2 e subtrair o menor do maior, em que coluna estará a diferença? 1.11. Como você escreveria um resultado geral que se aplique a pares que estão na mesma coluna? 1.12. Se você escolher dois números da coluna do 3, em que coluna estará a soma desses números? 1.13. Se você escolher um número da coluna do 2 e um número da coluna do 3, em que coluna estará a soma desses números? Vamos organizar uma tabela de adição. Algumas casas estão preenchidas, outras ficaram para você:

72 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR + números na números na números na números na mod4 coluna do 0 coluna do 1 coluna do 2 coluna do 3 números na coluna do 0 números na números na coluna do 1 coluna do 2 números na números na números na coluna do 2 coluna do 0 coluna do 1 números na coluna do 3 Tabela 2 Essa tabela é chamada de adição módulo 4, ou soma módulo 4. Quando dois números têm o mesmo resto quando divididos por 4, dizemos que eles são congruentes módulo 4. Os números congruentes módulo 4 são aqueles que estão na mesma coluna da tabela 1. Em geral, escrevemos 47 43 mod 4. Isto quer dizer que o resto de 47 : 4 éomesmode43 : 4. Usando a questão 1.11 podemos escrever: 47 43 mod 4 é o mesmo que dizer que: 47 43 é múltiplo de 4. Exemplo: Mostre que 107 83 mod 4. Solução: 107 83 = 24 e 24 é múltiplo de 4.

73 Agora experimente você: 2.1. Mostre que 158 126 mod 4. 2.2. Mostre que 113 77 mod 4. 2.3. Mostre que 15107 34803 mod 4. 2.4. Mostre que 99999 55555 mod 4. 2.5. Mostre que 15807 4575 mod 4. Outra forma de escrever a tabela acima é (você completa o resto): + mod4 0 1 2 3 0 1 2 1 3 0 Para que o tracinho em cima dos números? Note que não estamos falando do número 1 mas de qualquer número que esteja na coluna do1natabeladomódulo 4. Asomatambémnãoéasomaque estamos acostumados. Depois de somarmos temos que verificar em que coluna estará o resultado.

74 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR Exemplo: 473 + 486 473 1mod4 486 2mod4 473 + 486 = 959 3mod4 O resultado estará na coluna do 3. Atabelaadiantetem5colunas(enão4comoatabela1). Você conseguiria fazer uma tabela semelhante àquela que fizemos para a primeira tabela (tabela 2)? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 Tabela 3

75 Exemplo: Mostre que 107 82 mod 5. Solução: 107 82 = 25 e 25 é múltiplo de 5. Experimente você: 3.1. Mostre que 158 123 mod 5. 3.2. Mostre que 112 77 mod 5. 3.3. Mostre que 1510 34805 mod 5. 3.4. Mostre que 12380 55555 mod 5. 3.5. Mostre que 15801 4576 mod 5. Observação. A esta altura dos acontecimentos você já percebeu que podemos fazer tabelas para todos os números naturais. Na tabela 1, escrevemos os números de 4 em 4. Mostramos que todos os números naturais podem ser escritos na forma: 4 n ou 4 n +1 ou 4 n +2 ou 4 n +3em que n N. Na tabela 3, vimos que todos os naturais podem ser escritos na forma: 5 n ou 5 n +1 ou 5 n +2 ou 5 n +3 ou 5 n +4 em que n N.

76 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR Baseado no que foi feito até agora, responda: 1. Se tomassemos uma tabela que tivesse 7 colunas, até que número iria a primeira linha? 2. Em que coluna estaria o número 48? 3. Em que coluna estaria o número 1001? 4. Que formas essa tabela nos sugeriria para escrever os números naturais (como na observação acima)? Até agora só trabalhamos com os números naturais e incluímos o zero. Será que poderíamos estender nossa tabela para os números negativos? 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Tabela 4

77 A tabela 4 mostra que isto é possível. Acabamos de estender a tabela 1 para trás e agora não temos só números naturais - podemos perceber que poderemos incluir nesta tabela todos os números inteiros, positivos, 0 e negativos. Estamos lidando com o conjunto dos números inteiros, o conjunto Z. Quais os números que estão na coluna do 0? Ainda são os múltiplos de 4. Mas a divisão que trabalhamos até agora não deixa resto negativo, lembre-se da equação de Euclides (a nossa equação (1.1)): D = d q + r, r < d, d > 0 ; D, d, q, r N {0}, onde: D é o dividendo; d é o divisor (que deve ser diferente de 0); q éoquociente; r é o resto (que deve ser menor que d). Entretanto, ainda podemos falar em módulo d! Exemplos: 1. 34 14 mod 4, pois34 ( 14) = 34+14 = 48 e 48 é múltiplo de 4. 2. 9 33 mod 4, pois 9 ( 33) = 9 +33 = 24 e24é múltiplo de 4.

