GRUPOS COBERTOS POR CINCO SUBGRUPOS MAXIMAIS KIARA LIMA COSTA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA KIARA LIMA COSTA GRUPOS COBERTOS POR CINCO SUBGRUPOS MAXIMAIS FORTALEZA 2013

KIARA LIMA COSTA GRUPOS COBERTOS POR CINCO SUBGRUPOS MAXIMAIS Dissertacão submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de concentracão: Álgebra Orientador: Prof. Dr. José Robério Rogério FORTALEZA 2013

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará Biblioteca do Curso de Matemática C871g Costa, Kiara Lima Grupos cobertos por cinco subgrupos maximais / Kiara Lima Costa. 2013.. 162 f. : enc. ; 31 cm Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2013. Área de Concentração: Álgebra Orientação: Prof. Dr. José Robério Rogério. 1. Teoria dos grupos. 2. Isomorfismos (Matemática). I. Título. CDD 512.2

Veja não diga que a vitória está perdida Tenha fé em Deus, tenha fé na vida Tente outra vez

Aos meus pais, Elias e Zilda, à minha irmã, Kélvia, e aos meus familiares por estarem sempre ao meu lado.

Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, por ele ser minha força, fortaleza. À minha família pelo apoio e compreensão nos momentos de ausência. Ao meu orientador, professor Robério Rogério pelo seu exemplo de humildade, por suas palavras animadoras e por acreditar no meu esforço e potencial. Aos meus professores do Departamento de Matemática da UFC, pela excelente formação. Ao professor José Alberto Duarte Maia pela ajuda que foi de fundamental importância no desenvolvimento do Lema 5.3. Aos membros da banca: Prof. Dr. Emanuel Augusto de Souza Carneiro e Prof. Dr. José Alberto Duarte Maia. A toda minha turma de mestrado pela solidariedade e incentivo no decorrer do mestrado. À Andréa Costa Dantas, pelo carinho e toda sua atenção. Ao CNPq pelo apoio financeiro. Finalmente, a todos aqueles que contribuíram para esse momento de conclusão de mestrado.

Resumo Esta dissertação é baseado no artigo Covering groups with subgroups de R. A. Bryce, V. Fedri e L. Serena, onde caracterizam os grupos que admitem uma cobertura irredundante por cinco subgrupos maximais com interseção livre de núcleo. Além disso, a intersecção de uma cobertura irredundante por n subgrupos é conhecido por ter índice delimitada por uma função de n, embora em geral, a limitação precisa não é conhecida. Aqui nós confirmamos um crédito de Tomkinson que a limitação correta é 16 quando n é 5. Palavras-Chave: Teoria dos grupos. Cobertura de grupos por subgrupos. Isomorfismos.

Abstract This dissertation is based on the article Covering groups with subgroups of R. A. Bryce, V. Fedra and L. Serena, which characterize groups that admit a cover by five maximal irredundant subgroups with free core intersection. The intersection of an irredundant cover by n subgroups is known to have index bounded by a function of n, though in general the precise bound is not known. Here we confirm a claim of Tomkinson that the correct bound is 16 when n is 5. Keywords: Group theory. Cover groups into subgroups. Isomorphisms

Sumário Introdução p. 1 1 Resultados Básicos p. 5 1.1 Grupos e Subgrupos............................... p. 6 1.2 Classes Laterais................................. p. 10 1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos..................... p. 16 1.4 Subgrupos Clássicos.............................. p. 20 1.5 Homomorfismos de Grupos........................... p. 23 1.6 Ação de Grupos................................. p. 29 1.7 Teoremas de Sylow............................... p. 35 1.8 O Grupo Simétrico S n.............................. p. 38 1.9 Produto Direto e Semidireto.......................... p. 47 1.9.1 Produto Direto............................. p. 47 1.9.2 Produto Semidireto........................... p. 49 2 Preliminares p. 52 2.1 Séries...................................... p. 53 2.2 Comutadores.................................. p. 54 2.3 Grupos Solúveis, Supersolúveis e Nilpotentes................. p. 63

2.4 Teorema de Schur-Zassenhaus e Aplicações.................. p. 80 3 Cobertura por Classes Laterais p. 83 3.1 Grupos cobertos por classes laterais...................... p. 84 3.2 Sobre f 1 (n)................................... p. 88 4 Coberturas de Grupos p. 93 4.1 Lema Fundamental............................... p. 94 4.2 Características dos Grupos que possuem Coberturas por Subgrupos Próprios. p. 100 4.3 Os casos n = 1,2,3............................... p. 101 4.3.1 n = 1................................... p. 102 4.3.2 n = 2................................... p. 102 4.3.3 n = 3................................... p. 103 4.4 Cota inferiores para f (n)............................ p. 107 4.5 Cotas Superiores para f (n)........................... p. 111 5 Caracterização dos grupos com 3,4,5-cobertura p. 116 5.1 C 3 -cobertura................................... p. 117 5.2 C 4 -cobertura................................... p. 117 5.3 C 5 -cobertura................................... p. 117 6 O valor exato de f (5) p. 146 Referências Bibliográficas p. 152

Introdução Uma cobertura para um grupo G é uma coleção de subgrupos próprios de G cuja união é igual a G. Usamos o termo n-cobertura para uma cobertura com n membros. A n-cobertura é irredundante se nenhuma subcoleção é ainda uma cobertura, ou seja, G = H 1 H 2... H n ser uma n-cobertura irredundante significa que H i H 1... H i 1 H i+1... H n. Quando todos os membros da cobertura são subgrupos maximais, dizemos que a cobertura é maximal. Uma cobertura é dita ter interseção livre de núcleo quando o núcleo normal da interseção dos membros da cobertura é trivial. Sabemos que a união de dois subgrupos é um subgrupo se, e somente se, um deles contém o outro. Dessa forma, não existe grupo G que admita uma 2-cobertura irredundante. Agora desse simples resultado surgem perguntas tais como: Para n 3, em que condições um grupo G pose ser escrito como n-cobertura irredundante? Será possível caracterizar todos os grupos G que possui uma n-cobertura irredundante? Scorza (1926) [17] determinou a estrutura de todos os grupos tendo uma 3-cobertura irredundante com interseção livre de núcleo. Proposição 0.1 (Scorza, 1926 [17]) Seja {H i ;1 i 3} uma cobertura irredundante com interseção D livre de núcleo de um grupo G. Então D = 1 e G C 2 C 2. D. Greco procurou estudar os casos pequenos. Ele conseguiu uma caracterização para os grupos que podem ser cobertos por 2,3 ou 4 subgrupos. Para o caso n = 5, sua caracterização foi apenas parcial, o que mostrava a dificuldade do problema. Percebeu-se ali que talvez esta não fosse a abordagem mais interessante e outras idéias começaram a surgir. Greco (1956) [13] caracterizou todos os grupos tendo uma 4-cobertura irredundante com interseção livre de núcleo.

