CÁLCULO DA COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES QUE MINIMIZA O RISCO PARA UM RETORNO ESPECIFICADO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E GESTÃO CÁLCULO DA COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES QUE MINIMIZA O RISCO PARA UM RETORNO ESPECIFICADO Mário Henrique da F. Oliveira Orientador: Professor Dr. Edson de Oliveira Pamplona Universidade Federal de Itajubá, Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Cx. P. 50 37500-000 Itajubá, MG, Brasil pamplona@unifei.edu.br Resumo. Este artigo aborda a utilização de uma metodologia financeira e estatística com o intuito de compor um portfolio de ações com risco reduzido, mediante a um retorno desejado escolhido pelo investidor. Foram realizadas análises das variações do valor de mercado das ações, seguido da utilização de conceitos de pesquisa operacional para composição do portfolio. Palavras-chave: CAPM, Markowitz, Solver. 1. INTRODUÇÃO As aplicações em ações estão se tornando cada vez mais comuns e existe uma tendência que cada vez mais empresas obtenham capital através do lançamento de ações e/ou títulos no mercado. Considerando o crescimento econômico objetivado pelo atual governo, é de se esperar uma maior movimentação na economia, fazendo com que os setores produtivos que estão em aquecimento possam vir a apresentar lucros maiores, o que faz com que o mercado de capitais seja ainda mais atrativo. Para o investidor, a aplicação em ações é uma maneira, já comprovada, de obter rendimentos muito acima daqueles que não apresentam risco, como poupança e fundos de renda fixa. 2. OBJETIVO O objetivo deste trabalho é montar uma carteira de ações que apresente um risco mínimo para um retorno determinado. 3. MERCADO DE CAPITAIS O Mercado de Capitais assume um papel dos mais relevantes no processo de desenvolvimento econômico. É o grande municiador de recursos permanentes para a economia, em virtude da ligação que efetua entre os que tem capacidade de poupança, ou

seja, os investidores, e aqueles carentes de recursos de longo prazo, ou seja, que apresentam déficit de investimento (ASSAF, 2002). 3.1. Ações e seus mercados Uma ação é um valor mobiliário, emitido pelas companhias, representativo de parcela do capital. Representa a menor parcela que se divide o capital da companhia (BOVESPA, 2004). Empresas emitem ações com o intuito de financiar suas atividades. O portador de uma ação é, na verdade, um dos donos da empresa, pois ações não são títulos de dívida e sim capital próprio da empresa. O mercado de ações pode ser dividido em dois: Mercado Primário Refere-se à emissão de novas ações no mercado. A empresa procura uma instituição financeira capacitada para a operação e oferece lotes de venda das novas ações a serem emitidas. Esta operação é dominada subscrição de ações ou underwritting. É importante ressaltar que o lançamento de novas ações no mercado deve ser um processo bem analisado, pois influencia no volume de ações da empresa em oferta no mercado, o que em alguns casos pode acarretar diminuição em seu valor. Mercado Secundário Consiste na negociação mútua das ações entre investidores, identificada nas negociações que se efetuam nos pregões das bolsas de valores. O Mercado Secundário é de fundamental importância, pois é o grande responsável pelo valor de mercado de ações e conseqüentemente do valor da empresa. Pode-se dizer que o mercado é quem dita todo o comportamento das ações de uma empresa, pois através da oferta e da procura das ações negociadas o preço do ativo ganha ou perde valor. 3.2. Remuneração das Ações As empresas remuneram os portadores de suas ações de duas maneiras, seja através de recompra ou pelo pagamento de dividendos por ação. Como o próprio nome sugere a recompra consiste na compra das ações do portador pela empresa. Dividendos são parcelas pagas por ação considerando os resultados obtidos pela empresa no período. Para o investidor uma das formas de remuneração mais comum é a negociação de ações no mercado secundário, onde a relação entre a compra de ações e sua venda podem gerar lucros bastante satisfatórios no tempo, além da facilidade de liquidez. 3.3. Tipos de Ações Negociadas Ações Ordinárias São aquelas que dão o direito a seus proprietários de votar na escolha do conselho de administração da empresa.