78 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR Agora é com você. 4.1. Mostre que 36 36 mod 4. 4.2. Mostre que 34 +14 mod 4. 4.3. Mostre que 334 714 mod 4. 4.4. Mostre que 45 35 mod 4. 4.5. Mostre que 31 17 mod 4. 4.6. Mostre que 31 1017 mod 4. Observeque,natabela4,onúmero3eonúmero 3 estão em colunas diferentes, mas os números 22 e 22 estãonamesmacoluna; isso mostra que devemos ter cuidado - as situações variam de tabela para tabela. Uma forma simples de localizar números negativos na tabela é usar um artifício conhecido, somar o divisor, no caso 4. Exemplo: Em que coluna estará o número 1437? Solução: Se fosse 1436 arespostaseriafácil: nacolunado0pois1436é múltiplo de 4. Se aceitarmos que o resto possa ser negativo, desde que não fique maior do que 3, poderemos escrever uma equação parecida com a equação (1.1) que chamaremos de equação (2.1):

79 D = d q + r, d <r<d, d>0; D, q, r Z, d N (2.1) Repare que os números D, q e r agora podem ser negativos, d continuará sendo positivo (por conveniência) e o resto r pode ir de d a d. No nosso exemplo, 1437 = 4 ( 359) 1, oquenosdáresto igual a 1. Para saber em que coluna 1437 estará, basta somar 4 ao seu resto. Assim, como 1 estará na coluna ( 1) + 4 = 3 segue que 1437 também estará na coluna do 3. Agora é com você. Em que coluna da tabela do módulo 4 (tabela 4) se encontra: 4.7. o número 147? 4.8. o número 1487? 4.9. o número 140? 4.10. o número 473? 4.11. o número 4732? Observação. Note que, ao aceitarmos valores negativos para r perdemos a unicidade. De fato, agora temos a possibilidade de um resto positivo e um resto negativo. Isso não é um problema, na verdade isso é necessário para podermos localizar os números negativos na nossa tabela.

80 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR Vamos estender a tabela do módulo 5 (tabela 3)? 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tabela 5 Em que coluna da tabela 5 você colocaria: 5.1. o número 147? 5.2. o número 1487? 5.3. o número 140? 5.4. o número 473? 5.5. o número 4732?

81 Vamos estender a tabela do módulo 7? 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tabela 6 Estenda a tabela nos dois sentidos (positivo e negativo). Em que coluna da tabela 6 se encontra: 6.1. o número 147? 6.2. o número 1487? 6.3. o número 140? 6.4. o número 473?

82 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR 6.5. o número 4732? Até agora nos aproveitamos do fato de que dois números na mesma coluna têm a mesma forma. Por exemplo, na tabela 1: 473 fica na coluna do 1, pois é da forma 4 118 + 1. 1013 também fica na coluna do 1, pois é da forma 4 253 + 1. Os dois são da forma 4 n +1. Se subtraímos dois números desta forma temos: (4a +1) (4b +1)=4a +1 4b 1=4(a b) que será sempre um múltiplo de 4. A soma também se comportou bem, pois os números estão sendo representados pelo resto da divisão por 4. Por exemplo: 473 = 4 118 + 1 473 fica na coluna do 1 473 é representado pelo 1. 1027 = 4 256 + 3 1027 fica na coluna do 3 1027 é representado pelo 3. Asoma473 + 1027 ficará na coluna do 0, pois na tabela que construímos: 1+3=0 Vamos tentar estender nossas idéias para a multiplicação modular. Usaremos uma pequena porção da tabela 1.

83 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Tabela 7 7.1. Escolha um número da coluna do 1 e outro da coluna do 3. Multiplique estes dois números. Em que coluna caiu o produto? Exemplo: 9 7 = 63; 63 está na coluna do 3, pois 63 = 4 15 + 3. 7.2. Repita a experiência. O produto cai sempre na mesma coluna? 7.3. Experimente pegar dois números da coluna do 3. Em que coluna cai o produto? Repita a experiência. Se você fez as contas direito reparou que nos itens 7.1 e 7.2 o resultado cai na coluna do 3. Nenhuma surpresa, pois 1 3=3. Já no item 7.3, os produtos recaem na coluna do 1. Como 3 3 = 9 e 9 1mod4, podemos desconfiar que a multiplicação também vai se comportar direitinho na nossa aritmética dos módulos. Em vez de desconfiar, vamos demonstrar. Vamos primeiro ver um caso simples. Vamos escolher um número da coluna do 2 e um número da coluna do 3. Eles podem ser escritos

84 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR como: 4 a +2 e 4 b +3. O seu produto é (4 a +2) (4 b +3)=16 a b +12 a +8 b +6 Observe que os termos literais (que contém letras) são todos múltiplos de 4. Resta-nos o 6, que está na coluna do 2, pois 6 2mod4. Podemos fazer o mesmo raciocínio para todos os números e fabricar uma tabuada de multiplicação módulo 4. mod4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Tabela 8 Você pode usar a tabela do módulo 5 (tabela 3) para fabricar a tabuada de multiplicação módulo 5. Já colocamos alguns resultados, você preenche o resto.

85 mod5 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 1 3 3 4 4 2 1 Tabela 9 Exercícios 1. Fabrique a tabela do 7. 2. Fabrique a tabuada de adição módulo 7. 3. Fabrique a tabuada de multiplicação módulo 7. Nos exemplos a seguir, veremos casos em que se aplicam as tabuadas e outros em que seu uso não é necessário. Exemplos: 1. Qual o resto de 7 12 :4? Solução: Poderíamos calcular 7 12 = 13841287201 e verificar que o resto é 1; mas podemos fazer de forma mais simples.