Introdução 2 Proposição 0.2 (Greco, 1956 [13]) Seja {H i ;1 i 4} uma cobertura irredundante com interseção D livre de núcleo para um grupo G. Se a cobertura é maximal, então ou 1. D = 1 e G C 3 C 3 ou G S 3 ; ou 2. D = 2, G = 18 e G é imerso em S 3 S 3. Se a cobertura não é maximal, então ou 1. D = 1 e G C 4 C 2 ou G C 2 C 2 ; ou 2. D = 2 e G D 8 C 2 No ano de 1954, B. H. Neumann publicou dois artigos: Groups covered by permutable subsets, Groups covered by finitely cosets relacionados com o assunto. Ele estudou o problema da cobertura de um grupo, não só por subgrupos, mas também por classes laterais. Um dos resultados mais importantes obtidos por Neumann nos diz que se um grupo G pode ser coberto por uma quantidade finita de classes laterais (à direita): G = X 1 x 1 X 2 x 2... X n x n (1) então pelo menos um dos subgrupos X i deve ter índice finito em G, e as classes laterais dos subgrupos de índice infinito podem ser omitidas da cobertura. O resultado de Neumann pode então ser reescrito como: Teorema 0.1 (Neumann) Se G admite uma cobertura irredundante por n classes laterais: G = X 1 x 1 X 2 x 2... X n x n n então o índice G : X i é finito. Neumann (1954) [15] provou que se G tem uma n-cobertura irredundante então o índice da interseção da cobertura em G pode ser limitado por uma função de n e Tomkinson (1987) [19] melhorou esta limitação. Denotaremos por f (n) o maior índice G : D tomado sobre todos os grupos G tendo uma n-cobertura irredundante com interseção D. Denotaremos ainda por f 1 (n) como sendo o máximo valor do índice da interseção da cobertura por n classes laterais. Esta dissertação é baseada no artigo Covering groups with subgroups de R. A. Bryce, V. Fedri e L. Serena, onde caracterizam os grupos que admitem uma cobertura irredundante

Introdução 3 por cinco subgrupos maximais com interseção livre de núcleo. Mostraremos ainda que o valor exato de f (5) = 16, confirmando a conjectura de Tomkinson feita em [19]. Neste trabalho, C n representa a classe de todos os grupos G tendo uma n-cobertura maximal irredundante com interseção D livre de núcleo. Para um grupo G em C n, assumimos que Σ = {M i ;1 i 5} é uma 5-cobertura maximal irredundante para G com interseção D livre de núcleo, ou seja, D G = 1. Vamos agora explanar um pouco do que será feito em cada capítulo. Nos Capítulos 1 e 2 desenvolvemos todos os pré-requisitos básicos nececssários no decorrer da leitura. No Capítulo 3 trataremos do problema da cobertura de grupos por classes laterais. Provaremos ainda que f 1 (n) = n!, que é chamada de primeira parte do Teorema de Tomkinson. Provamos também o Teorema de Neumann, que é indispensável no estudo das Coberturas de Grupos. Teorema 0.2 (Neumann) Suponhamos que o grupo G é coberto por n subgrupos, G = Suponha que para certo i {1,2,3,...,n} tenhamos H i j, então G : H i é finito. j ih n H i. Note que o Teorema acima é consequência do Teorema 0.1, pois todo subgrupo é, em particular, classe lateral. No Capítulo 4 abordamos o problema da cobertura de grupos por subgrupos. Analisamos quando um grupo pode ser coberto por dois ou três subgrupos. Haja vista a impossibilidade de cobrirmos um grupo irredundantemente por dois subgrupos. Temos que para coberturas com três subgrupos temos o seguinte resultado. Proposição 0.3 Seja {H i ;1 i 3} uma cobertura irredundante com interseção D livre de núcleo de um grupo G. Então D = 1 e G C 2 C 2. Depois disso ainda no mesmo capítulo achamos cotas inferiores e superiores para f (n) que constituem a segunda parte do Teorema de Tomkinson. No capítulo 5 abordamos uma condição necessária e suficiente para que um grupo G esteja em C 5 que é dada pelo seguinte Teorema

Introdução 4 Teorema 0.3 Seja G um grupo com cobertura irredundante maximal de cinco subgrupos com interseção livre de núcleo D. Então ou (a) D = 1 e G é abeliano elementar de ordem 16; ou (b) D = 1 e G A 4 ; ou (c) D = 3, G = 48 e G A 4 A 4 E por fim, no capítulo 6, mostraremos que o valor exato de f (5) é 16.

Capítulo1 Resultados Básicos Conteúdo 1.1 Grupos e Subgrupos............................... p. 6 1.2 Classes Laterias.................................. p. 10 1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos....................... p. 16 1.4 Subgrupos Clássicos............................... p. 20 1.5 Homomorfismos de Grupos............................ p. 23 1.6 Ação de Grupos.................................. p. 29 1.7 Teoremas de Sylow................................ p. 35 1.8 O Grupo Simétrico S n............................... p. 38 1.9 Produto Direto e Semidireto............................ p. 47 1.9.1 Produto Direto.............................. p. 47 1.9.2 Produto Semidireto............................ p. 49 Neste primeiro capítulo abordaremos os alicerces da teoria dos grupos. Ou seja, abordaremos uma série de definições e resultados da teoria dos grupos com o intuito de facilitar a compreensão dos corolários, lemas, proposições e teoremas que serão abordados nos capítulos subsequentes.

1.1 Grupos e Subgrupos 6 1.1 Grupos e Subgrupos Definição 1.1 Um conjunto G com uma operação G G G (a,b) a b é um grupo se as condições seguintes são satisfeitas: (i) A operação é associativa, isto é, a (b c) = (a b) c, a,b,c G (ii) Existe um elemento neutro, isto é, e G,tal que e a = a e = a, a G (iii) Todo elemento possui um elemento inverso, isto é, a G, b G,tal que a b = b a = e O grupo é abeliano ou comutativo se: (iv) A operação é comutativa, isto é, a b = b a, a,b G Observação 1.1 1) O elemento neutro é único. De fato, suponhamos que existam dois elementos neutros de G, que indicaremos por e e e. Desse modo teremos e = e e, visto que e é elemento neutro e e = e e, visto que e é elemento neutro. Combinando as duas igualdades acimas, obtemos que e = e. 2) O elemento inverso é único. De fato, suponhamos que dado a G tenhamos para o mesmo dois elementos inversos, que denotaremos por b e b. Sendo assim, temos que a b = b a = e e a b = b a = e. Dessa forma, teremos: b = b e = b (a b ) = (b a) b = e b = b.

1.1 Grupos e Subgrupos 7 Denotaremos o único inverso de a por a 1. Definição 1.2 Seja G um grupo. Um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G (denotamos por H G) quando, com a operação de G, o conjunto H é um grupo, isto é, quando as condições são satisfeitas. (i) h 1 h 2 H, h 1,h 2 H. (ii) h 1 (h 2 h 3 ) = (h 1 h 2 ) h 3, h 1,h 2,h 3 H. (iii) e H H, tal que e H h = h e H = h, h H. (iv) Para cada h H, existe k H, tal que h k = k h = e H. Observação 1.2 1) A condição (ii) é sempre satisfeita, pois a igualdade g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 é válida para todos os elementos de G. 2) O elemento neutro e H de H é necessariamente igual ao elemento neutro e de G. 3) Dado h H, o inverso de h em H é necessariamente igual ao inverso de h em G. Proposição 1.1 Seja H um subconjunto não vazio do grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, as duas condições são satisfeitas: (i) a b H, a,b H (ii) a 1 H, a H Vamos supor inicialmente que H é subgrupo de G. Sendo assim, da definição 1.2 temos que H é fechado com a operação em G, logo, a,b H temos que a b H. Agora dado qualquer elemento a H temos que existe a H tal que a a = e H = e a a = e e assim a é também o inverso de a. Segue assim, da unicidade do elemento inverso, que a = a 1 e, dessa maneira, a 1 H. Portanto (i) e (ii) são satisfeitas. Agora mostraremos que H é subgrupo de G assumindo a validade de (i) e (ii). Com efeito, a fim de estabelecer que H é subgrupo, basta verificar que e H e que a lei associativa vale para os elementos de H. Como a lei associativa vale em G e H G não vazio

1.1 Grupos e Subgrupos 8 temos que a lei associativa é válida para os elementos de H. Agora dado a H temos, por (ii), que a 1 H. Logo, por i), segue-se que a H a 1 H a a 1 H e H. Proposição 1.2 Seja G um grupo, /0 H G um subconjunto finito de G. Mostre que H G a,b H vale a b H. Segue-se da Proposição 1.1 que se H é um subgrupo de G então H é fechado para a operação em G. Reciprocamente, da Proposição 1.1, basta mostrar que para todo a H temos que a 1 H. Suponhamos que a H. Dessa forma, a 2 = a a H,a 3 = a 2 a H,..., a m = a m 1 a H,..., haja vista H ser fechado. Assim, a coleção infinita de elementos a,a 2,...,a m,... está toda em H, que é subconjunto finito de G. Assim, concluímos que há repetições nesta coleção de elementos, isto é, para certos inteiros r e s, com r > s > 0, teremos a r = a s. Agora, como G sendo G um grupo temos que as leis de cancelamento são válidas. Assim a r = a s a l+s = a s a l a s = a s a l = e, onde r = l + s e assim temos l = r s. Mas e H e assim a r s H. Como r s > 0, tem-se que r s 1 0. Logo a r s 1 H e, portanto, a 1 = a r s 1, pois a a 1 = a a r s 1 = a 1+r s 1 = a r s = e a a 1 = e. Portanto, a 1 H e assim H é subgrupo de G. Definição 1.3 Sejam H,K G. Definimos o conjunto HK como sendo HK = {hk G;h H,k K}.

