Universidade Federal de Uberlândia Brasil

s de s do Universidade Federal de Uberlândia Brasil

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s de Quando surge uma praga em uma lavoura, os agricultores utilizam de inseticidas eficientes ao maior número de espécies e isso tem sido a tônica dos últimos 30 anos no Brasil;

s de Quando surge uma praga em uma lavoura, os agricultores utilizam de inseticidas eficientes ao maior número de espécies e isso tem sido a tônica dos últimos 30 anos no Brasil; Inseticidas são substâncias químicas utilizadas para matar, atrair e repelir insetos. Uma doença denominada morte súbita, causada por vírus transportados por pulgões, tem sido a grande ameaça dos laranjais paulistas;

s de Quando surge uma praga em uma lavoura, os agricultores utilizam de inseticidas eficientes ao maior número de espécies e isso tem sido a tônica dos últimos 30 anos no Brasil; Inseticidas são substâncias químicas utilizadas para matar, atrair e repelir insetos. Uma doença denominada morte súbita, causada por vírus transportados por pulgões, tem sido a grande ameaça dos laranjais paulistas; O controle dessas doenças é baseado no controle químico com aplicações intermitentes de biocidas quase sempre sem levar em conta a infestação da praga.

Objetivo s de s s chamados p-fuzzy, que é a abreviação de parcialmente fuzzy, são sistemas onde as variáveis de estado estão correlacionadas com suas variações através de um sistema baseado em regras fuzzy.

Objetivo s de Objetivo O objetivo deste trabalho é:

Objetivo s de Objetivo O objetivo deste trabalho é: Estudar para o modelo do os sistemas p-fuzzy modificados;

Objetivo s de Objetivo O objetivo deste trabalho é: Estudar para o modelo do os sistemas p-fuzzy modificados; Estudar também os sistemas p-fuzzy não autônomos.

Objetivo s de Objetivo O objetivo deste trabalho é: Estudar para o modelo do os sistemas p-fuzzy modificados; Estudar também os sistemas p-fuzzy não autônomos. Além disso, serão utilizados variados métodos de defuzzificação em cada um dos sistemas.

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s de s baseados em regras fuzzy (SBRF) têm quatro componentes:

s de s baseados em regras fuzzy (SBRF) têm quatro componentes: um processador de entrada;

s de s baseados em regras fuzzy (SBRF) têm quatro componentes: um processador de entrada; uma coleção de regras fuzzy, chamada de base de regras;

s de s baseados em regras fuzzy (SBRF) têm quatro componentes: um processador de entrada; uma coleção de regras fuzzy, chamada de base de regras; uma máquina de inferência fuzzy;

s de s baseados em regras fuzzy (SBRF) têm quatro componentes: um processador de entrada; uma coleção de regras fuzzy, chamada de base de regras; uma máquina de inferência fuzzy; um processador de saída.

s de s baseados em regras fuzzy (SBRF) têm quatro componentes: um processador de entrada; uma coleção de regras fuzzy, chamada de base de regras; uma máquina de inferência fuzzy; um processador de saída. Esses componentes estão conectados conforme figura a seguir.

s de

Métodos de Defuzzificação s de No sistema baseado em regras fuzzy, a cada entrada fuzzy o método de inferência produz uma saída fuzzy que indica o controle que deve ser adotado. Deve existir um método para defuzzificar a saída e assim obter um número real que indicará o controle a ser adotado.

Centro de Gravidade s de Centro de Gravidade Este método assemelha-se à média ponderada para a distribuição de dados, com diferença que os pesos são os valores que indicam o grau de compatibilidade da saída z i com o conceito modelado pelo conjunto fuzzy A em z.

Centro de Gravidade s de Centro de Gravidade Este método assemelha-se à média ponderada para a distribuição de dados, com diferença que os pesos são os valores que indicam o grau de compatibilidade da saída z i com o conceito modelado pelo conjunto fuzzy A em z. A equação (1) apresenta o centro de gravidade G(A) para o domínio discreto. n i=0 G(A) = z iϕ A (z i ) n i=0 ϕ A(z i ). (1)

Bisector de Área s de Bisector de Área Este método consiste em encontrar a abcissa x que particiona a área sobre a função de pertinência em duas áreas de igual tamanho.

Bisector de Área s de Bisector de Área Este método consiste em encontrar a abcissa x que particiona a área sobre a função de pertinência em duas áreas de igual tamanho. Para conjuntos discretos, o bisector denotado u b é a abscissa x j que minimiza j i=1 i=j+1 ϕ A (x i ) ϕ A (x i ),1 < j < i max (2) i max onde o conceito é modelado pelo conjunto fuzzy A.

