1.1. REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR

SUMÁRIO 1. VETORES 3 1.1. REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR 3 1.2. OPERAÇÕES COM VETORES 6 2. LEITURA OPCIONAL 11 3. CINEMÁTICA VETORIAL 15 3.1. DESLOCAMENTO 15 3.2. DESLOCAMENTO ESCALAR 16 3.3. DESLOCAMENTO VETORIAL 16 4. VELOCIDADE MÉDIA 17 4.1. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 17 4.2. VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA 17 5. ACELERAÇÃO 17 5.1. ACELERAÇÃO ESCALAR 17 5.2. ACELERAÇÃO VETORIAL 18 EXERCÍCIOS DE COMBATE 19 GABARITO 33 2

CINEMÁTICA VETORIAL Nesse módulo estudaremos as grandezas deslocamento, velocidade e aceleração, dando a elas o tratamento vetorial e diferenciando do tratamento escalar. Para isso temos que, inicialmente, estudar vetores e as suas operações básicas. 1. VETORES Os vetores são entes matemáticos compostos de módulo, direção e sentido. Módulo é o seu tamanho (medida de comprimento do vetor), direção pode ser horizontal, vertical, e sentido, direita, esquerda, norte, sul. Com essas três informações, temos um vetor. As grandezas físicas podem ser vetoriais ou escalares. As vetoriais precisam de todas essas informações, como: velocidade, aceleração, força, torque, entre outras. Já as escalares, só precisam de um número, como: energia, temperatura, calor, trabalho e etc. 1.1. REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR Além do módulo do vetor, que é o seu tamanho, temos que colocar a sua direção e o seu sentido. Para isso, vamos usar os vetor unitário, cujo módulo é 1, e indicará a sua direção. É representado pelo sinal circunflexo. O sentido virá pelo sinal. Vetor unitário na direção x Vetor unitário na direção y Vetor unitário na direção z î : horizontal para direita ĵ : vertical para cima ˆk : saindo do papel î : horizontal para direita ˆ j: vertical para baixo k : entrando do papel VETOR UNITÁRIO Onde v é o módulo de vetor v. u v v v v v v 2 2 2 x y z 3

Outra maneira de se representar um vetor, bastante usada na física, é a representação cartesiana. Por exemplo: v 2i ˆ 5kˆ É equivalente a: v 2, 0, 5 Além dessas duas representações, podemos usar os próprios eixos cartesianos, por exemplo, e representá-lo graficamente. z x y 4

EXEMPLOS: 1) Na figura abaixo temos um lançamento oblíquo. a) Qual é o vetor velocidade do projétil no instante inicial? b) Qual é o vetor velocidade do projétil em um instante de tempo t qualquer, sendo t menor que o tempo total do movimento? c) Qual é o vetor aceleração que o projétil está submetido? RESOLUÇÃO: ˆv (v cosα)i ˆ (v senα)j ˆ a) 0 0 ˆv (v cosα)i ˆ (v senα gt)j ˆ b) 0 0 c) a gj ˆ 2) Qual é o vetor unitário na direção do vetor v = (1, 2, 4)? RESOLUÇÃO: v (1, 2,4) 1 2 4 û,, v 2 2 2 1 2 4 21 21 21 5

1.2. OPERAÇÕES COM VETORES a) SOMA No exemplo do lançamento oblíquo temos que os vetores v 0x (v cosα)i ˆ e v 0y (v senα)j ˆ são as projeções 0 0 ou decomposições do vetor na direções horizontal e vertical. Como a soma das decomposições é o próprio vetor, temos que:. v0x v0y v0 Usando Pitágoras, poderemos achar o módulo do vetor soma: 2 2 2 2 v0 v0 y 0 0 nα) v0 x (v cosα) (v se Abaixo temos a representação geométrica do vetor soma a b. Transladando o vetor b após o a e transladando o a após o b, esses vetores arrastados se encontrarão em um ponto. Da origem dos vetores até esse ponto, teremos o vetor soma. Essa é a regra do paralelogramo. Usando a Lei dos Cossenos: 2 2 ab a b 2 a b cos Onde é o ângulo entre os vetores a e b. 6

EXEMPLO: Qual a soma dos vetores abaixo, ou seja, qual o vetor resultante? RESOLUÇÃO: Veja que: a 0, 6 ; b 4, 2 ; c 10,0 ; d 0,3 ; e 6,9 Fazendo s a b c d e Teremos: s 0 4 10 0 6, 6 2 0 3 9 (8,4) 7