1.1 Grupos e Subgrupos 9 Proposição 1.3 Seja G um grupo. (i) Seja {H i ;i I} uma família não vazia de subgrupos, então i I H i é um subgrupo de G. (ii) Se H,K G, então HK G HK = KH. (iii) (Lei Modular de Dedekind) Sejam H,K e L subgrupos de um grupo G, então (HK) L = (H L)K, se K L. (i): Observe inicialmente que H i é não-vazio pois cada H i é um subgrupo. Sejam a,b H i. i I i I Então temos que a,b H i, i I. Mas como cada H i é subgrupo segue-se que ab H i, i I. Portanto, ab H i. Agora seja a H i. Então temos que a H i, i I. Mas sendo H i um i I i I subgrupo temos que a 1 H i, i I,,ou seja, a 1 H i. Segue da Proposição 1.1 que H i i I i I é um subgrupo. (ii) Considere inicialmente que HK = KH. Mostraremos que HK é um subgrupo de G. Desde que e = e e HK, segue-se que HK é não-vazio. Sejam a,b HK. Dessa forma, temos que a = h 1 k 1,b = h 2 k 2 para algum h 1,h 2 H e k 1 k 2 K. Logo, ab 1 = h 1 k 1 k 1 2 k 1 1 h 1k 3 h 1 2, com k 3 = k 1 k 1 2 K. Agora, como k 3 h 1 2 KH = HK. Portanto, podemos escrever k 3 h 1 2 = h 3 k 4 para algum h 3 H e k 4 K. Dessa forma, ab 1 = h 1 h 3 k 4 = h 4 k 4, com h 4 = h 1 h 3 H. Segue-se assim que ab 1 HK, ou seja, HK é um subgrupo de G. Agora, partiremos do fato de que HK é um subgrupo. Considere a KH, ou seja, a = kh com k K,h H. Então a 1 = h 1 k 1 HK e sendo HK subgrupo, segue-se que a HK. Provamos assim que KH HK. Agora, considere b HK. Mas, sendo HK subgrupo, temos b 1 = h k HK para algum h H e k K. Consequentemente, temos b = k 1 h 1 KH. Portanto, HK KH. Segue-se assim o que queríamos demonstrar. (iii): Considere x (HK) L. Então, x = hk com h H,k K e x = hk L. Donde, obtemos h = xk 1 L (Usamos aqui o fato de K L). Logo, h H L x = hk (H L)K. Portanto, temos que (HK) L (H L)K.

1.2 Classes Laterais 10 Agora mostramos a outra inclusão, ou seja, (H L)K (HK) L e, com isso, garantiremos a igualdade, isto é, (HK) L = (H L)K. Considere assim, y (H L)K. Logo, y = hk, com h H L e k K, o que implica que y HK. Mas, como temos que H L então y L. Assim y (HK) L. Logo, segue-se a inclusão desejada e assim, temos a igualdade. Observação 1.3 Sempre nos referiremos ao grupo G como sendo multiplicativo a menos que indiquemos no texto o contrário. Usaremos, de agora em diante, o símbolo 1 para indicar tanto o elemento indentidade de G como o subgrupo de G que contém apenas a identidade, tal subgrupo é denominado subgrupo trivial de G. De acordo com o contexto o significado do símbolo 1 será claro. Um subgrupo de um grupo G será denotado por H G. Se H G, dizemos que H é um subgrupo próprio de G e denotamos por H < G. Em princípio, falaremos sobre grupos quaisquer. finitos, pois estes são o centro do nosso trabalho. Mais na frente, restringiremos a grupos 1.2 Classes Laterais Definição 1.4 Seja G um grupo com x,y G e H G. Dizemos que x está relacionado com y, denotamos por x y, se e somente se, x 1 y H. Proposição 1.4 define uma relação de equivalência em G. Para mostrar que é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três condições seguintes. Para todos x, y, z G, (a) x x; (b) x y implica y x; (c) x y e y z implica x z. Sendo assim, teremos:

1.2 Classes Laterais 11 (a): Para mostrar que x x precisamos demonstrar que x 1 x H. Mas como H é um subgrupo de G, segue-se que 1 H e como x 1 x = 1 temos x 1 x H. (b): Suponha que x y, ou seja, x 1 y H, a partir daí queremos obter que y x, ou seja, y 1 x H. Agora, como por hipótese x 1 y H e H é subgrupo, segue-se que ( x 1 y ) 1 H, ou seja, y 1 x H, isto é,y x. (c): Finalmente, exigimos que se x y e y z implique x z. Por hipótese, temos que como x y então x 1 y H. Da mesma forma, como y z então y 1 z H. Mas como H é subgrupo temos que (x 1 y)(y 1 z) H, ou seja, x 1 z H, isto é, x z. Definição 1.5 Dado x G, o conjunto é chamada classe lateral à esquerda de x. x = {y G;x y} = {y G;y xh} = xh Observação 1.4 x y y 1 x H também define uma relação de equivalência em G. O conjunto x = {y G;x y} = {y G;y Hx} = Hx é chamada classe lateral à direita de x. Proposição 1.5 Existe uma bijeção entre o conjunto A das classes laterais à direita e o conjunto B das classes laterais à direita. Para isso basta definirmos ϕ : A B de modo que ϕ(hx) = x 1 H. Tal função é claramente uma bijeção. Definição 1.6 A cardinalidade do conjunto das classes laterais à esquerda é o índice de H em G que denotaremos por G : H. Observação 1.5 Por conta da Proposição 1.5, o índice de H em G também pode ser visto como sendo a cardinalidade das classes laterais à direita.

1.2 Classes Laterais 12 Proposição 1.6 Todas as classes laterais de H em G têm a mesma cardinalidade, igual a cardinalidade de H. Para isso basta definirmos ϕ : H xh de modo que ϕ(h) = xh. Tal função é claramente uma bijeção. Definição 1.7 Seja H G. Dizemos que T G é um transversal (à esquerda) de H em G se G = th, ou seja, g G, t T e h H tal que g = th e t,t T,tH t H. t T Definição 1.8 Se X é o número de elementos do conjunto X (finito ou infinito) então (1) X = Y se existe uma aplicação bijetiva de X em Y ; (2) X Y se existe uma aplicação injetiva de X em Y ; (3) X Y = X Y. Proposição 1.7 Se A i,i I são conjuntos disjuntos com A i = A, então A i = I A Para ver isso denote por F i : A A i uma bijeção e defina ϕ : I A É fácil ver que ϕ é bijetiva. i I A i por ϕ(i,a) = F i (a). i I Proposição 1.8 (Teorema do Índice) Sejam G um grupo, K H e H G com K não vazio. Então G : K = G : H H : K.

