Qual é o Ritmo de Crescimento da População dos Estados Unidos? ID: 8108 Tempo necessário 45 minutos Descrição Geral da Actividade Os estudantes são introduzidos na representação de dados eponenciais através de uma análise da população dos Estados Unidos. Os estudantes utilizarão diversas representações para eplorar os aspectos da população em crescimento. Os dados foram fornecidos pelo Departamento de Recenseamento dos Estados Unidos. Foram utilizadas as datas entre 1860 e 2006. Conceitos Representação e interpretação de dados Transformações visuais das funções eponenciais Regressões eponenciais Preparação do Professor Esta análise permite diversas oportunidades para rever e consolidar os conceitos base relacionados com as funções eponenciais, quadráticas, cúbicas e logarítmicas. Assim sendo, deve ter-se o cuidado de oferecer o tempo necessário para que TODOS os estudantes se interessem activamente pelos requisitos da tarefa, permitindo aos que não entenderam certos aspectos de trabalhos anteriores a oportunidade de ficarem mais esclarecidos. No ensino secundário, esta actividade pode servir para consolidar o trabalho anterior sobre funções eponenciais. Permite uma introdução adequada à eploração de dados eponenciais, ajuste da representação utilizando as funções eponenciais e interpretação de gráficos. Comece por rever com os estudantes a fórmula geral da eponencial de y = ab. Nas figuras das páginas 40-42 são apresentados os resultados esperados dos estudantes. Consulte as figuras da página 43 para uma visualização prévia do ficheiro.tns dos estudantes. Orientação da Turma Pretende-se que esta actividade seja orientada pelo professor com os estudantes divididos em pequenos grupos. Deve colocar os estudantes em pares de forma a que possam trabalhar em conjunto com o TI-Nspire. Pode utilizar as páginas seguintes para apresentar o material à turma e encorajar a discussão. Os estudantes seguirão a aula com o TI-Nspire, embora a maior parte das ideias e conceitos esteja incluída apenas neste documento; certifique-se de que descreve todo o material necessário, de forma a que os estudantes fiquem completamente esclarecidos. A ficha de trabalho para os estudantes serve como guia através das ideias principais da actividade. Também permite que os estudantes registem as suas respostas. Em alternativa, pode pedir à turma para que registe as suas respostas numa folha de papel em separado ou apenas que utilizem as perguntas colocadas para iniciar uma discussão na turma. No final desta actividade são fornecidas sugestões para uma série de perguntas opcionais. Aplicações do TI-Nspire Calculator, Graphs & Geometry, Lists & Spreadsheet, Notes 2007 Teas Instruments Incorporated Página 39
Esta actividade eplora o ritmo de crescimento da população dos Estados Unidos deste 1860 até 2006. Os anos foram alterados, de forma a que 0 represente o ano de 1800. Ao longo desta actividade, os estudantes desenvolverão modelos eponenciais de forma a elaborar várias conjecturas, baseadas na interpolação e etrapolação dos dados. Passo 1: Os estudantes devem estudar em primeiro lugar os dados da folha de cálculo da página 1.3 e registar quaisquer observações nas respectivas fichas de trabalho. Peça-lhes para discutirem as suas opiniões e observações aos dados. Pode colocar questões sobre o tipo de função que melhor representa os dados em questão. Passo 2: Na página 1.4, os estudantes encontram uma aplicação de Graphs & Geometry com uma janela adequada para estes dados e barras deslizantes criadas previamente na parte superior da página. Peça aos estudantes para criarem um gráfico de dispersão dos dados, seleccionando MENU > Graph Type > Scatter Plot. A linha de edição de funções é apresentada e os estudantes devem premir para abrir o menu para a variável seleccione year. Prima e para avançar até ao menu para a variável y seleccione uspop. Passo 3: Peça aos estudantes para seleccionarem a ferramenta Point On ( ) no menu Points & Lines e clicar num ponto de dados. Isto permitir-lhes-á traçar os dados. Seleccione MENU > Tools > Attributes para alterar o aspecto do ponto de forma a ficar um círculo aberto (para aumentar a sua visibilidade). Se a coordenada y aparecer na notação científica, peça aos estudantes para colocarem o cursor sobre esta e premir a tecla - para visualizarem o número na notação padrão. Página 40 2007 Teas Instruments Incorporated
Passo 4: Indique aos estudantes para premirem / + G para visualizarem a linha de edição de funções. A seguir, devem seleccionar MENU > Graph Type > Function para alterar o modo dos gráficos, digitar a b para f1 e premir. (Nota: É importante que os estudantes insiram o símbolo de multiplicação entre as variáveis predefinidas a e b. Caso contrário, o dispositivo procura a variável designada por ab. ) Passo 5: O gráfico da função e a epressão da função aparecem agora no ecrã. Sugira aos estudantes para premirem / + G mais uma vez para ocultarem a linha de edição de funções. Também podem segurar e arrastar as caias de teto e organizar novamente o ecrã, de forma a permitir uma melhor visibilidade e organização. Passo 6: Peça aos estudantes para segurarem e arrastarem os pontos nas barras deslizantes a e b até obterem visualmente um bom ajuste dos dados. Uma equação eemplo é dada por: f1( ) = 20,026,786 1.013280899 Esta pode ser uma boa oportunidade para discutirem a selecção de valores que permitiu o ajuste obtido. 2007 Teas Instruments Incorporated Página 41