Ações Preferenciais Não apresentam direito a voto, porém em caso de falência os proprietários desse tipo de ação tem a preferência em receber a parte do capital que lhes é de direito. Muitas discussões são feitas em relação às preferências que estas ações apresentam, pois em casos de falência o dinheiro muitas vezes não é suficiente para o pagamento dos acionistas preferenciais, já que os credores são pagos antes. A nova lei em vigor exige que a cada ação ordinária lançada, também seja lançada uma preferencial para que seja mais fácil uma mudança no controle da empresa. 4. RISCO E RETORNO Quando se investe em ações, ao contrário de investimentos de renda fixa, não se sabe ao certo quanto será seu retorno, isto é, se houver retorno. Nada garante que a quantia investida seja recompensada por um bônus esperado. O investimento em ações apresenta risco. Afinal de contas se fosse possível receber sempre exatamente o que se espera, tal investimento seria perfeitamente previsível, portanto, livre de risco. O risco de um investimento é formado por dois elementos: o risco sistemático ou não diversificável e o risco não sistemático ou diversificável. O risco sistemático é aquele que influencia, em maior ou menor grau, um grande número de ativos. Incertezas sobre condições econômicas gerais, como taxas de juros ou inflação são exemplos de riscos sistemáticos. Já o risco não sistemático, é definido como um risco que afeta no máximo um pequeno número de ativos (ROSS, 2002). Segundo conceitos financeiros, o risco não sistemático pode ser eliminado pela diversificação de ativos, assim num mercado perfeito só haverá prêmios pelos riscos sistemáticos que o investidor corre. 4.1. Indicadores Para quantificar valores e comportamentos financeiros, indicadores estatísticos são utilizados pela administração financeira. 4.1.1. Retorno Esperado E(R) O Retorno Esperado é a expectativa futura de um ativo com risco (ROSS, 2002). Para efeito de cálculo utiliza-se a média de rentabilidade deste ativo em determinado período. Em cada ponto no tempo os investidores estimam o Retorno Esperado, E(R)- o retorno que se espera obter sobre dado ativo durante um horizonte de tempo infinito (GITMAN, 2002). E(R)= Benefício Esperado durante cada período (1) Preço Atual do Ativo ou como foi utilizado neste trabalho, E(R) = Σ (Retornos em diferentes períodos) (2) Número de períodos

4.1.2. Risco (σ) O indicador risco quantifica o risco sistemático e o risco não sistemático presente em um ativo. Para se calcular o risco de um investimento deve-se inicialmente calcular sua variância, que é o quadrado da diferença em relação ao retorno esperado. A seguir, multiplica-se cada quadrado de diferenças por sua probabilidade. Soma-se e obtém-se como resultado a variância (ROSS, 2002). O desvio-padrão ou risco é igual a raiz quadrada da variância. A variância de X, denotada por σ 2 ou V(X), de acordo com MONTGOMERY (2003), é dada por: σ 2 = V(X) = E(X µ) 2 = Σ (x µ) 2 f(x) (3) σ 2 = Σ x 2 f(x) µ 2 O desvio-padrão ou Risco de X é: σ = [V(X)] ½. (4) 4.1.3. Coeficiente de Variação (CV) O Coeficiente de Variação é uma medida de dispersão relativa usada na comparação do risco de ativos que diferem nos retornos esperados. CV = σ E(R) (5) Onde: σ = desvio padrão E(R) = retorno esperado Quanto mais alto o coeficiente de maior será o risco (GITMAN,2002). 