O Experimento da Queda de Corpos Problema Se dois objetos de massas diferentes são abandonados de umatorre, qual objeto aterrissaria primeiro? O tamanho do objeto importa? E quanto à densidade? Importa se eles caem no vácuo ou no ar (ou na água? O quão grande é a diferença? O que acontece se os dois objetos caem no vácuo? O que afeta a velocidade na qual os objetos caem? Qual cai mais rápido na água: uma pedra de granito de 15 kg ou um saco grande (800 kg de areia? Tente soltá-los de uma altura de 10m e depois de 30 m. A resposta é surpreendente. Abaixo temos duas visões históricas desse assunto: Aristóteles, um filósofo grego, um estudante de Platão e professor de Alexandre o Grego, afirmou que objetos mais pesados caem mais rápido que os mais leves, e além disso que sua taxa de queda era proporcional ao peso e inversamente proporcional à densidade do meio. Galileo, um físico, matemático, astrônomo, e filósofo italino, afirmou que objetos de diferentes pesos caem a uma mesma velocidade se desconsiderarmos a resistência do ar.
Use a seguinte demonstração para checar qual das duas esferas cai mais rápido. Defina a altura na qual as esferas serão abandonadas usando o deslizador. Escolha entre as duas esferas e o fluido ao redor delas usando o botão rádio. Para cada esfera, escolha o material do qual ela é composta, ou defina sua densidade manualmente usando o deslizador. Defina seu raio usando também o deslizador. Para o fluido ao redor delas, escolha de qual substância ele é composto. Altura = 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Objeto 1 Objeto 2 Fluido ao redor Material = Air Densidade = 1.204 kg Soltar Densidade de materiais comuns ( / Hidrogêni o (Hydrogen 0.08988 Maçã (Apple Tijolo (Brick Cobre (Copper 8930 Hélio (Helium 0.1786 Etanol (Ethanol Concreto (Concrete 2000 Prata (Silver Ar Seco (Dry Air 1.2041 Gelo(Ice 920 Vidro (Glass 2600 Chumbo (Lead 11389 Penas (Feathers 16 Água (Water 1000 Granito (Granite 2691 Mercúrio (Mercury 13550
Isopor (Styrofoam 100 Água salgada (Salted Water 1030 Alumínio (Aluminiu m 2739 Ouro (Gold 19320 Madeira de balsas (Balsa wood 170 Nylon 1140 Diamante (Diamond 3520 Platina (Platinium 19770 Carvão (Charcoal Areia (Sand 1522 Ferro (Iron Ósmio (Osmium 22610 Nota: A densidade do gás é afetada pela temperatura e pressão. As densidades do hélio, hidrogênio, e do ar estão a temperatura e pressão padrão (20 C e 101.325 kpa. Explicação e conclusão Segunda Lei de Newton Conceito Principal A Segunda Lei de Newton afirma que a força resultante atuando em um objeto é igual ao produto de sua massa e de sua aceleração: onde é a força resultante que atua no objeto é a massa (inercial do objeto é sua aceleração Gravidade No vácuo, um objeto na superfície da terra acelera, para baixo, a g = 9.81 / devido à gravidade. Isso é conhecido como queda livre. A força da gravidade é dada por onde é a força gravitacional que atua no objeto é a massa (gravitacional do objeto é a aceleração da gravidade Se a gravidade é a única força atuante (, o objeto experimenta uma aceleração constante. Assumindo que o objeto foi solto do repouso, sua velocidade e distância percorridapodem ser determinadas através da integração:
onde a é a aceleração é a velocidade é a distância percorrida é o tempo decorrido Note que o movimento do objeto não é afetado pela sua massa, peso, densidade ou qualquer medida do seu tamanho. De fato, todos os objetos caem a uma mesma razão no vácuo contanto que a única força que está atuando neles seja a gravidade. Resistência do Ar Um objeto que cai na vida real está sujeito à resistência do ar. A resistência do ar é um tipo de arraste, a força friccional desacelerando um objeto que se move em um meio fluido. A fórmula do arraste é conhecida como a equação de arraste: onde é a densidade do fluido é a velocidade do objeto no fluido é o coeficiente de arraste é a área da seção transversal do objeto em um plano perpendicular ao movimento Note que para um objeto esférico feito de um material com com uma forma dada se movendo com uma velocidade dada, a força de arraste é proporcional à sua área, enquanto a massa inerte é proporcional ao seu volume. Pela Segunda Lei de Newton, a aceleração que um objeto experimenta devido à força de arraste é inversamente proporcional ao seu raio. Coeficiente de arraste O coeficiente de arraste é um número adimensional definido pela equação de arraste. Ele depende da forma do objeto e da natureza do fluido ao redor do objeto, em outras palavras, se o fluido flui suavemente ou turbulentamente. Em várias velocidades comuns, o coeficiente de arraste só depende do formato de um objeto: Formato Coeficiente de Arraste ( Esfera 0.47 Meia-Esfera 0.42 Cubo 1.05 Cilindro 0.82 Em velocidades pequenas com um fluxo suave, a viscosidade do fluido é mais importante e tende a