86 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR 7 3mod4, então podemos trabalhar com 3 12. 3 12 =3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Mas olhando a tabuada de multiplicação módulo 4, verificamos que 3 3 1mod4. Chegamos à conclusão que 7 12 1 1 1 1 1 1mod4,istoé,7 12 1mod4. Orestode7 12 :4é1. 2. Qual o resto de 4 15 :7? Solução: Se você fez a tabuada de multiplicação módulo 7 podemos calcular: 4 2 2mod7, 4 3 2 4mod7 8mod7 1mod7, 4 15 = ( 4 3) 5 1 5 mod 7 1mod7. Orestode4 15 :7é1. Não precisaremos sempre formar a tabuada. 3. Qual o resto de 7 30 :11? Solução: Vamos calcular passo-a-passo: 7 2 =49 5mod11(pois 49 = 4 11 + 5) 7 4 5 2 mod 11 25 mod 11 3mod11 7 8 3 2 mod 11 9mod11 7 16 9 2 mod 11 81 mod 11 4mod11 7 30 =7 (16+8+4+2) =7 16 7 8 7 4 7 2 4 9 3 5mod11

87 7 30 36 15 mod 11 3 4mod11 12 mod 11 1mod11 Orestode7 30 :11é1. 4. Mostre que 41 divide 2 20 1. (Sugestão: prove que 2 20 1mod41.) Solução(uma delas): 2 10 = 1024 40 mod 41. Mas 40 1mod41 2 20 =2 10 2 10 ( 1) ( 1) mod 41 1mod41. Como 2 20 1mod41 2 20 1 é múltiplo de 41. Exercícios 1. Diga se é Verdadeiro ou Falso: (a) 19 7mod2. (b) 52 18 mod 10. (c) 1213 212 mod 13. 2. Se 1066 1776 mod m, quais são os possíveis valores de m? 3. Ache todos os inteiros x, tais que 0 < x < 15 e 3 x 6mod15. 4. Dê todos os inteiros positivos x menores que 100, tais que x 8mod13.

88 CAP. 2: ARITMÉTICA MODULAR 5. Ache o resto da divisão 2 50 :7. 6. Mostre que 89 divide 2 44 1. (Sugestão: Prove que 2 44 1mod89.)

Capítulo 3 Material Complementar A seqüência de Fibonacci A seqüência de Fibonacci é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... isto é, cada termo é igual à soma dos dois anteriores (com exceção dos dois primeiros que são iguais a 1). Costumamos simbolizar os termos desta seqüência por F n. Por exemplo, F 1 =1e F 7 =13. A formação da seqüência pode ser expressa por: F n = F n 1 + F n 2, n Z. 89

90 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Exercícios Resolvidos 1. Mostre que dois termos seguidos da seqüência de Fibonacci são primos entre si, i.é., mdc(f n,f n 1 )=1. Demonstração: Utilizando o algoritmo de Euclides obtemos a seguinte seqüência: F n = F n 1 + F n 2 onde F n 2 éoresto; F n 1 = F n 2 + F n 3 onde F n 3 éoresto;... eassimpordiante. Por indução, esta seqüência terminará com resto 1. Por exemplo, calculando o mdc(89, 55): 89 = 55 + 34 55 = 34 + 21 34 = 21 + 13 21 = 13 + 8 13 = 8 + 5 8=5+3 5=3+2 3=2+1

91 2. Mostre que dois números alternados da seqüência de Fibonacci são primos entre si, i.é., mdc(f n,f n 2 )=1. Demonstração: Utilizando o algoritmo de Euclides obtemos a seguinte seqüência: F n = F n 1 + F n 2 F n = F n 2 + F n 3 + F n 2 F n =2 F n 2 + F n 3 onde F n 3 éoresto; F n 2 = F n 3 + F n 4 onde F n 3 éoresto;...e o problema se reduz ao ítem anterior. 3. Mostre que F 5k émúltiplode5 para qualquer valor de k. Demonstração: Queremos mostrar que F 5k émúltiplode5. Usaremos a indução sobre k. Se k =1, F 5k = F 5 =1. Se F 5k é múltiplo de 5 o que acontece com F 5(k+1) = F 5k+5? F 5k+5 = F 5k+4 + F 5k+3 = F 5k+3 + F 5k+2 + F 5k+2 + F 5k+1 F 5k+5 = F 5k+3 +2 F 5k+2 + F 5k+1 F 5k+5 = F 5k+2 + F 5k+1 +2 F 5k+1 +2 F 5k + F 5k+1 = F 5k+2 +4 F 5k+1 +2 F 5k F 5k+5 = F 5k+1 + F 5k +4 F 5k+1 +2 F 5k =5 F 5k+1 +2 F 5k As duas parcelas à direita são múltiplos de 5 (a segunda parcela pela hipótese de indução) logo, F 5k é múltiplo de 5 para qualquer valor de k.

