Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I

Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I 2014/2015 Os exercícios assinalados com (*) têm um nível de dificuldade superior. Exercício 1. Seja (X, F) um espaço mensurável. Mostre que 1. X F. 2. se A i F, i = 1, 2,... então n i=1 A i F. 3. se A i F, i = 1, 2,... então i=1 A i F. 4. se A i F, i = 1, 2,... então n i=1 A i F 5. se A, B F então A \ B F. Exercício 2. Mostre que a intersecção numerável de σ-álgebras é uma σ- álgebra. Será a união numerável de σ-álgebras também uma σ-álgebra? Exercício 3. Seja A X. Determine σ(a}). Exercício 4 (*). Mostre que B(R) = σ(fechados de R). Exercício 5. Mostre que se A c é numerável então A é Boreliano. Exercício 6. Seja (X, F, µ) um espaço de medida. Mostre que para qualquer A, B F tal que A B tem-se µ(b \ A) = µ(b) µ(a). Exercício 7. (σ-subaditividade) Sejam (X, F, µ) um espaço de medida e (A n ) n N uma sucessão de elementos de F. Mostre que µ( A n ) n=1 1 µ(a n ). n=1

Exercício 8. Sejam µ 1 e µ 2 duas medidas do espaço mensurável (X, F). Mostre que µ 1 + µ 2 definida por (µ 1 + µ 2 )(A) = µ 1 (A) + µ 2 (A) para todo o A F é uma medida de (X, F). Exercício 9. Considere um espaço de medida (X, F, µ) e sejam A i F, i = 1, 2,... tal que µ(a 1 ) < e A 1 A 2 A 3. Mostre que µ( A i ) = lim µ(a n ). n i=1 Exercício 10. Mostre que a condição µ(a 1 ) < não pode ser retirada do enunciado do exercício anterior. (Dica: construa um contra-exemplo considerando um conjunto infinito X e a medida de contagem µ.) Exercício 11. Seja (X, F, µ) um espaço de medida e A, B X dois conjuntos. Mostre que são equivalentes 1. A é µ-equivalente a B. 2. existe um conjunto N X de medida nula tal que A N c = B N c. 3. existe C F, µ(c) = 0 tal que B \ C A B C. Exercício 12. Mostre que se A R é um conjunto finito ou numerável então A tem medida de Lebesgue nula. Exercício 13. Considere a seguinte colecção de subconjuntos de R, Mostre que: F = E R : E é numerável ou E c é numerável}. 1. F é uma σ-álgebra e F B(R). 2. F é a σ-álgebra gerada pela colecção x} : x R}. 3. Encontre uma medida µ : F [0, ] tal que o conjunto vazio é o único conjunto de medida nula, ou seja, se µ(e) = 0 então E =. Exercício 14 (Conjunto de Cantor). Considere o intervalo A 0 = [0, 1]. Divida-o em três partes iguais e retire o intervalo aberto do meio. Obtém-se assim o intervalo A 1 = [0, 1] [ 2, 1]. Repita o mesmo processo, agora para 3 3 cada intervalo [0, 1] e [ 2, 1], obtendo A 3 3 2 = [0, 1] [ 2, 1] [ 2, 7] [ 8, 1]. Continuando com a subdivisão, obtém-se uma sucessão de conjuntos (A n ) n=0,1,2,.... 9 9 3 3 9 9 A intersecção C = A n, n=0 é designada por conjunto de Cantor. Mostre que: 2

