Espaços métricos completos

Espaços métricos completos A razão porque Q não é localmente compacto é a existência de sucessões de raionais com limite irracional. Vamos generalizar esta ideia para espaços métricos arbitrários. Definição 1. Uma sucessão (x n ) num espaço métrico X diz-se uma sucessão de Cauhy se para qualquer ε ą 0 existir um p P N tal que d(x n, x m ) ă ε para quaisquer n, m ą p. Teorema 1. Qualquer sucessão convergente é de Cauchy, e qualquer sucessão de Cauchy é limitada. Mas nem todas as sucessões de Cauchy são convergentes: Exemplo 1. Uma sucessão de racionais com limite irracional é de Cauchy, pois é convergente em R, mas não é convergente em Q. Definição 2. Dizemos que um espaço métrico X é completo se todas as sucessões de Cauchy convergirem. Para provar que um espaço métrico é completo é frequentemente útil usar o seguinte resultado: Teorema 2. Um espaço métrico X é completo sse qualquer sucessão de Cauchy tiver uma subsucessão convergente. Demonstração. Seja (x n ) uma sucessão de Cauchy e seja (x nk ) uma subsucessão com limite lim k x nk = x. Queremos mostrar que x n Ñ x. Seja ε ą 0. Como (x n ) é Cauchy, existe um p P N tal que m, n ą p ñ d(x n, x m ) ă ε/2. Tomando n = n k ą p e tomando o limite quando k Ñ 8 temos lim k d(x nk, x m ) = d(x, x m ) ď ε/2 ă ε para qualquer m ą p, o que mostra que x n Ñ x. Como corolário imediato temos: Teorema 3. R k é um espaço métrico completo. Demonstração. Uma sucessão de Cauchy é limitada, logo está contida num compacto, logo tem uma subsucessão convergente. Outro exemplo importante é o seguinte: Teorema 4. Seja X um espaço compacto, (Y, d) um espaço métrico completo. Então o espaço C(X, Y ) das funções contínuas f : X Ñ Y com a métrica ρ(f, g) = max d( f(x), g(x) ) é xpx completo. Demonstração. Dada uma sucessão de Cauchy (f n ), para cada x P X a sucessão ( f(x n ) ) é de Cauchy, logo converge. Seja f(x) = lim f(x n ). Vamos provar que f n Ñ f uniformemente. Dado um ε ą 0, existe um p ą 0 tal que m, n ą p ñ ρ(f n, f m ) ă ε/2, 1

2 logo, para qualquer x P X temos d ( f n (x), f m (x) ) ă ε/2. Tomando o limite quando m Ñ 8, d ( f n (x), f(x) ) ď ε/2, pelo que, tomando o supremo em x P X, temos sup x d ( f n (x), f(x) ) ď ε/2 ă ε. Concluimos que f n Ñ f uniformemente. Então f é contínua, o que completa a demonstração. Teorema 5. Um espaço métrico é compacto sse for completo e totalmente limitado. Demonstração. Ver Munkres. Em R n os subespaços compactos são os subespaços limitados e fechados. Já vimos que em R n limitado é equivalente a totalmente limitado. Teorema 6. Um subespaço dum espaço completo é completo sse for fechado. Q não é completo porque lhe faltam pontos: os limites das sucessões de Cauchy não convergentes, que são os números irracionais. O próximo resultado é análogo à noção de compactificação: Teorema 7. Para qualquer espaço métrico X existe um espaço métrico completo Y tal que X Ă Y e X = Y. Chamamos a Y o completado de X. Y é único a menos de isometria. Exercícios. (1) Indique justificando quais das seguintes sucessões são sucessões de Cauchy e quais são convergentes nos espaços indicados: (a) x n = n em ]0, +8[. (b) x n = 1/n em ]0, +8[. (c) x n = 1/n em Q. (2) Mostre que qualquer espaço métrico com a distância d(x, y) = 1 para x y é completo. (3) Seja X = ]0, 1] Ă R. (a) Mostre que a sucessão x n = 1/n em X é de Cauchy mas não converge, e portanto X não é completo. (b) Mostre que a função f(x) = 1/x restrita a X é um homeomorfismo entre X e um subespaço completo de R. (c) Mostre que a sucessão f(1/n) não é de Cauchy. (4) Seja X um espaço métrico completo, A Ă X. Mostre que o completado de A é A. (5) Um espaço metrizável X diz-se topologicamente completo se existir uma métrica para o qual X é completo, ou seja, se X for homeomorfo a um espaço métrico completo. (a) Mostre que ]0, 1[ é topologicamente completo. (b) Mostre que t1, 1 2, 1 3,...u Ă R é topologicamente completo. (6) Seja (x n ) uma sucessão tal que, para qualquer m ą n, d(x n, x m ) ď y n, em que y n é uma sucessão em R com limite zero. Mostre que (x n ) é Cauchy.

(7) Prove o Teorema 1: (a) Mostre que uma sucessão convergente é de Cauchy. (b) Mostre que uma sucessão de Cauchy é limitada. (8) Prove o Teorema 6. (9) Seja X um espaço métrico. (a) Mostre que se X for compacto então X é completo. (b) Mostre que se existir um ε ą 0 tal que todas as bolas de raio ε têm fecho compacto, então X é completo. (c) Dê um exemplo dum espaço métrico localmente compacto que não seja completo. (10) Seja X um espaço topológico compacto e seja Y um espaço métrico completo. Mostre que o espaço F das funções contínuas f : X Ñ Y, com a métrica uniforme, é completo. (11) Seja X um espaço métrico, AsubsetX um subespaço. (a) Mostre que A é totalmente limitado sse para qualquer ε ą 0 existirem pontos x 1,..., x k P X tais que A Ă B(x 1, ε) Y Y B(x k, ε) (em que as bolas são bolas em X). Sugestão: use bolas de raio ε/2. (b) Mostre que se X for totalmente limitado, A é também totalmente limitado. (c) Mostre que A é totalmente limitado sse A for totalmente limitado. (12) Seja (x n ) uma sucessão num espaço métrico completo tal que o conjunto dos termos da sucessão tx n : n P Nu é totalmente limitado. Mostre que (x n ) tem uma subsucessão convergente. (13) Dizemos que uma função d: X ˆ X Ñ [0, +8[ é uma pseudo-métrica se para quaisquer x, y, z P X se tiver d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x) e d(x, y) + d(y, z) ď d(x, z). (a) Mostre que a relação x y sse d(x, y) = 0 é uma relação de equivalência em X. (b) Mostre que d induz uma função d : X/ ˆ X/ Ñ [0, +8[. (c) Mostre que d é uma métrica em X/. (14) Seja F o espaço das funções f : [ 1, 1] Ñ R integráveis à Riemann com a pseudométrica d(f, g) = ş 1ˇ ˇf(x) g(x)ˇˇ 0 dx, e seja C(X, Y ) Ă F o subconjunto das funções contínuas. (a) Verifique que d é uma pseudo-métrica. (b) Mostre que a restrição de d ao conjunto C([ 1, 1], R) das funções contínuas é uma métrica. 3

