Conceitos Fundamentais

Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan; 3. calcular determinantes por meio do escalonamento de uma matriz. 1.1 Vetores na Física e na Matemática Nosso primeiro contato com vetores aconteceu antes de ingressarmos no ensino superior; provavelmente em uma aula de Física, vetores nos foram apresentados como grandezas com módulo, direção e sentido tais como forças, velocidades e acelerações. Aprendemos que vetores eram representados por setas: a direção sendo aquela de uma reta contendo aquela seta, o sentido indicado pela seta e o módulo como o tamanho daquela seta. Sendo mais preciso, cada reta do espaço define uma direção, convencionando-se que retas paralelas definem a mesma direção. Escolhido um segmento em uma reta, ao orientarmos esse segmento escolhemos um sentido para o vetor. Finalmente, o comprimento do segmento é o módulo desse vetor. Assim, um vetor fica definido ao escolhermos dois pontos no espaço: o ponto inicial P i e o ponto final P f. Mas segmentos paralelos, com o mesmo sentido e o mesmo módulo, representam o mesmo vetor. No caso de termos P i = P f, temos o vetor 0. Note que o vetor 0 não define uma direção! P f P i Q f Q i Figura 1.1: Os segmentos orientados P i P f mesmo vetor. e Q i Q f representam o 1

2 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Aprendemos ainda que vetores podem ser somados e multiplicados por escalares (o nome que passamos a utilizar para nos referir a números reais). A soma dos vetores e w, definidos pelos pontos P i, P f e Q i, Q f é obtida ao transladarmos o vetor w, de modo que seu ponto inicial seja o ponto P f ; o vetor + w é dado pelo segmento orientado unindo P i e Q f. Q f u + P i u P f = Q i Figura 1.2: A adição de vetores. Exercício 1.1 Na figura 1.2, os vetores v e w pertencem ao plano do papel deste livro. Se os vetores pertencem ao espaço, ainda assim a figura está correta? A multiplicação do vetor pelo escalar α é definida como o vetor α com a mesma direção do vetor, com o mesmo sentido, se α > 0, e com sentido contrário, se α < 0. O módulo do vetor α é definido por α = α, em que α é o valor absoluto do escalar α. 2 3 Figura 1.3: A multiplicação de um vetor por um escalar. Exercício 1.2 Como é definido α, se α = 0? Se a ideia da soma de vetores é clara, a sua obtenção prática no caso de vetores definidos pelas coordenadas de seus pontos inicial e final parece não ser tão simples: dados dois vetores = P i P f e w = Q i Q f (isto é, dois segmentos orientados de retas), para obtermos vetor + w traçamos uma reta r passando pelo ponto P f, paralela à reta definida por w. Nessa reta, obtemos dois pontos cuja distância ao ponto P f é a mesma que a distância entre Q i e Q f. Ao escolhermos a solução R f que define o mesmo sentido de Q i Q f, o segmento orientado P i R f é o vetor + w. Veja a Figura 1.4. Observação 1.3 Observe que não podemos descrever a reta r como P f + t w, pois (ainda) não sabemos como somar as coordenadas do ponto P f com as coordenadas do vetor w. Assim, ainda não sabemos como obter a solução R f = P f + 1 w!

1.1. VETORES NA FÍSICA E NA MATEMÁTICA 3 Q f w R f Q i P i P f r Figura 1.4: A construção geométrica da soma de vetores dados por suas coordenadas, a partir da definição. Exercício 1.4 Considere os vetores = P i P f e w = Q i Q f do plano, definidos pelos pontos P i = (0, 0), P f = (2, 3), Q i = (1, 5) e Q f = (7, 2). Utilizando o método descrito no parágrafo anterior, obtenha os pontos inicial R i e final R f do vetor + w. Exercício 1.5 Repita o exercício anterior no caso dos vetores espaciais = P i P f e w = Q i Q f, se P i = (0, 0, 3), P f = (2, 3, 7), Q i = (1, 5, 2) e Q f = (7, 2, 2). Os cálculos feitos na solução dos exercícios anteriores nos mostram como é difícil operar com vetores desse modo. A solução matemática para a resolução daqueles exercícios é bastante interessante e corresponde a uma utilização consciente do sistema de coordenadas cartesianas. Em primeiro lugar, notamos que a cada vetor Q i Q f corresponde um único vetor 0P, cujo ponto inicial é a origem 0 e cujo ponto final é o ponto P. Se os vetores Q i Q f e R i R f são iguais, a eles corresponde o mesmo ponto P. Em outras palavras, cada vetor P i P f da Física é identificado com um único ponto P. Ou seja, um vetor da Física corresponde a um ponto P do sistema de coordenadas cartesianas. Na Matemática, um vetor é um ponto do espaço (ou do plano). Por esse motivo, matemáticos usualmente denotam vetores por u, v, w, ao invés de u,, w. Em algumas situações, é interessante distinguir entre vetores e pontos. Assim, quando queremos nos referir simplesmente ao ponto P (e não ao vetor definido por esse ponto), mantemos a notação de pontos: P, Q, R. Por outro lado, quando nos referirmos a um vetor v no sentido da Física, manteremos a notação. Para continuarmos, verificaremos duas propriedades básicas da adição de vetores: ela é comutativa e associativa. Ou seja, + w = w + e u + ( + w) = ( u + ) + w. A comutatividade da adição é ilustrada pela Figura 1.5. u u Figura 1.5: A adição de vetores é comutativa, pois vetores são somados de acordo com a regra do paralelogramo.

