Fundamentos de Álgebra Linear

Fundamentos de Álgebra Linear Jonathan Tejeda Quartuccio Instituto de Pesquisas Científicas SISTEMAS DE EQUAÇÕES Uma equação linear com n incógnitas é descrita como a x + a x + a 3 x 3 + + a n x n = b Em que os termos a n e b são números reais e x n são variáveis Um sistema de m equações com n incógnitas é descrito como a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m Onde a ij e b i são números reais Se todos os b i =, então o sistema é dito homogêneo Como exemplo, temos x + 3x = 5 3x + 4x = 7 Que é dito ser um sistema Um sistema 3 é escrito como o exemplo a seguir x x + x 3 = x + x x 3 = 4 Assim, um sistema m n é um sistema com m equações e n incógnitas Um sistema será analisado geometricamente: a x + a x = b a x + a x = b Vamos olhar para três casos possíveis: Caso I: Seja o sistema: x + x = x x = Esse sistema possui uma solução para os pontos x = e x = Logo, esse sistema possui uma única equação que pode ser descrita como duas retas que se interceptam no ponto (,, que é seu conjunto solução Caso II: Tomemos um sistema diferente: x + x = x + x = 3 Não tem como a soma entre dois números dar um resultado em uma equação e outro resultado em outra Quando isso ocorre, o sistema não possui solução Logo não há pontos em comum entre as duas retas

Caso III: x + x = x x = As duas equações desse sistema representam a mesma equação Logo, temos duas retas com todos seus pontos internos em comum Esses três casos resumem as possíveis soluções para um sistema Ou o sistema terá uma solução (caso I, ou não terá nenhuma solução (caso II ou poderá ter infinitas soluções (caso III Dizemos que dois sistemas são equivalentes quando possuem equações envolvendo as mesmas variáveis e com o mesmo conjunto solução Um sistema n n é dito ser um sistema quadrado de ordem n Um sistema na forma triangular é: a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = b a 33 x + a 34 x 4 = b 3 a 44 x 4 = b 4 Nesse caso, temos um sistema triangular 4 4 Para resolvê-lo, usamos a substituição reversa Sistemas na forma triangular são fáceis de serem resolvidos Se um sistema não está em sua forma triangular, podemos transforma-lo através de operações sobre as linhas do sistema A melhor maneira de fazer isso é, primeiro, colocar nosso sistema na forma de matriz Uma matriz é um agrupamento de valores em linhas (horizontais e colunas (verticais Cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável Assim, retomando o sistema: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m

Escrevemos o sistema em sua forma de matriz: a a a n b a a a n b a ( m a m a mn b m Essa é a matriz aumentada do sistema A matriz possui duas partes separadas por uma barra vertical Essa barra pode ser entendida como a igualdade do nosso sistema Essa barra mostra que temos duas matrizes: uma matriz com os coeficientes a ij, onde i é a linha e j a coluna, e uma matriz com coeficientes b i Para resolver essa matriz iremos deixa-la na forma triangular através das operações sobre linhas: Operação I: Intercambiar duas linhas Operação II: Multiplicar uma linha por um número real e diferente de zero Operação III: Substituir uma linha por sua soma a um múltiplo de outra linha Fazendo essas operações iremos buscar tornar nossa matriz triangular O que temos de fazer é, a partir do elemento a zerar todos os elementos abaixo Em seguida vamos para o elemento a e zeramos todos os elementos abaixo, e assim sucessivamente como mostra o esquema de uma matriz 5 5: a a a 3 a 4 a 5 b a a a 3 a 4 a 5 b a 3 a 3 a 33 a 34 a 35 b a 4 a 4 a 43 a 44 a 3 45 b 4 ( a 4 a 5 a 53 a 54 a 55 b 5 a a a 3 a 4 a 5 b a a 3 a 4 a 5 b a 3 a 33 a 34 a 35 b a 4 a 43 a 44 a 3 45 b 4 ( a 5 a 53 a 54 a 55 b 5 a a a 3 a 4 a 5 b a a 3 a 4 a 5 b a 33 a 34 a 35 b a 43 a 44 a 3 45 b 4 ( a 53 a 54 a 55 b 5 a a a 3 a 4 a 5 b a a 3 a 4 a 5 b a 33 a 34 a 35 b a 44 a 3 45 b 4 ( a 54 a 55 b 5 a a a 3 a 4 a 5 b a a 3 a 4 a 5 b a 33 a 34 a 35 b a 44 a 3 45 b 4 ( a 55 b 5 Sistemas (ou matrizes escritos dessa forma são ditos sistemas escalonados ou sistemas degrau Todo sistema pode ser escalonado O processo o qual usamos as operações sobre linhas para transformar um sistema linear em uma matriz aumentada em sua forma escalonada é chamado de eliminação gaussiana Vamos discutir o conceito de solução geral de um sistema linear de m equações com n incógnitas O número de equações e de incógnitas são arbitrários Nada impede que um sistema de equações seja constituído por uma única equação e várias incógnitas Sejam as equações x x + 3x 3 + x 4 = (