4 (c) Para cada n P N seja f n : [ 1, 1] Ñ R a função definida por $ 1 se 1 ď x ď 1/n & f n (x) = nx se 1/n ď x ď 1/n % 1 se 1/n ď x ď 1 Mostre que cada f n é contínua e a sucessão (f n ) converge pontualmente para uma função f que não é contínua. (d) Mostre que lim d(f n, f) = 0. (e) Seja p: F Ñ F / o quociente pela relação f g ô d(f, g) = 0, e considere a métrica induzida em F /. Mostre que a restrição de p a C([ 1, 1], R) é uma isometria. (f) Mostre que C([ 1, 1], R) não é completo com a distância d. (15) Pag. 270, exercícios 6, 9, 10. Aplicações Vamos agora ver algumas propriedades dos espaços completos. Definição 3. Sejam X, Y espaços métricos. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é contractante se existir uma constante c P ]0, 1[ tal que, para qualquer x, y P X, d ( f(x), f(y) ) ď cd(x, y). Teorema 8 (Ponto fixo). Seja X um espaço métrico completo, f : X Ñ X uma função contractante. Então existe um único x P X tal que f(x) = x. Demonstração. A unicidade do ponto fixo sai de imediato de d ( f(x), f(y) ) ď cd(x, y). Para provar existência definimos uma sucessão por recorrência tomando um qualquer x 0 P X e definindo x n+1 = f(x n ). Então d(x n+1, x n ) = d ( f(x n ), f(x n 1 ) ) ď cd(x n, x n 1 ) logo, para qualquer m ą n temos ď c 2 d(x n 1, x n 2 ) ď ď c n d(x 1, x 0 ). d(x n, x m ) ď d(x n, x n+1 ) + + d(x m 1, x m ) 8ÿ ď c n + + c m 1 ď c k = cn 1 c Como c n /(1 c) Ñ 0, segue facilmente que (x n ) é Cauchy (ver exercícios). Seja x = lim x n. Então x = lim x n+1 = lim f(x n ) = f(x). Teorema 9. Um espaço métrico X é completo sse para qualquer sucessão de conjuntos fechados encaixados F 1 Ą F 2 Ą F 3 Ą tais que diam F k Ñ 0, se tiver Ş k F k H. k=n

Definição 4. Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Baire se a união contável de fechados de interior vazio tiver interior vazio. Passando ao complementar vemos que um espaço X é de Baire sse a intersecção contável de abertos densos for densa. Teorema 10 (Baire). Qualquer espaço métrico completo X é um espaço de Baire. Demonstração. Seja (A n ) uma sucessão de abertos densos. Dado um aberto U, vamos mostrar que U X Ş A n H. Como A 0 é denso, A 0 X U H. Então regularidade implica que podemos tomar um aberto U 1 tal que U 1 Ă A 1 X U e diam U 1 ă 1. Prosseguimos recursivamente tomando U n+1 com diâmetro inferior a 1/(n+1) e tal que U n+1 Ă U n XA n. Então U X Ş A n Ą Ş U n H o que completa a demonstração. Exercícios. (1) Mostre que o diâmetro duma bola de raio r é menor ou igual a 2r. (2) Mostre que, se f : X Ñ Y é contractante, então para qualquer conjunto A Ă X temos diam f(a) ď c diam A. (3) Mostre o Teorema 9: (a) Mostre que uma sucessão (x n ) é de Cauchy sse lim k diamtx k, x k+1, x k+2,...u = 0. (b) Mostre que diam A = diam A. (c) Mostre que, se qualquer sucessão de fechados encaixados com diâmetro a tender para zero tiver intersecção não vazia, então o espaço é completo. (d) Mostre o recíproco da alínea anterior. Sugestão: tome um ponto em cada fechado e mostre que a sucessão assim obtida é de Cauchy. (4) Mostre que Q não é topologicamente completo, ou seja, que não existe nenhuma métrica em Q para a qual Q seja completo. (5) Seja f : R Ñ R uma função diferenciável tal que f 1 (x) ď k para todo o x e para uma constante k ă 1. Mostre que f tem um ponto fixo. (6) Mostre que um espaço topológico X é de Baire sse a intersecção contável de abertos densos for densa. (7) Mostre que se um espaço métrico completo X for contável, tem que conter pontos isolados. (8) Mostre que um espaço compacto de Hausdorff é um espaço de Baire. (9) Pag. 298, exercícios 1 a 4, 7 a 10. Funções uniformemente contínuas A noção de espaço métrico completo não é uma noção topológica: R é completo mas ]0, 1[ não é, embora seja homeomorfo a R. 5

6 Definição 5. Dizemos que uma função f : X Ñ Y é uniformemente contínua se, para qualquer ε ą 0, existir um δ ą 0 tal que, para quaisquer x, y P X, se d(x, y) ă δ então d(f(x), f(y)) ă ε. Teorema 11. Uma função uniformemente contínua preserva sucessões de Cauchy. Demonstração. Seja (x n ) uma sucessão de Cauchy em X, f : X Ñ Y uma função uniformemente contínua. Queremos mostrar que f(x n ) é Cauchy. Dado um ε ą 0, existe um δ ą 0 tal que d(x, y) ă δ ñ d ( f(x), f(y) ) ă ε. Como (x n ) é Cauchy, existe um p P N tal que n, m ą p ñ d(x n, x m ) ă δ donde se conclui que d ( f(x n ), f(x m ) ) ă ε. Assim, ( f(x n ) ) é Cauchy. Definição 6. Um homeomorfismo uniforme é um homeomorfismo f : X Ñ Y tal que f e f 1 são ambas uniformemente contínuas. Chamamos propriedades uniformes às propriedades preservadas por homeomorfismos uniformes. Exemplo 2. A propriedade de ser um espaço completo não é uma propriedade topológica, mas é uma propriedade uniforme. Teorema 12. Seja X um espaço compacto. Então qualquer função f : X Ñ Y contínua é uniformemente contínua. Demonstração. Ver Munkres Teorema 13. Dados espaços métricos X, Y com Y completo, e uma função uniformemente contínua f : A Ă X Ñ Y, existe uma única função uniformemente contínua f : A Ñ Y tal que f A = f. Demonstração. Para cada x P A fixamos uma sucessão (x n ) em A com lim x n = x. Como f é uniformemente contínua, f(x n ) é Cauchy. Definimos f(x) = lim f(x n ). A continuidade de f mostra que f(x) = f(x) para x P A. Vamos mostrar que f é uniformemente contínua. Seja ε ą 0. Como f é uniformemente contínua, existe um δ 1 ą 0 tal que, para quaisquer x, y P A, d(x, y) ă δ 1 ñ d ( f(x), f(y) ) ă ε/3. Seja δ = δ 1 /3. Dados x, y P A com d(x, y) ă δ, seja n P N tal que d(x n, x) ă δ, d(y n, y) ă δ, d ( f(x n ), f(x) ) ă ε/3, d ( f(y n ), f(y) ) ă ε/3, em que (x n ) e (y n ) são as sucessões usadas na definição de f. Então, pela desigualdade triangular, d(x n, y n ) ă 3δ = δ 1, logo d ( f(x n, f(y n ) ) ă ε/3. Usando de novo a desigualdade triangular, obtemos d ( ) f(x), f(y) ă ε. Provámos assim que f é uniformemente contínua. Para mostrar unicidade do prolongamento, note que dado qualquer prolongamento contínuo g : A Ñ Y, g(x) = lim g(x n ) = lim f(x n ) = f(x). Exercícios. (1) Mostre que uma isometria é uniformemente contínua.