4.1.4. Beta (β) O coeficiente beta, β, é usado para medir o risco não-diversificável. É o índice que mede o grau de movimento do retorno de um ativo em resposta à mudança do retorno de mercado. O coeficiente β de um ativo pode ser encontrado examinando-se os retornos históricos do mercado (GITMAN, 2002). O β corresponde à inclinação de uma linha de tendência. Tal linha é obtida através da plotagem dos retornos de mercado versus os retornos do ativo ou grupo de ativos no qual se deseja investir, para um determinado período de tempo. O índice β pode ser definido matematicamente pela seguinte relação: β = cov (R n, R m ) (6) σ m 2 Onde: cov (R n, R m ) = covariância do ativo e a carteira de mercado R n = retorno sobre o ativo em questão R m = retorno do mercado σ m 2 = variância do retorno sobre a carteira de mercado

No Brasil muito se discute como deve ser utilizado o retorno de mercado. Comumente utiliza-se como do mercado o comportamento do índice bovespa, porém alguns estudos mostram que o ideal seria utilizar um índice que considerasse a participação em volume de papéis no mercado, ao invés da liquidez dos títulos no mercado, como é calculado o índice bovespa (PENTEADO, 2002). Para efeito de simplificação de cálculos, optou-se em usar como base para avaliação do retorno de mercado o próprio índice bovespa. 5. COMPOSIÇÃO DE UM PORTFOLIO COM RISCO MÍNIMO 5.1. Empresas Analisadas Para a confecção da carteira otimizada foram escolhidas ações ordinárias de empresas nacionais de grande porte: Sadia Perdigão Banco do Brasil Itaú Bradesco Embraer Petrobras CSN Multibrás Marcopolo 5.1.1. Coleta de Dados Os dados foram coletados no site www.yahoo.com.br/finance. O período escolhido para análise foi de 03/jun./2003 a 03/set/2004, onde foram considerados os valores de fechamento ajustados mensais das empresas citadas, representados pela última coluna da tabela. Tabela 1. Marcopolo. Adj. Date Open High Low Close Volume Close* Sep 04 6.00 6.00 6.00 6.00 0 6.00 Aug 04 5.50 6.00 5.40 6.00 2 6.00 jul/04 5.11 5.50 5.11 5.50 0 5.50 jun/04 4.90 5.43 4.90 5.11 0 5.11 May 04 4.90 4.90 4.90 4.90 0 4.90 Apr 04 5.15 5.15 4.90 4.90 0 4.90 mar/04 4.90 5.20 4.90 5.15 0 5.15 Feb 04 5.00 5.00 5.00 5.00 0 4.73 jan/04 4.51 5.00 4.50 5.00 0 4.73 Dec 03 3.75 4.51 3.75 4.51 0 4.27 nov/03 3.80 3.80 3.75 3.75 0 3.55 Oct 03 4.00 4.00 3.78 3.80 2 3.60 Sep 03 3.80 4.01 3.80 4.00 0 3.79 Aug 03 3.00 3.81 3.00 3.81 0 3.61 jul/03 3.66 4.00 3.00 3.00 0 2.84 jun/03 3.85 3.85 3.00 3.70 0 3.50

