Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 Análise inâmica do Sistema de Suspensão Swing Axle para veículos off-road Fábio Antônio Teixeira Sabóia Filho Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias CEP 1.8-900 São José dos Campos SP Brasil Bolsista PIBIC-CNPq f.texeira@uol.com.br Airton Nabarrete Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 - Vila das Acácias CEP 1.8-900 São José dos Campos SP Brasil nabarret@ita.br Resumo. O presente trabalho propõe-se a modelar o sistema de suspensão automotiva swing axle sob o ponto de vista da mecânica lagrangeana. A abordagem leva em consideração o modelo de ¼ de veículo, que apresenta dois graus de liberdade, e introduz vários parâmetros da geometria desse sistema. O desenvolvimento do processo matemático, assim como as hipóteses tomadas durante o modelamento, é apresentado ao longo deste trabalho e culminam com a obtenção das equações que regem o comportamento da suspensão. Finaliza-se o modelamento do sistema com uma simulação computacional, em MATLAB, do mesmo. Palavras chave: Lagrange, suspensão, swing axle, dinâmica veicular 1. Introdução Quando se analisa o desempenho de um veículo, verifica-se, principalmente, a potência e torque de seu motor, sua velocidade máxima, aceleração produzida dentre outras características (Milliken, 1997). Entretanto, toda a potência fornecida pelo motor do automóvel não seria útil sem um sistema de controle que permitisse sua utilização da forma desejada. As suspensões automotivas são sistemas desenvolvidos para permitir ao motorista o pleno controle do veículo. Pode-se afirmar que esses sistemas devem desempenhar, com eficiência, três funções (Gillespie, 199): Isolamento essa função está intimamente relacionada ao conforto dos passageiros durante os deslocamentos do automóvel. O isolamento consiste em atenuar as irregularidades do terreno para que as vibrações sejam transferidas ao habitáculo do automóvel com menor intensidade; Aderência esse segundo aspecto leva em consideração a capacidade das rodas do veículo manterem-se juntas ao solo, permitindo sempre a resposta solicitada quando o motorista comanda acelerador, freio e direção; Estabilidade por fim, a suspensão automotiva deve propiciar ao veículo a capacidade de executar vasta quantidade de manobras, como curvas, frenagens e acelerações, sempre com a retomada do controle seguro quando as mesmas são completadas; Figura 1: swing axle
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 Para desempenhar tais funções de forma desejável, desenvolveu-se, ao passar do tempo, diversos modelos desses sistemas, todos baseados em dois princípios físicos básicos: absorção e dissipação de energia (Puhn, 1976). Os componentes elementares de uma suspensão veicular são a mola, cuja função é armazenar energia, e o amortecedor, responsável pela dissipação da energia absorvida pela mola. Além desses componentes, existem elementos estruturais, que caracterizam a integração de mola, amortecedor e roda como um mecanismo dando forma e movimento ao sistema. As diversas possibilidades de integração entre esses componentes fazem possível identificar uma vasta gama de modelos de suspensão automotiva. O sistema swing axle, conforme mostra a Fig.1, consiste em um semi-eixo, um conjunto molaamortecedora e uma barra para sua fixação. O movimento da roda é restringido por esses elementos, permitindo que seu eixo descreva uma trajetória circular ao subir e descer com o trabalhar do sistema. Esse é um dos modelos de suspensão independente mais antigos, sendo usado em alguns modelos Porche e no famoso Fusca (Okabe, 003), por exemplo. Sua principal vantagem é a fácil implementação (Milliken, 1997) e, portanto, baixo custo. Esse sistema é também empregado por várias equipes universitárias de BAJA-SAE em seus veículos de competição. A Fig. apresenta o comportamento do sistema em resposta a alguns tipos de excitações, como choques laterais nos pneus e o comportamento do veículo em curvas. O desenvolvimento realizado neste trabalho aborda entradas laterais e verticais nos pneus. Figura : comportamento do modelo swing axle. Modelagem matemática Os parâmetros que representam as dimensões da suspensão tipo swing axle estão demonstrados na Tab.1. Eles relacionam os símbolos que serão utilizados no desenvolvimento das equações a seguir com as cotas presentes na Fig.3. Tabela 1 imensões para a configuração single-axle AF C AB AC E C R AC cg1 H 1 AC cg H FB l(θ) = (C + -Ccos(α-θ)) 1/