A soma é um vetor que parte da origem e ocupa 8 quadrados na horizontal e 4 na vertical, como a figura abaixo: Note que a b c d e s 0 Conhecida como regra do polígono. a) SUBTRAÇÃO Na figura abaixo temos a representação geométrica do vetor diferença a b. Para facilitar a visualização, vamos chamar o vetor a de A O e o vetor b de B O. Então: ab A O B O A B 8

Ou seja, o vetor diferença começa em B e termina em A. Se fosse b a seria B A, ou seja, apontaria para o sentido oposto ao a b. Logo: ab b a EXEMPLO 1: A posição inicial de uma partícula é (0,0,2) m e a posição final é (2,0,0) m. Qual é o vetor deslocamento e qual o valor de seu módulo? RESOLUÇÃO: ˆ ˆ S 2,0,0 0,0,2 2,0, 2 m ou (2i 2k)m e: S 2 2 2 ( 2) 2 2m EXEMPLO 2: Mais para frente usaremos subtração vetorial para resolvermos exercícios que envolvem a grandeza vetorial momento linear ou quantidade de movimento p : p mv Onde m é a massa do móvel e v o seu vetor velocidade. v 108,0 km /h Vamos supor que uma bolinha de tênis, de 50 g, bate em uma parede com uma velocidade 0 e retorna com a mesma velocidade, em módulo. Qual é o módulo do vetor variação da quantidade de movimento p? 9

RESOLUÇÃO: Se retorna com a mesma velocidade, em módulo, podemos inferir que o vetor velocidade final vale: 108,0 Km 30,0 m v v v v0 30,0 30,0 60,0 m / s h s Então: p mv 0,05 60,0 ( 3,0)Kgm / s p 3Kgm / s Note que, quando temos vetores em sentidos opostos, o módulo do vetor subtração será a soma de seus módulos. O vetor 2i ˆ 2k ˆ pode ser escrito da seguinte forma: 2ˆi k ˆ. Quando multiplicamos um vetor por um escalar (número), todas as componentes são multiplicadas pelo escalar: v αuv (αu, αu, αu ) x y z EXEMPLO: Sabendo-se que o vetor força elétrica F E é o produto entre a carga (q) de uma partícula e o campo elétrico E que ela está submetida, qual é o vetor força elétrica que uma partícula de carga 2 μc sofre quando está em uma região cujo campo elétrico vale (10 3, 0, 0) N/C? RESOLUÇÃO: 3 3 E F q. E 2 10,0,0 2. 10,0,0 N Ou seja, seu módulo vale 2. 10 3, atua na direção horizontal e aponta para a direita. A unidade da grandeza força é N (Newton). 10

μ (micro) significa 10 6. Ex.: 1 μm = 10 6 m. 2. LEITURA OPCIONAL A partir daqui o estudante irá ter contato com produto entre vetores. A leitura pode ser útil para entender com maior clareza conteúdos posteriores, como, por exemplo, as grandezas trabalho e torque. a) PRODUTO VETORIAL Várias grandezas físicas vetoriais são produtos vetoriais de outras grandezas vetoriais, por exemplo, força magnética F : M FM q v x B Onde q é a carga da partícula, v é o vetor velocidade da partícula que sofre a força magnética e B é o vetor campo magnético na região onde a partícula está se movimentando. OBS 1.: O produto de dois vetores dará um terceiro vetor, perpendicular aos outros dois. EXEMPLO 1: 6 Uma partícula de carga q = 5 μc e velocidade v 2. 10,0,0 m/s penetra em uma região de campo magnético B 0, 1,0 T. Qual é o vetor força magnética que a partícula está submetido? 11

RESOLUÇÃO: M 6 F q v x B 5 2.10,0,0 x 0, 1,0 Para resolvermos esse produto vetorial v x B, vamos colocar os vetores sob forma de matriz: ˆi ˆj kˆ 0 1 0 6 2. 10 0 0 O produto vetorial é o determinante da matriz: ˆi ˆj kˆ 6 2. 10 0 6 0 2. 10 kˆ 0 1 0 Então: 6 FM 5μ 2. 10 10kN ˆk ˆ Significa que a magnitude da força magnética é 10 N e aponta para dentro da folha do exercício. Veja que esse vetor é perpendicular ao vetor velocidade, que é horizontal, e ao vetor campo, que é vertical. Mais para frente, na Física 2, no capítulo de força magnética, vamos aprender um método mais simples para descobrirmos desse produto vetorial, conhecido como regra da mão direita / esquerda. OBS 2.: O produto vetorial é zero quando os dois vetores atuam na mesma direção, ou seja, são colineares e é máximo quando os vetores são ortogonais. EXEMPLO 2: Qual o produto vetorial entre os vetores u a, b, c e v d, e, f? 12

