UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA CADERNO DE EXERCÍCIOS ELABORADOS PELOS PARTICIPANTES DOS MINICURSOS SOBRE OS SOFTWARES WINPLOT/WINGEON Santa Maria, agosto de 2009
Winplot na escola Acadêmico: Alceu Vinícius Medeiros de Barros Uma boa atividade a ser desenvolvida no ensino médio, seria a comparação de gráficos, como por exemplo, qual seria a diferença dos gráficos dessas funções: f(x) = x 2 f(x) = x 2 + 1 f(x) = x 2 + 2 Fazendo o estudo dessas funções usando o Winplot: A - Primeiramente, abrimos o Winplot (clic duplo sobre o link). Feito isso, clicamos em janela 2-dim. B Deverá aparecer um gráfico com coordenadas do eixo x e y (caso não apareça pressione Ctrl + e). Clique em Equação Explícita:
C Aparecerá uma janelinha na qual você deve digitar uma das funções que vamos estudar. Começamos por f(x) = x 2. Após dar ok visualizaremos o gráfico: y x
Com os mesmos comandos podemos fazer o restante dos gráficos: A f(x) = x 2 + 1 Terá o seguinte gráfico: y x
A f(x) = x 2 + 2 Terá o seguinte gráfico: y x Com este estudo poderemos ver bem o que acontece com a função quando variamos o c da função de 2 grau (ax 2 +by+c). Ficaria melhor também usar o recurso animação do programa, mas fica pra outra hora...
Trabalhando com Wingeon na escola Acadêmico: Alceu Vinícius Medeiros de Barros 1 Construção de um paralelepípedo e cálculo do seu volume A - Situação Problema: Um depósito de material de construção utiliza um caminhão para transportar areia. As dimensões internas da carroceria do caminhão são 3,40 metros de comprimento, 2,10 metros de largura e 0,80 metros de altura.quantos metros cúbicos de areia esse caminhão pode carregar, no máximo? B-Construção e resolução: Para calcular a quantidade de areia que o caminhão suporta a partir do software, sugerem-se os seguintes passos: A - Abrir o programa, em seguida escolher na barra de ferramentas: 3 D. B - Escolher o comando UNIDADES, Poliedro: paralelepípedo. C - Abrir-se-á mais uma janela, na qual devem-se digitar os dados do problema e em seguida clicar em ok.
D - A carroceria do caminhão será representada pelo paralelepípedo: E - Para o cálculo do Volume clicar no menu outros, selecione, volume e abrirá uma janela onde se digitam todos os pontos referentes aos vértices e o volume será calculado..
F - Pode-se sugerir, também, que esse cálculo seja encaminhado pelo desenvolvimento do modelo matemático: Volume: C x L x H C = Comprimento L = Largura H = Altura Logo: V = 3,4 2,1 0,8 V = 5,712m 3 C - Análise: A partir dessa construção, podem-se explorar idéias de paralelismo, perpendicularismo, base, altura, faces e comprimento do paralelepípedo. Um ponto a ser destacado é a necessidade de que o professor questione os estudantes a respeito dos resultados visualizados para que, com isso, a utilização do software não seja apenas um momento de buscar respostas de forma rápida, mas sim, de uma aula em que serão construídos significados matemáticos.
Acadêmica: Camila Inês Ribeiro EXERCÍCIO 1: Dados dois segmentos, AB e CD,construir um segmento que tenha por medida a soma de AB e CD: 1. Com centro em B e raio CD traçamos uma circunferência. 2. Prolongamos AB no sentido de A para B até interceptar a circunferência construída no ponto F. 3. O Segmento AF é a soma procurada. EXERCÍCIO 2: Dado um segmento AB, obter seu ponto médio e sua mediatriz 1. Com centro A e raio AB, traçamos a circunferência C1. 2. Com centro em e raio AB, traçamos a circunferência C2. 3. Obtemos os pontos E e F na intersecção de C1 com C2. 4. Traçamos o segmento EF obtendo o ponto G na intersecção 5. G é o ponto procurado e a reta EF é a mediatriz procurada.
Acadêmico: Fabio Luís Genoatto Harlos Exercícios: 1) Utilizando do programa Winplot, construa os gráficos das funções citadas abaixo: a) f(x) = 2^x b) f(x) = (1/2)^x c) f(x) = 3^x d) f(x) = (1/3)^x e) f(x) = 10^x Resolução: a) f(x) = 2^x b)f(x) = (1/2)^x c) f(x) = 3^x d) f(x) = (1/3)^x
e) f(x) = 10^x
Acadêmico: Rodrigo de Freitas Gabert 1.Usando o winplot, construa os gráficos das seguintes funções: a) f(x)= x² b) f(x) 2. As funções f(x) e g(x) são inversas? Resolução: 1) Usando os comandos equação explícita escreva a função f(x) em uma janela e construa seu gráfico, da mesma forma para g(x).