x + 5x 3 + 3x 4 = ( Colocando x em evidência n segunda equação: x = 5x 3 + 3x 4 E substituindo esse valor em (: x 5x 3 3x 4 + 3x 3 + x 4 = x = x 3 + x 4 + Note que podemos resolver esse sistema dando valores arbitrários para x 3 e x 4 e assim obter diferentes soluções para o sistema original Então, uma maneira simples de representar todas as soluções do sistema é fazendo a sua solução geral: x 3 + x 4 + 5x ( 3 + 3x 4 x 3 x 4 E para tornar essa solução ainda mais clara, fazemos: a α a + α b β b + β ( + ( = c γ ( c + γ d δ d + δ E tomamos a λa b λb λ ( = ( c λc d λd Assim, temos: x 3 + x 4 + 5x ( 3 + 3x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 5x = ( + ( 3 3x 4 + ( x 3 x 4 5 3 = ( + x 3 ( + x 4 ( E essa também é uma forma de representar a solução geral do sistema MATRIZES Já falamos que uma matriz é um agrupamento de valores dispostos em linhas e colunas Temos a seguinte matriz: a a n A m n = ( a m a mn Nesse caso, temos uma matriz de ordem m n, com m linhas e n colunas Se tivermos duas matrizes de mesma ordem, então podemos soma-las: a a n b b n a + b a n + b n ( + ( = ( a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn De uma maneira geral, podemos escrever a soma da seguinte maneira: Se A = (a ij e B = (b ij são matrizes de ordem m n, então a soma A + B = a ij + b ij

Podemos multiplicar uma matriz por um número qualquer: a a n αa αa n α ( = ( a m a mn αa m αa mn Para prosseguir o estudo envolvendo multiplicações, vamos introduzir o conceito de vetor Matrizes que possuem apenas uma linha ou uma coluna são chamadas de matrizes linhas ou matrizes colunas, respectivamente De uma maneira geral, chamamos essas matrizes de vetores Seja um vetor x num espaço n-dimensional Representamos o vetor x como x (vetor coluna ou x (vetor linha Assim, para o espaço n-dimensional: x x x = ou x = (x, x,, x n ( x n O produto de uma matriz com um vetor será: x a a n a x a n x n ( = ( a m a mn a m x a mn x n ( x n A partir disso, vemos que todo sistema linear pode ser expresso da seguinte forma: Ax = b Sejam agora duas matrizes A p m e B m n, de modo que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz (essa é uma propriedade importante e diz que nem sempre AB = BA, como ocorre para escalares A MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES NÃO É COMUTATIVA Teremos que: A p m B m n = C p n A multiplicação é feita da seguinte maneira: Seja A = a ij e B = b jk n AB = a ij b jk = a i b k + a i b k + + a in b nk = ab ik j= Como exemplo: 3 6 36 4 + 4 3 + 5 3 + 4 ( 4 5 ( 5 = ( 4 3 46 + 54 + 4 4 + 5 + 53 + 3 6 4 3 66 + 4 + 4 6 5 3 + 3 4 = ( 46 36 37 7 A matriz identidade é definida como a matriz quadrada que segue:, se i = j I = δ = {, se i j Com base nisso, segue que qualquer que seja a matriz A: AI = A Definimos a transposta de uma matriz A de ordem m n, a matriz B de ordem n m: a ij = b ji Em outras palavras, trocamos as linhas pelas colunas e vice-versa Representamos a transposta da matriz A por A T REGRAS ALGÉBRICAS A seguir temos algumas regras a respeito da álgebra matricial: A + B = B + A (A + B + C = A + (B + C

3 (ABC = A(BC 4 (A + BC = AC + BC 5 A(B + C = AB + AC 6 (αβa = α(βa 7 α(ab = (αab = A(αB 8 (α + βa = αa + βa 9 α(a + B = αa + αb Onde α e β são números reais As regras para matrizes transpostas são: (A T T = A (αa T = αa T 3 (A + B T = A T + B T 4 (AB T = B T A T Definimos agora o chamado produto direto Seja A uma matriz m m e B uma matriz n n, o produto direto é: A B = C Onde C é uma matriz com mn mn elementos Se as duas matrizes forem de ordem dois, temos: A B = ( a B a B a B a B Um exemplo, vamos multiplicar dois vetores: a b a b a b a b a = ( b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b x y ( x x ( y x y y = ( x y x y Uma matriz é dita diagonal quando todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos Por exemplo, para uma matriz de ordem três: a A = ( a a 33 Se uma matriz A for diagonal e uma matriz B também for diagonal, então: AB = BA Sejam as seguintes matrizes: a b c d e f g ( h i j a b c ( d e f g h i j Elas estão na forma triangular Podemos obter uma matriz triangular fazendo operações sobre linhas, a fim de escalonar a matriz