92 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR No capítulo 2 você construiu a tabela de multiplicação módulo 5 (tabela 9): mod5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Observe que para obter 0 tivemos que ter 0 como fator. Também fabricamos a tabela da multiplicação módulo 4 (tabela 8): mod4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Você consegue encontrar um produto que dê 0 com os dois fatores diferentes de 0? Isto é o que chamamos um divisor de 0.

93 Exemplos: 1. Você encontra divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo 7? Solução: Não há divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo 7. 2. Você encontra divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo 6? Solução: Sim, o 2 eo3. 3. Em que tabelas você encontra divisores de 0? e quem são os divisores 0? Solução: Encontramos divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo n se e só se n não for primo. Se o número n for composto os divisores de 0 são os números m para os quais mdc(m, n) > 1. A Função φ de Euler Dizemos que um número n é co-primo com m se mdc(m, n) =1, isto é, se m e n são primos entre si. A função φ de Euler conta, para um número natural n, os naturais, menores que n e que são co-primos com ele, isto é, φ(n) = {j N;0<j<n,mdc(n, j) =1}.

94 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Exemplos: 1. φ(6) = 2 pois : mdc(1, 6) = 1, mdc(2, 6) = 2, mdc(3, 6) = 3, mdc(4, 6) = 2, mdc(5, 6) = 1. 2. φ(8) = 4 pois : mdc(1, 8) = 1, mdc(2, 8) = 2, mdc(3, 8) = 1, mdc(4, 8) = 4, mdc(5, 8) = 1, mdc(6, 8) = 2, mdc(7, 8) = 1. 3. Calcule: (a) φ(1) = (g) φ(7) = (b) φ(2) = (h) φ(8) = (c) φ(3) = (i) φ(9) = (d) φ(4) = (j) φ(10) = (e) φ(5) = (k) φ(11) = (f) φ(6) = (l) φ(12) = Solução: (a) φ(1) = 1, o conjunto de co-primos é {1}

95 (b) φ(2) = 1, o conjunto de co-primos é {1} (c) φ(3) = 2, o conjunto de co-primos é {1; 2} (d) φ(4) = 2, o conjunto de co-primos é {1; 3} (e) φ(5) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 2; 3; 4} (f) φ(6) = 2, o conjunto de co-primos é {1; 5} (g) φ(7) = 6, o conjunto de co-primos é {1; 2; 3; 4; 5; 6} (h) φ(8) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 3; 5; 7} (i) φ(9) = 6, o conjunto de co-primos é {1; 2; 4; 5; 7; 8} (j) φ(10) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 3; 7; 9} (k) φ(11) = 10, o conjunto de co-primos é {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} (l) φ(12) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 5; 7; 11} 4. Quais são os números naturais n para os quais φ(n) =n 1? Solução: n deve ser primo. Equações com Números Inteiros: Diofantinas Equações Vamos agora trabalhar com equações com números inteiros. Elas são chamadas diofantinas em homenagem a Diophante de Alexandria, matemático grego que viveu nos meados do século III. Diophante é considerado como um dos fundadores da álgebra. Escreveu uma obra sobre Aritmética em 13 volumes e dos quais apenas

96 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR seis se preservaram. Seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os símbolos criados por Diophante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações. Procuraremos números inteiros que satisfaçam às expressões algébricas. Exemplos: 1. Determine uma solução inteira da equação: 5X +3Y =1 Solução: Nestes primeiros exemplos, a idéia é procurar por meio de tentativa e erro. Os primeiros são simples, depois começa a complicar. Existe mais do que uma solução, logo as respostas devem ser verificadas. Por exemplo X = 1 Y =2. 2. Determine uma solução inteira da equação: 17X +5Y =4 Solução:

97 Por exemplo X = 3 Y =11 3. Determine uma solução inteira da equação: 3X +6Y =4 Solução: É impossível. O mdc(3, 6) = 3 logootermoàdireitatemque ser múltiplo de 3, o que não acontece. 4. Determine uma solução inteira da equação: 119X +35Y =6 Pista: Qual o mdc(119, 35)? Por que isso é importante? Solução: É impossível. O mdc(119, 35) = 7 logootermoàdireitatem que ser múltiplo de 7, o que não acontece. 5. Determine uma solução inteira da equação: 119X +35Y =14 Solução: O mdc(119, 35) = 7 e o termo à direita é múltiplo de 7, logo podemos simplificar para: 17X +5Y =2

98 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Por exemplo X =1 Y = 3 6. Suponha que mdc(a, b) não divida o número inteiro c. Mostre que a equação: ax + by = c não admite soluções inteiras. Solução: ax +by será sempre múltiplo de mdc(a, b), logo c também deve ser, caso contrário, a equação não tem solução. Observação. O que vem a seguir depende do entendimento do Algoritmo de Euclides, abordado na apostila 1. Vamos encontrar uma solução para a equação: 5X +3Y =1 Começamos executando o algoritmo de Euclides (vejaocapítulo 1). Quociente 1 1 5 3 2 Resto 2 1 mdc(5, 3) = 1 Quais foram as etapas?