RESOLUÇÃO: ˆi ˆj kˆ u x v a b c bfi ˆ cdj ˆ aekˆ bdkˆ cei ˆ afj ˆ (bf ce, cd af, ae bd) d e f Note que, no produto vetorial, na direção î, não aparecem a e d, na direção ĵ, não aparecem b e e, e na direção ˆk não aprecem c e f, devido ao fato de o produto ser ortogonal aos vetores da operação. OBS 3.: O produto u x v v x u. ˆi ˆj kˆ v x u d e f ceˆi afˆj bdkˆ aekˆ bfˆi cdˆj ce bf,af cd,bd ae ux v a b c OBS 4.: O módulo do produto vetorial pode ser escrito como u x v u v sen, onde é o ângulo entre os vetores. Vamos voltar ao exemplo da força magnética: 2 6 FM q v x B 5μ 2. 10. 1. sen 10N ESCALAR Várias grandezas físicas são escalares, oriundas de produto escalar entre duas grandezas vetoriais. Por exemplo, trabalho : F. S Onde F é a força aplicada no corpo e S, como já sabemos, é o vetor deslocamento do corpo. 13

OBS 1.: O produto escalar entre dois vetores colineares é o produto de seus módulos. Sendo assim: ˆi. ˆi ˆj. ˆj k ˆ. kˆ 1 OBS 2.: O produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero. Sendo assim: ˆi. ˆj ˆi. kˆˆ j. kˆ 0 Generalizando: (a, b). (c, d) = ac + bd OBS 3.: Perceba que o produto escalar é comutativo: (c, d). (a, b) = ca + db = (a, b). (c, d) Logo: u. v v. u EXEMPLO: Uma caixa está apoiada em um piso horizontal e liso, em repouso. Ao sofre a atuação da força sofrendo um deslocamento F 10, 10, 0 N, trabalho realizado por essa força? S 20,0,0 m, após um intervalo de tempo qualquer. Qual é o RESOLUÇÃO: F. S 10, 10, 0. 20, 0, 0 200 10. 0, 200J Mais tarde iremos estudar essa grandeza com mais detalhes. Podemos adiantar um pouco, e perceber que só há trabalho a força e o deslocamento estão na mesma direção. A componente na direção ĵ não realiza trabalho (não fez nenhuma diferença no nosso exercício, pois não houve deslocamento nessa direção). 14

OBS 4.: O produto escalar pode ser escrito como u. v u v cos, onde é o ângulo entre os vetores. No exemplo anterior: F. S cosα 10 2 10 2. 20. cos / 4 200 2 2 200J 2 Na figura acima temos a representação gráfica do vetor força. Veja que o ângulo entre o vetor e a horizontal, que é a direção do vetor deslocamento, vale /4 rad. Após essa primeira etapa, podemos estudar cinemática vetorial. 3. CINEMÁTICA VETORIAL 3.1. DESLOCAMENTO Veja a figura abaixo: Quando um móvel realiza uma curva de A para B, o seu deslocamento escalar (ΔS) é o tamanho da curva. Já o 15

deslocamento vetorial S é o módulo do vetor deslocamento. Nesse caso: 3.2. DESLOCAMENTO ESCALAR R S 2 3.3. DESLOCAMENTO VETORIAL Podemos achar o módulo do vetor de duas maneiras: 1ª: ANALITICAMENTE: Vetor posição inicial S : S 0, R 0 0 Vetor posição final S : S R, 0 0 S S S R, 0 0, R R, R S R 2 2ª: GEOMETRICAMENTE: Como o vetor posição inicia-se em A e termina em B, podemos perceber que é a hipotenusa de um triângulo isósceles cujos lados iguais valem R, ou seja, seu módulo é R 2 O deslocamento vetorial é menor ou igual ao escalar for unidirecional, como comentado no 1º módulo. S S. Será igual se o movimento 16