Média dos Máximos s de MOM O método da Média dos Máximos consiste em escolher o ponto do universo de discurso com o mais alto grau de pertinência. Vários pontos de máximo podem existir, portanto é comum utilizar a média de vários máximos.

Média dos Máximos s de MOM O método da Média dos Máximos consiste em escolher o ponto do universo de discurso com o mais alto grau de pertinência. Vários pontos de máximo podem existir, portanto é comum utilizar a média de vários máximos. O cálculo é feito através de u MOM = i X x i,x = {i tal que ϕ A (x i ) = ϕ max }, (3) X em que A é o conjunto fuzzy que modela o conceito.

Menor dos Máximos s de SOM O método do Menor dos Máximos consiste em escolher o menor dos pontos do universo de discurso com mais alto grau de pertinência.

Menor dos Máximos s de SOM O método do Menor dos Máximos consiste em escolher o menor dos pontos do universo de discurso com mais alto grau de pertinência. Calculamos através de u SOM = min(x i ), tal que ϕ A (x i ) = ϕ max, (4) onde o conceito é modelado pelo conjunto fuzzy A.

Maior dos Máximos s de LOM O método do Maior dos Máximos consiste em escolher o maior dos pontos do universo de discurso com mais alto grau de pertinência.

Maior dos Máximos s de LOM O método do Maior dos Máximos consiste em escolher o maior dos pontos do universo de discurso com mais alto grau de pertinência. Calculamos através de u SOM = max(x i ), tal que ϕ A (x i ) = ϕ max, (5) em que ϕ A é a função de pertinência do conjunto A que modela o conceito tratado.

Modificadores Linguísticos s de Modificadores linguísticos são frequentemente utilizados para alterar atributos. Um modificador fuzzy m sobre U é uma aplicação definida em (U) com valores em (U): m : (U) (U) (6) onde (U) é a classe dos subconjuntos fuzzy de U. Um modificador é do tipo potência se para cada A (U) tem-se u m(a) (x) := (u A (x)) s, para algum s [0, ).

Restritivos ou Expansivos s de Tipos de Modificadores Os principais modificadores fuzzy são: 1 Expansivo se, para todo A (U), A m(a), ou seja, ϕ A (x) ϕ m(a) (x);

Restritivos ou Expansivos s de Tipos de Modificadores Os principais modificadores fuzzy são: 1 Expansivo se, para todo A (U), A m(a), ou seja, ϕ A (x) ϕ m(a) (x); 2 Restritivo se, para todo A (U), A m(a), ou seja, ϕ A (x) ϕ m(a) (x).

Exemplo s de Indivíduos Jovens Consideremos o conjunto fuzzy dos indivíduos jovens definido pela função de pertinência

Exemplo s de Indivíduos Jovens Consideremos o conjunto fuzzy dos indivíduos jovens definido pela função de pertinência 1 se x 25 ( ϕ J (x) = 1+ x 25 ) 2 (7) se x > 25 5

Observação s de Podemos observar que 0 < s < 1 então m S é expansivo e se s > 1 então m S é restritivo, já que ϕ A (x) [0,1].

Função de Pertinência Jovens s de A função de pertinência dada para os indivíduos jovens pode ser vista na Figura 1.

Função de Pertinência Jovens s de A função de pertinência dada para os indivíduos jovens pode ser vista na Figura 1. 1 Grau de Pertinência 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 Idade (anos)

Modificando s de Quando aplicamos modificadores fuzzy em termos primários como o adjetivo jovem, definimos novos termos fuzzy como muito jovem, por exemplo.

Modificando s de Quando aplicamos modificadores fuzzy em termos primários como o adjetivo jovem, definimos novos termos fuzzy como muito jovem, por exemplo. Assim, se tomarmos para muito jovem o subconjunto fuzzy MJ, cuja função de pertinência é dada por

Modificando s de Quando aplicamos modificadores fuzzy em termos primários como o adjetivo jovem, definimos novos termos fuzzy como muito jovem, por exemplo. Assim, se tomarmos para muito jovem o subconjunto fuzzy MJ, cuja função de pertinência é dada por ϕ MJ (x) = ϕ m(j) (x) = (ϕ J (x)) 2, (8)

Modificando s de Quando aplicamos modificadores fuzzy em termos primários como o adjetivo jovem, definimos novos termos fuzzy como muito jovem, por exemplo. Assim, se tomarmos para muito jovem o subconjunto fuzzy MJ, cuja função de pertinência é dada por ϕ MJ (x) = ϕ m(j) (x) = (ϕ J (x)) 2, (8) teremos o modificador m(a) = (A) 2 e, para um indivíduo cuja idade é x = 30, seu grau de pertinência ao conjunto dos jovens é ϕ J (30) = 0,25 enquanto que, para o conjunto modificado dos muito jovens temos ϕ MJ (30) = 0,25 2 = 0,0625 < ϕ J (30).