99 5=1 3+2 2=5 1 3 3=1 2+1 1=3 1 2 Vamos reconstruir o mdc, nocaso1. 1=3 1 2 Substituimos o 2 por seu valor na outra equação: 1=3 1 2=3 1 (5 1 3) O que nos dá 1=3 1 5+1 3=2 3 1 5 Observe que conseguimos uma solução inteira para nossa equação! X = 1 Y =2 De fato 5 ( 1) + 3 2=1. Acabamos de encontrar uma solução inteira para 5X +3Y =1 asaber X = 1 Y =2 Exemplo: Encontre soluções para as equações: Observação. As soluções das equações a seguir se obtém por multiplicação das raízes.

100 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR 1. 5X +3Y =3 Solução: X = 3 Y =6 2. 5X +3Y =7 Solução: X = 7 Y =14 3. 5X +3Y = 2 Solução: X =2 Y = 4 4. 5X +3Y = 127 Solução: X = 127 Y = 254 Podemos agora enunciar a seguinte proposição: Proposição. Sejam a,b e c números inteiros diferentes de 0. equação: ax + by = c A admitirá soluções inteiras se e só o mdc(a, b) dividir c.

101 Outro exemplo: Determine números X e Y inteiros que satisfaçam às equações (ou mostre que é impossível): 24X +9Y =6 Como mdc(24, 9) = 3 e 3 divide 6, a equação terá soluções. ainda, a equação é equivalente a: Mais 8X +3Y =2 Quociente 2 1 8 3 2 Resto 2 1 mdc(8, 3) = 1 Quais foram as etapas? 8=2 3+2 2=8 2 3 3=1 2+1 1=3 1 2 Vamos reconstruir o mdc, nocaso1. 1=3 1 2 Substituimos o 2 por seu valor na outra equação: 1=3 1 2=3 1 (8 2 3) O que nos dá 1=3 1 8+2 3=3 3 1 8

102 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 8X +3Y =1 X = 1 Y =3 Mas nossa equação é: Fazemos: 8X +3Y =2 X = 2 Y =6 De fato, 8 ( 2) + 6 3=2. Exemplos: Determine números X e Y inteiros que satisfaçam às equações (ou mostre que é impossível): 1. 7X +4Y =5 Solução: mdc(4, 7) = 1 Quais foram as etapas? 7=4+3 4=3+1 Vamos reconstruir o mdc, nocaso1. 1=4 3

103 Substituimos o 3 por seu valor na outra equação: 1=4 (7 4) O que nos dá 1=2 4 1 7 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 7X +4Y =1 X = 1 Y =2 Mas nossa equação é: 7X +4Y =5 Fazemos: X = 5 Y =10 De fato 7 ( 5) + 10 4=5. 2. 8X +6Y =12 Solução: mdc(8, 6) = 2 Quais foram as etapas? 8=6+2

104 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Vamos reconstruir o mdc, no caso 2. 2=8 6 O que nos dá 2=1 8 1 6 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 8X +6Y =2 X =1 Y = 1 Mas nossa equação é: 8X +6Y =12 Fazemos: X =6 Y = 6 De fato 8 (6) + 6 ( 6) = 12. 3. 8X +12Y =18 Solução: mdc(8, 12) = 4 que não divide 18. solução. Logo a equação não tem 4. 7X +3Y =2 Solução:

105 mdc(7, 3) = 1 Quais foram as etapas? 7=2 3+1 Vamos reconstruir o mdc, nocaso2. 1=7 2 3 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 7X +3Y =1 X =1 Y = 2 Mas nossa equação é: 7X +3Y =2 Fazemos: X =2 Y = 4 De fato 7 (2) + 3 ( 4) = 2. 5. 8X +12Y =16 Solução: mdc(8, 12) = 4 Quais foram as etapas?

106 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR 12 = 8 + 4 Vamos reconstruir o mdc, no caso 4. 4=12 8 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 8X +12Y =4 X = 1 Y =1 Mas nossa equação é: 8X +12Y =16 Fazemos: X = 4 Y =4 De fato 8 ( 4) 12 4=16. 6. 14X +24Y =8 Solução: mdc(14, 24) = 2 Quais foram as etapas? 24 = 14 + 10

107 14 = 10 + 4 10 = 2 4+2 Vamos reconstruir o mdc, nocaso2. 2=10 2 4 2=10 2 (14 10) = 3 10 2 14 2=3 (24 14) 2 14 = 3 24 5 14 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 14X +24Y =2 X = 5 Y =3 Mas nossa equação é: 14X +24Y =8 Fazemos: X = 20 Y =12 De fato 14 ( 20) 24 12 = 8. 7. 15X +12Y =20 Solução: mdc(15, 12) = 3 que não divide 20. Logo a equação não tem solução.