DETERMINANTES Para toda matriz quadrada podemos associar um número real chamado de determinante da matriz O determinante irá nos dizer se uma matriz é singular ou não Uma matriz é dita ser singular quando ela não possui uma matriz inversa Se o determinante de uma matriz for igual a zero, então a matriz é singular Se uma matriz é quadrada de ordem n n, dizemos simplesmente que a matriz é de ordem n Seja a matriz de ordem um: A = (a Seu determinante será: det(a = a Para uma matriz de ordem dois: A = ( a a a a O determinante será calculado como: det(a = a a a a Podemos usar a seguinte notação matricial para calcular um determinante: a a a a Para matrizes de ordem maior que dois, o cálculo do determinante precisará de um pouco mais de álgebra Seja a seguinte matriz de ordem três: a a a 3 A = ( a a a 3 a 3 a 3 a 33 O determinante será: det(a = a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 Para analisar casos de matrizes n n, vamos retomar o cálculo do determinante de uma matriz de ordem dois A = ( a a a a Podemos calcular seu determinante em termos de duas matrizes de ordem um, de maneira que: M = (a M = (a A matriz M foi obtida eliminando a primeira linha e primeira coluna da matriz A e a matriz M foi obtida eliminando a primeira linha e a segunda coluna da matriz A O determinante será: det(a = a a a a = a det(m a det (M Para o caso de uma matriz de ordem três, podemos escrever: det(a = a (a a 33 a 3 a 3 a (a a 33 a 3 a 3 + a 3 (a a 3 a 3 a Que é análogo a: det(a = a det(m a det(m + a 3 det (M 3 Para casos onde a ordem da matriz é maior ou igual a três, fazemos o seguinte: Seja A = (a ij uma matriz n n e seja M ij a matriz (n (n obtida a partir de A eliminado a linha e a coluna contendo a ij O determinante de M ij é chamado de menor de a ij Definimos o cofator A ij de a ij por A ij = ( i+j det (M ij Por exemplo: 5 4 A = ( 3 5 4 6

det(a = a A + a A + a 3 A 3 det(a = ( a det(m + ( 3 a det(m + ( 4 a 3 det (M 3 det(a = 4 6 5 3 5 6 + 4 3 = (6 8 5(8 + 4( 5 = 6 5 4 Podemos definir algumas propriedades dos determinados que dizem respeito ao conceito de anti-simetria Se permutarmos duas linhas ou duas colunas, o determinante terá seu sinal trocado Uma matriz com duas linhas iguais ou duas colunas iguais possui determinante nulo 3 Se cada elemento de uma linha ou coluna for nulo, o determinante será nulo 4 Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna por uma constante, o determinante também será multiplicado por essa constante 5 det(ab = det(a det (B Se tivermos uma matriz na forma triangular, então o determinante será a multiplicação dos elementos da diagonal principal: a b c d e f g A = ( h i j det(a = aehj Assim, para matrizes de ordem muito alta, podemos torna-la uma matriz triangular e depois calcular o determinante Outro modo de calcular a solução de um sistema linear é utilizando a chamada regra de Cramer Seja uma matriz A de ordem n n não singular e seja b R n Obtemos a matriz A i pela substituição da i-ésima coluna de A por b Sendo x a única solução de Ax = b, temos: x i = det(a i det(a PRODUTO INTERNO E PRODUTO VETORIAL Sejam dois vetores x e y em R³ Definimos o produto interno como: x y = x y + x y + x 3 y 3 O produto interno nos fornece um determinado valor, dado por um escalar Definindo o produto vetorial: x y 3 y x 3 x y = ( y x 3 x y 3 x y y x O produto vetorial nos fornecerá um terceiro vetor Voltaremos nesse assunto mais adiante ESPAÇOS VETORIAIS É um conjunto onde está definido a soma de elementos e o produto de cada elemento por qualquer escalar Um exemplo de espaço vetorial é o R², que representa um plano Podemos expandir para qualquer R n Matrizes de ordem m n também formam um espaço vetorial, além de funções f: R R Seja V um conjunto no qual as operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas Os axiomas do espaço vetorial são: x + y = y + x para quaisquer x e y em V

(x + y + z = x + (y + z para quaisquer x, y e z em V 3 Existe um elemento em V tal que x + = x 4 Para cada x em V, existe um elemento x tal que x + ( x = 5 α(x + y = αx + αy, para todo escalar α em V 6 (α + βx = αx + βx para todo escalar α e β em V 7 (αβx = α(βx 8 x = x SUBESPAÇOS E COMBINAÇÃO LINEAR Um subconjunto S R n se diz um subespaço quando: S v S e w S v + w S 3 v S e α R αv S Se S é um subespaço, isso implica que o vetor S Isso implica que uma reta que passe pela origem de um plano é um subespaço Da mesma forma que planos passando pela origem Se S é um subespaço, então para todo x, y S e α, β R temos que αx + βy S Dizemos que V é combinação linear de v, v²,, v m com coeficientes α, α,, α m se α v¹ + α v² + + α m v m = V Um subespaço é um conjunto não vazio que contém todas as combinações lineares de seus elementos Vejamos um exemplo: 8 ( Vamos determinar se o vetor acima é combinação linear de 3 (, ( 4, ( e ( 3 3 Para isso, fazemos: 8 3 ( = α ( + α ( 4 + α 3 ( + α 4 ( 3 3 3α + α + α 3 α 4 = 8 { α + 4α + 3α 4 = α + 3α = Se esse sistema possuir solução (uma ou infinitas então ele é combinação linear DEPENDÊNCIA LINEAR Os vetores v, v,, v m se dizem linearmente dependentes (LD se existirem escalares α, α,, α m R (não todos nulos tais que α v + α v² + + α m v m =