Função de Pertinência Modificada - Muito Jovens s de Na Figura 2 podemos observar o comportamento de um modificador do tipo restritivo, em comparação a função de pertinência não-modificada.

Função de Pertinência Modificada - Muito Jovens s de Na Figura 2 podemos observar o comportamento de um modificador do tipo restritivo, em comparação a função de pertinência não-modificada. Grau de Pertinência 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Jovens Muito Jovens 0 0 10 20 30 40 50 Idade (anos)

Outra Modificação s de Também poderíamos modelar o conjunto dos pouco jovens, utilizando a potência 1, ao invés da potência 2. 2

Outra Modificação s de Também poderíamos modelar o conjunto dos pouco jovens, utilizando a potência 1 2, ao invés da potência 2. Neste caso, teríamos um modificador expansivo e, para um indivíduo cuja idade é x = 30 o grau de pertinência ao conjunto dos pouco jovens é ϕ PJ (30) = 0,25 1 2 = 0,5 > ϕ J (30).

Função de Pertinência Modificada - Pouco Jovens s de A representação deste conjunto pode ser vista na Figura 3. Nesta figura, podemos ver a diferença entre os modificadores do tipo restritivo e expansivo.

Função de Pertinência Modificada - Pouco Jovens s de A representação deste conjunto pode ser vista na Figura 3. Nesta figura, podemos ver a diferença entre os modificadores do tipo restritivo e expansivo. Grau de Pertinência 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Jovens Muito Jovens Pouco Jovens 0 0 10 20 30 40 50 Idade (anos)

Obtendo a potência s de Intervalo inicial Consideramos a princípio, o intervalo de busca como sendo (0,2).

Obtendo a potência s de Intervalo inicial Consideramos a princípio, o intervalo de busca como sendo (0,2). Partição inicial Dividimos o intervalo (0,2), com passo 0,1, ou seja, as potências que serão verificadas são 0,1;0,2;0,3;...;1,9.

Obtendo a Potência s de Segunda partição Suponhamos que a melhor potência foi s = 0,3, conforme critério de escolha utilizado. Tomamos então o subintervalo [0,25;0,35], com espaçamento de 0,01. Dessa forma, as potências que serão verificadas serão 0,25;0,26;0;27;...;0,34;0,35.

Critérios para Escolha da Potência s de Seja x o vetor com os pontos da solução determinística e x s i o vetor com os pontos gerado pelo sistema p-fuzzy modificado através das funções de pertinência dos modelos estudados elevadas a potência s i, onde s i F.

Critérios para Escolha da Potência s de Seja x o vetor com os pontos da solução determinística e x s i o vetor com os pontos gerado pelo sistema p-fuzzy modificado através das funções de pertinência dos modelos estudados elevadas a potência s i, onde s i F. Determinamos os erros E 1 (s i ) e E 2 (s i ), que são considerados os erros para cada potência s i, calculados entre o modelo determinístico e o modelo p-fuzzy modificado.

Fórmula dos Critérios s de Aplicando a cada uma das potências testadas, temos que esses erros são:

Fórmula dos Critérios s de Aplicando a cada uma das potências testadas, temos que esses erros são: E 1 (s i ) = max x x s i, (9)

Fórmula dos Critérios s de Aplicando a cada uma das potências testadas, temos que esses erros são: E 1 (s i ) = max x x s i, (9) E 2 (s i ) = max x xs i max x s i. (10)

Escolha da Melhor Potência s de Em seguida, calculamos o E 1 = max{e 1 (s i )} e E 2 = max{e 2 (s i )}, pois para este modelo queremos saber qual a função que produz um erro maior, ou seja, qual função altera as potências de modo a se obter um maior controle da praga, e determinamos s 1 e s 2 que são as potências que geram E 1 e E 2, respectivamente.

Encontrando a Melhor Potência s de Repetimos o procedimento para a potência s i no intervalo [s 1 0.5,s 1 +0.5] e s i no intervalo [s 2 0.5,s 2 +0.5], com espaçamento 0.01, isto é, elevamos as funções de pertinência dos modelos estudados as potências s i e s i.