1.2 Classes Laterais 13 Sejam T um transversal de H em G e U um tranversal de K em H. Dessa maneira, temos que Inicialmente, nosso intuito é mostrar que G = H = uk e G = th. u U t T tuk. t T u U Com efeito, considere g G, então temos que g = th onde t T e h H. Mas com h H temos que existem u U e k K de modo que h = uk. Portanto, teremos que g = tuk tuk. Logo, G tuk. t T u U Por fim, mostraremos a inclusão contrária. Considere x t T u U tuk. Dessa forma, x = tuk onde t T,u U e k K. Mas, temos que H = uk temos que h = uk H e, portanto, x = th. u U Mas G = th e, assim, x G. Logo, t T Assim, G = tuk. t T u U tuk G. t T u U t T u U Assim, o conjunto Ω = TU é um transversal de K em G, logo G : K = Ω = TU = T U = G : H H : K. Usamos acima que TU = T U. Tal fato é verdadeiro. De fato, defina ϕ : T U TU dada por ϕ(t,u) = tu, o que é claramente uma bijeção. Corolário 1.1 (Teorema de Lagrange) Se H G, temos G = G : H H.

1.2 Classes Laterais 14 Segue diretamente do Teorema do Índice bastando considerar K = {1} e notar que G : K = G : H H : K G = G : H H. Corolário 1.2 Se G < e H G então H G. Bastar ver que G = G : H H pelo Teorema de Lagrange. Proposição 1.9 Sejam G um grupo e H,K G. Se G : H, G : K < então G : H K G : H G : K <. Denotemos por (G : H) o conjunto das classes laterais de H em G. Montemos uma função que será injetiva, F : (G : H K) (G : H) (G : K) dada por (H K)g (Hg,Kg). Vejamos que F é bem definida, ou seja, que independe do representante da classe: Agora vejamos a sua injetividade: (H K)g = (H K)g 1 gg 1 1 H K gg 1 1 H;gg 1 1 K = Hg = Hg 1 ;Kg = Kg 1 (Hg,Kg) = (Hg 1,Kg 1 ) gg 1 1 H;gg 1 1 K gg 1 1 H K (H K)g = (H K)g 1 Corolário 1.3 (Teorema de Poincaré) Se A 1,A 2,...,A n são subgrupos de G com índice finito, n então A i tem índice finito em G.

1.2 Classes Laterais 15 Segue da Proposição anterior que: n G : A i n G : A i <. Corolário 1.4 Sejam G um grupo e H,K G. Se ( G : H, G : K ) = 1, então G : H K = G : H G : K. Como H K H G temos, pelo Teorema do Índice, que G : H K = G : H H : H K = G : K K : H K e assim, segue-se que G : H G : H K e G : K G : H K. Mas, por hipótese, temos que G : H e G : K são primos entre si. Logo, G : H G : K G : H K. Em particular, G : H G : K G : H K. Por outro lado, do Teorema de Poincaré, vale a desigualdade contrária. Portanto, segue-se a igualdade. (Observe que como ( G : H, G : K ) = 1 só tem sentido se G : H, G : K < ). Proposição 1.10 Sejam H, K G. Então HK H K = H K. Defina a seguinte relação de equialência em H K: (h,k) (h,k ) hk = h k h 1 h = k k 1 H K. Verifica-se facilmente que é uma relação de equivalência em H K. Note que (h,k) = {(hx 1,xk);x H K} visto que h 1 h = k k 1 = x hx 1 = h e k = xk. Logo (h, k) = H K.

1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos 16 Para toda classe (h,k) podemos tomar um único representante (h,k ) de forma que o conjunto I = { representantes } é tal que H K = (h,k), (h,k) união disjunta. Pela Proposição 1.7 temos que H K = I (h, k) = I H K. Por fim, resta mostrar que I = H K, o que é verdade pois basta definir a função ϕ : HK I dada por ϕ(hk) = (h,k), o que é claramente uma bijeção. Portanto, segue-se o resultado. 1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos Definição 1.9 Seja G um grupo. Um subgrupo N de G é chamado um subgrupo normal de G, e escrevemos N G, se xnx 1 N para todo x G. Observação 1.6 {1} e G são normais em G. Com efeito, mostraremos inicialmente que {1} G Devemos mostrar que xex 1 {1}, x G, o que é verdade, pois x1x 1 = (x1)x 1 = xx 1 = 1 {1}. Agora mostraremos que G G. De fato, mostraremos que xgx 1 G, x G, o que significa provar que xgx 1 G, x,g G. Sendo assim, como G é grupo temos que xg G. Agora tendo x G segue que x 1 G. Dessa forma temos (xg)x 1 G, ou seja, xgx 1 G. Portanto, xgx 1 G. Observação 1.7 Se G é abeliano, então todo subgrupo de G é um subgrupo normal. De fato, seja H um subgrupo abeliano de G. Considere h H. Queremos mostrar que ghg 1 H, g G. Como H é subgrupo de G e h H temos h G. Dessa forma g,h G e sendo G abeliano segue-se que gh = hg.

1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos 17 Logo, ghg 1 = (gh)g 1 = (hg)g 1 = h(gg 1 ) = h1 = h H ghg 1 H. Portanto, H G. Observação 1.8 Um grupo G é simples se G e 1 são seus únicos subgrupos normais. Teorema 1.1 Seja N um subgrupo de G. Então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) N G. (ii) xnx 1 = N para todo x G. (iii) xn = Nx para todo x G. (iv) (xn)(yn) = xyn para todo x,y G. (i) (ii) Devemos mostrar que xnx 1 N e N xnx 1. Do fato de termos N G garantimos que xnx 1 N, x G. Resta, então, a segunda inclusão. Seja x G e sendo G grupo temos que x 1 G, e como xnx 1 N vale para todo x G, em particular, vale para x 1 G. Logo, x 1 N(x 1 ) 1 N x 1 Nx N. Assim: N = x(x 1 Nx)x 1 xnx 1 N xnx 1. Portanto, segue-se que xnx 1 = N, x G. (ii) (iii) Do item (ii) temos N = xnx 1. Logo, Nx = (xnx 1 )x = xnx 1 x = xn1 = xn Nx = xn, x G. (iii) (iv) Do item (iii) temos que xn = Nx. Logo, (xn)(yn) = x(ny)n = x(yn)n = (xy)nn = (xy)n = xyn (xn)(yn) = xyn. Observe que NN = N. De fato, NN N, visto que N é um subgrupo e assim fechado sobre a multiplicação. Por outro lado, N = 1N NN N NN.

1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos 18 Logo, das duas inclusões, segue que NN = N. (iv) (i) Do item (iv) temos que (xn)(yn) = xyn, x, y G. Logo, xnx 1 = xnx 1 e xnx 1 N = xx 1 N = 1N = N xnx 1 N. Proposição 1.11 Seja N G. O conjunto {xn;x G} é um grupo com a seguinte operação: (xn)(yn) = (xy)n. Primeiramente devemos mostrar que a operação está bem definida. Sendo assim, considere xn = x N e yn = y N. Para mostrar que (xn)(yn) = (x N)(y N) é necessário e suficiente mostrar que y 1 x 1 xy N. Mas, como xn = x N então n = x 1 x N. Assim, y 1 x 1 xy = y 1 ny N (pois N G). Portanto, a operação está bem definida. Além disso, temos: (i) Associatividade: (xn)[(yn)(zn)] = (xn)[(yz)n] = [x(yz)]n = [(xy)z]n = [(xy)n](zn) (xn)[(yn)(zn)] = [(xn)(yn)](zn). (ii) Elemento Neutro: Dado x G, (xn)(1n) = xn = (1N)(xN). (iii) Elemento Inverso: Dado x G, (xn)(x 1 N) = 1N = (x 1 N)(xN). Denotamos por G N = {xn;x G}, e o chamamos de grupo quociente. Definição 1.10 Seja N G. O índice de N em G é definido por G : N = G N. Proposição 1.12 Seja N G com G : N = 2 então N G.