4. VELOCIDADE MÉDIA A velocidade escalar média v m, é o deslocamento escalar realizado pelo móvel em um intervalo de tempo. Já a velocidade vetorial média v m é o deslocamento vetorial em um intervalo de tempo. Continuando com o exemplo acima: 4.1. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA v m S R t 2t 4.2. VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA v m S R 2 t t 5. ACELERAÇÃO Analogamente aos anteriores, a aceleração escalar (a) é a velocidade escalar média do móvel em um intervalo de tempo. Já a aceleração vetorial a é o vetor variação de velocidade em um intervalo de tempo. Temos, no nosso exemplo: 5.1. ACELERAÇÃO ESCALAR Nesse exemplo, temos que lembrar que, em uma curva, o móvel pode sofrer aceleração centrípeta e tangencial. Como a velocidade escalar é constante, não há aceleração escalar (tangencial). O fato de ser uma curva garante que o vetor velocidade (direção e sentido) muda, logo, há aceleração, a centrípeta (v 2 /R). atg 0 17

5.2. ACELERAÇÃO VETORIAL No ponto A o vetor velocidade aponta para a direita: A v v, 0 Já em B, é aponta para baixo: vb 0, v Logo: v v 2 v vb va 0, v v,0 v, v v v 2 a v t Onde v é a velocidade escalar do móvel. 18

1. (G1 - IFCE 2014) Se cada quadrado, na figura abaixo, tem lado 1, é correto afirmar-se que o vetor resultante mede a) 20. b) 20 2. c) 5 2. d) 10 2. e) 10. 2. (G1 - IFCE 2014) Suponha dois vetores que representam forças cujos módulos são de 12 N e 16 N e que o ângulo entre eles é de 60. O módulo do vetor resultante do produto vetorial entre estes dois vetores é, aproximadamente, (Considere sen(60 ) = 0,87 e cos(60 ) = 0,50) a) 20 N. b) 28 N. c) 96 N. d) 167 N. e) 192 N. 19

3. (AFA 2013) Sejam três vetores A, B e C. Os módulos dos vetores A e B são, respectivamente, 6u e 8u. O módulo do vetor S A B vale 10u, já o módulo do vetor D A C é nulo. Sendo o vetor R B C, tem-se que o módulo de F S R é igual a a) 16u b) 10u c) 8u d) 6u 4. (AFA 2012) Os vetores A e B, na figura abaixo, representam, respectivamente, a velocidade do vento e a velocidade de um avião em pleno voo, ambas medidas em relação ao solo. Sabendo-se que o movimento resultante do avião acontece em uma direção perpendicular à direção da velocidade do vento, tem-se que o cosseno do ângulo entre os vetores velocidades A e B vale a) b) B A A B c) A B d) A B 20

5. (G1 - IFPE 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j e B 1.i 1. j, em que i e j são vetores unitários? a) b) c) d) e) 0 2 10 10 2 2 10 10 2 6. (EPCAR (AFA) 2011) Considere que dois vetores A e B fazem entre si um ângulo de 60, quando têm suas origens sobre um ponto em comum. Além disso, considere também, que o módulo de B é duas vezes maior que o de A, ou seja, B 2A. Sendo o vetor soma S A B e o vetor diferença D A B, a razão entre os módulos S D vale a) b) 1 21 3 c) 7 d) 3 21

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um objeto é lançado da superfície da Terra verticalmente para cima e atinge a altura de 7,2m. (Considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 2 10 m/ s e despreze a resistência do ar.) 7. (UFRGS 2011) Sobre o movimento do objeto, são feitas as seguintes afirmações. I. Durante a subida, os vetores velocidade e aceleração têm sentidos opostos. II. No ponto mais alto da trajetória, os vetores velocidade e aceleração são nulos. III. Durante a descida, os vetores velocidade e aceleração têm mesmo sentido. Quais estão corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas Ie III. e) Apenas II e III. 8. (G1 - CFTMG 2010) Considere os vetores A e B desenhados abaixo. A operação vetorial A - B está melhor representada pelo segmento orientado de reta em a) b) c) d) 22