Encontrando a Melhor Potência s de Repetimos o procedimento para a potência s i no intervalo [s 1 0.5,s 1 +0.5] e s i no intervalo [s 2 0.5,s 2 +0.5], com espaçamento 0.01, isto é, elevamos as funções de pertinência dos modelos estudados as potências s i e s i. Em seguida, determinamos a melhor potência dentre as testadas no programa.

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s de O modelo de controle será construído com base nos modelos de densidade populacional p-fuzzy, descrito na equação: { xk+1 = (x k + x (x k )) (1 C(x k, x (x k ))) (11) x 0 R, onde x k é a população no instante k, x (x k ) é a variação populacional e C(x k, x (x k )) é a porcentagem da população de pragas que morre após aplicação do biocida.

Porcentagem da população de pragas que sobrevive s de O valor (1 C(x k, x (x k ))) [0,1] representa a porcentagem da população que sobreviverá à aplicação do biocida.

Arquitetura de Discreto s de Este modelo apresenta um sistema discreto. Para tal sistema, temos que, a Figura 4 representa esquematicamente o seu funcionamento.

Arquitetura de Discreto s de Este modelo apresenta um sistema discreto. Para tal sistema, temos que, a Figura 4 representa esquematicamente o seu funcionamento. Figura: Arquitetura de um modelo p-fuzzy discreto.

Arquitetura do modelo do s de A seguir temos a arquitetura do modelo do.

Figura: Arquitetura para o controle de pragas. Arquitetura do modelo do s de

Funções de Pertinência s de Veremos a seguir as funções de pertinência de entrada e saída para o modelo do controle de pragas.

Funções de pertinência para as entradas do modelo do pragas s de 1 BN BP MP AP Grau de Pertinência 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 Variação da População x

Funções de pertinência para a saída do modelo do controle de pragas s de Grau de Pertinência nulo baixo médio alto 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Controle (C)

Dinâmica do s de A Figura a seguir representa a evolução da praga com e sem controle.

Dinâmica do s de A Figura a seguir representa a evolução da praga com e sem controle. Pode-se verificar que aplicando o biocida, a população de pragas não ultrapassa o valor de 40, considerando a população no intervalo [0, 300].

Dinâmica do s de A Figura a seguir representa a evolução da praga com e sem controle. Pode-se verificar que aplicando o biocida, a população de pragas não ultrapassa o valor de 40, considerando a população no intervalo [0, 300]. Dessa forma, pode-se dizer que o modelo de controle atinge o resultado esperado, visto que há um controle visível das pragas com controle fuzzy.

Dinâmica do s de Figura: Dinâmica populacional do SBRF que produz o controle de pragas, com condição inicial x 0 = 20 e número de iterações n = 400.

s de O sistema p-fuzzy para o modelo do controle de pragas mantém o nível de população das pragas abaixo de 40, devido ao controle.

s de O sistema p-fuzzy para o modelo do controle de pragas mantém o nível de população das pragas abaixo de 40, devido ao controle. Ilustraremos na Tabela 1 algumas das simulações efetuadas, utilizando a teoria dos modificadores fuzzy, e utilizando a metodologia descrita anteriormente.

Simulações s de Potência E 1 E 2 s=1 0.00 0.00 s=0.96 0.005041 0.02616 s=0.92 0.008571 0.04447 s=0.9 0.009850 0.05111 Tabela: Resultado das simulações para busca da potência s para o Modelo Presa-Predador Modificado [3].

Teoria dos Modificadores linguísticos para o controle de pragas s de A seguir temos as funções de pertinência da variável de saída C(x k, x (x k )) do SBRF para o controle de pragas com potência 1 e com potência s = 0.9.

Funções de pertinência para as saídas do modelo do controle de pragas s de Grau de Pertinência 1 0.8 0.6 0.4 0.2 nulo baixo médio alto 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Controle (C) Grau de Pertinência 1 0.8 0.6 0.4 0.2 nulo baixo médio alto 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Controle (C) Figura: Funções de pertinência de saída para o modelo controle de pragas com potência s = 1. Figura: Funções de pertinência de saída para o modelo controle de pragas com potência s = 0.9 [2].

Vantagens s de Com as funções de pertinência modificadas pela potência s = 0.9, temos que o sistema p-fuzzy modificado produz, em relação ao sistema p-fuzzy, os erros E 1 = 0.009850 e E 2 = 0.05111, ou seja, temos um controle maior da praga com a utilização do sistema modificado em relação ao sistema sem modificações.

Vantagens s de Com as funções de pertinência modificadas pela potência s = 0.9, temos que o sistema p-fuzzy modificado produz, em relação ao sistema p-fuzzy, os erros E 1 = 0.009850 e E 2 = 0.05111, ou seja, temos um controle maior da praga com a utilização do sistema modificado em relação ao sistema sem modificações. Assim, quando elevamos as funções de pertinência a potências diferentes de um, temos um controle maior da praga.

