O USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE LIMITE

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1 O USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE LIMITE Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Universidade Federal de Ouro Preto Daniele Cristina Gonçalves Universidade Federal de Ouro Preto Resumo: Da nossa prática no ensino de Cálculo, pudemos perceber a dificuldade dos alunos no entendimento do conceito de limite. Com isso, formulamos o presente minicurso com o intuito de ajudar os alunos de cursos superiores na compreensão do conceito de limite, através de uma investigação com diversificadas funções no software GeoGebra. Serão apresentadas quatro atividades envolvendo funções contínuas, descontínuas e trigonométricas. Palavras-chave: Utilização de software no ensino da matemática; Ensino de cálculo; Limites; Investigação; GeoGebra. A INFORMÁTICA COMO RECURSO DIDÁTICO AUXILIAR Uma das principais discussões atuais no ensino de matemática está relacionada à utilização de ferramentas computacionais em sala de aula. A informática é um recurso de grande potencial pedagógico que pode auxiliar o professor na tarefa de ensinar e possibilitar ao educando um conhecimento dinâmico. Segundo Gravina e Santarosa (1998), um ambiente educacional informatizado possibilita ao aluno a construção do seu conhecimento, pois com auxílio de um recurso computacional o estudante pode modelar problemas e fazer simulações, além de visualizar uma situação que muitas vezes não seria possível sem essa ferramenta. Ambientes informatizados proporcionam um conhecimento matemático dinâmico, contribuindo para a apreensão do significado dos conteúdos matemáticos; permitem maior interação do aluno com o conhecimento que está sendo construído e favorecem a simulação, permitindo ao educando expressar seus pensamentos e ideias. A utilização de softwares permite que os conceitos matemáticos sejam explorados por meio de construções que podem ser manipuladas, deixando de ser estáticas e proporcionando uma nova visão da matemática. Para que a informática contribua para a 1

2 obtenção de resultados positivos na sala de aula, é imprescindível que os professores adotem metodologias diferenciadas na utilização desses recursos. Segundo Neto, Um ambiente propício para o ensino de matemática, mais especificamente para o ensino de limite, utilizando novas tecnologias como ferramentas auxiliares, deve levar em conta o plano de aula do professor e um laboratório de informática devidamente adequado. (2006, p. 67) O docente é indispensável no processo de aprendizagem com auxílio de ferramentas computacionais, pois é ele o responsável por motivar os alunos e conduzi-los na busca de descobertas. Ao educador, enquanto mediador da aprendizagem, cabe explorar junto com o estudante o conhecimento matemático que está sendo construído e explorar os conceitos matemáticos envolvidos. A observação e a percepção devem ser estimuladas para desenvolver no discente a capacidade de criticar e questionar a matemática como um conhecimento em construção. É importante incentivar também a justificação, para desenvolver no educando a capacidade de argumentação das suas ideias. A utilização de recursos computacionais nas aulas possibilita a exploração dos conteúdos matemáticos a partir do campo visual do aluno. Partindo de uma imagem, podese explorar o conceito matemático envolvido em uma situação problema. As atividades, além de naturalmente trazer a visualização para o centro da aprendizagem matemática, enfatizam um aspecto fundamental na proposta pedagógica da disciplina: a experimentação. As novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e calculadoras gráficas, permitem que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de biologia e de física. (BORBA e PENTEADO, 2001, p. 34) A utilização de softwares no ensino de matemática pode contribuir positivamente na formação do estudante, possibilitando uma relação de troca entre o aluno e a matemática. Ao se deparar com uma situação-problema, se o aluno dispõe de alguma ferramenta computacional, seu trabalho pode ficar mais agradável e interativo. O CÁLCULO E SEU ENSINO 2

3 O elevado índice de reprovação em Cálculo tem levado muitos pesquisadores a se preocupar com o desempenho dos alunos. As pesquisas pautadas nesse assunto, segundo Nasser (2007), destacam principalmente as dificuldades na compreensão de função, de limite, de derivada, do Teorema Fundamental do Cálculo e a forma que os alunos estudam. Dentro da nossa prática profissional, temos percebido que os alunos apresentam uma dificuldade específica no conceito formal de limite, limites laterais, infinito e no infinito. Rezende (2003) ressalta que a dificuldade na aprendizagem desses dois últimos acontece devido à falta de amadurecimento das ideias de infinito e o entendimento que o limite de uma sequência tende, mas não alcança, o seu ponto limite (p. 7). Considerando a relevância da utilização de recursos computacionais na sala de aula e tendo em vista a importância da abordagem conceitual de limite, propomos este minicurso com objetivo de apresentar uma proposta para o ensino de limites a partir de sua interpretação geométrica, explorando graficamente os limites de funções, para que os alunos possam visualizar e investigar. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p. 13), investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades. POR QUE O GEOGEBRA? Para esse mini-curso, fez-se a opção pelo software GeoGebra por se tratar de um programa livre com alto potencial didático e pedagógico, além de poder ser utilizado nos sistemas operacionais Windows e Linux. O GeoGebra reúne Geometria, Álgebra e Cálculo. Sua interface dispõe de uma janela de álgebra e uma outra de geometria, em que cada objeto geométrico criado possui uma correspondência algébrica. Por ser um programa de geometria dinâmica, o GeoGebra facilita a investigação dos alunos, que podem movimentar os objetos e acompanhar as variações ocorridas, fazer conjecturas e testá-las, além de relacionar os conteúdos algébricos e geométricos. DESENVOLVIMENTO 3

