Em cada caso, estamos interessados em achar a menor distância possível, por exemplo, de um dado ponto a cada ponto de um plano fixo.

Capítulo 4 distâncias em 3d Vamos aprender a calcular distâncias 1 de ponto a plano; 2 de ponto a reta; 3 de plano a plano; 4 de reta a plano e 5 de reta a reta Em cada caso, estamos interessados em achar a menor distância possível, por exemplo, de um dado ponto a cada ponto de um plano fixo 41 ponto a plano Sejam dados A(x 0, y 0, z 0 ) R 3 e o plano p := ax + by + cz = k Queremos calcular a menor distância possível de A a um ponto de p Tomamos um ponto fixo qualquer P (x 1, y 1, z 1 ) p Seria extrema coincidência ocorrer dist(a, P ) já ser a menor possível dentre todas as dist(a, P ) com P variando no plano p A experiência sugere que tal mínimo deve ocorrer exatamente quando calcularmos a distância de A à sua projeção ortogonal, A, sobre o referido plano Examinando o triângulo AP A, temos A A A P Isto confirma a suspeita de que a hipotenusa AP é maior do que o cateto A A Aproveitamos a mesma figura para receitar um modo de determinar A A, e por conseguinte, achar

44 distâncias em 3d tanto A como a distância procurada De fato, AA aparece como a projeção ortogonal de AP sobre a direção normal n = (a, b, c) do plano p Fig 41 distância de ponto a plano Vamos às contas, pois: dist(a, P ) = dist(a, A ) = AA = Proj n ( AP ) = P n ( AP ) n n A A(x 0, y 0, z 0 ) p := ax + by + cz = k = a(x 1 x 0 ) + b(y 1 y 0 ) + c(z 1 z 0 ) n = ax 0 + by 0 + cz 0 k a2 + b 2 + c 2 A simplificação feita na última passagem vem de que ax 1 + by 1 + cz 1 = k, já que o ponto P (x 1, y 1, z 1 ) pertence ao plano p (Leitor: compare com cap I, 112) Exemplo (1) É evidente que se o plano p for igual a um dos planos coordenados, ie, x = 0 ou y = 0 ou z = 0, a fórmula da distânca acima dá o que deve, a saber, o valor absoluto da coordenada correspondente, eg, x 0 no primeiro caso, etc (2) Determine a equação de um plano p paralelo ao plano x 2y + 2z = 1 cuja distância ao ponto (3,7,10) seja igual a 100 Ache também o ponto A p que realiza a distância Temos n=(1,-2,2) e o plano procurado tem equação da forma x 2y +2z = k, constante a determinar pela condição da distância exigida: 3 14 + 20 k /3 = 100 k = (2 soluções)

42 ponto a reta 45 Para encontrar A, percorremos a reta que passa por A na direção n, afastando-nos 100 unidades (novamente, há duas possibilidades, não é mesmo?) Por exemplo, uma escolha adequada é dada por A = A + 100 n = 3 (109/3, 179/3, 230/3) O denominador vem de onde? A outra solução é 42 ponto a reta A idéia é análoga à anterior; o procedimento é entretanto ligeiramente diverso Suporemos a reta dada na forma paramétrica, P t = P 0 + t v A distância mínima se realiza em um ponto A sobre a reta de modo que A A seja a v A(a 1, a 2, a 3 ) Fig 42 distância de ponto a reta A P 0 (x 1, x 2, x 3 ) Daí vem, como no caso plano, P 0 A = Proj v ( P 0 A); A = P 0 + ( ) P0 A v v v 2 A A = A A = P 0 A P 0 A dist(a, L) 2 = A A 2 = P 0 A 2 P 0 A 2 = P 0 A 2 = P 0 A 2 (triângulo retângulo) ( ( P0 A v ( v 2 ) ( ) P 0 A v) 2 v 2 ) 2 v Exemplo Calcule a distância de A(1, 2, 3) à reta que liga os pontos 0 e ( 1, 1, 1) Vetor diretor pode ser tomado v=(1,1,1) Fazemos P 0 = 0 e podemos

