Aula n ọ 05 A conta do 11 Para multiplicar um número de dois algarismos por 11, podemos fazê-lo assim: conservamos a unidade na unidade do resultado; a dezena na centena do resultado; e a dezena do resultado como a soma dos algarismos da unidade com a dezena do número dado. Veja o exemplo: 35. 11 = 3... 5 3 + 5 = 8 Logo, 35. 11 = 385 Como você poderia estabelecer o produto de um número de três algarismos abc por 11. 01. Qual seria o algarismo da centena? a) a + b b) a. b c) a + b+ c d) b + c e) ab + ac 03. Na matemática podemos estabelecer fórmulas para números inteiros, assim, por exemplo, A fórmula de um número par é dado por 2k, k Z pois se k for 1 ou 2 ou 3 ou e, assim por diante, obtemos um resultado que é número par. A fórmula de um número múltiplo de 3 é dado por 3k, k Z pois se k for 1 ou 2 ou 3 ou e, assim por diante, obtemos um resultado múltiplo de 3. Como você escreveria a fórmula para qualquer número que não é múltiplo de 3? a) 3k + 2, k Z b) 3 k ± 1, k Z c) 6k 1, k Z d) 3(k ± 1), k Z e) 3k 1, k Z 02. Qual seria o algarismo da dezena? a) a + b b) a. c c) a + b + c d) b + c e) (a + b)c 0. (IBMEC SP) Uma loja fez uma grande liquidação no fim de semana, dando um percentual de desconto em todos os seus produtos no sábado e o dobro desse percentual no domingo. No domingo os cartazes que foram colocados na loja continham a seguinte frase: Mais vantagem para você, hoje tudo está pela metade do preço de ontem. Em relação ao preço dos produtos antes da liquidação, o preço praticado no domingo era igual a a) um décimo. b) um oitavo. c) um quinto. d) um quarto. e) um terço. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 23
05. (IBMEC SP) Considere que um número inteiro de dois algarismos seja representado por xy, em que x é o algarismo das dezenas e y das unidades. Considere os números inteiros ab e ba do sistema de numeração decimal, sendo a < b. Sabe-se que: o resto da divisão de ab por é igual a 1. o resto da divisão de ba por também é igual a 1. Nessas condições, os algarismos a e b são respectivamente: a) 2 e 5 b) 3 e 7 c) e 1 d) 6 e 5 e) 1 e 8 06. (IBMEC SP) Os participantes do programa de televisão Show da Lógica foram desafiados a descobrir o valor de um número inteiro n compreendido entre 1 e 100. Para tanto, foram fornecidas três informações sobre n, todas verdadeiras, reproduzidas abaixo. (1) Se n é ímpar, então n é um quadrado perfeito. (2) Se n é par, então o resto da divisão de n por 11 é igual a 5. (3) A soma dos algarismos de n é igual a 11 se, e somente se, n é menor do que 30. Um dos participantes disse, então, que não era possível descobrir o valor de n, pois havia mais de um número inteiro entre 1 e 100 que satisfazia as condições dadas. Descubra quais são esses números, explicando seu raciocínio. 07. (UEL PR/2008) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais R$ 0,11 por minuto na ligação. Considere as afirmativas a seguir: I. O custo de uma ligação de exatos minutos é o mesmo, qualquer que seja a operadora. II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação. III. Uma ligação de 2 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do que efetuada pela operadora N. IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação. Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas. a) I e II b) I e III c) III e IV d) I, II e IV e) II, III e IV 2 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I