1. A n é uma união disjunta de 2 n intervalos fechados. 2. C é não vazio e Boreliano. 3. C tem medida de Borel nula. Exercício 15 (*). [Borel-Cantelli] Considere um espaço do medida (X, F, µ) e A n F, n = 1, 2,... uma sucessão de conjuntos mensuráveis tais que n=1 µ(a n) <. Mostre que o conjunto dos pontos de X que pertencem a um número infinito de A n s tem medida nula, ou seja, µ( n=1 k=n A k ) = 0. Exercício 16 (*). Seja F : R R uma função de distribuição. Mostre que: 1. O conjunto dos pontos de descontinuidade de F é numerável. 2. Se F é contínua então m F (x}) = 0. Exercício 17. Seja F uma função de distribuição continua. Mostre que se A R é um conjunto finito ou numerável então m F (A) = 0. Exercício 18. Dê um exemplo de uma função de distribuição F tal que m F (1}) = 1. Exercício 19. Considere a função, 0 se x < 0, F (x) = x 2 se x 0. 1. Prove que F é uma função de distribuição. 2. Seja µ a medida de Borel-Stieltjes associada a F. Calcule µ(]3, 9]). Exercício 20. Considere a medida µ = 3δ 2 + 2δ 3 em R. Determine a função de distribuição F tal que µ = m F. Exercício 21. Sejam Y e Z espaços métricos e X um espaço mensurável. Se f : X Y é uma função mensurável e g : Y Z é uma função contínua então g f : X Z é uma função mensurável. Exercício 22. Mostre que se f, g : X R são duas funções mensuráveis então 1. f + g é mensurável. 3

2. f g é mensurável. Exercício 23. Seja X um espaço métrico e (X, B) o espaço mensurável onde B é a σ-álgebra de Borel. Mostre que se f : X R é uma função contínua então f é mensurável. Exercício 24. Dado c R, mostre que a função constante f(x) = c para todo x R é uma função mensurável. Exercício 25. Seja f : X R uma função e defina-se f + f(x) se f(x) > 0 (x) = e f 0 se f(x) > 0 (x) = 0 se f(x) 0 f(x) se f(x) 0 a parte positiva e negativa de f, respectivamente. Mostre que f é mensurável sse f + e f são mensuráveis. (Dica: f + = f χ E onde E = x X : f(x) > 0}) Exercício 26. Mostre que se f : X R uma função mensurável então f também é mensurável. Exercício 27. Seja f : X R uma função mensurável. Dado a R, mostre que o conjunto de nível x X : f(x) = a} é mensurável. Exercício 28. Considere um espaço mensurável (X, F) e um espaço topológico Y. Seja f : X Y uma função mensurável. Prove que a colecção de conjuntos C = A Y : f 1 (A) F} é uma σ-álgebra. Exercício 29. Mostre toda a função simples é mensurável. Exercício 30. Sejam ϕ, ψ funções simples e a > 0. Mostre que ϕ + ψ e aϕ são funções simples. Exercício 31. Calcule o integral de Lebesgue em A [0, ) relativo a m das seguintes funções simples: 1. φ(x) = [x] e A = [0, 10]. 2. φ(x) = [x 2 ] e A = [0, 2]. Nota: o símbolo [x] denota a parte inteira do número x. Exercício 32. Sejam ϕ, ψ duas funções simples em X. Mostre que se ϕ ψ então ϕ dµ ψ dµ para todo conjunto mensurável E. E E 4

Exercício 33. Sejam f, g : X [0, ] duas funções mensuráveis. Mostre que f + g e f g são funções mensuráveis de X [0, ]. (Dica: Use o facto de o limite de funções mensuráveis ser mensurável e qualquer função mensurável é o limite de funções simples). Exercício 34 (*). Considere um espaço de medida (X, F, µ), uma função mensurável f : X [0, ] e E F. Mostre que f dµ = χ E f dµ. E X Exercício 35 (Desigualdade de Markov). Considere um espaço de medida (X, F, µ) e uma função mensurável f : X [0, ]. Mostre que para λ ]0, [, µ(x X : f(x) λ}) 1 f dµ. λ Exercício 36 (*). Sejam f n : X [0, ], n = 1, 2,... funções mensuráveis e f(x) = f n (x), x X. Mostr que, X n=1 f dµ = n=1 X X f n dµ. (Dica: Considere em primeiro lugar uma soma finita e use o Teorema da convergência monótona.) Exercício 37. Mostre que a função ν : F [0, ] definida por ν(e) = f dµ, E F E é uma medida. (Dica: Use as propriedades do integral de Lebesgue e o exercício anterior) Exercício 38. Considere o espaço de medida (X, F, µ) onde µ é a medida de contagem. Seja A = x 1, x 2, x 3 } um subconjunto de X e h : X [0, ] uma função mensurável. Mostre que 1. χ A h é uma função simples, onde χ A é a função característica de A. 2. Calcule A h dµ. 5