Vejamos um exemplo: {( ( } são linearmente dependentes, pois: 4 ( + ( ( 4 = ( Outro exemplo: 3 6 3 4 Vamos ver se os vetores (, (, (, ( são LD Para isso, devemos resolver o 4 3 9 sistema: 3 6 3 4 α ( + α 4 ( + α 3 ( + α 3 4 ( = ( 9 Existem duas possibilidades: ou o sistema possui uma única solução ( ou o sistema possui infinitas soluções Se o sistema possui uma única solução, dizemos que o sistema é linearmente independente (LI Os vetores v, v,, v m são linearmente independentes (LI se α v + α v² + + α m v m = α = α = = α m = Os vetores v¹, v²,, v m são LD se, e somente se, há um deles que é combinação linear de outros GERADORES E BASE Os vetores v, v,, v m S são geradores do subespaço S se todo elemento de S é combinação linear Os vetores v, v,, v m são uma base do subespaço S se formam um conjunto de geradores e, ao mesmo tempo, são LI Vejamos um exemplo: {( ( ( } são uma base (canônica de R³ Se S e T são subespaços, então S T é um subespaço O conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo é um subespaço Todo subespaço de R n é o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo Vimos que os vetores v, v,, v m são LI se α v + α v + + α m v m = α = α = = α m = Uma forma de escrever α v + α v + + α m v m = é: α α (v v v m = ( α m ( Os vetores (v v v m são LI quando o sistema linear:

(v v v m α α = tem solução única ( α m Exemplo: O vetor ( 3 3 é combinação linear de ( e ( pois (3 3 = α ( + β ( para α = e β = Se v é combinação linear de v,, v p e esses são LI, então os coeficientes da combinação linear são únicos Isso implica que se as colunas de uma matriz A são LI, então o sistema Ax = b ou tem uma ou nenhuma solução G é um conjunto de geradores do subespaço S se todo elemento de S é combinação linear de elementos de G, como vimos anteriormente A base é o conjunto de geradores LI Exemplo: Vamos checar se a base {( ( } é LI Fazemos: α ( + β ( = ( e como α = e β = são as soluções, logo essa base é LI Outro exemplo: Vamos checar se {( 3 ( } é uma base de R² Primeiro devemos nos certificar de que são geradores ( x y = α ( 3 + β ( De modo que α + β = x e 3α + β = y Como esse sistema possui solução, os vetores são geradores Devemos nos certificar de que eles são LI Devemos ter α ( 3 + β ( = ( o que nesse caso implica que α = e β = Logo são LI e portanto formam uma base Definimos como dimensão o número de elementos de uma base Todas as bases de um subespaço têm o mesmo número de elementos Se {v,, v p } é uma base de um subespaço e V = α v + α p v p, dizemos que α,, α p são as coordenadas de V na base {v,, v p } Por exemplo: dada a base formada por ( 3 e ( e o vetor v = ( 8, dizemos que α = 5 e α = são as coordenadas de v na base formada por ( 3 e ( 5 x x x 3 Outro exemplo: as coordenadas de ( na base canônica são x, x, x 3, x 4 Pois x 4 x x ( x = x ( + x 3 ( + x 3 ( + x 4 ( x 4 Exercício: encontrar as coordenadas de ( 3 na base {( ( 3 ( } 8 4 Resolução: ( 3 = α ( + α ( 3 + α 3 ( 8 4

α + α α 3 = { α + 3α + α 3 = 3 α + α + 4α 3 = 8 Resolvendo esse sistema, através de sua matriz aumentada e a escalonando, encontraremos que as coordenadas são α = 39, α = 3 e α 3 = 6 Exercício: encontre uma base do subespaço de R 4 definido por: x x x 3 x 4 = x + x + x 3 x 4 = Escolha um vetor desse subespaço e encontre as coordenadas desse vetor Resolução: Vamos encontrar a solução geral do sistema: { x x x 3 x 4 = x + x + x 3 x 4 = Encontramos a seguinte solução geral: x + x 3 + x 4 x 3 x 4 3x 3 x 3 + x 3 + x 4 4 3 = x 3 x 3 x 4 4 = x x 3 3 x 4 3 3 x 3 x ( x 3 4 ( x 4 ( x 4 Como temos dois graus de liberdade, logo a dimensão é dois 3 = x 3 ( + x 4 3 ( E: 3 α ( + β = ( 3 ( 3 São LI Então, os seguintes vetores ( e 3 formam uma base do subespaço ( Podemos escolher qualquer um desses dois vetores, e as coordenadas serão e, pois correspondem aos graus de liberdade Suponha que tenho os vetores {v, v,, v p } = A Substituo o primeiro por αv + βv com α, ou seja, tenho o novo conjunto {αv + βv, v,, v p } = B Sabemos que {v, v,, v p } são LI {αv + βv, v,, v p } for LI O subespaço gerado por B é igual ao subespaço gerado por A Exemplo: Vamos encontrar uma base do subespaço de R 4 gerado por: 3 4 ( ( ( ( e ( 3