08. (UEL PR 2008) Uma latinha de alumínio vazia pesa em média 13, 5 g. As latinhas estão cada vez mais leves: hoje, 7 latas são produzidas com 1kg de alumínio; em 1992 eram produzidas 6 latas com o mesmo 1kgde alumínio e, em 1972, apenas 9 latas. Cada 1.000 kg de alumínio reciclado evita a extração de 5.000 kg de minério bruto (bauxita). A economia no processo de reciclagem em relação ao alumínio primário é de 95%. Atualmente 1kgde sucata de alumínio é comprado por R$ 3,00. Em uma escola, existem 1500 alunos e o ano letivo tem 200 dias. Foi feita uma campanha para arrecadar fundos para o Laboratório de Informática e cabe a cada aluno trazer 1 latinha de alumínio a cada dia. Baseando-se nestes fatos, nas informações acima e supondo que o ano letivo esteja encerrado, analise as afirmativas: I. Para comprar computadores para o Laboratório, com custo de R$ 13.323,00, a campanha deve ser estendida por, no mínimo, 20 dias. II. Ao final do ano letivo, foram arrecadados, aproximadamente,, 05 t de material. III. O valor arrecadado com a venda do material foi, aproximadamente, R$ 12.600,00. IV. Uma campanha igual, se realizada em 1972, arrecadaria 5,81 t de material. Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas. a) I e II b) II e III c) III e IV d) I, II e IV e) I, III e IV 09. (UFF RJ) Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o pedido de compra, a empresa fornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Pergunta-se a) Quantas caixas do produto tal pessoa comprou? b) Qual o preço inicial (sem desconto) de cada caixa do produto? MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 25
10. (GV SP) O conhecimento que temos da matemática na Antiguidade vem, em boa parte, de textos matemáticos redigidos por escribas, propondo problemas para os alunos ou outros escribas resolverem. Leia com atenção esta adaptação do texto Sou o escriba, o chefe dos trabalhadores, e resolva o problema que o autor propõe como um desafio a outro escriba: a) Temos de resolver um problema e calcular certa taxa de juro. Um velho mercador emprestou um capital de 8 moedas de ouro, a certa taxa anual de juro composto, durante três anos. Passado esse tempo, o velho mercador ficou muito contente: somente de juros, ele recebeu 19 moedas de ouro! Os escribas estarão todos reunidos para descobrir a taxa de juro da aplicação, mas nenhum saberá como fazê-lo. Voltar-se-ão para ti e te dirão: Tu és um escriba hábil, meu amigo! Responde rápido para nós, honra tua reputação, para que não se possa dizer que existe alguma coisa que o chefe dos escribas não saiba: a que taxa anual de juro composto o mercador aplicou o seu dinheiro? b) Para encontrar a taxa de juro, você resolveu uma equação polinomial do terceiro grau. Quais são as outras duas raízes dessa equação? 26 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I