criar mais arraste do que em velocidades maiores. A natureza do fluido e a velocidade do fluxo são capturadas por outro número adimensional, o número de Reynolds : onde é a densidade do fluido é a velocidade do objeto através do fluido é a dimensão característica linear (diâmetro do objeto é a viscosidade (dinânima do fluido. Para uma dada forma do objeto, o coeficiente de arraste pode ser escrito como uma função do número de Reynolds. Particularmente para esferas, para pequenos valores de R,, o fluxo é aproximadamente suave (laminar; é grosseiramente. Para valores de R entre e, o fluxo é turbulento, e é grosseiramente constante em 0.47. Para valores de entre 10 e está entre 24 e 0.47. Para o essa demonstração, assum a seguinte função para : Lei de Stokes A Lei de Stokes, aplicável para fluxos laminares, expressa a força de arraste em uma esfera em termos da velocidade. Substituindo na equação de arraste e usando e, temos: Velocidade Terminal Enquanto um objeto cai, sua velocidade aumenta, e também a quantidade de arraste que ele experimenta. No limite, em uma certa velocidade chamada velocidade terminal, a força total de gravidade é balanceada exatamente com o arraste. A velocidade terminal pode ser determinada equacionando a força de arraste àa força gravitacional e solucionando para a velocidade. Se o fluxo é laminar, a velocidade terminal é : Se o fluxo é turbulento, a velocidade terminal é :
Equações de movimento As equações de movimento são encontradas estabelecendo e integrando: Fluxo Laminar: Fluxo turbulento: Empuxo Empuxo é a força, igual ao peso do fluido deslocado, que o fluido ao redor exerce em um objeto em virtude da diferença de pressão em vários pontos da superfície do objeto. O efeito do empuxo é equivalente ao aumento da massa inercial do objeto pela massa do fluido deslocado, e a diminuição da massa gravitacional do objeto pelo mesmo motivo. Para levar em conta o empuxo, na fórmula para a velocidade terminal, substitua por, e nas equações de movimento, substitua por. Note que, se, o objeto não se move, enquanto que se, o objeto move-se para cima (flutua.
Conclusão Em um vácuo na superfície da Terra, todos os objetos caem à mesma razão, sob a aceleração constante da gravidade, igual a 9.81 /. A afirmação de Galileo era correta, e em particular, a afirmação de Aristóteles de que a razão da queda de um objeto era proporcional ao peso era incorreta. Entretanto, no ar ou em qualquer outro meio fluido denso, objetos caem mais devagar por dois efeitos: a força de arraste exercida pelo meio no objeto, e o efeito do empuxo do meio. Devido à esses efeitos, objetos mais pesados realmente caem de algum modo mais rápido em um meio denso. Dados dois objetos de mesmo tamanho mas de diferentes materiais, o mais pesado (mais denso cairá mais rápido porque as forças de arraste e empuxo serão a mesma para ambos, mas a força gravitacional será maior para o objeto mais pesado. Além disso, dados dois objetos de mesmo formato e material, o mais pesado (maior cairá mais rápido porque a razão da força de arraste devido à força gravitacional diminui com o aumento do tamanho do objeto. No ar, entretanto, essas diferenças são bem pequenas para a maioria dos objetos, tornando notável somente para objetos de densidade relativamente baixa. Aristóteles estava correto em afirmar que objetos mais pesados caem mais rápidos (no ar ou em qualquer meio denso, mas sua afirmação de que a razão da queda de um objeto é proporcional ao seu peso era incorreta. Futuramente ele acertou em sugerir que a razão de queda era menor em um meio denso, mas sua afirmação de que a taxa de queda era inversamente proporcional à densidade do meio não era correta. Finalmente, se dois objetos possuem massas similares mas diferentes densidades e tamanhos, é possível que no início o mais denso cairá mais rápido, mas se ele é pequeno o suficiente, sua velocidade terminal será menor, permitindo ao objeto menos denso alcançá-lo.