108 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR 8. 4X +6Y =9 Solução: mdc(4, 6) = 2 que não divide 9. solução. Logo a equação não tem 9. 3X +6Y =9 Solução: mdc(3, 6) = 3 Quais foram as etapas? 6=2 3 Vamos reconstruir o mdc, nocaso3. Neste caso a reconstrução é extremamente simples: 3=3 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 3X +6Y =3 X =1 Y =0 Mas nossa equação é: 3X +6Y =9 Fazemos: X =3

109 Y =0 De fato 3 (3) + 6 0=9. 10. 128X +64Y =32 Solução: mdc(128, 64) = 64 que não divide 32. Logo a equação não tem solução. 11. 3X +2Y = 493 Solução: mdc(3, 2) = 1 Quais foram as etapas? 3=2+1 Vamos reconstruir o mdc, no caso 2. 1=3 2 Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 3X +2Y =1 X =1 Y = 1 Mas nossa equação é: 3X +2Y = 493

110 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Fazemos: X = 493 Y = 493 De fato 3 (493) 2 (493) = 493. Encontre todas as soluções inteiras da equação: 5X +3Y =1 Solução: Já temos uma solução (encontrada em itens anteriores): X = 1 Y =2 Podemos somar e subtrair o mesmo número ao lado esquerdo e a equação será equivalente. Escolherei para somar e subtrair (quem adivinha?) o mmc(5, 3) = 15. 5X +15+3Y 15 = 1 5(X +3)+3(Y 5) = 1 Isso mostra que posso somar/subtrair 3 do valor de X desde que eu subtraia/some 5 ao valor de Y. Por exemplo: X = 1+3=2 Y =2 5= 3

111 também é solução da equação original. Verificando: 5(2) + 3( 3) = 10 9=1 Portanto a solução geral da equação 5X +3Y =1 é X = 1+3t Y =2 5t, t Z. Observação. Podemos nos perguntar se realmente encontramos todas as soluções da equação. Isso equivale a perguntar se as soluções são todas da forma encontrada. Vamos demonstrar este fato. Se X = x e Y = y é uma solução arbitrária então 5x +3y =1. Como X = 1 e Y =2é uma solução particular então 5 ( 1) + 3 2=0. Como X = 1 e Y =2é uma solução particular então 5(x +1)+3(y 2) = 0. Como 5 e 3 são primos entre si, segue-se que 3 divide (x+1). Logo x +1=3t,comt Z, o qual substituído na igualdade anterior fornece

112 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR y =2 5t. Portanto todas as soluções da equação 5X +3Y =1são da forma X = 1+3t e Y =2 5t com t Z. Importante: Para obter todas as soluções, é imprescindível que a equação seja reduzida, senão a idéia de usar o mmc para somar ou subtrair não funcionaria. Por exemplo: 4X +6Y =18 Reduzimos para: Uma solução é: 2X +3Y =9 X =0 Y =3 Uma solução geral é X =0+3t, Y =3 2t, t Z. Se tivéssemos usado a equação sem reduzir teríamos obtido erroneamente X =0+6t, Y =3 4t, t Z. Exemplos: Encontre todas as soluções inteiras das equações: Observação. Utilizaremos as soluções obtidas em ítens anteriores. 1. 7X +4Y =5 Solução: X = 5+4t Y =10 7t, t Z.

113 2. 8X +6Y =12 Solução: Reduzimos para: Uma solução é: 4X +3Y =6 X =6 Y = 6 A solução geral é: 3. 8X +12Y =18 Solução: X =6+3t Y = 6 4t,t Z. mdc(8, 12) = 4 que não divide 18. solução. Logo a equação não tem 4. 7X +3Y =2 Solução: 5. 14X +24Y =8 X =2+3t Y = 4 7t,t Z. Solução: 6. 15X +12Y =20 Solução: X = 20 + 12t Y =12 7t,t Z.

114 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR mdc(15, 21) = 3 que não divide 20. Logo a equação não tem solução. 7. 7X +3Y =2 Solução: X =2+3t Y = 4 7t, t Z. 8. 4X +6Y =9 Solução: mdc(4, 6) = 2 que não divide 9. solução. Logo a equação não tem 9. 3X +6Y =9 Reduzimos para: Uma solução é: X +2Y =3 X =3 Y =0 A solução geral é: 10. 128X +64Y =32 Solução: X =3+2t Y =0 t,t Z. mdc(128, 64) = 64 que não divide 32. Logo a equação não tem solução.

115 11. 3X +2Y = 493 Solução: X = 493 + 2t Y = 493 3t, t Z. Vamos agora utilizar o que já sabemos para resolver equações envolvendo congruências Encontre os valores de X que tornem verdadeira a equação: 5X 17 mod 4 Solução: Pela definição de mod temos 5X 17 mod 4 5X 17 = 4Y 5X 4Y =17 A solução é (já sabemos calcular...): X =17+4t,t Z. Y =17+5t Na verdade, só nos interessa X =17+4t. Assim os números inteiros 15, 11, 7, 3, 1, 5, 9, 13 são todos soluções desta congruência. Importante: Na equação ax b mod Y. Se tivermos a 0mod Y, a equação só terá solução se b 0modY também. Nesse caso qualquer valor inteiro de X é solução da equação. Se b 0modY não haverá solução. Exemplos:

116 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR 1. Na equação 10X 25 mod 5, qualquer valor inteiro serve para X, pois10 0mod5e 25 0mod5. 2. Na equação 10X 23 mod 5, nenhum valor inteiro serve para X, pois10 0mod5mas 23 0mod5. Indicamos a seguir as equações que devem ser resolvidas e o resultado, sem o desenvolvimento. Exercícios Resolvidos 1. Encontre os valores de X que tornem verdadeira a equação: (a) 4X 3mod7 Solução: Resolvendo a equação: 4X 7Y =3 Encontramos X = 1 Y = 1 ArespostaéX = 1+7t, t Z. (b) 6X 10 mod 8 Solução: Resolvendo a equação: 6X 8Y =10 reduzida para 3X 4Y =5

117 Encontramos X =3 Y =1 ArespostaéX =3+4t, t Z. (c) 9X 2mod5 Solução: Resolvendo a equação: 9X 5Y =2 Encontramos X =3 Y =5 ArespostaéX =3+5t, t Z. (d) 6X 7mod9 Solução: Resolvendo a equação: 6X 9Y =7 que não tem solução. (e) 28X 8mod12 Solução: Resolvendo a equação: 28X 12Y =8 reduzida para Encontramos 7X 3Y =2 X =2

118 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Y =4 ArespostaéX =2+3t, t Z. (f) 15X 10 mod 12 Solução: Resolvendo a equação: 15X 12Y =10 que não tem solução. (g) 4X 3mod6 Solução: Resolvendo a equação: 4X 6Y =3 que não tem solução. (h) 64X 128 mod 32 Solução: Resolvendo a equação: Observe que 64 0mod32e 128 0mod32. Qualquer valor de X tornará a equação verdadeira. (i) 15X 3mod18 Solução: Resolvendo a equação: 15X 18Y =3 reduzida para Encontramos 5X 6Y =1 X = 1 Y = 1 ArespostaéX = 1+6t, t Z.

119 (j) 9X 2mod5 Solução: Resolvendo a equação: 9X 5Y =2 Encontramos X =3 Y =5 ArespostaéX =3+5t, t Z. 2. Preencha a tabela abaixo com os números de 0 a 11 (alguns números já foram colocados como exemplo): mod3 mod4 0mod4 1mod4 2mod4 3mod4 0mod3 0 1mod3 7 2mod3 5 Solução: mod3 mod4 0mod4 1mod4 2mod4 3mod4 0mod3 0 9 6 3 1mod3 4 1 10 7 2mod3 8 5 2 11 (a) Todas as casas ganharam um número?

120 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR (b) O mesmo número pode ocupar duas casas? 3. Qual o número que estará na casa 2mod3e 3mod4? Observe que isso equivale a resolver um sistema: X 2mod3 X 3mod4 Podemos escrever: X 2=3Y X 3=4Z Ou melhor (subtraindo as equações membro a membro): 3Y 4Z =1 Dando a solução geral: Y = 1+4t Z = 1+3t, t Z. Escolhendo Y = 1 obteríamos X = 1. Para colocar X entre 0 e 11 somamos 12 (o mdc(3, 4)(por que?), obtendo 11. Voce pode conferir com a tabela que preencheu no item anterior. Qualquer que fosse a casa, a equação teria solução pois mdc(3, 4) = 1. Isso mostra que todas as casas podem ser preenchidas. Como as soluções estão distantes 12 unidades, cada casa só ganha um número. 4. Preencha a tabela abaixo, do mod 4 mod 9 com números inteiros de 0 a 35

121 mod9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mod4 0 1 2 3 Solução: mod9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mod4 0 0 28 20 12 4 32 24 16 8 1 9 1 29 21 13 5 33 25 17 2 18 10 2 30 22 14 6 34 26 3 27 19 11 3 31 23 15 7 35 (a) Todas as casas ganharam um número? (b) O mesmo número pode ocupar duas casas? (c) Qual o mdc(4, 9)? 5. E se tentarmos com dois números que não sejam co-primos (isto é, com mdc 1)? Preencha a tabela abaixo, do mod 4 mod 6 com números inteiros de 0 a 23

122 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR mod6 0 1 2 3 4 5 mod4 0 1 2 3 mod6 0 1 2 3 4 5 mod4 0 12 8 20 4 16 1 1 13 9 21 5 17 2 6 18 2 14 10 22 3 7 19 3 15 11 23 (a) Todas as casas ganharam um número? (b) O mesmo número pode ocupar duas casas? (c) Qual o mdc(4, 6)? 6. Qual o número que fica na casa 2mod4e 4mod6? Observe que isso equivale a resolver um sistema: X 2mod4 X 4mod6

123 Podemos escrever: X 2=4Y X 4=6Z Ou melhor (subtraindo as equações membro a membro): 4Y 6Z =2 2Y 3Z =1 Dando a solução geral: Y =2+3t Z =1+2t, t Z. Escolhendo Y =2obteríamos X =10. Mas escolhendo Y =5 obteríamos X =22. As duas respostas estão no limite entre 0 e 23. 7. Por que algumas casas da tabela do mod 4 mod 6 não foram preenchidas? Por exemplo, qual o número que fica na casa 3mod4e 2mod6? Observe que isso equivale a resolver um sistema: X 3mod4 X 2mod6 Podemos escrever: X 3=4Y X 2=6Z Ou melhor (subtraindo as equações membro a membro): 4Y 6Z = 1 Como mdc(6, 4) = 2 a equação não tem solução e esta casa fica sem número.