(2) Mostre que a função f(x) = x 2 não é uniformemente contínua. Sugestão: para x ą y ą 0, temos x 2 y 2 ą 2y x y. (3) Mostre que a função f(x) = 1/x não é uniformemente contínua. (4) Mostre que a função f(x) = sin(1/x) não é uniformemente contínua. Sugestão: seja x n = ( 1 2 π + 2nπ) 1 e seja y n = 1 2 π + 2nπ; calcule x n y n e f(x n ) f(y n ). (5) Mostre que a composição de funções uniformemente contínuas é uniformemente contínua. (6) Dizemos que uma função f é Lipschitz se existir uma constante K P R tal que d(f(x), f(y)) ď Kd(x, y). (a) Mostre que uma função de Lipschitz é uniformemente contínua. (b) Seja C([0, 1], R) o espaço das funções contínuas f : [0, 1] Ñ R com a métrica uniforme. Mostre que a função Int : C([0, 1], R) Ñ R definida por Int(f) = ş 1 f é uma função uniformemente contínua. 0 (c) Seja f : D Ă R Ñ R uma função diferenciável com derivada limitada. Então f é uniformemente contínua. Sugestão: Teorema de Lagrange. (d) Seja f : R Ñ R uma função diferenciável tal que lim f 1 (x) = +8. Mostre xñ+8 que f não é uniformemente contínua. (e) Dê um exemplo duma função f : [0, 1] Ñ R uniformemente contínua com derivada ilimitada. (7) Sejam X, Y espaços métricos, f : X Ñ Y. (a) Mostre que se f é uniformemente contínua, então para qualquer A Ă X a restrição f A é uniformemente contínua. (b) Mostre que se X = AYB e se f A e f B forem uniformemente contínuas então f é uniformemente contínua. (c) Mostre que a função f(x) = x 2 é uniformemente contínua em qualquer conjunto limitado A Ă R. (8) Mostre que a função sin(1/x) é uniformemente contínua em qualquer intervalo [a, +8[ com a ą 0. Sugestão: calcule f 1 (x). (9) Dados espaços métricos X, Y, considere o produto X ˆ Y com a métrica uniforme. (a) Mostre que as projecções são uniformemente contínuas. (b) Mostre que a soma, como função R n ˆ R n Ñ R n, é uniformemente contínua. (c) Decida se o produto por um escalar, visto como uma função R ˆ R n Ñ R n, é ou não uniformemente contínuo. (10) Dizemos que duas métricas d 1, d 2 num conjunto X são uniformemente equivalentes se a identidade (X, d 1 ) Ñ (X, d 2 ) for um homeomorfismo uniforme. (a) Mostre que as métricas d(x, y) = mintd(x, y), 1u e d 1 (x, y) = d(x, y)/ ( d(x, y)+ 1 ) são uniformemente equivalentes a d. (b) Decida se a propriedade de ser limitado é ou não uma propriedade uniforme. 7

8 (c) Mostre que, se existirem m, M ą 0 tais que md ( x, y) ď d 2 (x, y) ď Md 1 (x, y) então d 1 e d 2 são uniformemente equivalentes. (d) Mostre que as seguintes métricas em R n são uniformemente equivalentes: g nÿ fÿ d 1 (x, y) = x i y i d 2 (x, y) = e n x i y i 2 d 8 (x, y) = max x i y i i i=1 (11) Mostre que as seguintes propriedades são propriedades uniformes: (a) Um espaço ser completo. (b) Um espaço ser totalmente limitado. (12) Seja X um espaço topológico e Y, Z espaços métricos. Mostre que, se uma sucessão de funções f n : X Ñ Y convergir uniformemente para uma função f e g : Y Ñ Z for uniformemente contínua então (g f n ) converge uniformemente para g f. i=1 Teorema de Ascoli-Arzelá Seja X um conjunto, Y um espaço métrico. Nesta secção queremos ver em que condições podemos garantir que uma sucessão de funções contínuas f n : X Ñ Y tem uma subsucessão convergente. Tal acontecerá sempre que a sucessão esteja contida num subespaço sequencialmente compacto, o que num espaço métrico é equivalente a ser completo e totalmente limitado. Em particular, temos que: Teorema 14. Seja (x n ) uma sucessão num espaço métrico completo. Se o conjunto tx n : n P Nu for totalmente limitado, a sucessão (x n ) tem uma subsucessão convergente. Demonstração. O conjunto tx n : n P Nu é completo e totalmente limitado, logo é sequencialmente compacto. Já estudámos duas topologias no conjunto Y X das funções f : X Ñ Y : A topologia produto, ou da convergência pontual, com subbase os conjuntos S(x, U) = tf : f(x) P Uu, com x P X e U Ă Y um aberto. A topologia uniforme, com base as ``bolas'':! B(f, ε) = g : sup d ( f(x), g(x) ) ) ă ε. xpx Representamos por Yp X e Yu X, respectivamente, o conjunto Y X com as topologias produto e uniforme. Assumimos primeiro que X é compacto e Y é completo. Então o espaço C(X, Y ) das funções contínuas de X em Y é completo com a métrica uniforme. Definição 7. Dizemos que uma família de funções F Ă C(X, Y ) é equicontínua num ponto a P X sse: @ D εą0 UPV a @ x P U ñ d ( f(x), f(a) ) ă ε fpf Repare que a vizinhança U não depende da função f.