1.3 Subgrupos Normais e Grupos Cíclicos 19 De fato, G é a união disjunta N Na = N an, para todo a G N. Se an N /0, então ax = x, com x e x elementos de N, ou seja, a = x x 1 N, o que é uma contradição. Logo, an = Na. Portanto, N é subgrupo normal de G. Proposição 1.13 Sejam G um grupo e H,N G. Se H G então HN G. Seja H G. Logo, dado n N temos que nh = Hn. Portanto, NH = HN. Segue-se da Proposição 1.3 que HN G. Definição 1.11 Seja G um grupo e N G. Definimos o subgrupo gerado por N e denotemos por N, o menor subgrupo de G que contêm N. Também podemos definir da seguinte forma Se N = {a} denotamos simplesmente por a. N = H G N H H. Definição 1.12 Seja G um grupo. Dado um elemento a G definimos a ordem do elemento a como o menor número inteiro positivo n tal que a n = 1 (se existir). Se não existir tal número, dizemos que a ordem de a é infinita. Denotamos a ordem de a por o(a). Proposição 1.14 Seja G um grupo e a G. Então (i) o(a) = a, se o(a) não for infinita; (ii) Se a n = 1 então o(a) n. (i): Note que o conjunto {1,a,a 2,...,a o(a) 1 } é o menor grupo que contém a; (ii): Suponha que tenhamos a n = 1. Pelo Algoritmo da Divisão temos que existem inteiros p e r tais que n = o(a)p + r, onde 0 r < o(a). Logo, 1 = a n = a o(a)p+r = a ao(a)p a r = ( a o(a)) p a r = a r.

1.4 Subgrupos Clássicos 20 Mas, a ordem de a tem a propriedade mínima. Segue-se assim, que r = 0 e o(a) n. Definição 1.13 Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo cíclico se existe a G tal que G = a. Proposição 1.15 Se G é um grupo cíclico qualquer subgrupo H de G também será cíclico. Seja G = a. Se H = {1} então H é cíclico gerado pelo elemento 1. Suponha então que tenhamos H {1}. Sendo assim existe um número inteiro d tal que a d H. Mas sendo H subgrupo, temos que a d H. Assim podemos garantir que existe d inteiro positivo para o qual tenhamos a d H. Considere agora n o menor inteiro positivo tal que a n H. Afirmamos que a n = H. Com efeito, como a n H então a n H. Para mostrarmos a outra inclusão, considere a l H. Pelo Algoritmo da Divisão temos que existem m, p Z de modo que l = n m + p e 0 p < n. Assim, a p = a l (a nm ) 1 H e, dessa maneira, temos p = 0. Com isto fica provado que H = a, ou seja, H é cíclico. Observação 1.9 O símbolo C n representará um grupo cíclico de ordem n. Como o(x) = x, para o(x) = n podemos escrever C n = x. 1.4 Subgrupos Clássicos Esta é uma seção especial para consolidarmos a notação a ser usada no texto. Vejamos as definições: Se x,g G o conjugado de x por g será x g = g 1 xg. Se x G, a classe de conjugação de x é o subconjunto: x G = {x g ;g G}.

1.4 Subgrupos Clássicos 21 Se N G, um subgrupo conjugado a N é dado por: N x = x 1 Nx = {x 1 nx;n N}. Quando N x = N, x G vimos que N é normal em G. Se x G, o centralizador de x em G é o subgrupo formado pelos elementos em G que comutam com x, indicado por: C G (x) = {g G;x g = x}. Se H G, o centralizador de H em G é o subgrupo: C G (H) = {g G;h g = h, h H} = C G (h). O centro do grupo G é o subgrupo formado pelos elementos de G que comutam com todos os outros Z(G) = C G (G). h H Observação 1.10 O centro de um grupo G é um subgrupo normal de G. Com efeito, devemos mostrar que gz(g)g 1 Z(G), ou equivalentemente, gzg 1 Z(G), g G e z Z(G). Assim dado z Z(G) temos que z x = xz, x G, ou ainda xz = z x x 1 (xz ) = x 1 (z x) (x 1 x)z = x 1 z x 1z = x 1 z x z = x 1 z x. Dessa maneira, dados g G e z Z(G) temos: gzg 1 = g(x 1 zx)g 1 = gx 1 zxg 1 = (gx 1 )z(gx 1 ) 1. Mas g,x G e G é grupo, logo gx 1 G e assim (gx 1 ) 1 G. Logo, usando o fato de z Z(G) temos que: (gx 1 )z(gx 1 ) 1 = z(gx 1 )(gx 1 ) 1 = z1 = z, ou seja, gzg 1 = z. Portanto, gzg 1 Z(G), g G e z Z(G), ou seja Z(G) G.

1.4 Subgrupos Clássicos 22 Se H G, definimos o normalizador de H em G como sendo o subgrupo N G (H) = {g G;H g = H}. Note que H N G (H) G. Observação 1.11 Dado H G,N G (H) H. Assim G : H = G : N G (H) N G (H) : H. Se X G, o subgrupo gerado por X será: X = {x α 1 1 xα 2 2 xα 3 3... xα n n ;x i X;α i = ±1}. Proposição 1.16 Seja G um grupo e seja Z(G) seu centro. Se G é cíclico, então Z(G) = G. Z(G) G Seja z um gerador do grupo Z(G). Então, g G, i tal que g = zi. Logo g = z i h com h Z(G). Se g 1 := z i 1 h 1 e g 2 := z i 2 h 2 são dois elementos quaisquer de G, temos: g 1 g 2 = z i1 h 1 z i2 h 2 = z i 1+i2 h 1 h 2 = z i2 h 2 z i1 h 1 = g 2 g 1, pois h 1 e h 2 comutam com qualquer elemento de G. Isto mostra que o grupo G é abeliano, isto é, G = Z(G). Definição 1.14 Se H G definimos o núcleo normal de G, que denotaremos por H G como sendo H G = X;X G,X H. Proposição 1.17 Seja H G então H G = H g. g G Vamos ver inicialmente que H G é normal em G. Seja x H G, temos que x = y 1 y 2...y n com y i Y i G e Y i H. Dessa maneira, para qualquer g G teremos g 1 xg = g 1 (y 1 y 2...y n )g = (g 1 y 1 g)(g 1 y 2 g)...(g 1 y n g) = y 1y 2...y n H G

1.5 Homomorfismos de Grupos 23 haja vista que cada y i Y i já que Y i G. Logo g 1 H G g H G H G é normal. Seja X = H g. Como H G é normal em G temos g G gh G g 1 = H G H H G g 1 Hg = H g H G H g = X. Por outro lado, veja que X = H g é normal em G, pois se x X e g,g 1 G podemos usar g G que x H gg 1 1 para concluir que g G g 1 1 xg 1 = g 1 ( 1 g1 g 1 hgg 1 ) 1 g1 = g 1 hg x g 1 H g, g G. Logo x g 1 X X g 1 x X é normal em G. Por outro lado, X H 1 = H o que implica X H G, e portanto, X = H G. Observação 1.12 H G = H g é o núcleo normal do subgrupo H em G. Note que H G é o g G maior subgrupo normal de G contido em H, ou seja, N G,N H N H G. Em particular, se H G então H = H G. 1.5 Homomorfismos de Grupos Definição 1.15 Considere G e H grupos. Uma aplicação ϕ : G H que satisfaz ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), x,y G é denominada um homomorfismo entre os grupos G e H. Além disso, se ϕ é bijetivo, então ϕ é denominado isomorfismo de G para H, e escrevemos G H e dizemos que G e H são isomorfos. Se além disso tivermos G = H, então ϕ é denominado um automorfismo de G. O conjunto de todos os automorfismos de G é, na realidade, um grupo com a operação de composição de funções. Denotamos este grupo por AutG. Teorema 1.2 Sejam G e H grupos com identidades 1 G e 1 H, respectivamente, e seja ϕ : G H um homomorfismo. Então: (i) ϕ(1 G ) = 1 H. (ii) ϕ(x 1 ) = (ϕ(x)) 1 para cada x G.