2) f(x) e g(x) não são inversas, pois com base no gráfico a função f(x) não está definida para x<0,ou seja não é simétrica em relação ao eixo x ao passo que a função f(x) está definida para todo x real e é simétrica em relação ao eixo y.
Acadêmico: Rodrigo de Freitas Gabert Exercício: 1) Construa um triangulo qualquer ABC. 2) Construa o ponto médio de cada lado, chame-os de D, F e H 3) Trace uma reta perpendicular a cada lado do triângulo passando por seus respectivos pontos médios. Note que as retas perpendiculares se interceptam em um único ponto. Chame-o de J. 4) Construa uma circunferência com centro em J passando por A. O que acontece com B e C? 5) O que você pode concluir sobre o ponto J? 6) Repita o processo com diferentes triângulos. Resolução: 1) Marque três pontos distintos não-colineares A,B e C, em seguida construa os seguimentos AB, AC e BC, obtendo o triângulo ABC. 2) Basta dividir cada segmento na razão dois. 4) Ao construirmos uma circunferência de centro em B passando por A, podemos notar que a circunferência também passará por B e C. 5) Assim podemos concluir que para um triângulo qualquer de vértices ABC, existe uma circunferência com centro em J passando por A,B e C. Construção:
Acadêmico: Ronaldo Bressan Pes EXERCÍCIO: 1. Construa um paralelogramo. 2. Verifique se os lados opostos do paralelogramo são congruentes. 3. Construa suas diagonais. 4. Observe que os segmentos do passo 2 têm em comum. 5. Dê um nome a esse. 6. Como concluir que as diagonais de um paralelogramo se interceptam no de cada uma delas? Resolução: 1. Para construir o paralelogramo, seguiremos alguns passos: Marque dois pontos quaisquer (A e B). Trace uma reta sobre os pontos A e B. Chamemos essa reta de reta r. Marque um ponto C não pertencente a r. Trace uma reta passando por C paralela à reta r. Construa o segmento AC. Construa um segmento paralelo a AC passando por B. 2. Vá até o item Medidas e certifique-se que os comprimentos dos lados opostos são de mesmo tamanho. 3. Trace um segmento de A até C. Trace um segmento de B até C. 4. As diagonais têm um ponto em comum. 5. Sublinhado: Ponto. Ponto G. 6. Sublinhado: ponto médio. Construa uma circunferência de centro G passando por C. Temos que GC é raio da circunferência. Note que automaticamente a circunferência passará por B. Isto significa que BG também é raio da circunferência. Portanto BG=GC. A partir disso, concluímos que G é ponto médio de BC. Por outro lado, construímos uma outra circunferência com mesmo centro G,mas passando por A, imediatamente também passará por D. Assim AG=GD e G o ponto médio de AD. Note que os pontos médios de AD e BC são o mesmo, o ponto G. Isto quer dizer que as diagonais do paralelogramo se interceptam no ponto médio de cada uma delas.
CONSTRUÇÃO:
Acadêmico: Ronaldo Bressan Pes EXERCÍCIO: 1. Considerando uma função do tipo y = ax+b. Escolha três valores quaisquer para b (b Є IR), tais que y = 2x+b. a) O que podemos concluir sobre essas retas? b) A partir da conclusão feita no item a, ache a função que define a reta, tal que é paralela a 3x+2y=5 e passa pelo ponto (-1,2). RESOLUÇÃO: A escolha dos valores de b fica a critério do aluno. Mas vamos pegar o caso em que b= -1, b=0 e b=1. Assim, temos: Y=2x-1 Y=2x Y=2x+1 Construiremos os três gráficos no mesmo plano. Conclusão: a) Observe que as retas não irão se interceptar. Note que elas têm o mesmo eixo de inclinação, o que nos leva a concluir que são retas paralelas. Portanto, as retas que tem o mesmo coeficiente angular serão paralelas.
