Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Abrantes Área Intradepartamental de Matemática Análise Matemática I álculo Diferencial em Exercícios Propostos 1. alcule, por definição, a função derivada das seguintes funções. 1.1. 0ÐÑ œ 1.2. 0Ð?Ñ œ 68? 2. Verifique se as seguintes funções são diferenciáveis nos pontos indicados: Ú 2.1. 0ÐÑ œ Û ß à œ Ü ß Ð> Ñ ß! Ÿ > 2.2. 1Ð>Ñ œ œ à > œ >&ß Ÿ>Ÿ& 3. Verifique que œ é um ponto ordinário das seguintes funções: ß ß 3.1. 1ÐÑ œ œ 3.2. 2ÐÑ œ ' ß œ ß 4. Mostre que 2ÐÑ œ l l não é derivável no ponto œ Þ 5. Seja 2ÐÑ uma função real de variável real definida por Ú Ý 68 ß =/ 2ÐÑ œ Û Ý ß=/ Ü 5.1. Estude a continuidade da função e classifique, caso existam, os pontos de descontinuidade. 5.2. 2ÐÑ é derivável no ponto œ? Justifique a sua resposta com base na alínea anterior. 1º mini-teste 11/Nov/02 Análise Matemática I álculo Diferencial em /1
6. Determine a função derivada das seguintes funções: 6.1. 0ÐÑ œ & 6.2. 0ÐÑ œ Ð ÑÐ ÑÐ Ñ % & 6.3. 1ÐÑœ % 6.4. 5ÐÑœÐ% (Ñ 6.5. 2ÐÑ œ % 6.6. œ È? 6.7. >ÐÑ œ 6.8. >Ð) Ñ œ È & Ð! ) (Ñ ÐÑ 6.9. 0ÐÑ œ Š 6.10. 7ÐÑ œ Ê 6.11. 1Ð<Ñœ=/8Ð<Ñ 6.12. 0ÐÑœ=/8ÐÑ 6.13. >ÐÑ œ =/8 >1-9= È 6.14. 8ÐÑ œ >1 Ð Ñ? 6.15. 2ÐÑ œ +<-=/8 =/8 +<--9= 6.16. <Ð?Ñ œ? +<->1Ê? > +<-=/8> 6.17. œ 68Ð=/8 Ñ =/8Ð68Ñ 6.18. <Ð>Ñ œ / / È 6.19. =ÐÑ œ / 6.20. >ÐÑ œ 68Ð Ñ -9= 6.21.?ÐÑ œ -9=Ð68Ð+<->1ÑÑ 6.22. @Ð<Ñ œ 691 Ð+<->1<Ñ & 68 6.23. 2Ð+Ñœ691Ð=/8+Ñ ( 6.24. DÐÑœÐ&Ñ 6.25. œ& 6.26. >ÐÑœ 68 ) / 6.27. 1Ð) Ñ œ 6.28. 0ÐÑ œ =/82 /) 6.29. 0ÐÑ œ -9=2Ð Ñ 68Ð=/82ÐÑÑ 6.30. œ È-9= + È-9= 7. alcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções % 7.1. œ 7.2. 2Ð?Ñœ+<->1? 7.3. 1ÐÑ œ 68 7.4. 0ÐÑ œ & % È 7.5. œ -9=& 7.6. 5Ð>Ñ œ >. +<--9=> Análise Matemática I álculo Diferencial em /2
8. Mostre que 8.1. se œðñ/ / então % %œ/ Þ 8.2. se œ/ =/8então œ!þ 9. Determine a derivada de ordem 8 das funções: 7 9.1. 0ÐÑ œ ß 7 9.2. 1ÐÑ œ =/8 % 9.3. œ/ 9.4. >Ð?Ñœ? 10. A função posição = de um objecto em movimento rectilíneo é dada por =Ð>Ñ œ > &> %)>!, com > medido em segundos e = em metros. 10.1. Qual a distância percorrida pelo objecto entre o º e o º segundos. 10.2. Qual a sua velocidade após segundos. 10.3. Determine a aceleração quando a velocidade é de )%7Î=. 10.4. Determine a velocidade quando a aceleração é de )7Î=. 11. Um balonista, a )!7 acima do solo, deixa cair do balão um saco com areia. Após > segundos, o saco de areia está a )! &> metros do solo. 11.1. A que distância do solo se encontra o saco após % segundos? 11.2. Qual a distância percorrida pelo saco nos primeiros segundos? 11.3. om que velocidade o saco atinge o solo? 12. Um atleta percorre uma pista de!!7. A distância percorrida, em metros, após > segundos é dada por: WÐ>Ñ œ > )>Þ & 12.1. Determine a que distância da meta se encontra o atleta após & segundos. 12.2. Determine a velocidade do atleta 12.2.1. no início da corrida. 12.2.2. na recta final. Análise Matemática I álculo Diferencial em /3