A tabela a seguir apresenta os valores de fechamento das ações de todas as empresas selecionadas e os valores de fechamento do índice Bovespa. Tabela 2. Valores de fechamento das empresas e índice bovespa. Banco do ibovespa Sadia Perdigão Brasil Bradesco Itaú Embraer Petrobras CSN Multibras Marcopolo Date Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Close* Sep 04 22415 5,05 33,25 24,1 114 257 15,05 91,5 45,97 0,45 6 Aug 04 22803 4,7 33,25 24,25 116 255 14,84 90,4 45,35 0,81 6 jul/04 22337 4,05 31,5 23 116 250 16,15 85,7 43,99 0,81 5,5 jun/04 21149 3,85 27 22,5 115,02 254,89 16,6 85,7 37,88 0,81 5,11 May 04 19545 3,7 27 20,8 107,77 235,9 14,23 80,49 36,5 0,81 4,9 Apr 04 19607 4 28,5 19,1 99,67 183,84 14,5 82,24 139,5 0,81 4,9 mar/04 22142 4 30 23,28 115,75 249,68 17,85 94,55 170,44 0,81 5,15 Feb 04 21755 4,05 28 21,06 120,45 258,82 16,82 87,88 159,39 0,81 4,73 jan/04 21851 4,08 27,19 19,84 1191,94 202,36 17,89 80,12 140,11 0,8 4,73 Dec 03 22236 3,98 20,39 23,35 129,28 251,11 19,11 79,27 134,28 0,8 4,27 nov/03 20184 3,58 15,63 23,83 118,21 221,18 14,36 67,11 114,83 0,83 3,55 Oct 03 17982 3,32 15,54 18,29 96,67 209,65 13,17 63,34 101,1 0,83 3,6 Sep 03 16011 3,48 15,54 15,56 89,66 198,62 11,29 62,07 88,43 0,83 3,79 Aug 03 15174 2,68 15,54 14,98 96,18 201,6 11,64 61,93 85,26 0,44 3,61 jul/03 13572 1,75 24,28 13,41 93 182,31 10,35 57,22 69,41 0,01 2,84 jun/03 12973 1,45 24,28 12,36 87,49 170,49 10,25 52,41 60,16 0,44 3,5 Com os dados levantados calculou-se a percentual mensal de cada empresa. Tabela 3. Variação Percentual. ibovespa Sadia Perdigão Banco do Brasil Bradesco Itaú Embraer Petrobras CSN Multibras Marcopolo -1,70% 7,45% 0,00% -0,62% -1,72% 0,78% 1,42% 1,22% 1,37% -44,44% 0,00% 2,09% 16,05% 5,56% 5,43% 0,00% 2,00% -8,11% 5,48% 3,09% 0,00% 9,09% 5,62% 5,19% 16,67% 2,22% 0,85% -1,92% -2,71% 0,00% 16,13% 0,00% 7,63% 8,21% 4,05% 0,00% 8,17% 6,73% 8,05% 16,65% 6,47% 3,78% 0,00% 4,29% -0,32% -7,50% -5,26% 8,90% 8,13% 28,32% -1,86% -2,13% -73,84% 0,00% 0,00% -11,45% 0,00% -5,00% -17,96% -13,89% -26,37% -18,77% -13,02% -18,15% 0,00% -4,85% 1,78% -1,23% 7,14% 10,54% -3,90% -3,53% 6,12% 7,59% 6,93% 0,00% 8,88% -0,44% -0,74% 2,98% 6,15% -89,89% 27,90% -5,98% 9,69% 13,76% 1,25% 0,00% -1,73% 2,51% 33,35% -15,03% 821,98% -19,41% -6,38% 1,07% 4,34% 0,00% 10,77% 10,17% 11,17% 30,45% -2,01% 9,36% 13,53% 33,08% 18,12% 16,94% -3,61% 20,28% 12,25% 7,83% 0,58% 30,29% 22,28% 5,50% 9,04% 5,95% 13,58% 0,00% -1,39% 12,31% -4,60% 0,00% 17,54% 7,82% 5,55% 16,65% 2,05% 14,33% 0,00% -5,01% 5,52% 29,85% 0,00% 3,87% -6,78% -1,48% -3,01% 0,23% 3,72% 88,64% 4,99% 11,80% 53,14% -36,00% 11,71% 3,42% 10,58% 12,46% 8,23% 22,84% 4300,00% 27,11% 4,62% 20,69% 0,00% 8,50% 6,30% 6,93% 0,98% 9,18% 15,38% -97,73% -18,86%

5.1.2. Indicadores Calculados Os dados levantados servem de base para os cálculos dos indicadores apresentados anteriormente: Tabela 4. Indicadores Sadia Perdigão Banco do Brasil Bradesco Itaú Embraer Petrobras CSN Multibras Marcopolo ibovespa E(R) 9,59% 3.36% 5,18% 51,38% 3,76% 3,30% 4,01% 2,95% 282,94% 4,20% 3,91% Risco 15,56% 16,01% 11,74% 214,68% 14,74% 12,75% 6,96% 23,36% 1111,90% 10,91% 6,60% β 0,91-0,31 1,31-6,05 0,93 1,53 0,67 1,74 56,12 0,48 1,00 O retorno esperado (E(R)) foi calculado pela média aritmética dos retornos das ações no período analisado. O risco é o desvio padrão das variações das ações; assim é interessante observar a tabela notando que na maioria dos casos, investimentos com maiores retornos esperados são quase sempre os mais arriscados. Os retornos de mercado podem ser representados pelo retorno de um índice de ações, no caso o índice Bovespa. O β de mercado é igual a 1. Ativos com β maior que 1 possuem risco maior que o de mercado, e conseqüentemente maior retorno esperado, sendo denominados ativos agressivos. Ativos com β menor que 1 possuem risco menor que o do mercado, e conseqüentemente menor retorno esperado, sendo denominados ativos defensivos (ROSS, 2002). Os investimentos considerados sem risco apresentam β igual a 0. 