Gabarito A conta do 11. abc por 11, podemos escrever: (100a + 10b + c). 11 = (100a + 10b + c).(10 + 1) = 1000a + 100b + 10c + 100a + 10b + c = = 1000a + 100(a + b) + 10(b + c) + c Portanto: a: unidade de milhar a + b: centena b + c: dezena c: unidade Logo, as respostas: 01. a 02. d 03. b Se 3k, k Z, é um múltiplo de 3, então o próximo múltiplo de 3 será 3k + 3. Logo, quem não é múltiplo de 3 será 3k + 1 e 3k + 2 ou 3k + 1 e 3k 1. 0. e Seja p o preço do produto e x a porcentagem de desconto oferecido no sábado. O preço no sábado é: (1 x)p O preço no domingo é: (1 2x)p Do enunciado, temos: (1 x)p (1 2x)p = 2 2(1 2x) = (1 x) x = 1 3 O preço praticado no domingo era 1 2. 1 p= 1 p, ou seja, um terço do preço do produto antes da liquidação. 3 3 05. b o resto da divisão de ab por é igual a 1, logo ab = q + 1 daí ab 1= q (q Z) o resto da divisão de ba por também é igual a 1, logo ba = s + 1 daí ba 1 = s (s Z) Portanto, os números (ab 1) e (ba 1) são múltiplos de. Consideremos os múltiplos de ab 1 12 16 20 2 28 32 36 0 8 52 56 60......... 88 92 96 ab 13 17 21 25 29 33 37 1 5 9 53 57 61......... 89 93 97 ba 31 71 12 52 92 33 73 1 5 9 35 75 16......... 98 39 79 Sendo ba 1 múltiplo de, e a < b, conclui-se que o verdadeiro é ba = 73 logo ab = 37 06. 9, 60, 81 e 82 De (1) podemos afirmar que os números possíveis são: n (1, 9, 25, 9, 81}. De (2) podemos afirmar que o número n = 11k + 5, k Z logo n 5 = 11 k, ou seja, (n 5) é múltiplo de 11. (n 5) {11, 22, 33,, 55, 66, 77, 88, 99} n {16, 38, 60, 82} de (1) e (2), temos que n {1, 9, 16, 25, 38, 9, 60, 81, 82} Considerando a afirmação (3), teremos que as possíveis soluções são: 9, 60, 81 e 82 pois esses números não têm a soma dos algarismos 11 e não são menores que 30. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 27
07. b Sendo t o tempo em minutos, o valor do aparelho é dado por: v M = 0,06 + 0,115.t para a operadora M; V N = 0,08 + 0,11.t para a operadora N. I. Verdadeira t = min, temos: v M = 0,06 + 0,115. = 0,52 V N = 0,08 + 0,11. = 0,52 II. Falsa Pois, por exemplo, para t = 6, temos: V M = 0,06 + 0,115.6 = 0,75 v N = 0,08 + 0,11.6 = 0,7 Portanto, o custo da operadora M não é sempre menor que a operadora N. III. Verdadeira t = 2 min V M = 0,06 + 0,115.2 = 2,82 V N = 0,08 + 0,11.2 = 2,72 Portanto, uma ligação de 2 min com a operadora M custará R$ 0,10 a mais que com a operadora N. IV. Falsa Pois, por exemplo, t = 2 min, temos: V M = 0,06 + 0,115.2 = 0,29 V N = 0,08 + 0,11.2 = 0,30 Portanto, o custo da operadora N não é sempre menor que a operadora N. 08. a Vamos calcular os valores totais 1500 alunos (uma latinha cada um). Logo, o total de latinhas por dia é 1 500; 200 dias de ano letivo. Logo, 1500.200 = 300.000 latinhas 7 latinhas dão um quilo de alumínio. Logo, o total é 300.000 : 7 = 05 kg =,05 ton Valor arrecadado em reais: 05. 3 = 12162, ou seja, R$ 12.162,00 Portanto, podemos concluir que: I. Verdadeira II. Verdadeira III. Falsa IV. Falsa Pois 300.000 : 9 = 6122 kg = 6,122 ton 09. R$,00 Seja y preço de cada caixa, sem desconto. Do enunciado, podemos escrever x. y = 396 (x + 2)(y 8) = 396 Resolvendo o sistema, temos a equação: x 2 + 2x 99 = 0 e daí x = 9 ou x = 11 (não convém) a) Resposta: (9 + 2) caixas = 11 caixas b) o preço inicial é y = 396 : 9 = 7 + 3i 3 10. As outras raízes são: x = e Do texto, temos os seguintes dados: capital (C) = 8 juros (J) = 19 tempo(t) = 3 (anos) 7 3i 3 Seja x a porcentagem de juros anuais e M o montante (C + J) ao final do período. Sendo juros compostos, podemos escrever: M = (1 + x) 3.C 8 + 19 = (1 + x) 3 8 27 = (1 + x)3 8 3 2 = 1 + x x = 1 = 0,5 = 50% 2 a) Resposta: 50% b) 27 8 = (1 + x)3 8(1 + x) 3 27 = 0 Fatorando, temos: [2(1 + x) 3].[2 2 (1 + x) 2 +3.2(1+x)+3 2 ]=0 (2x 1).[x 2 + 1x + 19] = 0 2x 1 = 0 ou x 2 +1x + 19 = 0 x= 7 + 3i 3 ou x = 7 3i 3 28 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I