4 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS Por outro lado, a associatividade é simples: suponhamos que u = P i P f, = Q i Q f e w = R i R f. Para simplificar a notação, vamos supor que P f = Q i e Q f = R i. Então ( u +) + w = ( P i P f + Q i Q f ) + R i R f = P i Q f + R i R f = P i R f = P i P f + Q i R f = P i P f + ( Q i Q f + R i R f ) = u + ( + w). Confira esses cálculos na Figura 1.6. R f P i P f = Q i Q f = R i Figura 1.6: A adição de vetores é associativa. As propriedades comutativa e associativa da adição de vetores nos permitem reordenar termos de uma soma da maneira que mais nos convier e torna desnecessária a utilização de parênteses em uma adição de vetores. Isso é decisivo para o raciocínio que passaremos a descrever. Consideremos os vetores v = (x 0, y 0, z 0 ) e w = (x 1, y 1, z 1 ). Denotaremos v 1 = (x 0, 0, 0), v 2 = (0, y 0, 0) e v 3 = (0, 0, z 0 ). É geometricamente claro que v = 1 + 2 + 3 (veja a Figura 1.7). Usando a notação matemática, v = v 1 + v 2 + v 3. z v 3 v 3 v2 v 1 = 1 2 x y Figura 1.7: Vale a igualdade v = 1 + 2 + 3. Procedemos de maneira análoga com o vetor w. Agora consideremos v 1 = (x 0, 0, 0) e w 1 = (x 1, 0, 0). Novamente é claro que 1 + w 1 = (x 0 + x 1, 0, 0). (Veja a Figura 1.8.) Assim, v 1 + w 1 = (x 0 + x 1, 0, 0). 1 w 1 1 + w 1 x w 1 1 1 + w 1 0 0 Figura 1.8: A soma de vetores em uma mesma direção é obtida ao somar suas coordenadas x

1.1. VETORES NA FÍSICA E NA MATEMÁTICA 5 Naturalmente, o mesmo procedimento também se aplica às somas 2 + w 2 e 3 + w 3. Ora, então temos v + w = (v 1 + v 2 + v 3 ) + (w 1 + w 2 + w 3 ) = (v 1 + w 1 ) + (v 2 + w 2 ) + (v 3 + w 3 ) = (x 0 + x 1, 0, 0) + (0, y 0 + y 1, 0) + (0, 0, z 0 + z 1 ) = (x 0 + x 1, y 0 + y 1, z 0 + z 1 ). Em outras palavras, o tratamento anterior nos mostra que podemos encontrar facilmente a soma de dois vetores, se conhecemos as coordenadas de ambos: basta somar as coordenadas correspondentes. Exercício 1.6 Justifique: se v = (x 0, y 0, z 0 ), então αv = (αx 0, αy 0, αz 0 ). Em particular, v = ( 1)v = ( x 0, y 0, z 0 ), de modo que está definida a subtração de dois vetores: v w = v + ( w). Uma vez resolvido o exercício anterior, falta apenas um passo para encontrarmos uma solução prática para os Exercícios 1.4 e 1.5. Consideremos o vetor P i P f definido pelos pontos inicial P i = (x 0, y 0, z 0 ) e final P f = (x 1, y 1, z 1 ). Qual o ponto P que corresponde a esse vetor da Física? Em outras palavras, qual o vetor v da Matemática correspondente a esse vetor da Física? Examinando a Figura 1.9, vemos que 0P i + P i P f = 0P f. Assim, Pi P f = 0P f 0P i. Como os vetores do lado direito da última igualdade tem seu ponto inicial na origem (correspondendo assim a vetores da Matemática), acabamos de verificar que P i P f corresponde ao vetor v = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ) da Matemática. P i P f 0 Figura 1.9: Se P i = (x 0, y 0, z 0 ) e P f = (x 1, y 1, z i ), então P i P f corresponde ao vetor v = (x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ) da Matemática. Exercício 1.7 Refaça os Exercícios 1.4 e 1.5. Exercício 1.8 Verifique que o todo o procedimento descrito anteriormente permanece válido para vetores do plano. Em outras palavras, verifique que a adição dos vetores u = (a, b) e v = (c, d) é dada pelo vetor u + v = (a + c, b + d) e que λu = (λa, λb). Se u = Pi P f for um vetor (da Física) determinado pelos pontos P i = (x 0, y 0 ) e P f = (x 1, y 1 ), verifique que ao vetor u corresponde o vetor (da Matemática) u = (x 1 x 0, y 1 y 0 ). Essa abordagem de vetores tem inúmeras vantagens. Mas também tem desvantagens: em alguns casos, o fato geométrico a ser descrito fica muito mais claro utilizando o conceito de vetor no sentido físico. Veja a Figura 1.10.

6 CAPÍTULO 1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS n Figura 1.10: O vetor n = (0, 0, 1) é normal à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 no ponto (0, 0, 1). Exercício 1.9 Porque a figura anterior não corresponde ao sentido de vetor utilizado na Matemática? Quando conveniente, ilustramos figuras utilizando o conceito físico de vetor. Essa situação ocorre com frequência no estudo da Geometria Analítica, abordada no texto Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma Visão Geométrica, de D. Avritzer. Você está convidado a rever os Capítulos 1 a 4 do tomo II daquele livro.