13. Determine as equações da recta tangente e da normal às seguintes curvas, nos pontos indicados:!! 13.1. 0ÐÑ œ ß œ 13.2. 1Ð>Ñ œ > %ß > œ 13.3. 2ÐÑ œ ß œ 13.4. 1ÐÑ œ È%! ß! œ! %!! 13.5. 2Ð>Ñœ>ß > œ 13.6. 0Ð?Ñœ? 68Ð?&Ñß? œ )+ 14. Determine a equação da recta normal à curva œ, no ponto œ+ a+ \ e! fbþ %+ 15. Determine, caso existam, o(s) ponto(s) da curva œè È%onde: 15.1. a recta tangente é perpendicular à recta œ Þ 15.2. a recta normal é paralela % œ Þ 16. Determine! e, constantes reais, de modo que a recta normal à parábola œ! no ponto Ðß Ñ seja œ %Þ 1ª frequência 27/Nov/2001 17. Utilizando o teorema da função composta, determine 0ÐÑ 17.1. 0Ð?Ñ œ >1?? œ +<--9= 17.2. 0Ð1ÐÑÑ œ È 1ÐÑ 1ÐÑ œ =/8 17.3. 0Ð1ÐÑÑ œ 68a1abb 1ÐÑ œ Ê? 17.4. 0Ð?Ñœ/?œ68> >œ 18. Seja 0Ð?Ñ œ?=/8? e? œ È>ßutilizando o teorema da função composta, determine ` 1 0Œ. `> Análise Matemática I álculo Diferencial em /4
> 19. Seja 2Ð>Ñ œ ß > œ 68 e œ?. Utilizando o teorema da função composta, determine > `2 Œ Þ `? ˆ 20. Sejam 0ß 2 e 1 f.r.v.r. diferenciáveis tais que 0ÐÑ œ 2Ð1ÐÑÑ. Sabendo que 2 a b œ ß 1 a b œ ß 2 a b œ % e 1 a b œ, determine a equação da recta tangente à curva de 0ÐÑ no ponto œ. 21. onsidere a função diferenciável œ 0Ð1ÐÑ), tal que 0ÐÑ œ ß 0 ÐÑ œ e ' 1ÐÑ œ -9= Œ Þ 21.1. Determine 1ÐÑe. 21.2. Mostre que, no ponto de abcissa zero, œ. Exame de recurso 12/Set/03 22. alcule o diferencial das seguintes funções, nos pontos indicados, para os acréscimos referidos: 22.1. 0ÐÑ œ È % œ '. œ!þ% 22.2. œ 68 œ. œ!þ! 22.3. <ÐÑœ/ œ!.œ!þ 1 1 22.4. 0Ð) Ñ œ =/8 ) ) œ.) œ % *! 23. Obtenha, com auxílio de diferenciais, uma aproximação de À 23.1. È *Þ!! 23.2. 23.3. aþ! b 23.4. -9>1%% º Þ* 24. O comprimento do lado de um azulejo quadrado é!-7. Utilizando diferenciais, calcule um valor aproximado da área do azulejo se o comprimento de cada lado aumentar!þ&-7þ Análise Matemática I álculo Diferencial em /5
25. Um triângulo isósceles tem os lados iguais com &-7 cada. Se o ângulo entre esses lados aumenta de '! º para ' º, utilize diferenciais para aproximar a variação da área do triângulo. 26. O raio da tampa de um poço circular é estimado em %!-7 com erro máximo de medida de!þ-7þ Utilize diferenciais para aproximar o erro máximo que se pode cometer no cálculo da área da tampa. 27. Um determinado ponto está situado a '7 da base de um poste. Mediu-se o ângulo de elevação do topo do poste ao ponto, tendo-se obtido como medida! º. 27.1. Determine a altura do poste. 27.2. Sabendo que se pode ter cometido, no máximo, um erro de & º na medição do ângulo, utilize diferenciais para determinar a altura máxima do poste. 28. Um copo de papel tem a forma de um cone com!