A primeira coisa a fazer é colocar os vetores na forma de matriz: 3 4 3 ( A operação entre linhas não muda o subespaço gerado pelas linhas e não muda a dependência ou independência linear das mesmas Fazendo as operações entre linhas, chegamos à seguinte matriz: 7 5 ( Como o subespaço não muda, então devemos encontrar uma base do subespaço gerado por 7 ( ( ( 5 Devemos verificar se esses três vetores são LI Assim: 7 α ( + β ( + γ ( = ( 5 Resolvendo esse sistema, vemos que α = β = γ =, logo são LI Como esses vetores são geradores do subespaço e são LI, então eles são base desse subespaço e a dimensão é 3 Vamos agora completar uma base Considere os vetores linearmente independentes: ( e ( 3 Vamos encontrar dois vetores v e w tais que {(, (, v, w}seja uma base de R 4 3 Primeiro, coloquemos os dois vetores deitados e escalonamos: ( 3 3 ( 3 4 Devemos encontrar mais dois vetores que sejam LI Fazemos então: 3 ( 3 4 Logo: {( ( ( ( } 3 3 4 Formam uma base de R 4 que estende os dois vetores originais MATRIZES QUADRADAS São matrizes que possuem o mesmo número de linhas e colunas Um exemplo de matriz quadrada é a seguinte matriz identidade:

( As propriedades da matriz identidade (I são: IB = B = BI De modo que B R m m e I R m m Em particular, se v R n, Iv = v Exemplo: 4 6 8 4 4 6 8 4 ( ( 5 6 8 = ( 5 6 8 6 3 π 6 3 π Seja B R n n, dizemos que B é a inversa de B quando B B = BB = I Vamos ver alguns modos de encontrar a inversa Se X é a inversa de B, temos BX = I Ou seja, encontrar a inversa de uma matriz consiste em resolver um sistema linear Outro modo de encontrar a matriz identidade é fazendo o seguinte: [A I] [I A ] Esse método consiste em colocar a matriz original e a identidade lado a lado Em seguida, fazemos operações sobre linhas a fim de transformar a matriz original em identidade A medida que vamos fazendo as operações, a matriz identidade sofrerá mudanças também Quando transformarmos a matriz original em identidade, a matriz que era identidade será a inversa (X I Operações sobre linhas (I X Mas lembre-se que, se o determinante de uma matriz é zero, então ela não possui inversa Se A, B R n n são invertíveis e C = AB C é invertível e C = B A Para provar isso, fazemos: B A C = B A AB = B IB = B B = I Se a matriz de um sistema linear é invertível então esse sistema tem solução única Se A tem inversa, a única solução de Ax = é x = Se A tem inversa então as colunas de A são LI Definimos como posto-linha o número de linhas LI que tem uma matriz Para descobrir o posto-linha devemos escalonar a matriz (o posto-linha será o número de linhas não nulas depois do escalonamento Por exemplo: 4 ( 6 6 6 6 têm posto dois 8 5 7 As operações de escalonamento não alteram o posto-linha Em uma matriz escalonada o número de linha LI é o número de linhas não nulos Definimos o posto-coluna como o número de colunas LI de uma matriz O posto-coluna de uma matriz escalonada é o número de linhas diferentes de zero Logo, vemos que posto-linha = posto-coluna = posto da matriz Um sistema linear Ax = b tem solução somente se: PostoA = Posto(A, b Definimos o espaço coluna, ou espaço imagem, de uma matriz como o conjunto de todas as combinações lineares das colunas O espaço nulo, ou núcleo, da matriz é o conjunto de soluções de Ax = A dimensão desse subespaço é o número de graus de liberdade: x x x x x ( A dimensão do núcleo é igual a n postoa que é igual a n dimensão da imagem

Vamos ver um exemplo: 3 6 ( 4 3 3 5 Essa matriz possui posto igual a três (três linhas não nulas, possui n igual a seis, pois são seis colunas e possui três graus de liberdade (dado pelos últimos três zeros da última linha Logo, a dimensão do núcleo dessa matriz é 6 3 = 3 (que são os graus de liberdade TRANSFORMAÇÃO LINEAR T: v w é uma transformação linear se para todo x, w v temos T(αx + βy = αt(x + βt(y Para estabelecer totalmente uma transformação linear, basta conhecer os valores T(v para todo v em uma base de V Se B V é uma base e v V então v = α v + + α n v n com v,, v n B T(v = α T(v + + α n T(v n Definimos como isomorfismo uma transformação linear bijetora Se x y T(x T(y Para todo z W existe um x V tal que T(x = z Dois espaços vetoriais são isomorfos se existe um isomorfismo entre eles Todo espaço vetorial de dimensão finita n é isomorfo a R n Se dois espaços vetoriais de dimensão finita tem a mesma dimensão, eles são isomorfos NORMA DE UM VETOR No espaço R n definimos a norma do vetor x como: x = x + x + + x n Podemos denotar a norma euclidiana como x Definimos a norma de Portland como: x = x + x + + x n Os axiomas da norma são: x > x = x = 3 x + y x + y, que é a desigualdade triangular 4 α, αx = α x Definimos a norma do supremo como: x = max { x, x,, x n Para todo p, temos que: x p = [ x p + x p + + x n p ] /p A cada norma podemos associar uma distância dist(x, y = x y A respeito da distância, temos os seguintes axiomas: dist(x, y dist(x, y = x = y 3 dist(x, y = dist(y, x 4 dist(x, z dist(x, y + dist(y, z Para x, y R n : x y x + y x + y x y x = ( + ( = ( + y x n y n x n + y n