9 Teorema 15. Seja F Ă Y X u um subespaço totalmente limitado. Então F é equicontínuo. Demonstração. Como F é totalmente limitado temos F = B(f 1, ε/3)y YB(f k, ε/3). Para cada i, a função f i é contínua em a, logo existe uma vizinhança U i de a tal que x P U i ñ d ( f(x), f(a) ) ă ε/3. Seja U = U 1 X X U k. Então, dado um x P U e uma função f P F, f P B(f i, ε/3) para algum i logo d(f(x), f(a)) ď d(f(x), f i (x)) + f(f i (x), f i (a)) + d(f i (a), f(a)) ă ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Mas, como veremos brevemente, o recíproco só é verdadeiro se X e Y forem ambos compactos: Exemplo 3. Seja F = tf n u P C([0, 1], R) a família de funções f n (x) = n. Esta família é equicontínua mas não é totalmente limitada. Exemplo 4. Seja F = tf n u P C(R, [ 1, 1]) a família de funções definida por: $ 1 se x ď n 1 & f n (x) = x n se n 1 ď x ď n + 1 % 1 se x ě n + 1 Esta família é equicontínua mas não é totalmente limitada. No caso em que X não é compacto, precisamos de introduzir uma nova topologia em Y X. Dado um compacto K Ă X um ε ą 0 e uma função f : X Ñ Y definimos as ``bolas'': B K (f, ε) =! ) g P Y X : sup d(f(x), g(x)) ă ε xpk Definição 8. A topologia da convergência uniforme em compactos é a topologia gerada pela colecção tb K (f, ε)u. Teorema 16. Dado um f P Y X, a colecção tb K (f, ε)u é uma base de vizinhanças de f. Demonstração. Se f P B K (g, ε), seja δ = ε sup d ( f(x), g(x) ). Então B K (f, δ) Ă xpk B K (g, ε). Representamos por Y X c topologia Y X c o conjunto Y X com esta topologia. Vê-se facilmente que a é mais fina que a topologia Y X p. Teorema 17. Seja X um espaço topológico, Y um espaço métrico, e seja F uma família equicontínua de funções f : X Ñ Y. Então as topologias produto e da convergência uniforme em compactos em F coincidem.

10 Demonstração. Representamos por F p e F c o conjunto F com as topologias produto e uniforme em compactos. Seja V Ă F c um aberto. Vamos mostrar que para qualquer f P V, existe um aberto W Ă F p tal que f P W Ă V, e portanto V é aberto em F p. Começamos por tomar um compacto K Ă X e um ε ą 0 tal que B K (f, ε) Ă V. Como F é equicontínua, para cada a P K existe uma vizinhança U a P V a tal que, para qualquer f P F, x P U a ñ d(f(x), f(a)) ă ε/3. Como K é compacto, a cobertura tu a u tem uma subcobertura finita: K Ă U a1 Y Y U ak. Seja W o conjunto das funções g P F tais que d(g(a i ), f(a i )) ă ε/3 para i = 1,..., k: W = S ( a 1, B(f(a 1 ), ε/3) ) X X S ( a k, B(f(a k ), ε/3) ). Claramente f P W. Vamos ver que W Ă B K (f, ε). Seja g P W. Dado um x P K, temos x P U ai para algum i e então: d(g(x), f(x)) ď d(g(x), g(a i )) + d(g(a i ), f(a i )) + d(f(a i ), f(x)) ă ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Assim max xpk d(g(x), f(x)) ă ε, logo g P B K (f, ε). Assim, W Ă B K (f, ε) Ă V, o que termina a demonstração. Teorema 18. Seja F Ă Y X uma família equicontínua. Então o fecho F p na topologia produto é também equicontínuo. Demonstração. Seja a P X. Dado ε ą 0, como F é equicontínua, existe uma vizinhança U P V a tal que x P U ñ d(f(x), f(a)) ă ε/3 para qualquer f P F. Vamos mostrar que x P U ñ d(g(x), g(a)) ă ε para qualquer g P F p. Seja x P U e g P F p. Seja W = S(a, B(g(a), ε/3)) X S(x, B(g(x), ε/3)). Então W é uma vizinhança de g logo podemos tomar um f P F X W. Então d(g(x), g(a)) ď d(g(x), f(x)) + d(f(x), f(a)) + d(f(a), g(a)) ă ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε o que termina a demonstração. Como corolário imediato temos: Teorema 19. Seja F Ă Y X uma família equicontínua. Então os fechos F p e F c coincidem. Demonstração. Como Yc X F p = F c. é mais fina que Yp X, F c Ă F p. Como F p é equicontínua, Teorema 20 (Ascoli-Arzelá). Seja F Ă Y X uma família equicontínua de funções tal que, para qualquer a P X, o conjunto F (a) = tf(a) : f P F u Ă Y tem fecho compacto. Então F c Ă C c (X, Y ) é compacto.

11 Demonstração. Basta observar que, na topologia produto, F Ă ź F (a) = ź F (a) apx apx que é compacto pelo Teorema de Tychonoff. Assim, F c = F p é compacto. Exercícios. (1) Mostre que um conjunto X Ă R tem fecho compacto sse for limitado. (2) Considere a sucessão de funções f n : R Ñ R definida por f n (x) = (n + 1)x/n. (a) Mostre que f n converge para x uniformemente em compactos. (b) Mostre que f n não converge uniformemente para x. (c) Mostre que tf n u é equicontínua. (d) Mostre que, para cada x P R, a sucessão ( f n (x) ) é limitada. (3) Repita o exercício anterior para a sucessão de funções f n : R Ñ R definidas por f n (x) = x/n. (4) Para cada n P N seja f n : [0, 1] Ñ R a função f n (x) = n (Exemplo 3). (a) Mostre que tf n u é equicontínua. (b) Mostre que tf n u não tem nenhuma subsucessão convergente. (c) Use a alínea anterior para mostrar que tf n u não é totalmente limitada na métrica uniforme. (d) Prove directamente que tf n u não é totalmente limitada. (5) Considere a sucessão de funções f n : R Ñ [ 1, 1] do exemplo 4. (a) Mostre que f n converge pontualmente para uma função f contínua. (b) Mostre que nenhuma subsucessão de (f n ) converge para f uniformemente. (c) Usando a alínea anterior conclua que tf n u não é totalmente limitada. (d) Mostre que f n converge para f uniformemente em compactos. (e) Mostre que, para cada x P R, tf n (x)u é limitada. (f) Mostre que tf n u é equicontínua. (6) Mostre que a topologia da convergência uniforme em compactos em Y X é mais fina que a topologia produto. (7) Mostre que a topologia uniforme em Y X é mais fina que a topologia da convergência uniforme em compactos, e que elas coincidem quando X é compacto. (8) Seja F uma colecção de funções f : R Ñ R com a seguinte propriedade: existe uma constante M ą 0 tal que f(x) f(y) ď M x y para qualquer função f P F e quaisquer pontos x, y P R. (a) Mostre que, se existir uma constante M ą 0 tal que f(x) f(y) ď M x y para qualquer função f P F e quaisquer pontos x, y P R, então F é equicontínua.