-7 de alturaþ Sabendo que se pode cometer, no máximo, um erro de % na medição do diâmetro, utilize diferenciais para aproximar o erro percentual máximo que se pode cometer no cálculo do volume do copo. (O volume do cone é Z œ < 2) 1 =/8 29. onsidere a função 0ÐÑ œ Þ -9= 29.1. Determine 0ÐÑe mostre que 0ÐÑœ=/-Œ >1Þ 29.2. Utilizando diferenciais, calcule um valor aproximado de 0Ð!ÞÑÞ 1º mini-teste 11/Nov/02 30. onsidere um triângulo equilátero de lado 6. È 30.1. Mostre que a área do triângulo é dada por Eœ 6Þ % 30.2. Suponha que o triângulo é construído com um fio de *7. Utilize diferenciais para saber quanto deve aumentar o comprimento do fio para que a área do triângulo aumente, aproximadamente, um nono do seu valor. Exame 24/Fev/03 Análise Matemática I álculo Diferencial em /6
31. Admitindo que as seguintes funções definem, implicitamente, uma função diferenciável 0 tal que œ 0ÐÑ, determine Þ 31.1. œ 31.2. œ -9= 31.3. È œ ' 31.4. œ >1 31.5. È È œ!! 31.6. È =/8 œ 31.7. œ=/8þ 31.8 œ 32. Determine a equação da recta tangente à circunferência de raio no ponto Ðß ÈÑ. 33. Seja œ0ðñ uma função diferenciável definida implicitamente por =/8œ. Determine a equação da recta normal ao gráfico de œ0ðñno ponto ˆ È1ß1 Þ 34. Suponha que % œ define uma função diferenciável 0 tal que œ 0ÐÑ. Se 0ÐÑ œ!, utilize diferenciais para obter um valor aproximado da variação de 0ÐÑquando varia de para Þ*(. 35. A função diferenciável œ0ðñé definida implicitamente por / 68 ˆ œ%. 35.1. alcule a derivada de primeira ordem de œ0ðñ. 35.2. O declive da recta tangente ao gráfico de œ0ðñno ponto Eœa! ß! b é igual a. Determine o valor de. %! Exame 18/Fev/02 % 36. A função diferenciável œ 0ÐÑ é definida implicitamente pela equação œ Þ Se TÐß Ñé um ponto do gráfico de 0, utilize diferenciais para obter um valor aproximado da ordenada,, do ponto UÐÞß,Ñ do gráfico. Exame de recurso 10/Set/02 37. Mostre que 0ÐÑ œ satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em Ò!ß %Ó. Análise Matemática I álculo Diferencial em /7
38. Use o Teorema de Rolle para demonstrar que existe, no máximo, um ponto Ó ß Ò para o qual, œ!ß a, Þ 39. Seja 2ÐÑ œ Þ Mostre que 2Ð!Ñ œ 2Ð%Ñß mas que 2 ÐÑ nunca se anula em Ò!ß %Ó. Este resultado contradiz o teorema de Rolle? % 40. Mostre que a função 0ÐÑ œ % tem no máximo duas raízes reais. 41. Mostre que a função 0ÐÑœ ' * tem um e um só zero no intervalo ÓßÒ. 42. Verifique se as seguintes funções satisfazem as hipóteses do Teorema do Valor Médio nos intervalos indicados e, em caso afirmativo, determine - que satisfaz a conclusão do referido Teorema. 42.1. 1ÐÑ œ / Ò ß!Ó ÐÑ 42.2. 0ÐÑ œ Ò!ß Ó 0ÐÑ0Ð!Ñ 43. Seja 0ÐÑ œ ÞMostre que não existe nenhum valor - tal que 0 Ð-Ñ œ Þ Este resultado contradiz o Teorema do Valor Médio? 44. Suponha que 0ÐÑé uma função ímpar e diferenciável em. Prove que a, ß b 0Ð,Ñ -,ß, À0Ð-Ñœ Þ, 45. Estude as seguintes funções reais de variável real quanto à monotonia 45.1. 0ÐÑ œ 45.2. 1ÐÑ œ =/8 =/8 45.3. 2ÐÑ œ 45.4. 0Ð?Ñ œ? %? 68 45.5. 0ÐÑ œ >1 45.6. œ / È Análise Matemática I álculo Diferencial em /8