= (x + y + (x + y + + (x n + y n = x + y + x y + + x n + y n + x n y n = = (x + + x n + (y + + y n + (x y + + x n y n = = x + y + (x y + x n y n = x + y + x, y O último termo apresenta o chamado produto interno ou produto escalar O produto interno entre x e y é dado por: x, y = x y + x y + + x n y n Ou de forma resumida: Podemos escrever o produto escalar como: N x, y = x i y i x, y = x y + x y + + x n y n = x T y = (x, x,, x n ( y n O produto interno entre dois vetores depende, entre outras coisas, do ângulo entre os vetores Teremos que: x, y > para ângulos agudos x, y < para ângulos obtusos 3 x, y = para ângulo reto Se tivermos x = αy, para α > x, y = αy, y = αy + + αy n = α(y + + y n = αy y = x y Se tivermos α < : x, y = α(y + + y n = α y y αy y = x y A desigualdade de Cauchy-Scharz nos diz: x y x, y x y ORTOGONALIDADE Se v, v,, v m são vetores ortogonais (o ângulo entre eles é reto e não nulos, então eles são LI Para mostrar isso, vamos tomar vetores ortogonais e não nulos {v,, v m } e supor que α v + + α m v m = Seja j {,, m}, teremos que v j T [α v + + a j v j + + α m v m ] = Então [α v j T v + + α j v j T v j + + α m v j T v m ] = α j v j = α j = Logo α j =, j LI Suponhamos que v = α v + + α m v m e v,, v m sejam ortogonais não nulos Multiplicando por v T : v, v = v T v = α v T v + α v T v + + α m v TY v m = α v T v Todos os outros termos diferentes de α v T v são cancelados devido à ortogonalidade Assim: De maneira geral: i= α = v T v v T v = v, v v α j = v j, v v j Definimos como vetores ortonormais aqueles com norma igual à unidade Vejamos um exemplo: m Se v = j= α j v j onde os v j são ortogonais α j = v j, v, j Tomemos outro exemplo: y y

v =, v =, v = ( 3 5 ( ( v = ( + ( = v = ( + ( = v, v = ( + ( = v, v = ( (3 5 = 4 Logo: v, v = ( (3 5 = ( 3 5 = 4 + ( ( Chamamos de projeção de v no subespaço S(P S (v ao vetor de S que está mais próximo de v Vamos supor que {v,, v m } é uma base ortonormal de S Como P S (v S temos que P S (v = α v + + α m v m Temos que v P S (v é perpendicular a S v P S (v é ortogonal a todos os vetores de S Assim v (α v + + α m v m v v T [v (α v + + α m v m ] = v T v α = Logo v T m v α m = α j = v j, v para todo j =,, m Assim, provamos que a projeção de v no subespaço gerado pelos ortonormais {v v m } é igual a: m v j, v v j = P S (v j=

Como exemplo, vamos calcular a projeção do vetor v = ( 3 no subespaço gerado por v = ( e v = ( Então a projeção será: em R 3 v, v = + 3 + = 5 v, v = 3 + = v, v v + v, v v = 5 ( = ( 3 ( Vimos que se x R n e o subespaço S tem a base ortonormal v,, v m } então a projeção de x em S vem dada por P S (x = x, v v + + x, v m v m Podemos expressar essa fórmula de outra maneira: x, v v + + x, v m v m = v, x v + + v m, x v m, fazendo v, x = v T x: v T xv + + v m T xv m = v v T x + + v m v m T x = (v v T + + v m v m T x Temos duas propriedades importantes da matriz de projeção: P k = P, k P T = P, P é simétrica O posto da matriz de projeção será igual à dimensão de S Agora, vamos aprender a construir bases ortonormais a partir de bases não ortonormais Temos que w, w, w 3 e w 4 são vetores LI em R n Tomemos w : w v = w w P w = w, v v Então Definimos w P w = w w, v v w P w v v = w P w w P w v está na mesma reta que w e v = v v, v = e v e v estão no mesmo plano que w e w v 3 v, v 3 v, v 3 =, o cubespaço gerado por {v, v, v 3 } é igual ao subespaço gerado por w, w, w 3 } Considerando a projeção de w 3 no subespaço gerado por {v, v } = w 3, v v + w 3, v v Considerando w 3 menos essas projeção, temos w 3 w 3, v v w 3, v v Normalizando: v 3 = w 3 w 3, v v w 3, v v w 3 w 3, v v w 3, v v Esse processo é chamado de ortonormalização de Gram-Schmidt