12 (b) Mostre que se as funções f P F forem diferenciáveis e se existir uma constante M ą 0 tal que f 1 (x) ď M para qualquer função f P F e qualquer ponto c P R, então F é equicontínua. Sugestão: Teorema de Lagrange. (c) Mostre que, se a condição f 1 (x) ď M se verificar apenas para x num aberto U Ă R, podemos ainda concluir que F é equicontínua em qualquer ponto a P U. (9) Seja X um espaço topológico compacto e Y um espaço métrico compacto. Mostre que, na métrica uniforme, uma família F Ă C(X, Y ) é totalmente limitada sse for equicontínua. (10) Considere a sucessão de funções f n : [0, 1] Ñ R definidas por f n (x) = x n. (a) Mostre que (f n ) é pontualmente limitada. (b) Calcule o limite f de (f n ) na topologia da convergência pontual. (c) Mostre que nenhuma subsucessão de f n converge para f uniformemente. (d) Use o Teorema de Ascoli-Arzelá para concluir que tf n u não é equicontínua. (e) Verifique directamente que (f n ) não é equicontínua em a = 1, resolvendo explicitamente a equação f n (x) f n (1) ă ε. (f) Seja b ă 1. Mostre que existe uma constante M (que depende de b) tal que f 1 n(x) ď M para qualquer n P N e qualquer x P [0, b[. Conclua que tf n u é equicontínua em qualquer ponto a P [0, 1[. (11) Considere a sucessão de funções f n : R Ñ R definida por f n (x) = x + sin(nx). (a) Decida se tf n u é pontualmente limitada. (b) Mostre que tf n u não é equicontínua em a = 0. Sugestão: se fosse, existiria um δ ą 0 tal que f n (x) ă 1 para qualquer n P N e qualquer x P ] δ, δ[; tome um n P N tal que x = π/(2n) ă δ. (12) Quais das seguintes ducessões de funções em C(R, R) são pontualmente limitadas? Quais são equicontínuas? (a) g n (x) = n + sin x. Sugestão: calcule f n (x) f n (a). (b) h n (x) = x 1/n. Sugestão: calcule o limite pontual h de h n e mostre que nenhuma subsucessão de h n converge para h. (c) k n (x) = n sin(x/n). Sugestão: derive k n. (13) (Ver Munkres) Um espaço topológico X diz-se compactamente gerado se a seguinte condição se verificar: um conjunto U Ă X é aberto sse para qualquer compacto K Ă X, K X A for compacto. (a) Mostre que um espaço localmente compacto é compactamente gerado. (b) Mostre que um espaço que satisfaça o primeiro axioma de numerabilidade é compactamente gerado. (c) Mostre que, se X é compactamente gerado, uma função f : X Ñ Y é contínua sse para qualquer compacto K Ă X, f K for contínua.

13 (d) Mostre que se X é compactamente gerado e Y é um espaço métrico, então C(X, Y ) é fechado em Y X na topologia da convergência uniforme em compactos. (14) Seja X um espaço topológico separável, Y um espaço métrico, e considere C(X, Y ) com a topologia da convergência uniforme em compactos. Seja (f n ) uma sucessão equicontínua em C(X, Y ) tal que as sucessões (f n (x)) têm fecho compacto. (a) Mostre que, se A Ă X é um conjunto contável, (f n ) tem uma subsucessão f nk que converge pontualmente nos pontos x P A. (b) Mostre que, se A for denso, a subsucessão f nk converge uniformemente em qualquer compacto K Ă X. (15) Pag. 280, exercícios 1 a 3, 5. (16) Pag. 288, exercícios 1, 3. (17) Pag. 292, exercícios 1 a 5. A topologia compacta aberta Definição 9. Sejam X, Y espaços topológicos. Dado um compacto K Ă X e um aberto U Ă Y seja S(K, U) = tf P Y X : f(k) Ă Uu. Chamamos topologia compacta aberta em Y X à topologia gerada pela colecção ts(k, U)u. Teorema 21. Seja X um espaço localmente compacto e seja Y um espaço métrico. Então as topologias compacta aberta e uniforme em compactos coincidem em C(X, Y ). Demonstração. Dado um compacto K Ă X, um aberto U Ă Y, e uma função f P S(K, U), seja ε = d(f(k), X U). Então B K (f, ε) Ă S(K, U) logo S(K, U) é aberto na topologia uniforme em compactos. Seja agora V Ă C(X, Y ) um aberto na topologia uniforme em compactos, e seja f P U. Então existe um compacto K Ă X e um ε ą 0 tal que B K (f, ε) Ă U. Como f é contínua e X é localmente compacto, para cada a P K existe um aberto V a P V a tal que V a é compacto e x P V a ñ d(f(x), f(a)) ă ε/3. A cobertura tv a u de K tem uma subcobertura finita V a1,..., V an. Seja W = S(V 1, B(f(a 1 ), ε/3)) X X S(V n, B(f(a n ), ε/3)). Então f P W Ă B K (f, ε), o que termina a demonstração. Teorema 22. Sejam X, Y, Z espaços topológicos e seja f : X Ñ Y uma função contínua. Então, na topologia compacta aberta, composição com f induz funções contínuas f : C(Z, X) Ñ C(Z, Y ) e f : C(Y, Z) Ñ C(X, Z). Em particular, restrição é uma função contínua. Teorema 23. A função ev : X ˆ C(X, Y ) Ñ Y definida por ev(x, f) = f(x) é contínua.