45.7. 2ÐÑ œ 45.8. 2Ð@Ñ œ 68Ð@ Ñ * 46. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função real de variável real, œ0ðñ, sabendo que o gráfico da sua derivada é: y x 1ª frequência 27/Nov/01 47. Uma fábrica de componentes eléctricos pode produzir, diariamente,!!! unidades de um certo componente. Sabe-se que o lucro obtido com a venda de > unidades desse produto é dado por PÐ>Ñ œ!!>!þ!%> Þ 47.1. omente: Quanto maior é a produção maior é o lucro obtido. 47.2. Indique a função da variação aproximada do lucro quando há um acréscimo de uma unidade na produção dos componentes. Exame 18/Fev/02 48. Determine os extremos relativos das funções seguintes 48.1. 0Ð>Ñ œ > > %> 48.2. 1ÐÑ œ È 48.3. 2ÐÑ œ 48.4. 0Ð?Ñ œ? 68? 68 48.5. 0ÐÑœ 48.6. œ/ 48.7. 0ÐÑœ/ 48.8. 2ÐÑœ=/8-9= 49. Determine o número de soluções reais da equação œ!þ Análise Matemática I álculo Diferencial em /9
50. Mostre que œ & é um ponto crítico da função 0ÐÑ œ Ð &Ñ ß mas 0Ð&Ñ não é extremo da função. 51. Determine o ponto da recta ' œ * que está mais próximo do ponto Ð ß Ñ. 52. Pretende-se construir uma caixa com base rectangular, a partir de um rectângulo de cartolina com 16cm de largura e 21cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada canto. Determine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha o maior volume possível. 53. Pretende-se construir, junto à parede de um celeiro, um jardim rectangular com &!7 de área. Determine as dimensões do jardim por forma a que a cerca que o delimita tenha o menor comprimento possível. 54. Pretende-se construir um recipiente com tampa, com a forma de um cilindro circular recto. Sabendo que apenas se dispõe de ' 1-7 de material para a sua construção, deterrmine as dimensões do recipiente de volume máximo. 55. Seja T œ!! a função que dá a quantidade produzida de certo produto agrícola em função da quantidade de fertilizante. Determine a quantidade de fertilizante que maximiza a produção e a quantidade que minimiza a produção. Quais os valores correspondentes para a produção? 56. Seja œ ( a função que descreve a quantidade,, de peças que um operário monta, por hora, depois de horas de trabalho. O operário obedece ao horário: das 7h às 11h e das 12h às 16h e pode trabalhar até às 18h. 56.1. Quantas peças monta, por hora, às 9h? E às 13h? 56.2. A que horas trabalha com maior eficiência? Análise Matemática I álculo Diferencial em /10
57. A figura abaixo é uma planta simplificada de um escritório. Sabendo que o escritório deve ter &%7 de área e que as paredes custam!! por metro linear, determine a planta que minimiza o custo total das paredes. (observação: despreze a parte das paredes acima das portas) 1m 1m x Sala de espera gabinete y 1ª frequência 27/Nov/01 58. Vão ser usados!!7 de gradeamento, com determinada altura, para construir 6 canteiros iguais numa estufa, conforme a figura. Determine as dimensões que maximizam a área cercada. x y Exame de recurso 10/Set/02 59. Um administrador de um complexo de!! apartamentos sabe, por experiência, que todos os apartamentos serão arrendados se ele cobrar de renda %!! /mês. Uma pesquisa de mercado sugere que, em média, por cada aumento de & narenda, é desocupado um apartamento. Qual deve ser o valor da renda pedida pelo administrador para maximizar o seu rendimento? 