b) Se a reta é paralela a 3x+2y=5, elas terão o mesmo coeficiente angular. Vamos descobrir quem é o eixo de inclinação. 3x+2y=5 Somando -3x ambos os lados, obtemos: 2y=5-3x Multiplicando por ½ ambos os lados, obtemos: y=(-3/2)x+5 Temos que o coeficiente angular é -3/2. Assim: y=(-3/2)x+b Sabemos que a reta passa pelo ponto (-1,2). Assim, temos: 2=(-3/2)(-1)+b Somando -3/2 ambos os lados, temos: b=1/2 Assim, temos: y=(-3/2)x+1/2
Acadêmica: Simone Munari Franco Exercício 1: Trabalhar com a 6º série para explicar os pontos simétricos e conseqüentemente as figuras geométricas. Construa um losango ACBD a partir de pontos de simetria no software Wingeom: 1º passo: <janela> <2-dim> Trabalharemos com os eixos das coordenadas x e y, caso não esteja aparecendo pressionar Ctrl + A. 2º passo: No eixo x marcamos o ponto B, ponto simétrico de A, depois em Y marcamos os pontos simétricos C e D, e finalmente traçamos o losango. C A B D
Exercício 2: Para trabalhar com a 6ª série o conteúdo de figuras geométricas. Trace um triângulo escaleno a partir de duas circunferências no software Wingeom: 1º passo: marque um ponto A, em seguida clique em <circunferência> <raio-centro>, escolher raio 2; 2º passo: marcar um ponto C na mesma direção de A e traçar o seguimento AC, em seguida clicar em <circunferência> <raio-centro>, desenhar circunferência em C com raio 1,5. 3º passo: marcar os pontos de intersecção circ-circ, e finalmente traçar os segmentos AF e FC. Observe temos um triangulo de 3 lados diferentes, ou seja um triângulo escaleno. F A C E B D
Exercício 3: Para trabalhar com a 1ª série do 2º grau o conteúdo de funções exponenciais. Para analisar o comportamento da função exponencial traçando o seu gráfico no plano cartesiano. 1º passo: No Winplot selecione <janela> <2dim> 2º passo: Selecione a opção <equação> <explícita> e coloque a equação f(x)=2 x na forma <2^x> y x Podemos observar que quanto maior o expoente x, maior é a potência a x, ou seja, se a>1 a função f(x)=a x é crescente. Para analisarmos o comportamento das funções exponenciais vamos repetir o procedimento feito anteriormente, para a função f (x) 1 2. 1º passo: No Winplot selecione <janela> <2dim> 2º passo: Selecione a opção <equação> <explícita> e coloque a equação forma < 2 1 ^x> x f (x) 1 2 x na
y x Neste caso, quanto maior o expoente x, menor é a potência a x, ou seja, se 0<a<1 a função f(x)=a x é decrescente. Exercício 4: Para trabalhar com a 1ª série do 2º grau o conteúdo de funções trigonométricas. Para analisar o comportamento da função sen(x) traçando o seu gráfico no plano cartesiano 1º passo: No Winplot selecione <janela> <2dim> 2º passo: Selecione a opção <equação> <explícita> e coloque a equação f (x) sen(x) na forma <sin(x) > y x Para analisarmos o comportamento das funções exponenciais vamos repetir o procedimento feito anteriormente, para a função f (x) cos(x).
1º passo: No Winplot selecione <janela> <2dim> 2º passo: Selecione a opção <equação> <explícita> e coloque a equação f (x) cos(x) na forma <cos(x) > y x Podemos concluir através dos gráficos que as funções sen (x) e cós (x) são deslocadas em 2.
Exercício proposto para ser aplicado no 1º ano do Ensino Médio, com o software livre Winplot Acadêmica: Vanessa Steindorf 1) Considere a função f tal que f(x) = x 2-2x+c. Escolha 5 valores para c (c Є IR). a) Esboce o gráfico das funções no mesmo plano cartesiano e descreva o que acontece com o gráfico da função quando c varia. b) Faça uma animação do gráfico no Winplot variando c e certifique-se que a conclusão feita anteriormente está correta. Resolução para (a): Os valores escolhidos para c ficarão a critério do aluno. Por exemplo, escolhendo para c os valores -2, -1, 0, 1 e 2, construiremos o gráfico no Winplot utilizando o mesmo plano cartesiano. Assim temos as seguintes funções: y=x 2-2x-2 y= x 2-2x-1 y=x 2-2x y= x 2-2x+1 y= x 2-2x+2 Esboço do gráfico:
Primeiramente, observe que c é o valor que intercepta o eixo y. Note que a medida que o valor de c aumenta, a abertura da parábola diminui. Então quando c = -2, a abertura da parábola será maior de quando c = 2. Resolução para (b): Plote a função f(x) = x 2-2x+c e vá até o item animação e faça variar c no intervalo dos valores escolhidos, no caso de -2 a 2.