14 Dada uma função f : X ˆ Y Ñ Z, para cada y P X temos uma função f y : X Ñ Z definida por f y (x) = f(x, y). Obtemos assim uma função F : Y Ñ Z X com F (y) = f y. Obtemos assim uma correspondência bijectiva entre Z XˆY e (Z X ) Y. No caso em que X, Y, Z são espaços topológicos, se f : X ˆY Ñ Z for contínua, cada f y é também contínua pelo que F tem imagem em C(X, Z). Teorema 24. Consideremos a topologia compacta aberta em C(X, Y ). Se f : X ˆ Y Ñ Z for contínua então F : Y Ñ C(X, Z) é contínua. O recíproco é verdadeiro se X for localmente compacto de Hausdorff. Demonstração. Ver Munkres. Definição 10. Seja X um espaço topológico, a, b P X. Um caminho em X de a para b é uma funçõ contínua α : [0, 1] Ñ X tal que α(0) = a e α(1) = b. Como [0, 1] é localmente compacto de Hausdorff, um caminho em C(X, Y ) é o mesmo que uma função H : X ˆ [0, 1] Ñ Y. Definição 11. Dizemos que duas funções f, g : X Ñ Y são homotópicas se existir um caminho em C(X, Y ) de f para g, ou seja, se existir uma função H : X ˆ [0, 1] Ñ Y tal que H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x). Estudaremos melhor caminhos e homotopias nas próximas secções. Exercícios. (1) Sejam X, Y espaços topológicos. Mostre que a topologia compacta aberta em Y X é mais fina que a topologia produto. (2) Seja Y um espaço de Hausdorff. Mostre que Y X é um espaço de Hausdorff na topologia compacta aberta e na topologia produto. (3) Demonstre o Teorema 22: (a) Mostre que, dado um compacto K Ă Z e um aberto U Ă Y, (f ) 1 S ( K, U) = S(K, f 1 (U). (b) Mostre que, dado um compacto K Ă X e um aberto U Ă Z, (f ) 1 S(K, U) = S(f(K), U). (c) Conclua que f e f são contínuas. (4) Mostre que se X 1 é homeomorfo a X 2 então C(X 1, Y ) é homeomorfo a C(X 2, Y ). Analogamente, se Y 1 é homeomorfo a Y 2, então C(X, Y 1 ) é homeomorfo a C(X, Y 2 ). (5) Seja X um espaço localmente compacto de Hausdorff, Y um espaço métrico, e considere C(X, Y ) com a topologia da convergência uniforme em compactos. Seja F Ă C(X, Y ) com fecho F compacto. (a) Mostre que, para cada x P X, F (x) Ă Y tem fecho compacto. (b) Mostre que para qualquer compacto K Ă X, tf K : f P F u Ă C(K, Y ) é totalmente limitado na métrica uniforme.

(c) Mostre que F é equicontínua em qualquer ponto x P X. (6) Considere a função cte: Y Ñ C(X, Y ) que leva cada ponto y P Y para a função constante igual a y. (a) Mostre que cte é um mergulho, tanto na topologia produto como na topologia compacta aberta. (b) Mostre que, se Y é Hausdorff, a imagem de cte é fechada, tanto na topologia produto como na topologia compacta aberta. (c) Mostre que se C ca (X, Y ) é Hausdorff, regular ou normal, então Y é Hausdorff, regular ou normal. (7) Seja H(X) Ă C(X, X) o subespaço dos homeomorfismos. Mostre que a função H(X) Ñ H(X) que leva f para f 1 é contínua. (8) Sejam X, Y espaços topológicos, Z Ă Y. Mostre que, na topologia compacta aberta, C(X, Z) é homeomorfo ao subespaço de C(X, Y ) das funções com contradomínio contido em Z. (9) Sejam X e Y espaços topológicos, B uma base de Y. Mostre que a colecção ts(k, U)u, em que K Ă X é compacto e U P B, é uma subbase da topologia compacta aberta em C(X, Y ). (10) Pag. 288, exercícios 6, 7. Espaços conexos Definição 12. Uma separação dum espaço topológico X é um par de abertos disjuntos não vazios A, B cuja união é X. O espaço X diz-se conexo se não tiver nenhuma separação. Teorema 25. X é conexo sse os únicos subconjuntos de X simultaneamente abertos e fechados forem X, H. Demonstração. Se A, B for uma separação de X, A é também fechado pois A = X B. Reciprocamente, se A Ă X for aberto e fechado, A, X A é uma separação de X. Teorema 26. X é conexo sse todas as funções contínuas f : X Ñ t0, 1u forem constantes. Demonstração. Dada uma separação de X podemos construir a função sobrejectiva $ & 0 x P A f(x) = % 1 x P B e dada uma função f : X Ñ t0, 1u sobrejectiva podemos definir a separação A = f 1 (0) e B = f 1 (1). Podemos agora caracterizar os subespaços conexos de R: Teorema 27. Um espaço Y Ă R é conexo sse for um intervalo. 15

16 Demonstração. Se Y não for um intervalo, existem pontos a ă c ă b tais que a, b P Y mas c R Y. Então A = ] 8, c[ e B = ]c, +8[ formam uma separação de Y. Reciprocamente, se Y for um intervalo, o Teorema de Bolzano diz que qualquer função f : Y Ñ t0, 1u Ă R tem por contradomínio um intervalo, logo é constante, portanto Y é conexo. Os próximos quatro teoremas dizem-nos como construir novos espaços conexos: Teorema 28. Dada uma colecção tx α u de subespaços conexos de X, se Ş X α Ť Xα é conexo. H então Demonstração. Assumimos por absurdo que existe uma função f : Ť X α Ñ t0, 1u que não é constante. Então existem pontos a, b P Ť X α tais que f(a) = 0 e f(b) = 1. Temos a P X α e b P X β para alguns α, β, e como X α e X β são conexos, f Xα 0 e f Xβ 1. Mas isto é impossível pois X α X X β H. Teorema 29. Seja A Ă X conexo. Então qualquer espaço B tal que A Ă B Ă A é também conexo. Demonstração. Dada uma função contínua f : B Ñ t0, 1u, a restrição f A é constante pelo que podemos assumir que f A 0. Assumimos por absurdo que existia um x P B Ă A com f(x) = 1. Então U = f 1 (t1u) é uma vizinhança de x pelo que A X U H, o que é uma contradição pois f U 1. Teorema 30. Se X é conexo e f : X Ñ Y é contínua, então f(x) é conexo. Demonstração. Dada uma função g : f(x) Ñ t0, 1u, a composição g f : X Ñ t0, 1u é constante, logo g é constante. Teorema 31. Se X, Y são espaços conexos então X ˆ Y é também conexo. Demonstração. Para quaisquer x P X e y P Y, a ``cruz'' T x,y = ( txu ˆ Y ) Y ( X ˆ tyu ) é conexa. Então, fixando um ponto x P X, XˆY = Ť ypy T x,y logo XˆY é conexo. O Teorema de Bolzano pode ser generalizado a funções com domínio conexo: Teorema 32. Seja X um espaço conexo, f : X Ñ R uma função contínua. Então, dados quaisquer a, b P X, f toma todos os valores entre f(a) e f(b). Definição 13. Dado um espaço topológico X, dizemos que um ponto a P X é um ponto de corte se X tau não for conexo. Um homeomorfismo preserva pontos de corte: Teorema 33. Seja f : X Ñ Y um homeomorfismo. Então um ponto a P X é um ponto de corte de X sse f(a) for um ponto de corte de Y.