9. (UEG 2009) Na figura a seguir, estão representados dois vetores ( a e b ) e dois vetores unitários (ˆ ˆ i e j ). Vetores unitários são vetores de módulo unitário e podem ser obtidos dividindo o próprio vetor pelo seu módulo. Assim, um vetor unitário na direção do vetor a é calculado como â = a a. Considerando as informações contidas no gráfico, responda ao que se pede: a) Escreva os vetores a e b em termos dos vetores unitários ˆ ˆ i e j. b) Obtenha o vetor soma ( s = a + b )em termos dos vetores unitários ˆ ˆ i e j. c) Represente o vetor s no plano xy indicado na figura. d) Graficamente, o vetor s obedece à regra do paralelogramo? Justifique. 10. (UEG 2008) Considerando que os vetores A, B e C satisfazem à equação vetorial A + B = C e seus módulos estão relacionados pela equação escalar A + B = C, responda ao que se pede. a) Como está orientado o vetor A em relação ao vetor B? Justifique o seu raciocínio. b) Considere agora que a relação entre os seus módulos seja dada por A 2 + B 2 = C 2. Qual seria a nova orientação do vetor B em relação ao vetor A? Justifique seu raciocínio. 23

11. (UFMG 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de mesmo módulo, como representado na figura: Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II, medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor a) P. b) Q. c) R. d) S. 12. (UFPB 2007) Dois corpos, A e B, de massas m A = 3 kg e m B = 2 kg, respectivamente, deslocam-se sem atrito sobre um plano horizontal. Inicialmente, seus vetores velocidade são v A = 3i + 2j e v B = -2i + 3j, onde i e j são, respectivamente, os vetores unitários, nas direções x e y, de um sistema cartesiano sobre o plano. Os valores das componentes são dados em m/s. Em um dado instante, os corpos colidem e o corpo A tem sua velocidade alterada para v' A = i + 3j. Nessas circunstâncias, o novo vetor velocidade do corpo B é: a) v' B = 1,5i + 2j b) v' B = i + 2j c) v' B = 2i + 1,5j d) v' B = i + 1,5j e) v' B = 1,5i - 2j 24

13. (G1 - cftce 2007) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e a) zero b) 20 c) 1 d) 2 e) 52 14. (Ufpb 2007) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados de I a IV. Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = A - B são apenas: a) I e III b) II e IV c) II e III d) III e IV e) I e IV 25

15. (Ufc 2006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA - DE + CB = BA + CD d) EA - CB + DE = BA - CD e) BA - DE - CB = EA + CD 16. (Unesp 2003) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d 1 e d 2 ilustrados na figura. Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é a) 4 km. b) 8 km. c) 2 19 km. d) 8 3 km. e) 16 km. 26

17. (UNIFESP 2002) Na figura, são dados os vetores a, e v. Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor g = a - + v tem módulo a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita. d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45 com a horizontal, no sentido horário. e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45 com a horizontal, no sentido anti-horário. 18. (UFRGS 2014) Um móvel percorre uma trajetória fechada, representada na figura abaixo, no sentido antihorário. Ao passar pela posição P, o móvel está freando. Assinale a alternativa que melhor indica, nessa posição, a orientação do vetor aceleração total do móvel. a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 27

19. (MACKENZIE 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160 km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de a) 320 km/h b) 480 km/h c) 540 km/h d) 640 km/h e) 800 km/h 20. (UESC 2011) Considere um móvel que percorre a metade de uma pista circular de raio igual a 10,0m em 10,0s. Adotando-se 2 como sendo 1,4 e igual a 3, é correto afirmar: a) O espaço percorrido pelo móvel é igual a 60,0m. b) O deslocamento vetorial do móvel tem módulo igual a 10,0m. c) A velocidade vetorial média do móvel tem módulo igual a 2,0m/s. d) O módulo da velocidade escalar média do móvel é igual a 1,5m/s. e) A velocidade vetorial média e a velocidade escalar média do móvel têm a mesma intensidade. 21. (UEPG 2011) Um projétil quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado obliquamente, assinale o que for correto. 01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são respectivamente dadas por V x = V 0.cos e V y = V 0. sen gt 02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por, x = V 0. cos t e y = V 0. sen 1 2 gt2 04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de lançamento. V 0.sen 08) O tempo que o projétil permanece no ar é t 2 g 28