5.2. Modelo de Precificação CAPM - Capital Asset Price Model A teoria básica que associa o risco e o retorno para todos os ativos é comumente chamada de modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) (GITMAN, 2002). 5.2.1. Equação do CAPM E(R i ) = E(R m ) + [E(R m ) R f ] x β i (7) Onde: E(R i ) = retorno exigido pelo ativo E(R m ) = retorno de mercado; retorno sobre a carteira de ativos β i = índice de risco não diversificável para o ativo j R f = taxa de retorno livre de risco 5.2.2. Aplicação da equação com base nos dados da empresas A taxa livre de risco utilizada foi a CDB, em torno de 0,6% ao mês, não descontada a inflação no período. A tabela a seguir mostra os retornos esperados e os retornos calculados pelo CAPM. Tabela 5. Comparação entre retorno esperado e exigido através do CAPM. Sadia Perdigão Banco do Brasil Bradesco Itaú Embraer Petrobras CSN Multibras Marcopolo E(R) 9,59% 3,36% 5,18% 51,38% 3,76% 3,30% 4,01% 2,95% 282,94% 4,20% CAPM-E(Ri) 3,63% -0,42% 4,94% -19,46% 3,68% 5,68% 2,81% 6,35% 186,57% 2,18%

Comparando os retornos médios com os retornos exigidos (calculados pela equação do CAPM), percebe-se que algumas empresas superam as expectativas de risco e retorno, ou seja, seu retorno esperado é maior do que o retorno exigido. São elas: Sadia Perdigão Banco do Brasil Bradesco Itaú Petrobras Multibras Marcopolo 5.3. Seleção das Empresas que irão compor o Portfolio Para simplificar os cálculos serão escolhidas cinco empresas para formação do portfolio. Algumas empresas já foram previamente eliminadas, pois apresentam seus retornos menores do que o estimado pela equação do CAPM. Das empresas restantes, cabe uma análise de seus indicadores e valores para uma tomada de decisão mais atenta. Tabela 6. Empresas selecionadas. % Sadia % Perdigão % Banco do Brasil % Bradesco % Itaú % Petrobras % % Multibras Marcopolo 7,45% 0,00% -0,62% -1,72% 0,78% 1,22% -44,44% 0,00% 16,05% 5,56% 5,43% 0,00% 2,00% 5,48% 0,00% 9,09% 5,19% 16,67% 2,22% 0,85% -1,92% 0,00% 0,00% 7,63% 4,05% 0,00% 8,17% 6,73% 8,05% 6,47% 0,00% 4,29% -7,50% -5,26% 8,90% 8,13% 28,32% -2,13% 0,00% 0,00% 0,00% -5,00% -17,96% -13,89% -26,37% -13,02% 0,00% -4,85% -1,23% 7,14% 10,54% -3,90% -3,53% 7,59% 0,00% 8,88% -0,74% 2,98% 6,15% -89,89% 27,90% 9,69% 1,25% 0,00% 2,51% 33,35% -15,03% 821,98% -19,41% 1,07% 0,00% 10,77% 11,17% 30,45% -2,01% 9,36% 13,53% 18,12% -3,61% 20,28% 7,83% 0,58% 30,29% 22,28% 5,50% 5,95% 0,00% -1,39% -4,60% 0,00% 17,54% 7,82% 5,55% 2,05% 0,00% -5,01% 29,85% 0,00% 3,87% -6,78% -1,48% 0,23% 88,64% 4,99% 53,14% -36,00% 11,71% 3,42% 10,58% 8,23% 4300,00% 27,11% 20,69% 0,00% 8,50% 6,30% 6,93% 9,18% -97,73% -18,86% E(R) 9,59% 3,36% 5,18% 51,38% 3,76% 4,01% 282,94% 4,20% Risco 15,56% 16,01% 11,74% 214,68% 14,47% 6,96% 1111,90% 10,91% β 0,91-0,31 1,31-6,05 0,93 0,67 56,12 0,48 Analisando os valores de modo geral, é possível concluir que o banco Bradesco e a Multibrás possuem riscos muito elevados, o que não é atrativo, já que dados,tão dispersos, podem ser muitas vezes inconclusivos.