Exercício 39. Considere-se o espaço mensurável (X, P(X)). Seja A = x 1, x 2, x 3,...} um subconjunto numerável de X e µ : P(X) [0, ] a seguinte função µ(e) = x i E α i, onde α i, i = 1, 2,... são números reais não negativos. Mostre que 1. µ é uma medida, designada por medida discreta. 2. µ = i=1 α iδ xi onde δ xi é a medida de Dirac. 3. Dada uma função mensurável f : X [0, ], f dµ = f(x i )α i. x i E E Exercício 40 (*). Considere um espaço de medida (X, F, µ) e uma função mensurável f : X [0, ]. Mostre que se f dµ < então f(x) < X quase certamente. Exercício 41. Calcule Exercício 42. Calcule x lim n 1 1 + nx dx. 3 R n=1 2 n n! χ [0,n] dm. Exercício 43. Considere-se as seguinte medidas em ([0, 1], B): µ 1 = δ 0, µ 2 = m e µ 3 = µ 1 + µ 2. Para que i j se tem µ 2 2 i µ j? Determine a derivada no sentido de Radon-Nikodym em cada caso. Exercício 44. Considere as seguintes medidas em ([0, 1], B): λ = δ 0 + m e µ = δ 1 + m. Determine: 1. A decomposição de Lebesgue de λ relativamente a µ, ou seja, o par (λ a, λ s ) tal que λ = λ a + λ s, onde λ a µ e λ s µ. 2. a derivada de Radon-Nikodym de λ a relativamente a µ. Exercício 45 (*). Considere dois espaços mensuráveis (X i, F i ), i = 1, 2. Mostre que se F é um conjunto mensurável de F = F 1 F 2 então a secção F x1 = x 2 X 2 : (x 1, x 2 ) X 1 X 2 } é um conjunto F 2 -mensurável. (Dica: Mostre que a colecção G = F F : F x1 F 2, x 1 X 1 } é uma σ-álgebra que contém todos os rectângulos mensuráveis). 6

Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II 13 de Dezembro de 2013 Exercício 1. Descreva o espaço de probabilidade associado às seguintes experiências aleatórias: 1. Uma moeda imperfeita é lançada três vezes ao ar. 2. Duas bolas são retiradas de uma urna contendo duas bolas azuis e duas vermelhas. 3. Uma moeda imperfeita é lançada repetidamente ao ar até ocorrer a primeira cara. Exercício 2. Seja (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade e A 1, A 2, A 3,... acontecimentos de F tais que P (A n ) = 1 para todo n = 1, 2, 3,.... Mostre que P ( n=1 A n) = 1. Exercício 3. Uma moeda perfeita é lançada repetidamente ao ar. Calcule a probabilidade de no n-ésimo lançamento ocorrer: 1. Uma cara pela primeira vez. 2. O número de caras e coroas observadas até ao momento ser igual. 3. Exactamente duas coroas terem sido observadas consecutivamente. 4. Pelo menos duas caras terem sido observadas até ao momento. Exercício 4. Mostre que a probabilidade de um e um só dos acontecimentos A e B ocorrer é P (A) + P (B) 2P (A B) 1