16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um movimento uniforme na direção horizontal. 22. (ITA 2009) Na figura, um ciclista percorre o trecho AB com velocidade escalar média de 22,5 km/h e, em seguida, o trecho BC de 3,00 km de extensão. No retorno, ao passar em B, verifica ser de 20,0 km/h sua velocidade escalar média no percurso então percorrido, ABCB. Finalmente, ele chega em A perfazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00 h, com velocidade escalar média de 24,0 km/h. Assinale o módulo v do vetor velocidade média referente ao percurso ABCB. a) v = 12,0 km/h b) v = 12,00 km/h c) v = 20,0 km/h d) v = 20, 00 km/h e) v = 36, 0 km/h 23. (ITA 2007) A figura mostra uma pista de corrida A B C D E F, com seus trechos retilíneos e circulares percorridos por um atleta desde o ponto A, de onde parte do repouso, até a chegada em F, onde para. Os trechos BC, CD e DE são percorridos com a mesma velocidade de módulo constante. Considere as seguintes afirmações: 29

I. O movimento do atleta é acelerado nos trechos AB, BC, DE e EF. II. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é o mesmo nos trechos AB e EF. III. O sentido da aceleração vetorial média do movimento do atleta é para sudeste no trecho BC, e, para sudoeste, no DE. Então, está(ão) correta(s) a) apenas a I. b) apenas a I e ll. c) apenas a I e III. d) apenas a ll e III. e) todas. 24. (UNIFESP 2007) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s. O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s 2, é a) zero. b) 1,5. c) 3,0. d) 4,5. e) impossível de ser calculado. 25. (PUCPR 2004) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como mostra a figura: Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as afirmações: 30

I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h. II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B. III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m. IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h. Estão corretas: a) I e III. b) I e IV. c) III e IV. d) I e II. e) II e III. 26. (G1 - cftce 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é: 1 a) 3 2 b) 3 c) 1 3 d) 2 e) 2 31

27. (UERJ 2003) A velocidade vetorial média de um carro de Fórmula 1, em uma volta completa do circuito, corresponde a: a) 0 b) 24 c) 191 d) 240 28. (FATEC 2003) Num certo instante, estão representadas a aceleração e a velocidade vetoriais de uma partícula. Os módulos dessas grandezas estão também indicados na figura. Dados: sen 60 = 0,87 cos 60 = 0,50 No instante considerado, o módulo da aceleração escalar, em m/s 2, e o raio de curvatura, em metros, são, respectivamente, a) 3,5 e 25 b) 2,0 e 2,8 c) 4,0 e 36 d) 2,0 e 29 e) 4,0 e 58 32

1. RESPOSTA: C 2. RESPOSTA: D 3. RESPOSTA: A 4. RESPOSTA: B 5. 2 10 6. RESPOSTA: A 7. RESPOSTA: D 8. RESPOSTA: D 9. a) O vetor a é quatro unidades para a direita (+ i ) e três unidades para cima ( j ). O vetor b é três unidades para esquerda (- i ) e duas unidades para cima ( j ). Assim: b) Fazendo a soma: ( a 4i ˆ 3j ˆ) cm e (b 3i 2 j ) cm. 33

a 4 i 3 j b 3i 2 j s a b (4i ˆ 3j) ˆ ( 3i ˆ 2j) ˆ (s ˆi 5 j) cm. c) d) Sim. Basta observarmos a figura para constarmos que o vetor S é uma unidade para a direita e cinco unidades para cima, ou seja: s i 4 j Portanto, o vetor s obedece à regra do paralelogramo. 10. a) O vetor A está orientado na mesma direção e sentido do vetor B, ou seja, os vetores A e B são paralelos. Quando os vetores se encontram na mesma direção e sentido, o módulo do vetor resultante (C) é obtido somando-se os seus módulos, ou seja, C = A + B. b) O vetor B está orientado em uma direção perpendicular ao vetor A. Quando os vetores são perpendiculares, a soma dos quadrados dos seus módulos é igual ao quadrado do módulo do vetor resultante, ou seja, C 2 = A 2 + B 2. 11. RESPOSTA: C 12. RESPOSTA: D 13. RESPOSTA: E 14. RESPOSTA: B 15. RESPOSTA: D 16. RESPOSTA: C 34

17. RESPOSTA: B 18. RESPOSTA: D 19. RESPOSTA: E 20. RESPOSTA: C 21. 29 22. RESPOSTA: A 23. RESPOSTA: E 24. RESPOSTA: D 25. RESPOSTA: A 26. RESPOSTA: D 27. RESPOSTA: A 28. RESPOSTA: D 35