1.5 Homomorfismos de Grupos 24 Mostraremos inicialmente (i). Com efeito, ϕ(1 G ) = ϕ(1 G 1 G ) = ϕ(1 G ) ϕ(1 G ) ϕ(1 G ) = ϕ(1 G ) ϕ(1 G ) 1 H ϕ(1 G ) = ϕ(1 G ) ϕ(1 G ) ϕ(1 G ) = 1 H. Agora mostraremos (ii). Com efeito, ϕ(1 G ) = ϕ(x x 1 ) = ϕ(x) ϕ(x 1 ) ϕ(1 G ) = ϕ(x) ϕ(x 1 ) 1 H = ϕ(x) ϕ(x 1 ) ϕ(x 1 ) = 1 H (ϕ(x)) 1 ϕ(x 1 ) = (ϕ(x)) 1. Definição 1.16 Sejam G e H grupos e seja ϕ : G H homomorfismo. O kernel de ϕ, que denotamos por Kerϕ, é definido como sendo o conjunto Kerϕ = {x G;φ(x) = 1 H }, onde 1 H é a identidade de H. Observação 1.13 Temos que Kerϕ é não vazio por conta de que ϕ(1 G ) = 1 H. Observação 1.14 Se ϕ : G H é um homomorfismo de grupos então Kerϕ G. Com efeito, devemos mostrar que gkerϕg 1 Kerϕ, g G, ou equivalentemente, gkg 1 Kerϕ, g G e k Kerϕ. Seja g G e k Kerϕ. Para mostrarmos que gkg 1 Kerϕ, devemos provar que ϕ(gkg 1 ) = 1 H. Para tanto usaremos o fato de ϕ ser homomorfismo e o fato de k Kerϕ. Logo: ϕ(gkg 1 ) = ϕ(g)ϕ(k)ϕ(g 1 ) = ϕ(g)1 H ϕ(g) 1 = ϕ(g)ϕ(g) 1 = 1 H. Portanto, Kerϕ G. Proposição 1.18 Um homomorfismo ϕ : G H é injetivo se, e somente se, Kerϕ = {1 G }.

1.5 Homomorfismos de Grupos 25 Suponha inicialmente que tenhamos ϕ injetivo. Considere x Kerϕ e, desse modo, ϕ(x) = 1 H. Mas sabemos ainda que ϕ(1 G ) = 1 H. Sendo assim como ϕ é injetiva e temos ϕ(x) = ϕ(1 G ) concluimos que x = 1 G. Logo, Kerϕ = {1 G }. Agora suponhamos que Kerϕ = {1 G }. Mostraremos que ϕ é injetivo. Com efeito, ϕ(x) = ϕ(y) ϕ(x) ϕ(y) 1 = ϕ(y) ϕ(y) 1 ϕ(x) ϕ(y 1 ) = ϕ(y) ϕ(y 1 ) ϕ(x y 1 ) = ϕ(y y 1 ) ϕ(x y 1 ) = ϕ(1 G ) ϕ(x y 1 ) = 1 H xy 1 Kerϕ xy 1 = 1 G x = y. Portanto, ϕ é injetivo. Proposição 1.19 Seja ϕ : G H um homomorfismo de grupos. Então Kerϕ é um subgrupo de G e Imϕ é um subgrupo de H. Mostraremos inicialmente que Kerϕ é um subgrupo de G. Com efeito, observe que Kerϕ é não vazio pois ϕ(1 G ) = 1 H. Agora dados a,b Kerϕ, temos que: ϕ(ab 1 ) = ϕ(a)ϕ(b 1 ) = ϕ(a)ϕ(b) 1 = 1 H 1 1 H = 1 H ab Kerϕ. Agora resta mostrar que Imϕ é um subgrupo de H. Com efeito, observe que Imϕ é não vazio pois 1 H = ϕ(1 G ). Agora dados a, b Imϕ temos que existe x, y G, respetivamente, tal que a = ϕ(x) e b = ϕ(y). Sendo assim, teremos: ab 1 = ϕ(x)ϕ(y) 1 = ϕ(x)ϕ(y 1 ) = ϕ(xy 1 ) Imϕ, visto que xy 1 G por ser um grupo.

1.5 Homomorfismos de Grupos 26 Teorema 1.3 (1 o Teorema do Isomorfismo) Seja ϕ : G H um homomorfismo de grupos. Então Em particular, se ϕ é sobrejetiva, então G Kerϕ Im(ϕ). G Kerϕ H. Denotemos por K o núcleo de ϕ, ou seja, K = Kerϕ. Sabemos que K G. Considere a seguinte aplicação φ : G K gk Imϕ ϕ(g). Devemos mostrar que φ está bem definida e que é um homomorfismo bijetivo. Mostraremos inicialmente que φ está bem definida ( ) e que é injetiva ( ). De fato, ak = bk b 1 a K ϕ(b 1 a) = 1 H ϕ(b 1 )ϕ(a) = 1 H ϕ(b) 1 ϕ(a) = 1 H ϕ(a) = ϕ(b) φ(ak) = φ(bk). Observe que da maneira como contruimos φ, garantimos a sobrejetividade. Por fim, resta provar que φ é homomorfismo. φ ((ak)(bk)) = φ ((ab)k) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = φ(ak)φ(bk). Concluimos assim que φ é um homomorfismo. Teorema 1.4 (2 o Teorema do Isomorfismo) Sejam H e N subgrupos de G tal que N G. Então N H H e Basta definir φ : H HN N exatamente H N. H H N HN N por φ(h) = hn e observar que φ é um homomorfismo cujo núcleo é

1.5 Homomorfismos de Grupos 27 Teorema 1.5 (3 o Teorema do Isomorfismo) Sejam H,N subgrupos normais em G, tais que H N, então: G H N H G N. Basta definir φ : G H G N N H. dada por φ(gh) = gn e notar que φ é homomorfismo cujo núcleo é Teorema 1.6 (Teorema da Correspondência) Sejam G um grupo e N G, então existe uma correspondência biunívoca entre os subgrupos de G que contém N e os subgrupos de G N. Por esta correspondência, subgrupos normais de G que contêm N correspondem a subgrupos normais de G e vale a recíproca N Sejam A = {H;H G,N H} e B = φ(h) = {hn;h H} e ψ(h) = {h G;hN H}. { H;H G }. Defina φ : A B e ψ : B A pondo N Observe inicialmente que dado H A o conjunto φ(h) pertence B. De fato, como 1 H temos que N φ(h). Agora dados h 1 N,h 2 N φ(h), temos que (h 1 N)(h 2 N) 1 = h 1 h 1 2 N φ(h) pois h 1h 1 2 H. Segue-se assim que φ está bem definida. Obsere agora que dado H B o conjunto ψ(h) pertence a A. Com efeito, note que temos N ϕ(h) pois nn = N H para todo n N. Em particular, 1 ψ(h). Agora, dados h 1,h 2 ψ(h) temos que h 1 h 1 2 N = (h 1N)(h 2 N) 1 = H. Portanto, h 1 h 1 2 ψ(h) e provamos assim que ψ(h) é um subgrupo de G que contém N. Observe agora que ϕ e ψ são uma inversa da outra e assim são bijeções. Note que todo subgrupo de G N é da forma H N onde H é um subgrupo de G que contém N. Se H G,N H então pelo Terceiro Teorema dos Isomorfismos H N G N.

