02 Álgebra de Boole elementos físicos e funções lógicas v0.2
Conteúdo Leis Teoremas Corolários Dualidade Conjunto binário Elementos físicos e funções lógicas 05 November 2014 Sistemas Digitais 2
Definição A álgebra de Boole é um conjunto de elementos B = {a, b, } e dois operadores binários definidos entre eles: Intersecção (E, AND também simbolizado por.) União (OU, OR também simbolizado por +) Estes operadores são definidos como (Postulados):. 05 November 2014 Sistemas Digitais 3
Definição 05 November 2014 Sistemas Digitais 4
Comutatividade 05 November 2014 Sistemas Digitais 5
Associatividade 05 November 2014 Sistemas Digitais 6
Distributividade 05 November 2014 Sistemas Digitais 7
Elemento neutro da operação + (z) 05 November 2014 Sistemas Digitais 8
O elemento neutro da operação + (z) é único 05 November 2014 Sistemas Digitais 9
Elemento neutro da operação. (e) 05 November 2014 Sistemas Digitais 10
O elemento neutro da operação. (e) é único 05 November 2014 Sistemas Digitais 11
_ Inversor (not a ou a) 05 November 2014 Sistemas Digitais 12
Um elemento negado (not a ou a) é único _ 05 November 2014 Sistemas Digitais 13
Resultados dos postulados (corolários) I 05 November 2014 Sistemas Digitais 14
Resultados dos postulados (corolários) II Elemento absorvente da (+) Elemento absorvente de (.) 05 November 2014 Sistemas Digitais 15
Resultados dos postulados (corolários) III 05 November 2014 Sistemas Digitais 16
Resultados dos postulados (corolários) IV 05 November 2014 Sistemas Digitais 17
Resultados dos postulados (corolários) V 05 November 2014 Sistemas Digitais 18
Resultados dos postulados (corolários) VI 05 November 2014 Sistemas Digitais 19
Resultados dos postulados (corolários) VII 05 November 2014 Sistemas Digitais 20
Resultados dos postulados (corolários) VIII Prova-se da mesma forma que R12 05 November 2014 Sistemas Digitais 21
Resultados dos postulados (corolários) IX 05 November 2014 Sistemas Digitais 22
Resultados dos postulados (corolários) X 05 November 2014 Sistemas Digitais 23
Dualidade I As regras existem em pares Exemplos: 05 November 2014 Sistemas Digitais 24
Dualidade II Cada teorema da álgebra de Boole tem uma forma dual que é válida. As regras de conversão no dual são:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 25
Dualidade III Cada teorema da álgebra de Boole tem uma forma dual que é válida. As regras de conversão no dual são:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 26
Conjunto binário I Frequentemente trabalhamos com o conjunto binário: B = { 0, 1 } Para entender melhor alguns resultados podemos usar diagramas de Venn:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 27
Conjunto binário II Podemos também usar também circuitos elétricos com interruptores, baterias e lâmpadas: O caso mais simples é este: Se o interruptor a estiver aberto (a=0) a lâmpada encontra-se apagada Se o interruptor a estiver fechado (a=1) a lâmpada acende 05 November 2014 Sistemas Digitais 28
Conjunto binário III Podemos combinar dois interruptores em série (a.b) AND paralelo (a+b) OR 05 November 2014 Sistemas Digitais 29
Conjunto binário IV Desta forma os postulados 4.1 e 4.2 traduzem-se em:. 05 November 2014 Sistemas Digitais 30
Contactor Um contactor é um interruptor que pode ser aberto ou fechado dependendo de ser aplicada ou não uma tensão aos seus terminais de controlo Ligados em conjunto permitem implementar as funções lógicas: AND, OR, NOT, etc. e assim qq circuito lógico (digital) Podem ser usados por exemplo para implementar semáforos em cruzamentos (nas aulas práticas vamos ver como o fazer mas com portas lógicas) 05 November 2014 Sistemas Digitais 31
Elementos físicos e funções lógicas Podemos implementar as funções lógicas AND OR NOT Com circuitos eletrónicos baseados em resistências, díodos e transístores Os díodos e transístores funcionam como interruptores dependendo da sua polarização Mas primeiro precisamos de entender o conceito de divisor de tensão 05 November 2014 Sistemas Digitais 32
Divisor de tensão I Num divisor de tensão, a tensão medida (que caí) em cada resistência é proporcional aos valores das resistências. A tensão que caí em R1 é dada por: Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Ou por: Vr2 = V Vr1 = 5 4.5 =. 05 November 2014 Sistemas Digitais 33
Divisor de tensão II Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito alta (ou infinita) é um circuito aberto: R1 900 x V = R1 + x 5 = 0 Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Vr2 = V Vr1 = 5 0 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 34
Divisor de tensão III Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito baixa(ou 0) é um curto circuito: R1 900 x V = R1 + 0 900 x 5 = 5 Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Vr2 = V Vr1 = 5 5 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 35