Exercício 5 (*). Uma moeda imperfeita é lançada repetidamente ao ar. A probabilidade de ocorrer cara em cada lançamento é p. Seja p n a probabilidade de até ao n-ésimo lançamento terem ocorrido um número par de caras. Mostre que p 0 = 1 e p n = p(1 p n 1 ) + (1 p)p n 1 se n 1. Determine p n. Exercício 6 (*). No século XVIII o conde de Buffon colocou o seguinte problema: uma agulha de comprimento l cm é lançada aleatoriamente numa folha de papel de linhas espaçadas entre si d cm. Qual é a probabilidade de a agulha intersectar uma linha. Exercício 7. Considere o espaço de probabilidade ([0, 1], B, m) e a variável aleatória X(ω) = min(ω, 1 ω). Determine F X. Exercício 8. Suponha que um comboio parte aleatoriamente do Porto entre as 8h e as 10h da manhã com destino a Lisboa, que fica a 300km de distância. Suponha também que o comboio viaja a uma velocidade constante de 100km/h. 1. Determine a variável aleatória que descreve a distância entre o comboio e Lisboa às 12h. 2. Calcule a distribuição de probabilidade dessa variável aleatória e a respectiva função de distribuição. a sua função de dis- Exercício 9. Seja X uma variável aleatória e F X tribuição. Mostre que: 1. P (a < X b) = F X (b) F X (a). 2. P (a X b) = F X (b) F X (a ). 3. P (a < X < b) = F X (b ) F X (a). 4. P (a X < b) = F X (b ) F X (a ). Exercício 10. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição 0 x < 0 x F (x) = 0 x 2 2 1 x > 2 e seja Y = X 2. Calcule: 1. P ( 1 X 3). 2 2 2

2. P (X 2Y ). 3. a função de distribuição de Z = X. Exercício 11. Uma variável aleatória X tem função de distribuição de probabilidade F X. Determine a função de distribuição de Y = ax + b onde a, b R. Exercício 12. Quais das seguintes funções são funções de distribuição de probabilidade? Para cada caso, determine a respectiva função de densidade de probabilidade. 1 e x2 x 0, 1. F (x) = 0 caso contrário. e 1/x x > 0, 2. F (x) = 0 caso contrário. 3. F (x) = e x /(e x + e x ), x R. Exercício 13. Quais das seguintes funções são funções de densidade de probabilidade? Encontre c e respectiva função de distribuição de probabilidade. c x > 1, x 1. f(x) = d 0 caso contrário. 2. f(x) = ce x (1 + e x ) 2, x R. Exercício 14. Sejam X e Y variáveis aleatórias e α, β R. Mostre que E(αX + βy ) = αe(x) + βe(y ). Exercício 15. Seja X uma variável aleatória. Mostre que V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Exercício 16. Uma variável aleatória X : Ω R segue uma distribuição de Poisson se X(Ω) = 0, 1, 2,...} e onde λ > 0. Calcule E(X). P (X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,... Exercício 17 (*). Seja X uma variável aleatória que segue uma distribuição Gaussiana com valor esperado µ e desvio padrão σ. Mostre que, 3

1. Para todo n N, E((X µ) n ) = σ n (n 1)(n 3) 1 se n é par 0 caso contrário. 2. E(e tx ) = e µt+ 1 2 σ2 t 2, t R. Exercício 18. Seja (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade e B um acontecimento. Mostre que (B, F B, P ( B)) é um espaço de probabilidade, onde F B = A B : A F} e P (A B) = P (A B) P (B). Exercício 19. Mostre que, P (A B C) = 1 P (A c B c C c )P (B c C c )P (C c ) Exercício 20. Mostre que dois acontecimentos são independentes sse as σ- álgebras geradas por esses acontecimentos são independentes. Exercício 21. Seja (X 1, X 2 ) um vector aleatório bidimensional com a seguinte função de distribuição Determine: F (x 1, x 2 ) = (1 e x 1 )(1 e x 2 ), x 1, x 2 > 0. 1. P (1 < X 1 < 2, 1 < X 2 < 3) 2. A função de densidade de probabilidade conjunta f(x 1, x 2 ). 3. Cov(X 1, X 2 ) Exercício 22 (*). Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes e absolutamente contínuas. Mostre que f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x) dm(x). R Exercício 23. Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias independentes com distribuição de probabilidade uniforme no intervalo [0, 1]. Determine a função de densidade conjunta de XY e Z 2. Mostre que P (XY < Z 2 ) = 5 9. Exercício 24. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com distribuição de probabilidade uniforme no intervalo [0, 1]. Sejam U = minx, Y } e V = maxx, Y }. Calcule E(U) e Cov(U, V ). 4

