LIMITAÇÕES DA LINGUAGEM COMPUTACIONAL NO ESTUDO DE RAÍZES DE FUNÇÕES GT 02 Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino Superior Rodrigo Fioravanti Pereira UNIFRA prof.rodrigopereira@gmail.com Dra. Vanilde Bisognin UNIFRA vanilde@unifra.br Resumo: Em geral, a construção de conceitos e definições de determinados conteúdos matemáticos requer diferentes representações, sejam elas algébricas, geométricas, tabulares ou outras, para a compreensão do significado de cada objeto a ser estudado. O uso da ferramenta computacional é um instrumental valioso que auxilia na compreensão de determinados conceitos matemáticos, todavia, a ferramenta computacional apresenta limitações oriundas do seu caráter finito. Essas limitações, quando não são bem compreendidas e analisadas podem levar a formação de imagens conceituais restritas. Neste trabalho, tem-se como objetivo explorar algumas deficiências computacionais que aparecem no estudo de funções. Mais especificamente, são exploradas algumas deficiências que os softwares Winplot e Maple 11 apresentam para o estudo das raízes de funções e são discutidas as possibilidades de reversão que este prejuízo causa às imagens conceituais, a partir do confronto de representações computacionais e não-computacionais. Palavras-chave: imagem conceitual; definição de conceito; ferramenta computacional. Introdução Nas últimas décadas, tem crescido o número de professores usuários de tecnologias computacionais na sala de aula. Para muitos, isto tem um significado de abandono das aulas ditas tradicionais, em que o giz e o quadro negro são os únicos materiais usados nas aulas de matemática. Porém, de acordo com pesquisas realizadas por GIRALDO e CARVALHO (2004), a máquina não encerra em si nenhum atributo intrínseco de sua utilização no ensino, por outro lado, na visão de LANDARES e LACHINI (2001) (...) o uso de tecnologia pode se constituir em uma importante alternativa para o modelo tradicional de aula de matemática. No entanto, (...) os autores afirmam que isso não depende do fato de se usar computadores por si só: tal perspectiva só pode ser concretizada por meio do planejamento cuidadoso de atividades de laboratório que estimulam a formação de uma postura investigativa por parte dos alunos e da preparação e motivação dos professores para conduzi-los. BELFORT e GUIMARÃES (1998), por sua vez, ao analisarem os trabalhos dos professores com o uso de softwares educativos, chamam a atenção sobre as falhas que
ocorrem nas práticas docentes ao analisarem os trabalhos dos professores com o uso de softwares educativos. Dessa forma, torna-se imprescindível a análise das limitações computacionais para evitar equívocos na compreensão de determinados conceitos matemáticos. O uso inadequado de determinados ambientes computacionais pode gerar alguns efeitos negativos sobre a abordagem de determinados conceitos da matemática. O conhecimento dessas limitações, por parte dos professores, pode trazer resultados pedagógicos muito positivos para a construção de imagens conceituais e de conceitos. Neste trabalho tem-se como objetivo explorar algumas deficiências computacionais que aparecem no estudo de raízes de funções quando são usados os softwares Winplot e Maple 11. Além disso, são discutidas as possibilidades de reversão de tais limitações a partir do confronto de representações computacionais e não-computacionais. Imagem Conceitual e definição de conceito De acordo com TALL e VINNER (1981), imagem conceitual é a estrutura cognitiva total associada a um certo conceito matemático na mente de um indivíduo, constituída de todas as imagens mentais, representações visuais, descrições verbais e impressões associadas a este conceito. A imagem conceitual se desenvolve e se modifica continuamente ao longo dos anos a partir de cada nova experiência que é vivenciada e relacionada com o conceito em questão e também a partir de novos estímulos. GIRALDO, CARVALHO E TALL (2002) colocam a imagem conceitual como sendo constituída por porções nas quais o indivíduo é capaz de focar a atenção de uma vez, tais como símbolos, passos de um argumento, teoremas e assim por diante, sendo indispensável ao pensamento matemático a habilidade de produzir e manipular unidades cognitivas. Assim, o enriquecimento das imagens conceituais se deve às interações entre unidades cognitivas. Por outro lado a definição do conceito, de acordo com TALL e VINNER (1981), está relacionada a uma frase ou sentença para especificar o conceito. Os autores argumentam que esta definição pode ou não ser coerente com a definição estabelecida pela comunidade matemática, nas palavras de VINNER (1983) (...) os processos pelos quais teorias matemáticas são formuladas dificilmente correspondem à sua organização formal. Pelo contrário freqüentemente a conceituação formal se revela profundamente contrária à intuição humana, como evidencia sua própria evolução histórica.