Como exemplo vamos ortonormalizar os vetores w = ( 3, w = ( 6 e w 3 = ( 5 Fazemos então: w = + 3 + 5 = 35 = 5,9 v = w w =,7 5,9 ( 3 = (,5 5,85,7,3 w w, v v = ( 6 +,87 (,5 = ( 5,5,85,59 w w, v v =,3 + 5,5 +,59 = 6,3 v = w w, v v,38 w w, v v = (,8,4 E aplicando a fórmula,7,38 v = (,5, v = (,8,85,4 v 3 = w 3 w 3, v v w 3, v v w 3 w 3, v v w 3, v v Encontramos v 3 Definimos as matrizes ortonormais (ou unitárias como as matrizes de ordem n n tais que QQ T = I Por exemplo: / / ( / / É ortonormal, pois: / / / / ( ( / / / / = ( As matrizes ortonormais preservam a distância, de modo que se x R n, Qx = (Qx T (Qx = x T Q T Qx, e como Q T Q = I teremos x T x = x Qx = x As matrizes ortonormais também preservam os ângulos Se temos x, y R n Q x, Q y = (Q x T (Q y = x T Q T Q y = x T y = x, y Alguns exemplos de matrizes ortonormais: Matrizes de rotação em R², Q = ( cosφ senφ senφ cosφ Vemos que ( cosφ senφ senφ cosφ (x ysenφ y = (xcosφ xsenφ + ycosφ Vamos tratar com algum valor: cosφ senφ ( senφ cosφ ( = (cosφ, e assim temos uma rotação de ângulo φ senφ Para rotações em R³: cosφ senφ Q = ( senφ cosφ

cosφ senφ x cosφ x senφ Qx = ( senφ cosφ ( x = ( x senφ + x cosφ x 3 x 3 E assim obtemos uma rotação em torno do terceiro eixo cosφ senφ Q = ( é a rotação em torno do segundo eixo senφ cosφ Q = ( cosφ senφ é a rotação em torno do primeiro eixo senφ cosφ Uma rotação em R 4 seria: cosφ senφ senφ cosφ Q = ( é uma rotação em torno do terceiro e do quarto eixo x Rotações em R n : Q = ( Sejam U e V ortonormais, de modo que Q = UV: QQ T = UV(UV T = UVV T U T = UU T = I Assim, o produto de matrizes ortonormais é uma matriz ortonormal Matrizes de simetria são ortonormais: Q ( Seja o hiperplano de dimensões n formado por todos os z ortogonais a v Queremos umas fórmula para o vetor simétrico de x com respeito ao hiperplano H x w = λv, y = w (x w, y = w x, y = x (x w, x w = λv e (x w w (x w T w = Então P x = x, v v y = x P x y = x x, v v = x v T xv = x vv T x = (I vv T x, o que nos fornece: y = (I vv T x Logo, se v = e Q = I vv T Qx é a imagem simétrica de x em relação ao hiperplano perpendicular a v Falando em simetrias, teremos: Q = Q T Q = Q QQ = I QQ T = I Q = I vv T Q = I v v ( v v T = I vvt vvt = I v v T v Como exemplo, vamos criar uma matriz ortonormal Seja v = ( 5 vt v = 9

4 vv T = ( 4 vvt I 5 v T v = ( ( 9 9 9 = ( 5 9 9 9 9 9 Vamos verificar que I vvt v T v é ortonormal: ( 9 + ( 9 = + 9 = 44 + 4 84 Se U e V são ortonormais, então UV é ortonormal Podemos provar isso: UV(UV T = UVV T U T = UU T = I Vamos ver como usamos matrizes de simetria, ou as chamadas matrizes de Householden Se v R n, (I vvt é a matriz que transforma cada vetor x no vetor simétrico em relação ao v T v hiperplano H perpendicular a v Vamos utilizar as matrizes de Householden para escalonar uma matriz Por exemplo, temos o sistema linear: 3x + x + 5x 3 = { x + x + x 3 = x + 5x + 9x 3 = 4 3 5 A = (, b = ( 5 9 4 = Calculamos uma simetria P, tal que: 3? P ( = ( 3 5 P A = [P ( P ( P ( ] 5 9 x x x x O sistema Ax = b é equivalente a P Ax = P b que possui a forma [ x] [ x ] = [ x] x x 3 x Calculamos uma Householden tal que P [ ] = [? ] x x [ P ] [ ] = [?] Tenho um novo sistema equivalente: [ P ] P A x = [ P ] P b A questão é: por que alguém faria todo esse processo ao em vez de simplesmente escalonar? A resposta é que não há motivo algum para isso É apenas mais um processor de resolução Na minha opinião, o escalonamento é bem melhor AUTOVALORES E AUTOVETORES Seja A R n n, dizemos que λ R é autovalor se existe v tal que Av = λv Por exemplo: A = [ 3 ] x