Exercício 25 (*). Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com segundo momento finito. Quando é que as variáveis aleatórias X + Y e XY são não correlacionadas, ou seja, covariância nula. Exercício 26. Mostre que Cov(X 1, X 2 ) = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ). Exercício 27. Mostre que σ(x) é uma σ-álgebra e que a função X é mensurável no espaço mensurável (Ω, σ(x)). Exercício 28. Considere uma variável aleatória X que toma dois valores distintos a, b R. Calcule σ(x). Exercício 29. Mostre que a σ-álgebra σ(x) é a menor das σ-álgebras de partes de Ω que tornam X uma função mensurável. Exercício 30. Mostre que E(X Ω) = E(X). Exercício 31. Sejam X e Y variáveis aleatórias e suponha que Y é discreta. Mostre que E(X Y ) = E(X) se Y (ω) = c para todo ω Ω. Exercício 32. Mostre que se G =, Ω} então E(X G) = E(X) P-q.c. Exercício 33 (*). Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas, isto é, X(Ω) = x 1, x 2,...} e Y (Ω) = y 1, y 2,...} onde P (Y = y j ) > 0, j = 1, 2,.... Mostre que E(X Y = y j ) = x i f X Y (x i, y j ), onde f X Y (x i, y j ) é a massa de probabilidade condicionada, i=1 f X Y (x i, y j ) = P (X = x i, Y = y j ) P (Y = y j ) Exercício 34. Uma empresa produz diariamente N componentes electrónicas, onde N é uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0. Cada componente pode ter um defeito, independentemente das restantes, com probabilidade p. Seja D o número diário de componentes electrónicas com defeito. Calcule E(D N), E(D) e E(N D). Exercício 35. Seja ([0, 1[, B([0, 1[), P ) o espaço de probabilidade onde P é a medida de Lebesgue restrita ao intervalo [0, 1[ e X, Y : [0, 1[ R as variáveis aleatórias, X(ω) = 2ω 2 2ω 0 ω < 1 2 e Y (ω) = 2 2ω 1 ω < 1. 2 Determine E(X Y ). 5.

Exercício 36 (*). Um ponto X é escolhido uniformemente ao acaso da superfície de uma esfera de raio 1. Sejam Θ e Φ a longitude e latitude do ponto X. Determine a função de densidade condicional de Θ dado Φ. Exercício 37. Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de densidade conjunta f X,Y (x, y) = cx(y x)e y, 0 x y <. 1. Encontre o valor da constante c. 2. Mostre que f X Y (x, y) = 6x(y x)y 3, 0 x y, f Y X (x, y) = (y x)e x y, 0 x y <. 3. Determine E(X Y ) e E(Y X). Exercício 38. Seja X n, n = 1, 2,... uma martingala relativamente a uma filtração F n. Mostre que X n é uma martingala relativamente à filtração canónica σ(x 1,..., X n ). Exercício 39. Numa folha de papel quadriculado com quadrículas de l cm de lado, um jogador lança aleatoriamente uma moeda perfeita de diâmetro d cm onde d < l. O jogador ganha 1 euro se a moeda não intersectar as linhas da folha. Caso contrário, perde β euros. Após n jogadas independentes entre si, denote-se por S n o ganho acumulado. Determine β tal que o jogo é justo. Exercício 40. Seja S n o passeio aleatório simétrico, S n = X 1 + + X n onde X 1, X 2,... é uma sucessão de variáveis aleatórias IID tal que P (X n = 1) = P (X n = 1) = 1/2. Mostre que Z n = S 2 n n é uma martingala relativamente à filtração canónica σ(x 1,..., X n ). Exercício 41. Seja S n = X 1 +...+X n o passeio aleatório simétrico definido no exercício anterior. Mostre que Z n = ( 1) n cos(πs n ) é uma martingala relativamente à filtração canónica σ(x 1,..., X n ). 6