Desta maneira, a formalização é a conseqüência de um amadurecimento progressivo dos conteúdos matemáticos e não o contrário. A introdução de um conteúdo matemático a partir da sua conceituação formal vai contra o caminho natural de enriquecimento da imagem conceitual que precede a formalização. Neste sentido, os autores sinalizam para a necessidade de se criar ambientes que privilegiem o uso de unidades cognitivas que contribuirão para a formação da imagem conceitual que se desencadeará na formalização. De acordo com GIRALDO, CARVALHO E TALL (2002), existem diferentes experiências realizadas com professores do ensino médio e superior em que diferentes habilidades de cálculo, que são essenciais no estudo da matemática, não foram desenvolvidas com o uso do computador. Além disso, professores hesitaram em aceitar o fato de que computadores podem fornecer resultados incompletos em virtude das limitações dos softwares. Dessa forma, é fundamental que se propicie o desenvolvimento de experiências com o luso da tecnologia computacional com uma perspectiva crítica, por parte dos professores e estudantes, no sentido de trabalhar as limitações do computador para a compreensão de conceitos. De acordo com esta concepção é importante a abordagem do conceito de raízes de funções e para isso devem-se incluir diferentes representações, de forma a propiciar um olhar sobre múltiplos aspectos do mesmo conceito. Conflitos teóricos e computacionais no estudo de raízes de funções No tratamento computacional de determinados conceitos matemáticos, os efeitos produzidos não dependem dos equipamentos utilizados, mas sim, são conseqüências da forma como a máquina é utilizada. Para compreender como isso se processa, consideremos os exemplos a seguir: Exemplo 1 Seja a função f(x) = (x + 1)(x + 1)(x + 1) que é uma função do terceiro grau. Do ponto de vista não computacional, ou seja, do ponto de vista algébrico, esta função possui uma raiz tripla no ponto x= -1 o que pode ser calculado igualando o segundo membro a zero. Enquanto que, do ponto de vista computacional, se traçarmos o gráfico da
função usando o software Winplot pode-se observar que é possível concluir que existem infinitas raízes da função na vizinhança do ponto x= -1. Fig. 1 Gráfico da função f(x) = (x + 1)(x + 1)(x + 1), no intervalo -2 x 2, gerado pelo software Winplot. Magnificando este gráfico ao redor do ponto x = -1, o conflito computacional fica mais evidente como pode ser observado no gráfico a seguir: Fig. 2 Magnificação da função f(x) = (x + 1)(x + 1)(x + 1) em torno do ponto x = -1, gerada pelo Winplot.
Esse segundo gráfico mostra mais claramente a existência de mais de três raízes para a função. Analisando somente o gráfico acima, não temos a clareza da existência de apenas a raiz tripla x = -1 como evidenciado algebricamente. O que o gráfico mostra é a existência de infinitas raízes próximas ao ponto x = -1. O exemplo demonstra a importância de se trabalhar diferentes representações para o estudo de determinados conceitos matemáticos tendo presente as limitações da ferramenta computacional utilizada. Nesse sentido, trabalhar essas questões de conflitos teóricos e computacionais, gerados pela análise algébrica e computacional, é de fundamental importância para a compreensão dos conceitos matemáticos tendo presente a compreensão das limitações decorrentes da finitude dos softwares educativos. A não exploração de diferentes representações, tendo presente as limitações computacionais, podem gerar imagens conceituais deficientes, o que não contribui para a compreensão do significado do conceito matemático objeto de estudo. Exemplo 2 Consideremos agora a função f(x) =, em Analisando-se esta função do ponto de vista algébrico, tem-se que x=0 é uma raiz da função. Utilizando-se o software Maple 11 para fazer a análise da existência de raízes tem-se a seguinte representação: Fig. 3 Gráfico da função, para o intervalo 0 x 1, gerado pelo software Maple 11
O gráfico permite concluir que a função não tem raiz no ponto x=o, já que esta não alcança o eixo x, o que contradiz a visão algébrica anterior. A magnificação deste gráfico em torno do ponto x = 0 também não elucida o conflito, como podemos ver abaixo: Fig. 4 Magnificação da função em torno de x = 0, gerado pelo Maple 11 Se considerarmos somente esta representação a conclusão sobre a e existência de uma raiz da função será equivocada, o que reforça a necessidade de uma análise criteriosa quando se usa uma ferramenta computacional. Por outro lado, a visão puramente algébrica, embora correta, depende fortemente de uma análise gráfica e, neste caso, a representação computacional pode contribuir para a compreensão do conceito de raiz. Ao explorar determinados conceitos matemáticos, com o uso de software, é importante ter claro as limitações que estas ferramentas possuem e usar este fato como estratégia pedagógica para trabalhar exemplos e contra-exemplos, no sentido de ampliar a imagem conceitual de determinados conteúdos da matemática. Considerações Finais Por meio deste trabalho, analisaram-se alguns exemplos da existência de raízes de algumas funções e mostramos o conflito que pode ocorrer quando se trabalha do ponto de vista teórico e computacional. As ferramentas computacionais trazem grandes contribuições
nas representações de funções, mas é necessário que tanto professores, quanto alunos compreendam as limitações que as mesmas possuem e usem este fato do ponto de vista pedagógico para a construção de conceitos matemáticos. Os erros nas representações das raízes das funções aqui apresentadas podem ser uma boa motivação para o estudo de raízes de funções, bem como de outros conceitos da matemática. As contradições aqui apresentadas, entre o aspecto teórico e computacional, podem ser um instrumento rico para tratar questões conceituais na sala de aula e, assim, colaborar na construção do conhecimento. As metodologias abordadas, que são favorecidos pelo uso das ferramentas computacionais, devem sempre ser acompanhadas de uma análise critica por parte dos usuários. Referências Belfort, E. e Guimarães, L. C. O papel do software educativo na formação continuada de professores de matemática. In: Anais do VI Encontro Nacional de Educação Matemática, vol. 2, pp.104 107, SBEM, 1998. Giraldo, V. e Carvalho, L. M. Breve bibliografia comentada sobre o uso de tecnologias computacionais no ensino de matemática avançada. In: Anais do VII Encontro Nacional de Educação Matemática, SBEM, 2004. Giraldo, V.; Carvalho, L. M. e Tall, D. Conflitos teórico-computacionais e a formação de imagem conceitual de derivada. Anais do IX ENEM, SBEM, Belo Horizonte, 2007. Laudares, I. e Lachini, J. O uso do computador no ensino de matemática na graduação. In: 23 a Reunião Anual da Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação, 2000. Tall, D. O. e Vinner, S. Concept Image and Concept Definition in Mathematics, with special reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, pp. 151-169, 1981.