Divisor de tensão III Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito baixa(ou 0) é um curto circuito: Então R1 900 x V = R1 + 0 900 x 5 = 5 com um interruptor podemos variar a tensão na saída entre 0 (baixo ou Low ou Logo 0 lógico) a tensão entre a saída e a terra é dada por: e a tensão de alimentação, (alto ou high ou Vr2 1 lógico) = V Vr1 = 5 5 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 36
Díodo I Um díodo é um elemento que apenas deixa passar corrente num sentido. Se a voltagem alta (+) for aplicada ao ânodo e a baixa (-) ao cátodo, ie polarizado diretamente, funciona como se a resistência fosse 0. Se polarizado inversamente a resistência é infinita não havendo passagem de corrente 05 November 2014 Sistemas Digitais 37
Díodo II Assim dependendo da polarização funciona como um interruptor Nota: O díodo não é um condutor perfeito, caindo 0,7 volts, mas para a análise podia-se considerar como perfeito, caindo nele 0 volts. 05 November 2014 Sistemas Digitais 38
Transistor Um transístor: dois díodos ligados pelo ânodo (ou cátodo ) pode funcionar como um interruptor controlado por um sinal na base. Se na base for aplicada um tensão alta existe condução entre o coletor e o emissor Se for uma tensão baixa não existe condução (circuito aberto) 05 November 2014 Sistemas Digitais 39
Inversor (NOT) Se a voltagem na entrada a for H o transístor conduz com baixa resistência, caindo a tensão na resistência sendo a saída NOT a = L c = Rtransistor x V = 0 x 5 ~ Rtransistor+Rres 0+1000 H = V = L = (L). (H) 05 November 2014 Sistemas Digitais 40
Inversor (NOT) Se a voltagem na entrada a for L o transístor não conduz, tem resistência infinita, sendo a saída NOT a = H Vr = Rres Rtransistor+Rres x V = 1000 +1000 x 5 ~ Vtransistor = Vsaída(NOT a) = V Vr = 5 0 = H = V = L = (H). (L) 05 November 2014 Sistemas Digitais 41
O díodo revisitado Um díodo é um elemento que apenas deixa passar corrente num sentido. Se a voltagem alta (+ ou H) for aplicada ao ânodo e a baixa (- ou L) ao cátodo, ie polarizado diretamente, funciona como se a resistência fosse 0. H L L H Se polarizado inversamente a resistência é infinita não havendo passagem de corrente 05 November 2014 Sistemas Digitais 42
Porta OU (OR gate) a = L = b = L = c = (não há corrente) (não há corrente) H = V = L = 05 November 2014 Sistemas Digitais 43
Porta OU (OR gate) a = L = b = H = c = Rres RdiodoB+Rres (não há corrente) (Díodo polarizado diretamente) x V = 1000 0+1000 x 5 ~ 05 November 2014 Sistemas Digitais 44
Porta OU (OR gate) a = H = b = L = c = Rres RdiodoA+Rres (Díodo polarizado diretamente) (não há corrente) x V = 1000 0+1000 x 5 ~ 05 November 2014 Sistemas Digitais 45
Porta OU (OR gate) a = H = b = H = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado diretamente) c = Rres RdiodoA B+Rres x V = 1000 0+1000 x 5 ~ 05 November 2014 Sistemas Digitais 46
Porta E (AND gate) a = L = b = L = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado diretamente) c = RdiodoA B x V = 0 x 5 ~ RdiodoA B+Rres 0+1000 05 November 2014 Sistemas Digitais 47
Porta E (AND gate) a = L = b = L = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado diretamente) c = RdiodoA B x V = 0 x 5 ~ RdiodoA B+Rres 0+1000 05 November 2014 Sistemas Digitais 48
Porta E (AND gate) a = L = b = H = (Díodo polarizado diretamente) (Díodo polarizado inversamente) c = RdiodoA x V = 0 x 5 ~ RdiodoA+Rres 0+1000 05 November 2014 Sistemas Digitais 49
Porta E (AND gate) a = H = b = L = (Díodo polarizado inversamente) (Díodo polarizado diretamente) c = RdiodoB x V = 0 x 5 ~ RdiodoB+Rres 0+1000 05 November 2014 Sistemas Digitais 50
Porta E (AND gate) a = H = b = H = (Díodo polarizado inversamente) (Díodo polarizado inversamente) c = RdiodoA B RdiodoA B+Rres x V = +1000 x 5 Indetermin 05 November 2014 Sistemas Digitais 51
Porta E (AND gate) Podemos ver a tensão que cai na resistência e subtrair à da entrada: Rres 1000 Vr = x V = x 5 = RdiodoA B+Rres +1000 C = Vdiodos = V Vr = 5 0 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 52
Divisor de tensão II (revisto) Supondo que R2 é uma resistência variável entre baixa resistência e muito alta resistência. Podemos implementar com um interruptor. Resistência muito alta (ou infinita) é um circuito aberto: R1 900 x V = R1 + x 5 = 0 Logo a tensão entre a saída e a terra é dada por: Vr2 = V Vr1 = 5 0 = 05 November 2014 Sistemas Digitais 53
a + (not a) = a + a = 1 Se ligarmos a e not a às entradas de uma porta OR temos a saída: NOT OR Isto mostra o postulado já apresentado: a + a = 1 05 November 2014 Sistemas Digitais 54
a. (not a) = a. a = 0 Se ligarmos a e not a às entradas de uma porta AND temos a saída: NOT AND Isto mostra também outro postulado já apresentado: a. a = 0 05 November 2014 Sistemas Digitais 55
Funções de duas entradas ou variáveis Com duas entradas podemos ter 16 funções: T0 = circuito aberto. 05 November 2014 Sistemas Digitais 56
Funções de duas entradas ou variáveis Com duas entradas podemos ter 16 funções: T15 = circuito fechado. 05 November 2014 Sistemas Digitais 57
Funções de duas entradas ou variáveis As funções mais usadas são: AND, NAND, OR, NOR, EXCLUSIVE OR. 05 November 2014 Sistemas Digitais 58