Teste Intermédio de Matemática A Versão 2 Teste Intermédio Matemática A Versão 2 Duração do Teste: 90 minutos 29.01.2009 11.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na sua folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 Página 1
rupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item. Não apresente cálculos, nem justificações. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Considere, num referencial o. n. SBCD, a superfície esférica de equação B C D œ * A intersecção desta superfície com o plano BSC é (A) uma circunferência (B) um círculo (C) o conjunto vazio (D) um ponto " BSC < C œ % B 2. Considere, num referencial o. n., a recta de equação Seja = a recta perpendicular a < que passa no ponto de coordenadas Ð"ß Ñ Qual é a equação reduzida da recta =? (A) C œ % B (B) C œ % B (C) C œ % B ' (D) C œ % B 3. Considere a equação trigonométrica sen B œ!, Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles? (A) 1 1!ß (B) ß 1 (C) 1 1 ß (D) Ò1ß 1Ó Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 2
4. Na figura estão representados, em referencial o.n. BSC: o círculo trigonométrico o raio ÒSFÓ deste círculo o arco de circunferência ponto EF, de centro no Tal como a figura sugere, o ponto pertence ao primeiro quadrante, os pontos E e pertencem ao eixo SB e a recta F é perpendicular a este eixo. Seja ) a amplitude do ângulo ESF Qual é a abcissa do ponto E? F (A) cos ) sen ) (B) " cos ) sen ) (C) " sen ) (D) " cos ) 5. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a qual é definida por P œ B C Na figura está representada a região admissível. Qual é a solução desse problema? (A) (C) B œ ' e C œ (B) B œ % e C œ B œ % e C œ (D) B œ ' e C œ Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 3
rupo II Nas respostas a itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o exacto. valor 1. Relativamente à figura junta, sabe-se que: o triângulo o ponto ÒEFHÓ é rectângulo pertence ao cateto ÒFHÓ B designa a amplitude, em radianos, do ângulo EF œ % e F œ FEH 1.1. Mostre que a área do triângulo ÒEHÓ é dada por ) tg B % 1.2. Determine o valor de B para o qual a área do triângulo ÒEHÓ é igual a % 1 1 1.3. Sabendo que senš e que, determine o valor de + œ +!ß ) tg + % Ó Ò 2. Na figura está representado, em referencial o. n. SBCD, um cone de revolução. Sabe-se que: a base do cone está contida no plano equação B C D œ " α de o vértice Z do cone tem coordenadas Ð"ß ß 'Ñ o ponto é o centro da base do cone 2.1. Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano α 2.2. Seja o plano definido pela equação Averigúe se os planos e são perpendiculares. " B C D œ α " [ Z BSC [ ÒZ [ Ó 2.3. Seja o ponto simétrico do ponto, em relação ao plano. Indique as coordenadas do ponto e escreva uma condição que defina o segmento de recta. 2.4. Sabendo que o raio da base do cone é igual a, determine o volume do cone. Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a recta que contém o vértice do cone e que é perpendicular ao plano α e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto. Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 4
3. Na figura está representada uma circunferência de centro S e raio <. Sabe-se que: ÒEÓ é um diâmetro da circunferência O ponto F pertence à circunferência α é a amplitude do ângulo FSE ÒSHÓ é perpendicular a ÒFÓ Prove que E. F œ % < cos ˆ α Sugestão Percorra as seguintes etapas: Justifique que o triângulo ÒSFÓ Justifique que F œ H Justifique que a amplitude do ângulo é isósceles FE α Escreva H, em função de e de Conclua que E. F α œ % < < cos ˆ é α FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 5
COTAÇÕES rupo I...(5 10 pontos)... 50 pontos rupo II... 150 pontos 1.... 60 pontos 1.1....20 pontos 1.2....20 pontos 1.3....20 pontos 2.... 70 pontos 2.1....15 pontos 2.2....15 pontos 2.3....20 pontos 2.4....20 pontos 3.... 20 pontos Total...200 pontos Teste Intermédio de Matemática A - Versão - Página 6
TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 2 rupo I 1. A superfície esférica de equação B C D œ * tem centro no ponto de coordenadas Ð!ß!ß Ñ e raio, pelo que é tangente ao plano BSC. Assim, a intersecção da superfície esférica com este plano é um ponto. Resposta D " 2. A recta tem declive, pelo que o declive da recta é % Este facto exclui as alternativas A e C. < = % Entre as alternativas B e D, a que corresponde a uma recta que passa no ponto de coordenadas Ð"ß Ñ é a alternativa D. Resposta D 3. Na figura está representado o círculo trigonométrico, bem como os lados extremidade dos ângulos cujo seno é!, Como se pode observar: 1 1 em!ß e em ß, a equação B œ!, não tem solução. 1 sen Ò1ß 1Ó sen B œ!, em, a equação tem duas soluções. 1 1 em, a equação, tem apenas uma solução. ß sen B œ! Resposta C Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 1
4. Tem-se SE œ S E œ S F œ cos ) sen ) Resposta A 5. Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das hipóteses C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a C, pois % ' Resposta C rupo II 1.1. A área do triângulo ÒEHÓ é igual à diferença entre a área do triângulo ÒEFHÓ e a área do triângulo. ÒEFÓ Área do triângulo ÒEFÓ œ % œ % Área do triângulo ÒEFHÓ œ EF FH Como FH FH B œ œ vem FH % tg B EF % œ tg Assim, a área do triângulo % % tg B ÒEFHÓ é igual a œ ) B tg Logo, a área do triângulo ÒEHÓ é dada por ) tg B % 1.2. ) tg B % œ % Í ) tg B œ ) Í tg B œ " Como B designa a amplitude, em radianos, de um ângulo agudo, tem-se B œ 1 % Outro processo: A área do triângulo Portanto, tem-se: Área do triângulo ÒEFÓ é igual a %. ÒEHÓ œ % Í Área do triângulo ÒEFHÓ œ ) Í EF FH % FH Í œ ) Í œ ) Í FH œ % Tem-se, então, EF œ FH pelo que B œ 1 % Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 2
1 1.3. Tem-se senš + œ Í cos + œ Como " tg " + œ e como cos + œ vem: cos + " tg + œ " Í " tg + œ " Í * Š "' Í " tg + œ * Í tg + œ * " Í tg + œ * 1 % Como + pertence ao intervalo!ß, vem tg + œ %! Logo, ) tg + % œ ) % œ Ó Ò 2.1. O vector de coordenadas Ð"ß ß Ñ é perpendicular ao plano α, pelo que também é perpendicular ao plano. Assim, o plano pode ser definido por uma equação do tipo B C D. œ! Como este plano contém o vértice do cone, o qual tem coordenadas " '. œ!, donde resulta. œ Portanto, uma equação do plano é B C D œ! Ð"ß ß 'Ñ, vem: 2.2. O vector de coordenadas Ð"ß ß Ñ é perpendicular ao plano α. O vector de coordenadas Ðß "ß Ñ é perpendicular ao plano ". Os planos α e " são perpendiculares se, e só se, os vectores de coordenadas Ð"ß ß Ñ e Ðß "ß Ñ forem perpendiculares, ou seja, se, e só se, o produto escalar Ð"ß ß Ñ. Ðß "ß Ñ for igual a zero. Ora, Ð"ß ß Ñ. Ðß "ß Ñ œ " " Ð Ñ Ð Ñ œ * Portanto, os planos α e " não são perpendiculares. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 3
2.3. Tem-se que o ponto [ tem coordenadas Ð"ß ß 'Ñ A recta Z [ pode ser definida pela condição B œ " C œ Assim, uma condição que define o segmento de recta B œ " C œ ' Ÿ D Ÿ ' ÒZ [ Ó é 2.4. O volume de um cone é igual a " Área da base Altura Relativamente ao cone em causa, tem-se: A área da base é igual a 1 œ * 1 A altura é igual a ½ Z ½ ½Z ½ Para determinarmos, precisamos de saber as coordenadas do ponto. O ponto é o ponto de intersecção do plano com a recta perpendicular a este plano e que passa por. Z α Tem-se: uma condição que define o plano α é B C D œ " uma condição que define a recta perpendicular a este plano e que passa por ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß ß 'Ñ - Ð"ß ß Ñ ß - Z é Assim, as coordenadas de satisfazem a condição ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß ß 'Ñ - Ð"ß ß Ñ B C D œ ", que é equivalente a ÐBß Cß DÑ œ Ð" -ß -ß ' -Ñ B C D œ " Tem-se: " - - ' - œ " Í Í " - ' %- " %- œ " Í *- œ ") Í - œ Portanto, o ponto tem coordenadas Ð" ß ß ' Ñ œ Ðß (ß Ñ Vem, então: ½Z ½ œ l Z l œ lðß %ß %Ñl œ È % Ð %Ñ œ ' Portanto, o volume do cone é igual a " * 1 ' œ ") 1 Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 4
3. Como SF œ S, o triângulo ÒSFÓ é isósceles. Como o triângulo ÒSFÓ é isósceles, a altura ÒSHÓ intersecta ÒFÓ deste segmento, donde FH œ H, pelo que F œ H no ponto médio FSE Como o ângulo é um ângulo ao centro, a amplitude do arco é igual à amplitude do ângulo FSE. Portanto, a amplitude do arco FE é igual a α. FE O ângulo é um ângulo inscrito, pelo que a sua amplitude é igual a metade da amplitude do arco FE. FE Logo, a amplitude do ângulo FE é igual a α Como ˆ ˆ ˆ α H α α cos vem œ H œ S cos œ < cos S Tem-se Como ½ E F œ ½E ½ ½F ½. E ½ œ E œ < cos ˆ α e como ½ ½ F œ F œ H œ < cos ˆ α vem ˆ ˆ ˆ E. F α α α œ < < cos cos œ % < cos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 2 - Resolução - Página 5