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009.1. Considerações realizadas Figura 3: esquema da suspensão swing axle ¼ de veículo A modelagem do problema será realizada considerando que os corpos são rígidos e que o movimento do chassi do veículo só ocorre na vertical. O semi-eixo e a roda são considerados um corpo único, representados na Fig.3 pelos pontos A, C e. O pneu é modelado por duas molas, uma na direção vertical e outra na horizontal, e o perfil da pista, que representará a entrada do sistema, é modelado pelos deslocamentos q(t) e p(t) ao longo dos eixos X e Y respectivamente. As variáveis escolhidas para o problema são y, cota entre o ponto A e o eixo X, e o ângulo θ entre o semi-eixo do veículo e a direção horizontal... Equacionamento do problema A utilização das equações de Lagrange requer que se escrevam as energias cinéticas e potenciais do sistema (Brandão, 1996). A energia cinética total do sistema E ct é dada pela soma das energias cinéticas de rotação e translação. A parcela da energia cinética vinda da translação é dada pela Eq.(1) e a parcela da proveniente da rotação do eixo é dada pela Eq.(). 1 1 E = my& + my& ct 1 cg1 cg (1) Ecr 1 = Iθ& A energia cinética total é obtida somando as Eq.(1) e Eq.(). () 1 1 1 E = my& + my& + Iθ& ct 1 cg1 cg (3) Para a obtenção da energia potencial do sistema, somam-se as parcelas decorrentes das molas, Eq.(4), com a parcela proveniente da energia potencial gravitacional, Eq.(5). 1 1 1 pe = a [ ( θ ) (0)] + ( ( ) ) + ( ( )) E k L L k q t x L k y p t L (4)
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 E = mgy + mgy pg 1 cg1 cg (5) A soma das parcelas E pe e E pg é a energia potencial total do sistema. Ela é mostrada na Eq.(9) abaixo. 1 1 1 pt = a [ ( θ) (0)] + ( () ) + ( ()) + 1 cg 1+ cg E k L L k qt x L k y pt L mgy mgy (6) Conhecidas as duas parcelas da energia do sistema, a sua lagrangeana é determinada pela diferença entre as energias cinética e potencial. L = E E (7) ct pt Introduzindo as Eq.(4) e Eq.(6) na Eq.(7), obtemos a Eq.(8), que representa a lagrangeana L como função das variáveis y, θ e suas derivadas primeiras em relação ao tempo. 1 1 1 1 L = m [ ] 1 y& cg1 + m y& cg + Iθ& k a L ( θ ) L (0 ) + 1 1 k ( q ( t) x ) L k ( y p ( t)) L + + m g y + m g y 1 cg1 cg (8) L Para montar as equações de Lagrange, necessita-se determinar as derivadas k, L k & e d L, dt k& onde k pode assumir as variáveis y ou θ. Calculando as derivadas em associadas à variável y, obtêm-se as Eq.(9) a Eq.(11). L = k y+ Esenθ Rcos θ p( t) L m1g mg y (9) L = my & 1 + m ( y & + H cos( θ ).& θ ) y& (&& ( θθ&& θθ& )) d L = my && 1 + m y+ H cos( ) sin( ) dt y& (10) (11) Realizando o mesmo procedimento para a variável θ, as Eq.(1) a Eq.(14) são encontradas. L dl( θ ) = m ( y& + H cos( θ ). θ& )( H s e n( θ ). θ& ) ka [ L( θ ) L(0) ] + θ dθ dx dy k ( q( t) x ) L k ( y p( t)) L mgh cosθ dθ dθ L = m ( y & + H cos( θ ). & θ ) H cos( θ ) + I & θ & θ (&& ( )) (& ) d L = m y+ H cos( θ). && θ sin( θθ ) & H cos( θ) m y+ H cos( θ). & θ H sin( θθ ) & + I && θ dt & θ (1) (13) (14)
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 O amortecedor, que consiste em um elemento dissipador de energia, contribui nas equações com uma parcela derivada da função dissipação de Rayleigh. Essa função dissipação é dada pela Eq.(15). 1 dl( θ) 1 dl( θ) = Ba = B & a θ dt dθ (15) o coeficiente de Rayleigh calculam-se as derivadas variáveis y ou θ. = 0 & y dl( θ ) = B & a θ & θ dθ, onde k pode novamente assumir as k& (16) (17) Aplicando as equações de Lagrange, monta-se um sistema de equações diferencias a duas incógnitas, y e θ, onde o tempo t é a variável independente. d L L 0 dt y& y + y& = (18) Segue que: ( ) && θθ&& θθ& ( θ θ ) ( ) m1+ m y+ mh cos( ) mh s en( ) + ky+ k Esen Rcos L pt ( ) + m1+ m g= 0 (19) d L L + = 0 dt & θ θ & θ (0) A Eq.(0) é expandida na Eq.(1). H Csen( α θ) mh ( ) cos( θ) && y+ I+ mh cos ( θ) && θ m s en( θ) & θ B & a θ + k( Ecosθ + Rsenθ) y+ mgh cosθ + L( θ ) L(0) k ( q( t) x L )( Es enθ Rcosθ) k 1 Csen( α θ) + k ( Es enθ Rcos θ L p( t) )( Ecosθ + Rsenθ) = 0 L( θ ) (1) Na forma matricial, as Eq.(19) e Eq.(1) podem se escritas como: mh s en( θ ) Cs en( α θ) I + m 0 H cos θ mhcosθ && θ 0 & θ B 0 k ( Ecos Rsin ) a &.. θ θ + θ θ +.. + L( θ ) mh 0 cosθ m k 1 m y y + + y y + && mh senθ 0 & 0 0 & L(0) k ( Esenθ Rcosθ L p( t) )( E cos θ + Rsenθ) + k ( q( t) x L )( E s enθ R cosθ) k 1 Csen( α θ) + mgh cosθ 0 L( θ ) = 0 k ( Esenθ Rcos θ L p( t) ) + ( m1+ m) g () As soluções y(t) e θ(t) da Eq.() representam o comportamento do veículo dados os sinais de entrada p(t) e q(t) que simulam as condições da pista.