124 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR 8. Preencha a tabela abaixo, do mod 6 mod 9, comnúmeros inteiros de 0 a 53 Antes de preencher, responda: (a) Qual o mdc(6, 9)? (b) Todas as casas ganharão um número? Quantos? Solução: A partir do mmc(6, 9) = 18 os números passam a ocupar casas já ocupadas. Assim: 0, 18 e 36 ocupam a mesma casa. 18 casas são ocupadas com (o mdc(6, 9) = 3) números cada e 36 casas permanecem vazias. (c) Um mesmo número ocupará duas casas? mod9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mod6 0 1 2 3 4 5 Você calculou a função φ para alguns números. Será que podemos obter outros valores a partir destes?

125 Tomeatabelado mod 4 mod 9 com números inteiros de 0 a 35. Qualseráovalordeφ(36)? mod9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mod4 0 0 28 20 12 4 32 24 16 8 1 9 1 29 21 13 5 33 25 17 2 18 10 2 30 22 14 6 34 26 3 27 19 11 3 31 23 15 7 35 Vamos riscar as linhas correspondentes aos números co-primos com 4 mod9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mod4 0 // 0 // 28 // 20 // 12 // 4 // 32 // 24 // 16 // 8 1 9 1 29 21 13 5 33 25 17 2 // 18 // 10 // 2 // 30 // 22 // 14 // 6 // 34 // 26 3 27 19 11 3 31 23 15 7 35 Observe que todos os números riscados são não co-primos com 36. Vamos riscar as colunas(voce adivinhou) correspondentes aos números não co-primos com 9.

126 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR mod9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 mod4 0 // 0 // 28 // 20 // 12 // 4 // 32 // 24 // 16 // 8 1 // 9 1 29 // 21 13 5 // 33 25 17 2 // 18 // 10 // 2 // 30 // 22 // 14 // 6 // 34 // 26 3 // 27 19 11 // 3 31 23 // 15 7 35 E agora só sobraram os números que são co-primos com 36. O número de linhas que sobrou é igual a φ(4) e o número de colunas que sobrou é igual a φ(9). Como cada casa tem apenas um número, podemos concluir que φ(4) φ(9) = φ(36). De fato, os números naturais menores que 36 e co-primos com ele são 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35 φ(4) = 2 φ(9) = 6 φ(36) = 12 Esse processo pode ser repetido sempre que os números em questão sejam co-primos (primos entre si). Temos um caso particular da seguinte propriedade: Propriedade: Se a e b são numeros naturais e mdc(a, b) =1então φ(a b) =φ(a) φ(b)

127 Exemplo: Determine (usando a propriedade anterior): 1. φ(21) = 2. φ(42) = 3. φ(35) = 4. φ(63) = 5. φ(72) = 6. φ(60) = 7. φ(84) = 8. φ(1260) = Solução: 1. φ(21) = φ(3)φ(7) = 2 6=12 2. φ(42) = φ(6)φ(7) = 2 6=12 3. φ(35) = φ(5)φ(7) = 4 6=24 4. φ(63) = φ(7)φ(9) = 6 6=36 5. φ(72) = φ(8)φ(12) = 4 4=16 6. φ(60) = φ(5)φ(12) = 4 4=16 7. φ(84) = φ(7)φ(12) = 6 4=24 8. φ(1260) = φ(35)φ(36) = φ(35)φ(4)φ(9) = 24 2 6 = 288

128 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR Exercício: Mostre que a fórmula da multiplicação não vale se os números não forem co-primos. Dê pelo menos 3 exemplos. φ(4) φ(6) = 4 mas φ(24) = 8

Apêndice A Para saber mais Para saber mais, você pode consultar os artigos da Revista do Professor de Matemática, editada pela SBM - o número da revista onde o artigo pode ser encontrado está assinalado. Sobre critérios de divisibilidade Carmen M. G. Taboas N.06 Sobre o processo de divisão de inteiros Jaime M. Cardoso N.08 Restos, congruência e divisibilidade Luiz R. Dante N.10 Outros critérios de divisibilidade Mário G. P. Guedes N.12 Um método para o cálculo do mdc e do mmc Roberto R. Paterlini N.13 A prova dos noves Flávio W. Rodrigues N.14 Divisores, múltiplos e decomposição em fatores primos Paulo Argolo N.20 130

131 Congruência, divisibilidade e adivinhações Benedito T. V. Freire N.22 Uma interpretação geométrica do mdc Zelci C. de Oliveira N.29 A escolha do goleiro e o resto de uma divisão Claudio Arconcher N.30 Dispositivo prático para expressar o mdc de dois números como combinação linear deles José P. Q. Carneiro N.37 2 3=0? Cristina Ochoviet N.41 Divisibilidade por 7 Arnaldo Umbelino Jr. N.43 A prova dos onze Eric C.B. Guedes N.44 Os primos esquecidos Chico Nery e Claudio Possani N.47 Uma demonstração de Euclides Arthur Almeida N.49 Um exemplo de situação problema: O problema do bilhar Marcelo Câmara dos Santos N.50 Um resultado recente: um algoritmo rápido para detectar números primos Ricardo Bianconi N.50