Outra empresa que será excluída é a Perdigão, pois é do mesmo setor que a Sadia, podendo haver uma tendência de comportamento sazonal entre tais empresas, além de que a Perdigão apresenta alto risco para um pequeno retorno esperado. Assim as empresas selecionadas para a composição do portfolio foram: Sadia Banco do Brasil Itaú Petrobras Marcopolo 5.4. Otimização do Portfolio de Ações Método Markowitz Segundo MARKOWITZ (1952), é possível diminuir consideravelmente o risco do investimento em ações através da utilização de carteiras com vários ativos. O estudo aqui proposto objetiva mostrar e aplicar essa metodologia usando ferramentas de pesquisa operacional. 5.4.1. Cálculo De acordo com MONTGOMERY (2003), a covariância descreve como duas ou mais variáveis aleatórias variam em conjunto. Para o cálculo do retorno de uma carteira é necessário que seja montada uma matriz de covariância, assim é possível analisar o risco dos ativos em conjunto. Tabela 7. Matriz utilizada no cálculo de variância do portfolio. 1 2 3... N ação X 2 2 1 σ 1 X 1 X 2 Cov(R 1,R 2 ) X 1 X 3 (CovR 1,R 3 ) X 1 X N Cov(R 1,R N ) 1 X 1 X 2 Cov(R 2,R 1 ) X 2 2 2 σ 2 X 1 X 3 Cov(R 1,R 3 ) X 1 X 4 Cov(R 1,R 4 ) 2 X 2 X 2 Cov(R 3,R 1 ) X 3 X 2 Cov(R 3,R 2 ) X 2 2 3 σ 3 X 2 X 4 Cov(R 2,R 4 )... N X N X 1 Cov(R N,R 1 ) X N X 2 Cov(R N,R 2 ) X N X 3 Cov(R N,R 3 ) X N 2 σ N 2 σ i é o desvio-padrão da ação i. Cov (R i,r j ) é a cobariância entre a ação i e ação j. (ROSS, 1995). Para o cálculo do risco da carteira é efetuada a soma e produto entre as variâncias dos ativos e a composição percentual de cada ativo na carteira. 5.5. Utilização do Excel 5.5.1. Solver O Microsoft Excel possui uma ferramenta chamada Solver. Através dela é possível encontrar valores de minimização ou maximização baseados em restrições adotadas. Para que os cálculos sejam efetuados, deve-se inserir as seguintes definições na janela referente ao Solver no Excel:

A Função Objetivo será minimizar o risco conjunto entre as ações dado retorno esperado. As Restrições: 1. A soma das porcentagens das ações na carteira é igual a 100%; 2. O Retorno encontrado deve ser maior ou igual ao desejado; 3. O valor percentual de cada empresa que faz parte do portfolio deve ser maior ou igual a zero; As Células Variáveis serão as referentes à composição percentual de ações de cada empresa no portfolio. As tabelas envolvidas na resolução, juntamente às definições necessárias com relação à utilização do Solver estão especificadas nos itens 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4 e 5.5.5 a seguir. 