Exercício 42. Mostre que τ = n} F n sse τ n} F n. Exercício 43. Seja (X n ) n 1 uma sucessão de variáveis aleatórias adaptada a uma filtração F n e seja B R um Boreliano. Mostre que o tempo de primeira entrada de X n em B, τ(ω) = min n N: X n (ω) B}, é um tempo de paragem relativamente a F n. Exercício 44. Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias IID tais que X n 1, 1} com probabilidade P (X i = 1) = p e P (X i = 1) = q onde p q. Considere o passeio aleatório, e o tempo de paragem onde a, b > 0. Mostre que: S n = X 1 + X 2 +... + X n, τ = min n 1 : S n a, b}}, 1. A sucessão Z n = (q/p) Sn, n = 1, 2,... é uma martingala relativamente à filtração σ(x 1,..., X n ). 2. P (S τ = b) = 1 (q/p) a (q/p) b (q/p) a Exercício 45. Seja (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória ξ : Ω 0, 1, 2,...} tem uma distribuição de Poisson com valor esperado µ > 0 se Seja X 0 = 0 e P (ξ = k) = µk k! e µ, k = 0, 1, 2,... X n = X n 1 + ξ n 1, n = 1, 2,... onde (ξ n ) n 1 é uma sucessão de variáveis aleatórias IID que seguem uma distribuição de Poisson com valor esperado µ > 0. 1. Determine os valores de µ para os quais a sucessão (X n ) n 1 é uma martingala, submartingala ou supermartingala relativamente à filtração canónica F n = σ(ξ 1,..., ξ n ). 7

2. Suponha que µ > 1. Mostre que: (a) Existe um único ρ ]0, 1[ tal que E(ρ ξ ) = ρ. (b) A sucessão ρ Xn é uma martingala relativamente a F n e converge P -q.c. Exercício 46. Seja S n = X 1 + X 2 +... + X n o passeio aleatório onde X n 1, 1} é uma sucessão de variáveis aleatórias IID tais que P (X n = 1) = P (X n = 1) = 1, n = 1, 2,.... Supondo que k N: 2 1. Mostre que Z n = ( 1) n cos(π(s n + k)) é uma martingala relativamente à filtração σ(x 1,..., X n ). 2. Calcule E(( 1) τ ) onde τ é o tempo de paragem τ = min n 1 : S n = k}. Exercício 47. Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias IID tais que X n 1, 1} para todo n = 1, 2,.... Considere o tempo de paragem τ = minn 1: X 1 + + X n = 1}. Determine E(τ). Exercício 48 (*). Sejam (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade, (F n ) n 1 uma filtração e τ um tempo de paragem relativamente a F n tal que para algum k N e algum ɛ > 0, Mostre que τ < P -q.c. P (τ n + k F n ) > ɛ, n = 1, 2, 3,... Exercício 49. Mostre que um processo estocástico X t : t T } tal que X 0 = 0 tem incrementos estacionários sse para todo t s tal que t s T as variáveis aleatórias X t X s e X t s são identicamente distribuídas. Exercício 50. Seja X = X t : t T } um processo estocástico com incrementos independentes e estacionários tal que X 0 = 0 e E(X 2 t ) < para todo t T. Mostre que existe uma constante positiva σ tal que Var(X t X s ) = σ 2 t s. Exercício 51. Seja W = W t : t 0} um processo de Wiener. Mostre que 1. E(e Wt ) = e t/2 para todo t 0. 8

2. se c > 0 então } Wc 2 t : t 0 c é também um processo de Wiener. Exercício 52. Mostre que um processo de Wiener é estacionário em média, mas não tem covariâncias estacionárias. Exercício 53 (*). Seja W = W t : t 0} um processo de Wiener. Mostre que dados 0 s < t e A Boreliano de R então, P (W t A W s = w) = p t s (x w)dx, onde p t (x) = 1 2πt e x2 2t. A 9