1ª frequência 04/Dez/02 Análise Matemática I álculo Diferencial em /11
60. Estude as seguintes funções quanto à convexidade e concavidade e determine os pontos de inflexão: 60.1. 0Ð>Ñ œ > > 60.2. 1ÐÑ œ / 60.3. 2ÐÑ œ 60.4. 0ÐÑ œ >1 68 60.5. 1Ð?Ñ œ 68Ð 68?Ñ 60.6. œ / 61. alcule os seguintes limites: 68Ð68Ñ / 61.1. lim 61.2. lim Ä_ >Ä! > =/8 ˆ 1 % 61.3 Þ lim 61.4. lim -9=/-? 1 1 Œ Ä?Ä!? 61.5. lim / 68 61.6. Ä_ lim Ä! > >1 >1 61.7. lim 61.8. lim Ä! Š DÄ / D D % 61.9. lim Œ 61.10 Þ lim Ä 68 Ä_ 68Ð/ Ñ 62. Seja 0ÐÑ uma função real de variável real. Verifique se 0ÐÑ é diferenciável em œ, =/8 / sabendo que 0ÐÑ œ e lim 0ÐÑ œ lim Þ Ä Ä 1 1 Exame 24/Fev/03 63. Determine as assímptotas aos gráficos das seguintes funções: =/8? 63.1. 0ÐÑ œ 63.2. 0Ð?Ñ œ? 63.3. 2ÐÑ œ 63.4. 0ÐÑ œ >1 68 63.5. 2ÐÑ œ Š / 63.6. œ / Análise Matemática I álculo Diferencial em /12
64. onsidere a função 0ÐÑ œ Ú Ý Û Ý Ü se ] _ß![ 68! se œ! =/8ˆ se ]!ß_[, com! e parâmetros reais. 64.1. Determine os valores de! e para os quais 0ÐÑ é contínua em. 64.2. Determine as assímptotas ao gráfico de 0ÐÑ no intervalo ] _ß! [. 64.3. Mostre que 0ÐÑ é decrescente e tem um ponto de inflexão no intervalo ] _ß! [. Exame de recurso 10/Set/02 65. Faça um estudo completo das seguintes funções e represente-as graficamente. 65.1. 0ÐÑ œ >1 65.2. 2Ð?Ñ œ?? 65.3. 2ÐÑ œ 65.4. 1ÐÑ œ 68ˆ 68 65.5. 0Ð?Ñœ? È &? 65.6. œ/ > 65.7. 0Ð>Ñ œ a/ b 65.8. œ È + ß +! 66. Esboce o gráfico de um função real de variável real, 0ÐÑ, que verifique as condições: H œ Ó &ß &Ò 0 0 é uma função par 0Ð!Ñ œ 0ÐÑ œ 0Ð%Ñ œ! 0 ÐÑ œ!ß a Ò!ß Ó Öß ß % 0 ÐÑ! Í Ó %ß Ò Óß %Ò lim Ä& 0ÐÑ œ lim Ä / 68 Ð Ñ 67. onsidere a função 0À Ä definida por 0ÐÑœ a68b Þ 67.1. Determine, caso existam, as assímptotas ao gráfico de 0ÐÑ. 67.2. alcule o(s) ponto(s) de inflexão de 0ÐÑ. 67.3. Faça um esboço de uma função que verifique os resultados que obteve nas alíneas anteriores. 2ª frequência 22/Jan/02 Análise Matemática I álculo Diferencial em /13
68. Represente graficamente uma função real de variável real, 0, que verifique as seguintes condições: 0ÐÑ 3Ñ lim œ 33Ñ lim Ä_ a 0ÐÑ b œ Ä_ 333Ñ lim 0ÐÑ œ _ 3@Ñ lim 0ÐÑ œ lim / Ä% Ä! Ä_ 2ª frequência 2 (/Jan/0 69. Esboce o gráfico de uma função real de variável real, 0ÐÑ, que verifique as seguintes condições: 0 é contínua em 0Ð!Ñ œ ß 0Ð Ñ œ 0ÐÑŸ!Í0 ÐÑŸ!Í cß! d lim Ä_ lim Ä_ 0ÐÑ 0ÐÑ œ œ e lim a 0ÐÑ b œ! lim 68 Ä! Ä_ Exame de Recurso 12/Set/03 Análise Matemática I álculo Diferencial em /14