Teoria dos Modificadores linguísticos no tempo, a cada iteração s de Aplicamos a teoria dos modificadores linguísticos a cada iteração, isto é, as funções de pertinência são modificadas no tempo. Para isto, as potências são alteradas conforme uma função do tempo.

Teoria dos Modificadores linguísticos no tempo, a cada iteração s de Aplicamos a teoria dos modificadores linguísticos a cada iteração, isto é, as funções de pertinência são modificadas no tempo. Para isto, as potências são alteradas conforme uma função do tempo. Na Tabela 2 estão descritos os erros, segundo os critérios apresentados nas expressões (9) e (10), para as simulações que foram feitas, aplicando a teoria dos modificadores fuzzy.

Simulações s de Função E 1 E 2 f(i) = 1/i 0.001318 0.3445 f(i) = 0.5+1/i 0.01693 0.7898 f(i) = 0.9+1/i 0.02108 0.9963 Tabela: Resultado das simulações para busca da função f(i) para o não Autônomo.

Simulações s de Função E 1 E 2 f(i) = 1/i 0.001318 0.3445 f(i) = 0.5+1/i 0.01693 0.7898 f(i) = 0.9+1/i 0.02108 0.9963 Tabela: Resultado das simulações para busca da função f(i) para o não Autônomo. Então, encontramos para este modelo a função m(i) = 0.9+ 1 i, que determina a sequência de potências que alteram as funções de pertinência com i = 1,...,n, sendo n = 400 o número de iterações.

Vantagem do sistema modificado não autônomo s de As vantagens do sistema não autônomo em relação ao sistema sem modificações e em relação ao sistema modificado autônomo, em relação ao erro E 1 são, respectivamente, V 1 = 0.215841 e V 1 = 0.02108, e em relação ao erro E 2 são, respectivamente, V 2 = 1.02246 e V 2 = 0.9963.

Funções de pertinência para as saídas do modelo do controle de pragas s de Densidade Populacional 300 250 200 150 100 50 População de com Controle População de sem Controle Controle (C) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 SBRF SBRF Modificado Autônomo SBRF Modificado Não Autônomo 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Iteração (n) 0 5 10 15 20 25 Iteração de Aplicação Figura: Dens. pop. do sist. p-fuzzy modif. não autônomo. Figura: Comparação de eficiência entre cada um dos sistemas.

Resultado s de Para o intervalo de aplicação de biocida de 15 iterações (que pode representar o intervalo da aplicação em dias), a quantidade de biocida de cada aplicação pode ser alterada, podendo obter um controle maior da praga e proporcionar melhor qualidade e maior produção da lavoura.

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s de Vantagens Obtivemos um maior controle da praga utilizando sistemas p-fuzzy modificados, em relação ao sistema p-fuzzy.

s de Vantagens Obtivemos um maior controle da praga utilizando sistemas p-fuzzy modificados, em relação ao sistema p-fuzzy. Se encontrada a função de alteração de potências adequada, o sistema p-fuzzy com controle não autônomo tem maior eficácia para o modelo do controle de pragas em relação ao controle autônomo com ou sem modificações.

s de Vantagens Obtivemos um maior controle da praga utilizando sistemas p-fuzzy modificados, em relação ao sistema p-fuzzy. Se encontrada a função de alteração de potências adequada, o sistema p-fuzzy com controle não autônomo tem maior eficácia para o modelo do controle de pragas em relação ao controle autônomo com ou sem modificações. Os resultados obtidos foram os mesmos independente do método de defuzzificação utilizado (Centro de gravidade, MOM, SOM, LOM e Bissector).

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s de L.C. de Barros e R.C. Bassanezi. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática. Coleção IMECC - Textos Didáticos,5, 2006. T.F. e R.S.M. Jafelice. : Modificado e Modificado no Tempo. Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - CNMAC, 2012. (aceito) T.F. e R.S.M. Jafelice. s para o. Revista Biomatemática - IMECC-UNICAMP, 2012. (submetido) R.S.M Jafelice, L.C. de Barros e R.C. Bassanezi. Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações. Uma Publicação da SBMAC - Editora Plêiade,17, 2005. L.R. Santos. Estratégias para o : s com Controle Híbrido. Dissertação de Mestrado, IMECC-Unicamp, 2008. Agradecimento a agência financiadora CAPES, pelo apoio financeiro indispensável para desenvolvimento deste trabalho.