46 distâncias em 3d calcular a distância, dist(a, L) = ( P 0 A 2 ( ) ( ) P 0 A v) 2 = (1, 2, 3) 2 ((1,2,3) (1,1,1)) 2 v 2 (1,1,1) 2 = ( 14 (1 + 2 + 3) 2 /3 ) 1 2 = 2 43 plano a plano É claro que só tem graça se os planos forem paralelos Toma-se então um ponto arbitrário A em um deles e se calcula a distância de A ao outro plano Exemplo Dados os planos p := 2x 3y + z = 1 e p := αx + 6y + (1 β)z = 2, determine, se possível, valores para α,β que os tornem // e determine a distância entre eles O vetor normal de p deve ser múltiplo de n=(2,-3,1) Isto requer α = 2 2 = 1 β Logo, α=-4, β=3, ou seja, p := 4x + 6y 2z = 2 Um ponto de p pode ser tomado P (0, 0, 1) e um do primeiro plano A(0, 0, 1) Devemos calcular o comprimento da projeção Proj n ( AP ): ( AP ) n / n = (0, 0, 2) (2, 3, 1) / 4 + 9 + 1 = 2/ 14 44 reta a plano Cabem as mesmas considerações do caso anterior Para verificar agora se uma reta L := P 0 + t v e um plano p := n (x, y, z) = k são //, basta calcular v n Se der 0, ou bem L//p ou ainda L p (que pode ser pensado como um caso particular limite) Ocorrendo //, toma-se por fim um ponto, digamos A L e se calcula dist(l, p) = dist(a, p) Exemplo Dados o plano p := 2x 3y + z = 1 e a reta L que liga os pontos A(t, 2, 2), B(1, 3, t) determine, se possível, valores para t que torne L//p e determine a distância entre eles Um vetor diretor da reta é v = (1 t, 1, t 2) A condição L//p se expressa exigindo v n, ie, fazendo (1 t, 1, t 2) (2, 3, 1) = 0 Tiramos 2 2t 3 + t 2 = 0 t = 3 Agora a distância se calcula como dist(a, p) = (2, 3, 1) ( 3, 2, 2) 1 / 4 + 9 + 1 = 6 6 + 2 1 / 14

45 reta a reta 47 45 reta a reta É o caso geometricamente mais interessante A exemplo dos outros casos, a distância mínima entre duas retas L, L R 3 é realizada por um par de pontos A L, A L tais que AA seja tanto a L como a L Reveja a figura na página 40 Se não quisermos calcular explicitamente A, A, basta escolher arbitrariamente B L, B L e calcular o comprimento da projeção de BB sobre a direção normal comum ao par de retas Fig 43 distância entre 2 retas L v L A B A B L v L B n = v L v L Nesta figura, o plano indicado contém a reta L e é // L O triângulo BB B é retângulo em B (projeção de B sobre o plano) Vê-se portanto que B B é a projeção do vetor BB na direção normal comum às retas e realiza assim a menor distância Exemplo Calcular a distância entre as retas L := ( 1, 1, 3) + t(1, 1, 1), L := (2, 1, 1) + s(3, 2, 1) A direção normal comum é dada por n=(1,1,-1) (3,2,1) =(3,-4,-1) Agora basta calcular o comprimento, Proj n ( (2, 1, 1) ( 1, 1, 3) ) = (3, 4, 1) (3, 2, 2) / 9 + 16 + 1 = 3 / 26 Reexaminando a figura acima, notemos que o plano do retângulo A B B A contém a reta L e é // à direção de A A; além disso, este plano auxiliar intercepta a reta L no ponto indicado por A Esta observação permite o cálculo do ponto A (e por analogia, também do ponto A ): construa o plano p