1.5 Homomorfismos de Grupos 28 Suponha agora que tenhamos H N G. Queremos mostrar que H G. De fato, dado x H N temos que (g 1 xg)n = (gn) 1 (xn)(gn) G N e portanto g 1 xg H, x G. Segue-se assim que H G. Lema 1.7 (NC Lema) Sejam G um grupo e H G. Então N G(H) L, onde L é um subgrupo C G (H) de AutH = { Automorfismos de H}. Defina φ : N G (H) AutH. g φ g : h ghg 1 Observamos que φ é homomorfismo e que Kerφ = C G (H). Teorema do Isomorfismo, obtemos Sendo assim, pelo Primeiro N G (H) Im(φ) AutH. C G (H) Exemplo 1.1 (i) Sejam H 1,H 2,...,H n G. A função Ψ : G G... G dada por ( H 1 ) H n n Ψ(g) = (gh 1,...,gH n ) é um homomorfismo, com KerΨ = H i. Pelo Primeiro G Teorema dos Isomorfismos G ( ) n ImΨ G... G. H 1 H n H i G Em particular, se a interseção D dos H i s for livre de núcleo, podemos admitir que G G H 1... G H n. (ii) Se 1 x G é um p-elemento (p primo), N G tal que G : N = n, onde p n. Então x N. De fato, suponha que x / N, sendo N G, pelo Segundo Teorema dos Isomorfismos, temos que x N : N = x : x N.

1.6 Ação de Grupos 29 Absurdo, visto que p não divide n. Definição 1.17 Um subgrupo H de G é característico, e denotamos por H carg, se φ(h) = H para todo φ AutG. Proposição 1.20 Sejam G um grupo e H G. Então: (i) H car G H G; (ii) H car K G H G; (iii) H car K car G H car G; (iv) Se H é o único subgrupo com ordem dada, então H car G; (i): Queremos mostrar que H G, ou seja, que g 1 Hg = H para todo g G. Como H carg temos que φ(h) = H para todo φ AutG. Sendo assim, considerando φ g (x) = g 1 xg temos que φ(h) = H g 1 Hg = H para todo g G, isto é, H G. (ii): Queremos mostrar que H G, ou seja, que g 1 Hg = H para todo g G. Com efeito, considere φ g como no item anterior. Como K G segue que φ g K AutK. Com isso e juntamente com o fato de H ser característico em K segue-se que φ g (H) = φ g K (H) = H, ou seja, g 1 Hg = H, g G. (iii): Seja φ AutG. Como K carg, segue do item (i), que K G. Dessa maneira concluímos que φ K AutK. Dessa forma φ(h) = φ K (H) = H, φ AutG. Portanto, H car G. (iv): Seja φ AutG. Sabemos que ϕ(h) = H. Mas, por hipótese, temos que φ(h) = H. Portanto, H car G. 1.6 Ação de Grupos Sejam G um grupo e X um conjunto qualquer. Definimos o conjunto das permutações de X por S X = { f : X X; f é bijetiva} e dizemos que G age sobre X se existe um homomorfismo φ : G S X que a cada g G associa uma bijeção φ g : X X. Dizemos que φ é uma ação de G em X.

1.6 Ação de Grupos 30 Observação 1.15 Em particular, S n = { f : {1,2,...,n} {1,2,...,n}; f é bijeção} é chamado o grupo simétrico. No estudo de uma ação, destacam-se os seguintes conjuntos: Se x X, definiremos o estabilizador de x como sendo o subconjunto E(x) de G: E(x) = {g G;φ g (x) = x}; Se x X, definimos a órbita de x como sendo o subconjunto O(x) de X dado por: O(x) = {φ g (x);g G}; Se g G, o conjunto dos pontos fixos de φ g será denotado por Fix X (G), ou seja: Fix X (G) = {x X;φ g (x) = x, g G}. Podemos definir a seguinte relação de equivalência em X: Verificamos isto a seguir: x y y = φ g (x), para algum g G. (i) x x pois x = φ 1 (x). (ii) Se x y então y = φ g (x). Daí x = φ g 1(y) y x. (iii) Se x y e y z, então y = φ g1 (x) e z = φ g2 (y). Daí obtemos: z = φ g1 (φ g2 (x)) = φ g1 g 2 (x) x z. Veja ainda que a classe de equivalência do elemento x é o conjunto x = {φ g (x);g G} = O(x) (Órbita de X). Teorema 1.8 Seja φ : G S X uma ação de grupo G em um conjunto X. Então: (i) X = O(x); x T

1.6 Ação de Grupos 31 (ii) E(x) G (iii) O(x) = G : E(x) Demonstração : (i): Trivial! (ii): Como φ 1 = Id X e Id X (x) = x segue-se que φ 1 (x) = x, x X, e assim 1 E(x). Daí, E(x) /0. Dados g 1,g 2 E(x), temos: φ g1 (x) = x e φ g2 (x) = x. Assim, Portanto, g 1 g 1 2 E(x). φ g1 g 1 2 ) (x) = φ g1 (φ g 1(x) = φ g1 (x) = x. 2 Como g 1 e g 2 foram tomados arbitrariamente em E(x), o resultado segue. (iii): Definamos a função Ψ por: {ge(x);g G} Ψ O(x) ge(x) φ g (x) Vamos provar que esta função está bem definida, ou seja, que independe do elemento da classe, e que é uma bijeção. Ψ está bem definida: Se ge(x) = he(x) g = hz;z E(x). Daí teremos: φ g (x) = φ hz (x) = φ h (φ z (x)) = φ h (x) Ψ é injetiva: Suponha que φ g (x) = φ h (x). Com isso teremos: φ h 1 (φ g (x)) = x φ h 1 g (x) = x h 1 g E(x) ge(x) = he(x). Obviamente Ψ é sobrejetiva. Concluimos portanto que Ψ é uma bijeção, logo G : E(x) = O(x).

1.6 Ação de Grupos 32 Teorema 1.9 Seja G um grupo. Então para cada x G, G : C G (x) = x G. Definamos φ agora por: φ : G S G g φ g : x gxg 1 Dessa forma φ será uma representação de permutações. Vejamos quem é O(x) nessa ação: O(x) = {gxg 1 ;g G} = {x g 1 ;g G} = x G. Além disso: E(x) = {g G;x g 1 = x, x G} = C G (x). E pelo Teorema 1.8, segue o resultado. Exemplo 1.2 (Ação de Classes) Seja H G com G : H = n. Defina φ : G S X, X = {xh;x G} pondo φ g (xh) = gxh. φ g S X. Suponha que φ g (xh) = φ g (yh), então gxh = gyh e, portanto, xh = yh, provando-se assim ( que φ g é injetiva. Dado yh X,φ g g 1 yh ) = yh. Logo φ g é sobrejetiva. φ gg = φ g φ g, ou seja, φ é um homomorfismo. De fato, φ gg (xh) = gg xh = φ g (g xh) = φ g φ g (xh). Ker(φ) = {g G;φ g = Id X }. Assim g Ker(φ) φ g (xh) = gxh = xh, x G x 1 gx H, x G g xhx 1, x G g H G. Portanto, Ker(φ) = H G. Portanto, pelo Primeiro Teorema dos Isomorfismo, G H G Im(φ) S X S n. Em particular, G : H G n!.