Exercícios. (1) Encontre uma separação de cada um dos seguintes espaços: (a) X = ] 1, 0[ Y ]0, 1[ Ă R. (b) Y = [0, 1] Y [2, 3] Ă R. (c) A união das bolas de raio um em R 2 centradas nos pontos ( 1, 0), (0, 1) e (1, 1). (2) Mostre que os seguintes espaços são conexos: (a) A circunferência S 1. Sugestão: construa uma função com contradomínio S 1. (b) O toro S 1 ˆ S 1. (c) A circunferência S 1 menos um ponto. (d) R n. (e) Uma bola B(x, ε) Ă R n. (f) O conjunto t(x, y) P R 2 : x 2 + y 2 ď 1u. (3) Mostre que nenhum dos seguintes espaços é homeomorfo a nenhum outro: S 1, [0, 1], [0, 1[, ]0, 1[, [0, 1] Y [2, 3], R 2, S 1 _ S 1 (a união de duas círcunferências com um ponto em comum). Sugestão: pontos de corte. (4) Decida, justificando, se os seguintes subconjuntos de R 2 são ou não conexos: (a) A união das circunferências de raio um centradas nos pontos (2n, 0) P R 2, com n P Z. (b) O complementar do conjunto da alínea (a). (c) A união das circunferências de raio um centradas nos pontos (3n, 0) P R 2, com n P Z. (d) A união em n P N das circunferências de raio 1/n centradas em (1/n, 0) P R 2. (e) A união em n P N das circunferências de raio 1/n centradas na origem. (f) O conjunto dos pontos (x, y) P R 2 com x, y P Q. (g) O conjunto dos pontos (x, y) P R 2 com x P Q ou y P Q. (h) O conjunto dos pontos (x, y) P R 2 com x P Q. (i) A união em m P Q das rectas y = mx + b (com b P R fixo). (j) A união em b P Q das rectas y = mx + b (com m P R fixo). (k) A união em m, b P Q das rectas y = mx + b. (l) O conjunto t(x, y) P R 2 : xy ą 0u. (m) O fecho do conjunto da alínea anterior. (5) Mostre que não existe qualquer relação entre a conexidade dum conjunto A Ă R 2, a conexidade do seu interior e a conexidade da sua fronteira, dando exemplos de conjuntos A cobrindo as 2 3 = 8 possibilidades. (6) Seja f : D f Ñ R uma função contínua. Mostre que o gráfico de f é conexo sse D f for um intervalo. (7) Seja A, B uma separação de X. Mostre que qualquer subespaço conexo Y Ă X tem que estar contido ou em A ou em B. 17

18 (8) Sejam X, Y espaços conexos e fixemos pontos x P X e y P Y. Definimos X _ Y como o quociente (X +Y )/ da união disjunta pela relação de equivalência gerada por x y. Mostre que X _ Y é conexo. (9) Pag. 152, exercícios 1 a 3, 5, 7, 9 a 11. Caminhos. Espaços conexos por arcos Definição 14. Dado um espaço topológico X e pontos a, b P X, um caminho de a para b é uma função contínua α: [0, 1] Ñ X tal que f(0) = a e f(1) = b. Definição 15. Seja X um espaço topológico. (1) Dado um ponto a P X, representamos por e a o caminho constante: e a (t) = a para qualquer t P [0, 1]. (2) Dado um caminho α em X de a para b, representamos por α o caminho de b para a definido por α(t) = α(1 t). (3) Dados pontos a, b, c P X, um caminho α de a para c e um caminho β de c para b, chamamos concatenação dos caminhos α e β ao caminho α β definido pela equação $ & α(2t) se t P [0, 1 2 α β(t) = ] % β(2t 1) se t P [ 1 2, 1] Para provar que α β é contínua basta observar que [0, 1 2 ] e [ 1 2, 1] são subconjuntos fechados de [0, 1] e que na intersecção os dois ramos coincidem pois α(1) = β(0) = c. Definição 16. Dizemos que um espaço X é conexo por arcos se para quaisquer a, b P X existir um caminho em X de a para b. Teorema 34. Se X é conexo por arcos então X é conexo. Demonstração. Assumimos por absurdo que existe uma função sobrejectiva f : X Ñ t0, 1u. Então existem pontos a, b P X com f(a) = 0 e f(b) = 1. Seja α: [0, 1] Ñ X um caminho de a para b. Então f α é sobrejectiva, o que é impossível pois [0, 1] é conexo. Exemplo 5. Seja f : ]0, +8[ a função definida para x ą 0 por f(x) = cos(2π/x)/x e seja X = t(x, y) P R 2 : x ą 0, y = f(x)u o gráfico de f. X é conexo pois é a imagem de ]0, +8[ pela função contínua g(x) = (x, f(x)). Como (0, 0) P X, X Y t(0, 0)u é também conexo. Mas X Y t(0, 0)u não é conexo por arcos: vamos supor por absurdo que existe um caminho α = (α 1, α 2 ) em X Y t(0, 0)u unindo os pontos (0, 0) e (1, 1). Pelo Teorema de Weierstrass α 2 é limitada logo existe um n P N tal que n ą α 2 (t) para qualquer t P [0, 1]. Pelo teorema de Bolzano existe um t P [0, 1] tal que α 1 (t) = 1/n. Como α(t) P X, α 2 (t) = f(α 1 (t)) = f(1/n) = n o que é uma contradição. Concluímos que X Y t(0, 0)u não é conexo por arcos.

Teorema 35. Seja C uma colecção de espaços conexos por arcos tal que Ş CPC C H. Então a união X = Ť CPC C é conexa por arcos. Demonstração. Sejam a, b P X. Então existem A, B P C tais que a P A e b P B. Seja c P A X B. Como A é conexo por arcos, exite um caminho α em A de a para c. Como B é conexo por arcos, exite um caminho β em B de c para b. Então a concatenação α β é um caminho de a para b. Teorema 36. Seja X um espaço conexo por arcos, f : X Ñ Y uma função contínua. Então f(x) é também conexo por arcos. Demonstração. Sejam a, b P f(x). Então a = f(x) e b = f(y) para alguns x, y P X. Como X é conexo por arcos, existe um caminho α: [0, 1] Ñ X de x para y. Então o caminho f α: [0, 1] Ñ Y é um caminho de a para b. Dada uma função contínua f : X Ñ Y e um caminho α em X, é costume representar o caminho f α em Y por f α = f α. Exercícios. (1) Mostre que um subespaço de R é conexo sse for conexo por arcos. (2) Considere os caminhos α, β, γ : [0, 1] Ñ R em R definidos por α(t) = t(1 t), β(t) = t e γ(t) = 1. Calcule e esboce os gráficos das funções α β, β γ, (α β) γ e α (β γ). (3) Considere o caminho α: [0, 1] Ñ S 1 definido por α(t) = ( cos(2πt), sin(2πt) ). Calcule α α e verifique que (α α) α α (α α). (4) Dizemos que um conjunto X Ă R n é um conjunto em estrela se existir um ponto a P X tal que, para qualquer x P X, o segmento de recta entre a e x: L = ttx + (1 t)a : 0 ď t ď 1u estiver contido em X. Mostre que qualquer conjunto em estrela é conexo por arcos. (5) Sejam X, Y espaços topológicos, f : X Ñ Y uma função contínua, a, b, c P X, α um caminho entre a e b e β um caminho entre b e c. Mostre que: (a) e a = e a e α = α. (b) α β = β α. (c) f (e a ) = e f(a) e f α = f α. (d) f (α β) = (f α) (f β). (6) Para cada n P N seja F n = t1/nu ˆ [ n, n] Ă R 2 e seja X = R 2 (Ť F n ). (a) Seja Y = t(x, y) P X : x ą 0u. Mostre que Y é conexo por arcos. (b) Mostre que X é conexo. Sugestão: escreva X como uma união A Y Y para um espaço A apropriado. (c) Mostre que X não é conexo por arcos. (7) Mostre que o produto de espaços conexos por arcos é conexo por arcos. 19