Passo 7: Peça aos estudantes para utilizarem mais uma vez a ferramenta Point On desta vez marcando um ponto na função. Novamente, os estudantes podem pretender utilizar a ferramenta Attributes para alterar o aspecto do ponto e premir a tecla - enquanto mantêm o cursor sobre as coordenadas para alterar o número de casa decimais apresentadas. Passo 8: A seguir, peça aos estudantes para inserirem uma página nova premindo / + I e seleccionando Add Calculator. Os estudantes devem ser orientados para efectuarem uma regressão eponencial ao seleccionarem MENU > Statistics > Stat Calculations > Eponential Regression. Para configurar a regressão, indique-lhes que devem seleccionar year como a Lista X e uspop como a Lista Y. (Prima e para deslocar-se entre os menus). Certifique-se de que a equação de regressão está definida para ser guardada como f2 e prima para calcular a regressão. Passo 9: Agora, os estudantes devem regressar à página 1.4, activar a linha de edição de funções (/ + G) e premir no NavPad (Botão de navegação) para aceder a f2 se necessário. Peça-lhes para premirem para visualizarem o gráfico e alterar Attributes de forma a que seja apresentado como uma linha tracejada. Agora, indique-lhes para repetirem o Passo 7 em cima: marcar um ponto nesta função, permitindo então que seja traçado e alterar os seus atributos e coordenadas como desejado. Os estudantes têm agora a informação necessária para pesquisar sobre a população dos Estados Unidos! Peça-lhes para concluírem os eercícios da ficha de trabalho para estudantes, ou utilize essas perguntas para iniciar uma discussão na turma. Página 42 2007 Teas Instruments Incorporated
Soluções Eercícios da Ficha de Trabalho para Estudantes 1. As respostas podem variar. Aceite as eplicações razoáveis. 2. 1.5%; Resposta possível: Nas equações eponenciais do tipo y = a(1+ b), b representa a percentagem de aumento. Na equação da regressão, 1 + b 1.015, então b 0.015 ou 1.5%. 3. a = população dos Estados Unidos em 1800; As respostas podem variar. Aceite as eplicações razoáveis. 4. população em 2020 = 220; f2(220) 414,762,602; Aceite as previsões razoáveis para f1. 5. população em 1776 = -24; f2(-24) 11.036.068; Aceite as previsões razoáveis para f1. Perguntas Opcionais 2 1. Utilize o valor residual e para comparar os dois modelos. 2. Utilize outros tipos de funções para modelar os dados. 3. Reúna dados sobre as populações da Índia ou da China e compare os valores iniciais e os ritmos de crescimento com os dados dos Estados Unidos 4. Compare a população versus território geográfico Qual é o Ritmo de Crescimento da População dos Estados Unidos? ID: 8108 (Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Gráficos de dados - População dos EUA.tns 2007 Teas Instruments Incorporated Página 43
Começar com Análise de Dados Qual é o Ritmo de Crescimento da População dos Estados Unidos? ID: 8108 Nome Turma Nesta actividade, poderá eplorar: tendências nos dados da população modelação dos dados com funções eponenciais interpretação dos dados Abra o ficheiro Gráficos de dados População dos EUA.tns no TI-Nspire e siga as instruções do professor através da actividade. Utilize este documento como referência e para registar as suas respostas. Leia a página 1.2 para familiarizar-se com a actividade. A seguir, observe os dados na folha de cálculo da página 1.3. Descreva quaisquer tendências observadas nos dados. Na página 1.4, siga as instruções do professor para criar um gráfico de dispersão destes dados. O ano (após 1800) será traçado no eio horizontal e a população no eio vertical. Quando terminar, este deverá corresponder ao apresentado aqui. Ouça o professor sobre como realizar as tarefas restantes desta actividade. Irá modelar os dados com as funções eponenciais do tipo y = a b, arrastando em primeiro lugar as barras deslizantes localizadas na parte superior do ecrã (função f1) e, em seguida, ao realizar uma regressão eponencial dos dados (função f2). Irá também criar pontos nos gráficos destas duas funções, que poderá arrastar ao longo da função, para visualizar as suas coordenadas. Antes de passar para os eercícios, trace em primeiro lugar os gráficos das curvas que melhor se ajustem aos pontos do gráfico de dispersão apresentado em cima, e registe as funções f1 e f2 nos espaços apropriados em baio. f1() = f2() = 2007 Teas Instruments Incorporated Página 1
Começar com Análise de Dados Eercícios 1. Compare as equações para f1 e f2. Descreva quaisquer semelhanças e/ou diferenças observadas. 2. Tenha em conta a função f2. Qual é a percentagem de crescimento anual da população dos Estados Unidos, de acordo com este modelo eponencial? Eplique. 3. Tenha em conta a função f1. O que representa a variável a neste conteto? Qual é o valor de a de acordo com este modelo? Parece razoável? Eplique. 4. Faça uma previsão algébrica sobre a população dos Estados Unidos para o ano 2020, utilizando f1 e f2. Apresente o seu trabalho. Segure e arraste os pontos nas duas equações para confirmar os resultados. 5. Calcule a população dos Estados Unidos no ano em que a Declaração de Independência foi assinada (1776), utilizando novamente f1 e f2. Apresente o seu trabalho. Segure e arraste os pontos para confirmar os resultados. Pode ser necessário ajustar as definições da janela. 2007 Teas Instruments Incorporated Página 2