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 3. Simulação computacional A Eq. () é resolvida numericamente através do método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Para efeito de análise da solução, o sistema é resolvido para três perfis verticais de pavimento: um batente, uma rampa e um obstáculo de perfil retangular. Como entrada lateral, foi introduzido apenas um perfil retangular, simulando um choque do pneu com um obstáculo qualquer. Os parâmetros da suspensão utilizados nessa simulação foram baseados naqueles aplicados nos veículos de baja da equipe do ITA e supondo um piloto com massa 80 kg. Tab.() e Tab.(3) indicam os parâmetros usados na simulação da suspensão. As condições iniciais do problema, que são y, θ e suas derivadas temporais foram tomadas todas nulas. Tabela Parâmetros da geometria C = 0, 750 m H1 = 0, 00 m = 0,350m H = 0, 300 m E = 0, 500 m α = π/3 rad R = 0, 300 m Tabela 3 Propriedades da suspensão Mola e Amortecedor K = 5000 N/m B a = 510 N.s/m Pneu L p0x = 0,100 m K = 100000 N/m L p0y = 0,100 m K = 100000 N/m Massas m 1 = 40 kg m = 10 kg Momento de inércia do conjunto Semi-eixo e roda I = 0,51 kg.m² As figuras 4 a 7 demonstram os resultados obtidos na simulação da suspensão swing axle após modelagem pelas equações demonstradas anteriormente. Figura 4: resposta do sistema a uma entrada do tipo batente A Fig.(4) acima mostra a oscilação do chassi após o veículo subir um batente de 0,010m de altura. Observa-se que o bloco oscila com uma amplitude decrescente com o tempo e, após o instante t=3s, o veículo estabiliza na nova posição.
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 Figura 5: resposta do sistema a uma entrada do tipo rampa A simulação de subida de rampa foi realizada para uma inclinação de 45. iferentemente do observado para a resposta do sistema ao batente, as oscilações tiveram amplitudes diminutas. O gráfico da posição angular θ apresenta melhor a oscilação do semi-eixo. A amplitude máxima desse movimento foi inferior a 0,1 rad, enquanto a mesma oscilação para o caso do batente foi superior a 0, rad. Após o instante t=3,5s, o movimento cessa. Figura 6: resposta do sistema a um obstáculo retangular vertical O terceiro teste realizado simulou a passagem do veículo por um obstáculo retangular de 0,1m de altura. A Fig.(6) acima mostra a oscilação do chassi após essa passagem. urante os instantes t=1s e t=1,5s o movimento do chassi é semelhante aquele gerado na subida de rampa. Em t=1,5s há uma nova mudança no perfil da pista, que retorna à altura zero. O chassi continua oscilando até a posição de equilíbrio em y=0,6m.
Anais do XIV ENCITA 008, ITA, Outubro, 19-, 009 Figura 7: resposta do sistema a um obstáculo retangular lateral Neste último teste, verificamos a resposta do sistema a uma entrada lateral (semelhante à entrada mostrada na Fig.()) com perfil retangular igual ao da entrada anterior, mas com amplitude de 0,05m. Observa-se, na Fig.(7), que esse tipo de entrada provoca um movimento oscilatório com duração bem maior que os demais vistos anteriormente. O chassi estabiliza somente após o instante t=4,5s. 4. Considerações finais A modelagem de sistemas de suspensão considerando sua geometria permite uma melhor análise das influências da variação dos seus parâmetros sobre as respostas do chassi. Com o modelo gerado neste trabalho, é possível observar as respostas obtidas variando-se, por exemplo, o comprimento do semi-eixo, o ângulo α, o raio da rodas, citando apenas parâmetros de geometria. Além disso, o coeficiente da mola, do amortecedor e a constante elástica do pneu também podem ser alterados para avaliar as respostas do sistema. Como proposta de trabalhos futuros, pode-se elaborar modelos de outros sistemas de suspensão para comparação dos seus comportamentos quando submetidos a determinadas entradas. Uma análise longitudinal do veículo também constitui uma ótima linha de pesquisa vista a necessidade de se conhecer o seu comportamento quando submetido a acelerações longitudinais. 5. Agradecimentos Em especial ao CNPq/PIBIC, ao aluno de Eng. Mecânico-Aeronáutico Luiz Armando Garcia e a Equipe de Baja do ITA. 6. Referências Brandão, M. P., 1996, Fundamentos da inâmica de Estruturas, ITA, São José dos Campos, pp. 4. Gillespie, T.., 199, Fundamentals of Vehicles ynamics, SAE International. Milliken, W. F.; Milliken,. L., 1997, Race Car Vehicle ynamics, SAE International. Okabe, E. P., 003, Metodologia de Projeto Para o esenvolvimento de Suspensão Veicular, Unicamp. Puhn, F., 1976, How to Make Your Car Handle, Berkley Pub Group.