Logo, é o autovalor A [ ] = [ 3 ] [ ] = [ ] = [ ] A [ ] = [ 3 ] [ ] = [ 3 ] = 3 [ ] Logo, 3 é o autovalor Então λ é autovalor e implica: Av = λv Av λv = Av Iv = (A λiv = com v A λi é singular não invertível Por exemplo: [ 3 ] [ ] = [ ] det(a λi = Os autovalores de A são as soluções das equações det(a λi = Como exemplo, vamos calcular os autovalores de ( 3 5 A λi = ( 3 λ det(a λi = (3 λ(5 λ = 5 λ λ 8λ + = λ = 6, e λ =, O det (A λi é igual a um polinômio de grau n Por exemplo: 3 3 λ A = ( 3 A λi = ( λ 3 3 4 3 4 λ det(a λi = (3 λ( λ(4 λ + 3 (4 λ + 3 ( λ O que nos fornecerá algo do tipo: aλ 3 + bλ + cλ + d O número de autovalores de uma matriz n n é o número de soluções da equação det(a λi = O número de soluções é igual a n, levando em consideração soluções repetidas e complexas Vejamos um exemplo: 5 A = ( 8 λ 5 A λi = ( 8 λ λ λ Usando cofator: λ det(a λi = ( λ det ( λ λ 5 8 det ( λ λ = ( λ ( λ 8 5( λ = Logo: λ = ou λ = 4 ou λ = 4 Se λ é um autovalor de A, dizemos que v é um autovetor associado se Av = λv Se v é autovetor e μ R μv também é autovetor: Aμv = μav = μλv = λμv Se uma matriz é simétrica, todos os autovalores são reais

Se uma matriz é simétrica, autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais Por exemplo: A = ( 3 3 5 Possui autovalores λ = 3 + 3 e λ = 3 3 Vamos ver que os autovetores são ortogonais Tomemos um autovetor v associado ao autovalor λ : ( 3 3 5 (a b = (3 + 3 (a b Onde v = ( a, o que nos fornece: b a + 3b = (3 + 3a { 3a + 5b = (3 + 3b [ (3 + 3]a + 3b = { 3a + [5 (3 + 3]b = Multiplicando a segunda linha por ( 3 e subtraindo da primeira linha multiplicada por três, teremos a + b = Assim, as soluções do sistema são as soluções de ( 3a + 3b =, de modo que: 3 b =, a = + 3 O que nos dá o autovetor: 3 v = ( + 3 Se A é uma matriz simétrica, existe uma base de R n formada por vetores ortonormais Por exemplo: A = ( 3 5 Nessa matriz, a base de autovetores pode ser ( ( ( ( A = ( = ( = ( O valor é o autovalor associado ao autovetor (, e assim sucessivamente encontramos os autovalores 3, 5 e Outro exemplo: 3 A = [ 3 ] Possui autovetores 3, e -, sendo que 3 possui multiplicidade (pois aparece duas vezes

Uma base de autovetores pode ser ( ( ( ( / / Outra base é / / ( ( ( ( / / Vejamos que tanto / como / são autovetores com autovalor 3 ( ( / 3 / 3 / / A = / = ( 3 / = 3 / = 3 / ( ( ( ( O conjunto de autovetores associados com um autovalor formam um subespaço Para provar isso tomemos: Av = λv Aw = λw Teremos: A(αv + βw = αav + βaw = αλv + βλw = λ(αv + βw Logo, se v e w são autovetores associados a λ αv + βw também é um autovetor associado a λ Por exemplo, o que significa dizer que uma matriz tenha o autovalor zero? Isso significa que existe um v tal que Av = v =, logo, a matriz é singular Vamos explorar a propriedade de que toda matriz simétrica tem um conjunto de vetores que formam uma base ortonormal Matriz simétrica: A Base ortonormal: v,, v n Autovalores associados: λ,, λ n Av = λ v Av n = λ n v n De modo que: λ λ A(v v n = (λ v,, λ n v n = (v v n ( λ n λ (v v n T A(v v n = (v v n T λ (v v n ( λ n λ (v v n T λ A(v v n = ( λ n λ (v v n (v v n T A(v v n (v v n T λ = (v v n ( (v v n T λ n

A = QDQ T Nesse resultado, as colunas de Q são base de autovetores ortonormais e D é a matriz diagonal com os autovalores correspondentes Ou seja, QDQ T é a decomposição espectral de A Porém, ninguém sabe calcular a decomposição espectral de uma matriz Para evitar essa frustação e dar um exemplo, faremos o contrário Iremos inventar Q R 4 4 : Q = (I vvt wwt v T (I v w T w 3 w = (, v = ( 8 5 w T w = 3 + + + 8 = 78 9 6 3 4 ww T = ( 6 4 6 I wwt 3 8 w T w = ( 9 6 3 4 78 ( 6 4 6 3 8 4 6 8 64 4 6 8 64 = 8 78 78 78 8 78 6 4 78 ( 48 78 3 78 78 Devemos agora encontrar os autovalores 6 78 48 78 4 78 3 78 78 6 78 6 78 8 78