48 distâncias em 3d que contém L e é // n, e intercepte-o com a reta L Para achar a equação de p, observe que seu vetor normal n é v L e também n Ou seja, devemos fazer n = v L n Acompanhe o cálculo feito para o exemplo acima Inicialmente, calcule n = (3, 2, 1) (3, 4, 1) = (2, 6, 18); este pode ser simplificado para o vetor paralelo (1,3,-9) Temos assim p := (1, 3, 9) (x, y, z) = (1, 3, 9) (2, 1, 1), ou seja, p := x + 3y 9z = 4 A interseção com L se acha substituindo (x, y, z) = ( 1, 1, 3) + t(1, 1, 1) em p e resolvendo para t Achamos ( 1 + t) + 3( 1 + t) 9(3 t) = 13t 31 = 4 t = 27 13 O ponto A é calculado por ( 1, 1, 3) + 27 1 (1, 1, 1) = (14, 14, 12) 13 13 O ponto A pode ser encontrado de forma análoga, mas aqui vai uma variante, que serve ao mesmo tempo como verificação de possíveis erros de cálculo De posse do ponto A, podemos olhar a reta M := A + s n e interceptá-la com a reta L A maneira mais cômoda de fazer isso, é substituir M na equação de um plano contendo L, distinto de p (pois este último já contém M) Podemos tomar, por exemplo, o plano com normal (0,1,-2) (judiciosamente escolhido v L ) e passando por (2,1,1): y 2z = 1 Substituindo aí (x, y, z) = 1 (14, 14, 12) + s(3, 4, 1), 13 achamos s = 3/26 e A = (37/26, 8/13, 21/26) Recalcule dist(a, A ) 46 exercícios distantes 41 ) Considere o plano π : 3x + 6y + 4z 12 = 0 Determine a projeção ortogonal da origem sobre π Calcule a distância da origem a π 42 ) Determine a distância do ponto P (1, 2, 1) à reta l : x = 3t + 1, y = 4t + 2, z = 3 (t R) Idem para a distância do ponto P (1, 2, 1) ao plano x = 2t + s 4, y = t, z = s, onde t R e s R 43 ) Seja l 1 a reta que passa pelos pontos A( 2, 3, 2) e B(2, 1, 0) e l 2 a reta obtida pela interseção dos planos π 1 : x y z = 3, e π 2 : x 2y = 0 Mostre que l 1 e l 2 são reversas Calcule a distância entre elas

46 exercícios distantes 49 44 ) Um tetraedro regular está situado no primeiro octante e tem três vértices iguais a (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) Encontre o quarto vértice 45 ) Dado um tetraedro regular ABCD, calcule o ângulo entre a aresta AB e a aresta oposta CD; idem para AB e a reta que liga os pontos médios M AB, M CD dessas arestas Os pontos médios M AB, M AC, M CB são vértices da base de outro tetraedro exterior a ABCD; determine o 4 o vértice Se voce dispuser de um computador e tiver interesse, tente iterar o processo, justapondo a cada face externa um novo tetraedro um certo número de vezes; deve ser produzido um cristal (fractal?!) interessante A? C B Fig 44 cristal de tetraedros D 46 ) Dados dois pontos distintos A e B, obtenha a equação cartesiana do lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes de A e B Verifique, usando a equação obtida, que L é o plano perpendicular à reta que passa por A e B contendo o ponto médio do segmento AB 47 ) Dados três pontos não colineares A, B e C, determine o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes de A, B e C Mostre que L é uma reta, perpendicular ao plano π de A, B e C Determine a interseção de L com π 48 ) Os aeroportos de (P)ongonhas e (F)ubica distam 18Km Do projeto genial resultaram pistas de decolagem cujos prolongamentos se cruzam num ponto O tal que o triângulo POF é equilátero Os controladores de vôo determinaram que na decolagem de P o avião passe sobre O a 2Km de altitude e, na de F, a 3Km Sabe-se que a margem segura de afastamento entre aeronaves é 992m Você deixaria a sua mãe embarcar? (Use, se necessário, 2 14, 3 17, 5 22, 10 31)