MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco

MATEMÁTICA 1 ARITMÉTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 3 Números Racionais e Operações com Frações

1.INTRODUÇÃO Quando dividimos um objeto em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias delas formam uma fração desse objeto. p Assim, uma fração (número racional) é um número da forma, onde p é o chamado q numerador e q é o chamado denominador. Veja que q representa o total de partes em que o objeto foi dividido e p o número de partes consideradas. O conjunto de todas as frações é o chamado conjunto dos números racionais (Q). OBSERVAÇÃO: Em uma fração, o denominador é SEMPRE diferente de zero! Exemplo: Se pedirmos uma pizza que vem cortada em 8 pedaços e eu comer destes 5 pedaços, terei comido da pizza. 8

2. CLASSIFICAÇÕES DAS FRAÇÕES 2.1. FRAÇÃO PRÓPRIA: É aquela em que o numerador é menor que o denominador. Exemplo: 1 3 11,, 3 8 23 2.2. FRAÇÃO IMPRÓPRIA: É aquela em que o numerador é maior que o denominador. Exemplo: 4 13 32,, 3 8 23

2.3. FRAÇÃO APARENTE: É aquela em que o numerador é múltiplo do denominador. Na verdade, tal fração é um número inteiro. Exemplo: 5 14 55,, 1 2 5 2.4. FRAÇÃO IRREDUTÍVEL: É aquela em que o numerador e o denominador não possuem nenhum fator em comum, são ditos números primos entre si. Exemplo: 5 3 12,, 4 11 31

2.5. FRAÇÃO DECIMAL: É aquela em que o denominador é uma potência de 10 (10, 100, 1000,...) Exemplo: 3 7, 10 100 2.6. FRAÇÃO ORDINÁRIA: É aquela em que o denominador não é uma potência de 10, ou seja, uma fração que não é decimal. Exemplo: 3 7, 5 20

2.7. FRAÇÕES EQUIVALENTES: São frações que possuem o mesmo valor. 2 4 e 4 8 Exemplo: são frações equivalentes, pois ambas correspondem a. 1 2 Duas frações a b e c d são equivalentes quando ad = bc. OBSERVAÇÃO: A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes a ela.

3. NÚMERO MISTO Um número misto é uma representação alternativa para uma fração imprópria. 13 1 Por exemplo, pode ser representado neste formato ou ainda como 4 (4 inteiros e 1 terço). 3 3 4. REDUÇÃO DE FRAÇÕES A UM DENOMINADOR COMUM O passo a passo é: (i) Colocar as frações na sua forma irredutível (ii) Calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores (iii) Dividir o mmc obtido por cada um dos denominadores (iv) Multiplicar os quocientes obtidos pelos dois termos da fração correspondente

Exemplo: Reduzir as frações 5 18, 7 33 ao mesmo denominador: Passo (i): 5 6, 7 11 Passo (ii): m.m.c (7, 11) = 77 Passo (iii): 77:7 = 11 ; 77:11 = 7 Passo (iv): 511 55 711 77 e 6 7 42 11 7 77

5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES 5.1. FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR: A maior fração é aquela que possui o maior numerador. 10 8 Exemplo:, pois as frações possuem o denominador comum 11 e 10 8. 11 11 5.2. FRAÇÕES COM O MESMO NUMERADOR: A maior fração é aquela que possui o menor denominador. 5 5 7 12 Exemplo:, pois as frações possuem o numerador comum 5 e 7 < 12.

5.3. FRAÇÕES COM NUMERADORES E DENOMINADORES DIFERENTES: Reduz-se as frações ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador (o que for mais conveniente) e procede-se como no caso 1 ou como no caso 2. Exemplo: 1) Comparar. Reduzindo ao mesmo denominador, temos. Como o numerador da primeira é maior que o da segunda e ambas tem o mesmo denominador, temos 5 6 7 11 que. 5 6 e 7 11 55 42 e 77 77

5 4 e 211 207 2) Comparar. Nesse caso, como os denominadores são grandes, vale mais a pena reduzir as duas frações ao mesmo numerador. 5 5 4 20 211 211 4 844 4 4 5 20 207 207 5 1035 Temos que e que. Como 1035 > 844 e as frações possuem o mesmo numerador, 5 4 211 207 temos que a primeira fração é a maior. Assim,.

6. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 6.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: Para efetuar essas operações, devemos reduzir as frações a um denominador comum. Feito isso, basta somar ou subtrair os numeradores. Exemplo: 1 2 1 6 8 3 11 2 3 4 12 12 12 12 6.2. MULTIPLICAÇÃO: Basta multiplicar os numeradores e os denominadores. Exemplo: 2 5 (2 5) 10 3 7 (3 7) 21

6.3. DIVISÃO: Basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo: 3 6 3 11 11 : 4 11 4 6 8 7. NÚMEROS DECIMAIS É aquele número que possui uma parte inteira e uma parte decimal (escrita após a vírgula ou ponto, que são os sinais demarcadores da parte inteira e decimal). Um número decimal pode ter representação finita, representação infinita periódica ou representação infinita não periódica. Nos dois primeiros casos, estaremos lidando com números racionais, enquanto no último caso temos um número irracional.

O melhor jeito de lidar com números decimais é escrevendo-os na forma de fração, seguindo o seguinte método: Quando a representação for finita, é fácil converter o número para fração, por exemplo, 123 0,123 1000. Quando a representação for infinita periódica, teremos um pouco mais de trabalho, como veremos a seguir. Todo número racional é um número decimal com representação finita ou infinita periódica!

8. DÍZIMAS PERIÓDICAS São os números decimais cujos algarismos após a vírgula seguem um padrão de repetição a partir de algum momento. Exemplo: 0,2222... e 0,12345454545... Em uma dízima periódica, o conjunto de algarismos que se repete infinitamente é chamado de período da dízima. 8.1. CLASSIFICAÇÃO DAS DÍZIMAS: i) Dízimas Periódicas Simples: aquelas onde o período se apresenta imediatamente após a vírgula. Exemplos: 7 8 0,777... 0,7; 2,666... 2,6 9 3

ii) Dízimas Periódicas Compostas: aquelas onde entre o período e a vírgula, existe uma parte não periódica. Exemplo: 14 0,9333... 0,93 15 igual a 9 e período igual a 3. é uma dízima composta com parte não-periódica OBSERVAÇÃO: A barra em cima do número após a vírgula indica que aquele é o período da dízima. A seguir, veremos como transformar uma dízima em sua fração equivalente (chamada de fração geratriz):

8.2. CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ: i) Dízimas Periódicas : O numerador é a parte inteira seguida da parte periódica subtraída da parte inteira. Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplos: 35 3 32 3,555... 9 9 15,282828... 1528 15 1513 99 99

ii) Dízimas Periódicas Compostas: O numerador é a parte inteira seguida da parte não periódica e periódica, subtraindo-se a parte inteira seguida da não periódica. Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: 27,1555... 2715 271 2444 90 90 4,76212121... 47621 476 47145 3143 9900 9900 660

Uma outra maneira de se encontrar a fração geratriz é a seguinte, que mostraremos através de dois exemplos. Seja x = 15,282828. A ideia é multiplicar x por 100, obtendo 100x = 1528,282828... Veja agora que os dois números obtidos coincidem após a vírgula. Subtraindo-os, obtemos 1513 99x 1528 15 1513 x 99 Seja agora y = 4,76212121... Multiplicaremos inicialmente y por 100 para eliminar a parte não periódica, obtendo assim 100y = 476,212121. Agora, multipliquemos este último número por 100 e assim 10000y = 47621,212121. Subtraindo os dois números obtidos, temos que 47145 3143 9900y 47621 476 47145 y 9900 660

9. MÉTODO PARA DETERMINAR SE UMA FRAÇÃO É DÍZIMA OU DECIMAL EXATO Considerando a fatoração em números primos do denominador de uma fração irredutível, temos: Apenas fatores 2 e 5 Apenas fatores diferentes de 2 e 5 Fatores diferentes de 2 e 5 com fatores 2 ou 5 A fração é um decimal exato A fração é uma dízima periódica simples A fração é uma dízima periódica composta 7 7 3 40 2 5 0,175 1 21 0,047619 1 22 0,045 OBSERVAÇÃO: É possível dizer quantos algarismos haverá após a vírgula se o denominador da fração irredutível apresentar apenas fatores 2 e 5.

Com efeito, se a fração é da forma α β 2 5 após a vírgula será o maior número dentre,. m, então o número de algarismos 7 7 No exemplo da tabela, temos. 3 40 2 5 0,175 Como 3 > 1, teremos que o número de algarismos após a vírgula é 3, o que de fato é verificado após a divisão. Por outro lado, é um problema bastante difícil prever o número de algarismos do período de uma dízima simples a partir da fatoração em primos do denominador.