5.5.2. Matriz de Covariância A matriz de covariância foi montada a partir da percentual calculada das empresas, segundo o modelo mostrado anteriormente (item 5.4.1). Tabela 8. Matriz de covariância. Sadia B. Brasil Itaú Petrotbras Marcopolo Sadia 0,022611 0,002049 0,000482 0,0028166 0,007025 Banco do Brasil 0,002 0,012861 0,008967 0,0030909-0,001334 Itaú 0,0005 0,009 0,019548 0,005221 0,0005101 Petrobrás 0,0028 0,0031 0,0052 0,0045267 0,0024514 Marcopolo 0,007-0,0013 0,0005 0,0025 0,0111179 A matriz de covariância é utilizada no cálculo dos termos de variância que representam o risco do portfolio. 5.5.3. Composição do Portfolio e Retorno Esperado Tabela 9. Composição do portfolio. Sadia B. Brasil Itaú Petrobras Marcopolo Total Portfolio % 30,55% 23,07% 0,00% 38,25% 8,13% 100,00% Retorno Esperado Médio 9,59% 5,18% 3,76% 4,01% 4,20% Os valores da primeira linha da tabela representam a porcentagem de cada empresa na composição do portfolio. Essas células foram definidas como variáveis na utilização da função Solver, ou seja, podem mudar de valor a cada retorno desejado especificado. A segunda linha da tabela são os retornos esperados médios anteriormente calculados (Tabela 6). 5.5.4. Termos de Variância e Termos de Retorno Os termos de variância e de retorno são cálculos necessários para encontrar a variância e o retorno da carteira. A somatória dos termos de variância de cada empresa resulta na variância da carteira, enquanto a somatória dos termos de retorno resulta retorno da carteira.

Tabela 10. Termos de variância e termos de retorno. Sadia B. Brasil Itaú Petrotbras Marcopolo Termos de Variância 0,28% 0,11% 0,00% 0,13% 0,03% Termos do Retorno 2,93% 1,20% 0,00% 1,53% 0,34% O cálculo do termo de variância de determinada empresa foi efetuado multiplicando sua correspondente porcentagem na composição do portfolio com a soma dos produtos entre as primeiras linhas das tabelas 8 e 9. Por exemplo, o cálculo do termo de variância da Sadia (de acordo com os valores das tabelas 8 e 9) é: Termo de variância Sadia = 30,55 % [(0,022611 x 30,55%) + (0,002049 x 23,07%) + (0,000482 x 0,00%) + (0,0028166 x 38,25%) + (0,007025 x 8,13%)] Os termos de variância, apesar de não terem sido definidos como células variáveis, poderão ter seus valores alterados com a utilização do Solver, haja visto que este cálculo é dependente dos valores percentuais de cada empresa na composição do portfolio. Os termos de retorno foram calculados através da multiplicação da porcentagem de cada empresa na composição do portfolio com o retorno esperado de cada empresa (Tabela 9). 5.5.5. Risco, Retorno Desejado e Retorno do Portfolio Tabela 11. Dados da carteira. Variância 0,0054719 Desv. Padrão 7,40% Retorno Desejado 6,00% Retorno 6,00% A variância da carteira foi obtida através da somatória dos termos de variância (Tabela 10). Esta célula foi selecionada para ter seu valor minimizado com a utilização do Solver. O desvio-padrão ou risco da carteira é a raiz quadrada da variância. Ao digitar Retorno Desejado na planilha e aplicar a função Solver, a composição de carteira com o menor risco será calculada. O termo Retorno refere-se ao retorno efetivo conseguido pelas iterações realizadas pela função Solver é o retorno calculado. Neste caso o retorno desejado e o retorno calculado são exatamente iguais, porém dependendo do retorno desejado a ser inserido, pequenas alterações podem ocorrer entre esses dois valores.