4 Tem-se como público alvo alunos do ensino superior e professores. Para a realização das atividades será necessário um laboratório de informática, contendo o software GeoGebra instalado, e um projetor de multimídia. O objetivo é auxiliar os alunos na compreensão, através de visualização e investigação, das definições de limite, limites laterais, existência de limite e preparar para o estudo de continuidade. As atividades também podem ser uma possível proposta didática para professores de Cálculo. ATIVIDADES PROPOSTAS Atividade 1 Limite de uma função descontínua com salto. 1) Abra uma janela do GeoGebra e salve-a como: Nome-Construção1. x 3, x 2 2) Construa o gráfico da função f( x). (digite no campo entrada: 2 x 8x 12, x 2 f(x) = Se[x<=2, x-3, - x^2+8x-12].) 3) Crie um seletor a no intervalo [-1, 2] com incremento Crie outro seletor b no intervalo [2, 5] com incremento ) Crie dois pontos A e B, na função, associados aos seletores a e b. (digite no campo entrada A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)).) 5) Mova os seletores utilizando as setas do teclado e observe o que acontece com as coordenadas dos pontos quando as abscissas tendem a 2. 6) O que podemos afirmar sobre os limites laterais quando x tende a 2? Crie uma janela de texto e registre seus comentários. Salve seu arquivo novamente. Atividade 2 Limite de função que envolve trigonometria. 1) Em uma nova janela do GeoGebra, que deverá ser salva como Nome-Construção2, 1 cos( x) construa o gráfico da função gx ( ) (digite no campo entrada: g(x) = (1- x cos(x))/x.) 4

5 2) Crie um seletor a no intervalo [-3, 3] com incremento Crie um ponto A de coordenadas (a, g(a)). 3) Encontre os limites laterais de g(x) quando x tende a zero e observe o valor de g(0). Registre o limite de g(x) quando x tende a zero e justifique. Salve seu arquivo. Atividade 3 Limite de função com assíntota horizontal e vertical. 1) Em uma nova janela do GeoGebra, construa o gráfico da função 1 hx ( ) 2 (digite no campo entrada: h(x) = 1/(x^3-4x^2-7x+10)+2.) 3 2 x 4x 7x 10 Salve-a como Nome-Construção3. 2) Observando o gráfico, estime valores para x, nos quais a função não exista. Avalie os limites laterais da função h(x) quando x se aproxima desses valores de x. Registre os resultados, justificando como você os obteve. 3) Crie retas verticais com os valores encontrados no item anterior. É possível encontrar pontos de interseção entre a função e as retas verticais? Se desejar, identifique a função e as retas com cores diferentes. 4) O que podemos afirmar sobre o valor de h(x) quando x tende a + ou -? Registre. Salve seu arquivo. Atividade 4 Introdução a definição formal de limite. 1) Em uma nova janela do GeoGebra, crie a seguinte função r(x) = x 2 x 2. 2) Crie o ponto C(1,3) e fixe-o. 3) Crie um segmento do ponto C até o eixo x e outro segmento do ponto C até o eixo é o eixo y. (Observação: os segmentos deverão ser perpendiculares aos eixos.) 4) Crie um seletor a no intervalo [0, 1] com incremento Crie outro seletor b no intervalo [1, 2] com incremento ) Crie dois pontos A e B, na função, associados aos seletores a e b. 6) Repita a operação do item 3, para os pontos A e B. 7) Identifique os pontos A, B e C de cores diferenciadas e os segmentos com as cores respectivas a cada ponto. 5

6 8) Oculte os pontos que foram criados na interseção dos segmentos com os eixos e os rótulos de cada segmento. 9) Responda: 9a) Quando os seletores a e b valem 0 e 2, respectivamente, qual a distância das coordenadas dos pontos A e B, até as coordenadas do ponto C. Faça separadamente para as abscissas e para as ordenadas. 9b) Se tornarmos a distância das coordenadas no eixo y, sendo a metade do que era no item anterior, o que acontece com a distância das coordenadas no eixo x? 9c) O que podemos concluir se fizermos a operação anterior repetidas vezes? Registre. 9d) Podemos chegar a uma relação entre as distâncias no eixo y e as distâncias no eixo x? Registre. REFERÊNCIAS BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, GRAVINA, M. A. & SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. IV Congresso RIBIE, Brasília, Disponível em: Acesso em: 18 jan NASSER, L. Ajudando a superar obstáculos na aprendizagem de Cálculo. IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Disponível em: < Acesso em: 15 nov NETO, J. P. S. Um estudo sobre o ensino de limite: um tratamento computacional com aplicações. (Dissertação de Mestrado) PUC São Paulo: Disponível em: < Acesso em: 05 mar PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica,

7 REZENDE, W. M. O ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica. In: MACHADO, N.; CUNHA, M.(org) Linguagem, Conhecimento, Ação ensaios de epistemologia e didática. Escrituras, São Paulo, Disponível em: < Acesso em: 15 nov