1.6 Ação de Grupos 33 Corolário 1.5 Seja H G com G : H = p, com p primo e tal que é o menor primo que divide a ordem de G. Então H = H G G. Do exemplo anterior, temos que G H G L S p. Afirmamos que H : H G = 1. De fato, se H : H G = 1, então existe um primo q de maneira que q H : H G. Mas, como H : H G G concluímos que q p. Por outro lado, como H G H G e q G : H G p!. Sendo assim, temos q p. Portanto, temos necessariamente q = p. Logo p 2 G : H G, haja vista que p! = G : H G = G : H H : H G. Logo, teríamos que p 2 p!, o que é absurdo. Portanto, segue-se o resultado. Teorema 1.10 (i) Seja G um p-grupo finito (isto é, G = p n ) e suponha que G age sobre X (ou seja, existe um homomorfismo φ : G S X ), então Fix X (G) X (modp); (ii) Sejam H,J G com J = p m e G : H = r, onde p r. Então existe x G tal que J H x ; (iii) Se H G, H = p m e p G : H, então p N G (H) : H. Em particular, se G = p n e H < G, então H < N G (H); (iv) Seja H G,G finito, e J G com J = p m. Se H 1(modp), então H C G (J) 1. Em particular, se G = p n e H é normal próprio, então H Z(G) 1. (i): Como G é finito, X = O x1 O x2... O xr. Logo X = O x1 + O x2 +... + O xr = Fix X )(G) + O x2 +... + O xr, onde Fix X (G) = {x 1,x 2,...,x s 1 } e x s,x s+1,...,x r Fix X (G). Agora, pela Proposição 1.8, O xi = G : E(x i ) = p α i, e como G : E(x i ) = 1 se, e somente se, x i Fix X (G) concluímos que p ( X Fix X (G) ). Portanto, segue-se o resultado.

1.6 Ação de Grupos 34 (ii): Considere J agindo nas classes de X, conforme foi feito no exemplo anterior. De (i) segue-se que Fix X (G) X = r(modp). Como p r temos que p Fix X (G). Segue-se assim que Fix X (G) /0. Sendo assim, considere xh Fix X (G). Logo gxh = φ g (xh) = xh, g J gxh = xh, g J x 1 gx H, g J g H x 1, g J. Portanto, J H x 1. (iii): Sejam X = {xh,x G} e φ : H S X dada por φ h (xh) = hxh. Segue-se, do item (i), que Fix X (H) H (modp) onde X = G : H. Temos ainda que xh Fix X (H) hxh = xh, h H x 1 hx H, h H x 1 hx H x N G (H). Logo, Fix X (H) = N G (H) : H. Em particular, se G = p m e H < G com p G : H então p N G (H) : H. Portanto, H < G (H). (iv): Seja φ : J S H dada por φ g (h) = ghg 1. Note que φ é uma ação bem definida pois temos H G. Agora, do item (i) temos que Fix X (J) H (modp), mas como H 1(modp) concluímos que Fix X (J) 1(modp). Por outro lado, 1 Fix X (H) (ou seja Fix X (H) > p ) e, portanto, existe h 1 tal que h Fix X (H). Logo, para todo g J temos ghg 1 = h e daí, h H C G (J). Em particular, se G = p k e H G,H 1, tome J = G e então H C G (G) = H Z(G) 1. Corolário 1.6 Seja G um grupo com G = p m. Então (i) Existe uma cadeia 1 < G 0 < G 1 <... < G m = G, com G i G e G i = p i para i {0,1,...,n}; (ii) Se H < G existe K G tal que H < K e K : H = p. (i): Seja H subgrupo maximal de G. Então, pelo item (iii) do Teorema anterior temos que H G haja vista que H < N G (H). Agora, do item (ii) do mesmo Teorema temos que H Z(G) 1 e,

1.7 Teoremas de Sylow 35 assim, Z(G) 1. Dessa forma, considere z Z(G). Logo, o(z) = p k. Caso tenhamos k = 1 teremos que G 1 = z é normal em G com z = p. Agora, caso k 1, então w = z pk 1 Z(G) e o(w) = p. Portanto, w G com w = p. Dessa forma podemos trocar w por z e assim N = z é normal com N = p. Dessa maneira, G = G N tem ordem p m 1 e, por indução, existe uma cadeia 1 = G 0 < G 1 <... < G n = G, com G i G e G i = p i. Pelo Teorema da Correspondência G i = G i+1 N, onde G i+1 G e G i+1 = G i N = p i+1. (ii): Se tivermos m = 1, então H = 1 e K = G. Suponhamos então que m > 1. Então do mesmo modo que fizemos no item (i) obteremos que Z(G) 1. Assim, existe z Z(G) com o(z) = p. Analisemos dois casos a seguir: z H. Assim H z < G z, onde H z tem ordem pm 1. Sendo assim, por indução, existe K G tal que H z < K e K : H = p. Pelo Teorema da Correspondência K < H z, onde H K e K : H = p. z / H. Seja então K = z H. Então K G, pois z G, H < K e K = Portanto, K : H = p. H z H z = p H. 1.7 Teoremas de Sylow Dizemos que um grupo G finito é um p-grupo (p primo), quando G = p n. Também, x G é um p-elemento, se o(x) é uma potência de p. Seja G um grupo, um subgrupo H de G é dito ser um p-subgrupo de Sylow de G se existe um número primo p de tal modo que todo elemento x H tem ordem p α, onde α 0 depende do elemento x, e neste caso escrevemos H Syl p (G). Teorema 1.11 (1 o Teorema de Sylow) Sejam p um número primo e G um grupo de ordem p m r com (p,b) = 1, p primo e m 1. Então existe um subgrupo H de G tal que H = p m.

1.7 Teoremas de Sylow 36 Sejam X = {U G; U = p m } e φ : G S X dada por φ(u) = gu. Note que temos obviamente φ uma ação. Além disso ( p m ) r X = p m = p m r! p m!(p m r p m )! = pm r p m r 1 p m p m 1... pm r (p m 1) p m (p m 1). Para cada 1 j p m 1, escreva j = p k q, onde p não divide q. Então p m r j p m i = pm r p k q p m p k q = pm k r q p m k q, onde p não divide p m k r q e também não divide p m k q. Portanto, p não divide X e como X = O V1... O Vs segue que p O V para algum v X. Agora, como p O V = G : E V e p m G = G : E V E V. p m E V, onde E V = {g G;gV = V }. Portanto p m E V e assim Tome x V e defina θ : E V V por θ(w) = wx. Então θ está bem definida, pois hv = V, e injetiva. Dessa forma, E V p m e portanto E V = p m. Corolário 1.7 Se G é um grupo finito com G = p m r, onde p é primo com (p,r) = 1 e m 1, então para cada i {1,2,...,m} existe H i tal que H i = p i. Pelo Primeiro Teorema de Sylow, existe H G tal que H = p m e do Corolário 1.6 existe H i H tal que H i = p i. Teorema 1.12 (2 o Teorema de Sylow) Nas condições do Primeiro Teorema de Sylow, se H e J são subgrupos de G com H = J = p m então existe g G tal que H = J g. Segue diretamente do item (ii) do Teorema 1.10.

1.7 Teoremas de Sylow 37 Teorema 1.13 (3 o Teorema de Sylow) Nas condições do Primeiro Teorema de Sylow, se n p = {H G; H = p m }, então n p = G : N G (H) com H G, H = p m, e n p 1(mod p) onde n p é o número de p-subgrupo de Sylow de G. Note que n p = G : N G (H) implica que n p G : H = r. Ficará a cargo do leitor. O Teorema de Sylow possui inúmeras aplicações. Mostraremos, nesse momento algumas delas. Consideremos em cada umas delas G um grupo finito. Corolário 1.8 Um p-subgrupo de Sylow de um grupo G é único se, e somente se, for normal em G. ( ) Seja P o único p-subgrupo de Sylow de G. Ora, g G, temos P g = P, logo P g = P, donde P G. ( ) Sejam P e P 1 p-subgrupos de Sylow onde P G. Pelo 2 o Teorema de Sylow, g G tal que P 1 = P g, como P G, segue-se que P 1 = P. Logo n p = 1. Corolário 1.9 Seja P um p-subgrupo de Sylow e G : P = q, onde q é o menor primo que divide G, então P G. Pelo Terceiro Teorema de Sylow, temos: n p 1(mod p) e n p divide q. Logo, n p = 1 + kp, onde k N, mas n p q p. Logo k = 0 e n p = 1 e pelo Corolário anterior P G.