Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Programa da disciplina de Álgebra I Curso da Licenciatura em Matemática Ano Lectivo 2005/2006
1. Corpo docente Aulas teóricas e teórico-práticas Gabinete Extensão tel. Correio electrónico Portal da disciplina Paulo Semião 3.13 Ed. C II 7655 psemiao@ualg.pt http://w3.ualg.pt/~psemiao/ensino.htm A regência da disciplina está a cargo do docente das aulas teóricas. 2. Objectivos gerais Proporcionar ao aluno uma formação básica em Álgebra, para que possa entender e compreender, não só os conhecimentos transmitidos durante a leccionação da disciplina, mas também adquirir uma sólida base matemática, de modo a que, possa mais tarde, aprender pelos seus próprios meios. Estimular o interesse pela disciplina, bem como, o desenvolvimento do raciocínio e do espírito crítico. Em relação à matéria leccionada, far-se-á o estudo das estruturas algébricas básicas, nomeadamente, semigrupo, monóide e grupo, dando-se ênfase aos conceitos relacionados com a teoria de grupos. Aulas teóricas: O objectivo principal das aulas teóricas é transmitir aos alunos os fundamentos teóricos da matéria proposta para a disciplina, bem como incentivar-lhes o interesse pela mesma e, caso necessitem ou pretendam aprofundar determinadas matérias, apontar-lhes outros caminhos e sugestões de leitura. Aulas teórico-práticas: O objectivo principal das aulas teórico-práticas é pôr os alunos a interpretar e a resolver os exercícios propostos ao longo do semestre. A sua resolução é parte integrante do estudo e não um simples complemento. No início de cada aula o docente propõe um conjunto de exercícios a resolver e, no começo de cada secção da matéria, o docente mostrará como se deve resolver um exercício tipo. Por último, deve salientar-se, que só tem sentido tentar a resolução de problemas e exercícios após o estudo, cuidadoso, da matéria exposta nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. Página 2 de 6
Horário de esclarecimento de dúvidas: Dia da semana Horário de atendimento Segunda-feira Terça-feira 10:30-13:00 Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Para além do horário de dúvidas, os alunos podem, e devem, tirar quaisquer dúvidas da matéria. Aconselha-se deste modo o aluno a fazê-lo, para evitar um acumular de dúvidas e incertezas, que dada a natureza da disciplina, será sempre de evitar. 3. Regime lectivo A disciplina tem a duração de um semestre lectivo, com uma carga horária semanal de duas horas teóricas e três horas teórico-práticas, repartidas, respectivamente, por duas aulas teóricas de uma hora e, duas aulas teórico-práticas de hora e meia, correspondendo a um total de 4 créditos (nacionais) equivalendo a 7 créditos ECTS 1. A frequência às aulas teóricas e teórico-práticas não é obrigatória, no entanto, aconselha-se a fazer uma leitura, cuidadosa, da matéria leccionada, bem como, a resolução do caderno de exercícios proposto para a disciplina. 4. Regime de avaliação e cronograma de actividades lectivas A disciplina terá um único momento de avaliação, antes do exame final. A nota de frequência resultará do valor obtido nesse momento de avaliação. O referido momento de avaliação será realizado na 2.ª semana de Dezembro, em data e hora a combinar com os alunos e, terá a duração máxima de três horas. Em relação à matéria leccionada e que irá constar no respectivo momento de avaliação, exceptuando os exames finais, esta, terminará, uma semana antes da data de realização do referido momento de avaliação. Para a dispensa de exame final, a nota de frequência terá que ser superior ou igual a 9.5 valores. Quando a nota de frequência for superior a 15 valores, os alunos poderão, se assim o desejarem, apresentar-se a uma prova oral. Caso não o façam, a sua classificação na disciplina será 15 valores. 1 European Credit Transfer System Página 3 de 6
5. Conteúdo programático e respectiva duração Capítulo 1. Noções sobre conjuntos, operações e divisibilidade. 2-3 semanas Capítulo 2. Estruturas algébricas básicas. 9 semanas Capítulo 3. Estruturas livres e apresentações. 2-3 semanas Total: 13-15 semanas 6. Conteúdo programático detalhado Capítulo 1. Noções sobre conjuntos, operações e divisibilidade. Noção intuitiva de conjunto e de cardinal de um conjunto. Operações fundamentais sobre conjuntos (união, intersecção, subtracção, o conjunto das partes de um conjunto e produto cartesiano). Definição de aplicação e de restrição de uma aplicação a um conjunto. Operações unárias, binárias e n-árias. Imagem directa e inversa de uma aplicação. Aplicações injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Operações fundamentais sobre aplicações (composição, soma e produto de aplicações). Relações de equivalência. Definição de divisão nos inteiros, elemento associado e número primo. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum. Capítulo 2. Estruturas algébricas básicas. Definição das principais estruturas algébricas, nomeadamente grupóide, semigrupo, monóide e grupo. Definição das principais subestruturas, nomeadamente, subgrupóide, subsemigrupo, submonóide e subgrupo. O subgrupo das unidades de um grupo. Soma e produto de partes de um monóide e de grupo. Soma, produto cartesiano, intersecção e união de monóides e de grupos. Grupo dos inteiros módulo n. Grupos de permutação, grupo simétrico e grupo alternante. Teorema de Cayley. Definição de morfismo entre as principais estruturas. Noções de morfismo injectivo, sobrejectivo, bijectivo, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo e automorfismo. Imagem directa e inversa de subestruturas, em particular, núcleo e imagem de um morfismo. Operações fundamentais sobre morfismos, nomeadamente, composição, soma e produto de morfismos. Os grupos H G e Aut(G). Relações de congruência e coconjuntos. Teorema de Lagrange. Índice de um subgrupo no grupo. Monóide e grupo gerado por um conjunto, em particular, monóides e grupos cíclicos. Noção de ordem de um elemento de um grupo. Grupos normais e quociente. Teoremas do isomorfismo. Monóides e grupos actuando sobre conjuntos. Órbita de um elemento e subgrupo de isotropia. Definição de grupo-p e resultados principais sobre grupos de Sylow. Página 4 de 6
Capítulo 3. Estruturas livres e apresentações. Produtos (Somas) directas internas. Decomposição de grupos cíclicos. Cadeias de subgrupos. Monóides e grupos livres. Grupos apresentados. Página 5 de 6
7. Bibliografia Livros de texto: [1] Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, 1990. [2] A. Monteiro e I. Matos, Álgebra - Um primeiro curso, Liv. Escolar Editora, 1995. [3] N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman, 1985. [4] J. Durbin, Modern Algebra - An Introduction, John Wiley, 1992. [5] M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1996. [6] W. Adkins and S. Weintraub, Algebra - An Approach via Module Theory, Springer-Verlag, 1992. [7] W T. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, 1974. [8] P. Cameron, Introduction to Algebra, Oxford University Press, 1998. Livros de exercícios: [9] Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach Publishers, 1996. [10] F. Ayres, Álgebra Moderna (Colecção Schaum), McGraw-Hill, 1965. Textos de apoio: [11] Caderno de exercícios práticos. As referências de [1] a [10] encontram-se na biblioteca da Universidade, e os textos de apoio [11] são entregues aos alunos no início e ao longo do decorrer do programa da disciplina. O programa da disciplina na parte respeitante a monóides e grupos, segue relativamente de perto o conteúdo do livro [3], com algumas alterações, tendo em vista uma melhor clarificação e compreensão dos assuntos envolvidos. Página 6 de 6