Nuno Marreiros EQUAÇÕES 7º ANO Noção de equação
Antes de começar Como o Diogo tinha 10 e já só tem 4 é porque gastou 6. Se andou três vezes no Kanguru foi porque cada bilhete custou 2. Representando por x o preço de cada bilhete, pode-se traduzir a situação por uma equação : 3 x + 4 = 10
Um pouco de história Tempo dos Faraós Desde o tempo dos faraós até aos nossos dias, o objetivo básico da álgebra continua o mesmo: Permitir a solução de problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos.
Um pouco de história Papiro de Rhind Um papiro egípcio de 3 600 anos, chamado Papiro de Rhind (em homenagem a um antiquário escocês Henry Rhind, que o adquiriu numa loja de Luxor, no Egito, em 1858) mostra, através do famoso problema Aha, seu inteiro, seu sétimo fazem 19, que o homem já se aventurava, desde aquela época, nos domínios da álgebra. Vestígios de problemas resolvidos através de uma equação.
Um pouco de história Evolução da simbologia Para uma mesma expressão algébrica encontramos simbologia diferentes, consoante as épocas. Assim, a expressão é escrita desta forma por: 1 + 3x + 6x 2 + x 3 1 p3 1 p6 2 p1 3 Raffael Bombelli (1526 1572) 1 p3 p6 p1 Simon Stevin (1546 1620) 1 + 3N + 6Q + 1C Bachet de Meziriac (1581 1638) 1 + 3x + 6xx + x 3 René Descartes (1596 1650)
Um pouco de história Evolução da simbologia
Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço em equilíbrio! 1) Qual é o peso do cachorro? 9 kg 2) Igualdade algébrica... x + 16 = 25
3) Os dois sacos têm pesos iguais. Quanto pesa cada um? 6 kg 4) Igualdade algébrica... 2x = 12
5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa? 6 kg 6) Igualdade algébrica... 3x = 18
7) Qual o peso do coelho? 2 kg 8) Igualdade algébrica... x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x + 3 = 5
9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma? 5 kg 10) Igualdade algébrica... 2x = x + 3 + 2 2x = x + 5
11) Será que a balança está em equilíbrio? Não 12) Representa matematicamente esta situação. 13 < 18
Recorda as funções Exemplo: f(x) = 2 x + 3 f(3) = 2 3 + 3 = 6 + 3 = 9 f(10) = 2 10 + 3 = 20 + 3 = 23 f( ) = 19 8 pois 2 8 + 3 = 16 + 3 = 19
Descobre a peça verde que falta na expressão. 12 6-9 + = - 3-6 4
Vamos substituir o valor de cada peça verde, no espaço em branco, e verificar qual das peças torna a igualdade verdadeira. - 9 = - 3 + - 9 + 12 = 3, não serve! 12 4-9 + 4 = - 5, não serve! - 9 + (- 6) = - 9-6 = - 15, não serve! - 6-9 + 6 = - 3. É o número 6 pois dá uma igualdade verdadeira. RESPOSTA: A peça que falta é a número 6. 6
PROBLEMA: A soma do dobro de um número com 5 é igual a 21. Determina o número. 2? + 5 = 21
O problema pode ser traduzido, em linguagem matemática, pela seguinte expressão: 2 x + 5 = 21 2? + 5 = 21 A uma igualdade como esta chama-se EQUAÇÃO
EQUAÇÃO: É uma igualdade onde figura uma ou mais letras que representam valores desconhecidos. A letra que representa o valor desconhecido chama-se INCÓGNITA Na equação 2 x + 5 = 21 a incógnita é o x.
MATEMÁTICA, 7º Ano A linguagem das equações solução de uma equação Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do Português para a equação, dedução de fórmulas. Exemplos de equações e respetivas incógnitas 3x = 12 r² + 1 = r + 13 x y = 10 x é a incógnita da equação. É uma equação com uma incógnita: r. É uma equação com duas incógnitas: x e y. 3x 5 = 12 É uma equação de incógnita x. x + 3 = 2x - 7 É uma equação com uma incógnita: x.
MATEMÁTICA, 7º Ano A linguagem das equações solução de uma equação Linguagem algébrica: tradução do enunciado do problema - do Português para a equação, dedução de fórmulas. Não são equações 5 + 5 = 10 x + y ǂ 10 Não tem a incógnita. Não expressa uma igualdade. 6 x + 4 Não expressa uma igualdade. 4x + 5 < 12 Não expressa uma igualdade.
Voltando ao nosso problema: Qual será a solução da equação 2x + 5 = 21, que traduz o nosso problema? 2 6 + 5 = 17 6 não serve! 2 7 + 5 = 19 7 não serve! 2 8 + 5 = 21 é o número 8. x só pode ser 8! Isto é, 2 x + 5 = 21 é o mesmo que (é equivalente a) x = 8 Resposta: O número pedido é 8 (é a única solução da equação).
- Resolver uma equação é encontrar o valor (ou valores) que colocados no lugar da incógnita tornam a igualdade verdadeira. - Cada um desses valores chama-se Solução ou Raiz da equação. - Duas equações são equivalentes se tiveram as mesmas soluções. Escreve-se o símbolo entre duas equações equivalentes. - Ao conjunto das soluções de uma equação chama-se conjunto - solução. Representa-se por S ou C.S. e coloca-se sempre entre chavetas { } Exemplo: Como as equações x + 1 = 3 e 4x = 8 têm 2 como solução, as equações são equivalentes e pode-se escrever: x + 1 = 3 4x = 8 x = 2 C.S. = {2}
Numa equação temos: 2 x + 5 = 21 2 x + 5 = 21 1º membro 2º membro E ainda, 2 x 5 e 21 Repara que: São os termos da equação o termo 2 x tem incógnita. os termos 5 e 21 não têm incógnita, por isso chamam-se independentes.
Vamos praticar Agora que já sabes o que é uma equação, uma incógnita, os termos, Só tens de praticar!
Vamos praticar Considera a seguinte equação: Indica: 3 x - 1 = 4 x + 5 + 2 x a) a incógnita; x 3 x - 1 = 4 x + 5 + 2 x b) o 1.º membro; 3 x 1 c) o 2.º membro; 4 x + 5 + 2 x d) os termos com incógnita; 3 x, 4 x, 2 x e) os termos do 1.º membro. 3 x, 1
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