6. ANÁLISE DE RESULTADOS Nota-se que ao ser utilizado um Retorno Esperado de 6% é possível obter um portfolio com Risco de 7,4%. Portfolio esse formado por cerca de 31 % de ações da Sadia, 23% de ações do Banco do Brasil, 38% da Petrobras e 8% de ações da Marcopolo (vide Tabela 9). Marcopolo 8% Sadia 31% Petrobras 38% Itaú 0% B. Brasil 23% Figura 1. Composição do portfolio Tabela 12. Comparação entre valores obtidos. Carteira Sadia B. do Brasil Itáu Petrobras Marcopolo E(R) 6,00% 9,59% 5,18% 3,76% 4,01% 4,20% Risco 7,40% 15,56% 11,74% 14,47% 6,96% 10,91% Utilizando a abordagem anteriormente descrita do CV (Coeficiente de Variação) é possível uma nova comparação com base nos valores da tabela acima. Tabela 13. Comparação entre valores obtidos utilizando o CV. Carteira Sadia B. do Brasil Itáu Petrobras Marcopolo CV 1,23 1,62 2,26 3,84 1,73 2,59 Observando os valores contidos na tabela, fica claro que a carteira composta apresenta um risco relativo muito menor do que os ativos individuais.

7. CONCLUSÃO A metodologia proposta apresentada utiliza-se dos da equação do CAPM e conceitos de Markowitz aliados a pesquisa operacional, montando assim a carteira ótima para um investidor em potencial. Dentre todas as empresas dez empresas selecionadas, quatro foram selecionadas para a carteira, composta por 31 % de ações da Sadia, 23% de ações do Banco do Brasil, 38% da Petrobras e 8% de ações da Marcopolo. O retorno calculado é de 6%. Destaca-se a funcionalidade do modelo, pois apresenta versatilidade no cálculo de novas composições de carteiras, apenas alterando o retorno desejado pelo cliente. É possível observar que ao se utilizar de modelos não lineares de programação pode-se obter uma carteira de risco mínimo. Através desse modelo o investidor pode encontrar a composição ideal para seu portfolio dado seu retorno desejado. Levando em conta que mecanismos similares são encontrados em caros softwares, este tipo de metodologia contribui como uma solução eficiente e de baixo custo.

REFERÊNCIAS ASSAF Neto, A. 2003, Mercado Financeiro, Atlas, 5ªedição. BOVESPA, Dicionário de Finanças da Bovespa, capturado em 20 de outubro de 2004 [http://www.bovespa.com.br/dicionario.htm]. GITMAN, L. J. 2002, Princípios de Administração Financeira, Harbra 7ªedição. MARKOWITZ, HARRY, Portfolio Selection Journal of Finance,7 p77-91, março 1952. MONTGOMERY, D. C., & RUNGER, G. C., 2003, Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, LTC, 2ªedição. PENTEADO, M. A. B. e FAMA, R. Será que o beta que temos é o beta que queremos? Caderno de Pesquisas em Administração, São Paulo, V 09, 03, julho/setembro de 2002. ROSS, S.A., & WESTERFIELD, R.W., & JORDAN B. D, 2002, Princípios de Administração Financeira, Atlas 2ªedição. ROSS, S.A., & WESTERFIELD, R.W., & JAFFE F. J, 1995, Administração Financeira, Atlas 1ª edição. YAHOO, Yahoo Finanças, capturado em 05 de setembro de 2004. [http://www.yahoo.com.br/finance.htm].