20 (8) Pag. 157, exercícios 1, 9, 10 Componentes Começamos por introduzir uma relação de equivalência em X: Definição 17. Dados a, b P X, dizemos que a b se existir um caminho em X de a para b. Teorema 37. A relação é uma relação de equivalência. Demonstração. (1) Para mostrar que a a basta considerar o caminho constante e a (t) = a. (2) Vamos ver que (a b) ô (b a). Basta observar que se α é um caminho em X de a para b então o caminho ᾱ(t) = α(1 t) é um caminho em X de b para a. (3) Vamos supor que a b e que b c. Então existe um caminho α de a para b e um caminho β de b para c. A concatenação α β é um caminho de a para c. Definição 18. Chamamos componentes conexas por arcos de X às classes de equivalência P x = [x] da relação de equivalência. Como sempre acontece com relações de equivalência, dados x, y P X, ou P x = P y ou P x X P y = H. Assim, as componentes conexas por arcos formam uma partição de X. Teorema 38. P x é o maior conjunto conexo por arcos que contém x. Ou seja, P x é conexo por arcos, e dado qualquer conjunto A conexo por arcos tal que x P A, temos A Ă P x. Demonstração. Começamos por ver que P x é conexo por arcos: se a, b P P x então a x e b x logo a b logo existe um caminho de a para b. Supomos agora que A é conexo por arcos e que x P A. Então, para qualquer y P A existe um caminho em A de x para y, logo x y, logo y P P x. Assim, A Ă P x. De modo semelhante, podemos introduzir a noção de componente conexa. Definição 19. Dizemos que a b se existir um conjunto A conexo tal que x, y P A. Chamamos componentes conexas de X às classes de equivalência, que representamos por C x = [x]. Para ver que se trata duma relação de equivalência a única dificuldade é provar a transitividade: Se a b e b c, existem conexos A e C com a, b P A e b, c P C. Mas então b P A X C logo A Y C é conexo e a, c P A Y C logo a c. Tal como antes, as componentes conexas formam uma partição de X e temos:

21 Teorema 39. C x é o maior conjunto conexo que contém x. Demonstração. Se A for conexo e x P A, para qualquer y P A temos x y logo y P C x. Assim A Ă C x. Falta ver que C x é conexo. Para tal basta ver que C x = ď ta Ă X : A é conexo e x P Au pois trata-se da união de conjuntos conexos com intersecção não vazia. Já provámos Ą pois qualquer A conexo com x P A está contido em C x. Para provar Ă tomamos um y P C x. Então y x logo existe um conexo A tal que x, y P A, o que termina a demonstração. Teorema 40. Para qualquer x P X, C x é fechado em X. Demonstração. Como C x é conexo, C x também é conexo, logo C x Ă C x pelo que C x é fechado. Em geral, as componentes conexas não são abertas. Para tal precisamos duma condição extra: Definição 20. Dizemos que um espaço X é localmente conexo se para qualquer x P X e qualquer U P V x, existir uma vizinhança V P V x conexa. Analogamente, dizemos que X é localmente conexo por arcos se para qualquer x P X e qualquer U P V x, existir uma vizinhança V P V x conexa por arcos. Teorema 41. Se X é localmente conexo (ou localmente conexo por arcos) e A Ă X é aberto então A é também localmente conexo (ou localmente conexo por arcos). Teorema 42. Se X é localmente conexo então as componentes conexas de X são abertas. Se X é localmente conexo por arcos então as componentes conexas por arcos de X são abertas. Teorema 43. Num espaço localmente conexo por arcos as componentes conexas e as componentes conexas por arcos coincidem. Exercícios. (1) Seja A Ă R um aberto. (a) Mostre que as componentes conexas de A são intervalos abertos. (b) Conclua que qualquer aberto em R é uma união de intervalos abertos disjuntos. (2) Mostre que X ˆ Q não é localmente conexo em nenhum ponto. (3) Seja X Ă R 2 a união das rectas y = mx com m P Q. (a) Mostre que X é localmente conexo em 0 P X. (b) Mostre que X t0u é homeomorfo a S 1 ˆ Q. (c) Conclua que X só é localmente conexo em 0. (4) Dado um espaço topológico X, representamos por π 0 (X) o conjunto das componentes conexas por arcos de X.

22 (a) Dada uma função contínua f : X Ñ Y, e uma componente conexa C Ă X, mostre que existe uma única componente conexa C 1 Ă Y tal que f(c) Ă C 1. Definimos a função f : π 0 (X) Ñ π 0 (Y ) por f C = C 1. (b) Dadas funções contínuas f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z, mostre que (g f) = g f. (c) Mostre que se f : X Ñ Y é um homeomorfismo, então f é uma bijecção. (d) Mostre que π 0 (X ˆ Y ) é isomorfo a π 0 (X) ˆ π 0 (Y ) (isto é, tem a mesma cardinalidade). (5) Mostre que a relação de homotopia f» g entre duas funções f, g : X Ñ Y é uma relação de equivalência. Sugestão: recorde que uma homotopia pode ser vista como um caminho num espaço de funções. (6) Seja X um espaço topológico, a, b P X. Seja C a,b Ă C([0, 1], X) o espaço dos caminhos entre a e b, com a topologia compacta aberta. Mostre que dois caminhos α, β P C a,b estão na mesma componente conexa por arcos sse existir uma função contínua H : [0, 1]ˆ[0, 1] Ñ X tal que H(s, 0) = α(s), H(s, 1) = β(s), H(0, t) = a e H(1, t) = b (dizemos então que os dois caminhos são homotópicos). (7) Pag. 162, exercícios 1, 2, 5, 10.