TOPOGRAFIA I DEPARTAMENTO DE GEODÉSIA INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO Introdução Aplicação Definição Principio Geral Medida da DH Influência da Curvatura Terrestre e Refração Atmosférica nos Nivelamentos Limbo Vertical - Ângulo Zenital Erro residual ou erro zenital Exercício- Cálculo da cota de um ponto inacessível Precisão do Nivelamento Trigonométrico Planilhas Cálculo da planilha do Niv. Trigonométrico de uma poligonal aberta PROFESSOR - JORGE LUIZ BARBOSA DA SILVA
INTRODUÇÃO/APLICAÇÃO O Nivelamento Trigonométrico (N T) substitui o N. Geométrico quando for se levantar áreas extensas e onde existam grandes desníveis ou ainda quando é necessário nivelar diversas linhas de visadas em diferentes direções para estudos de vales, por exemplo. Aplica-se para a determinação de alturas de morros, torres, prédios, etc. O Nivelamento Geométrico é mais preciso mas é mais moroso e é limitado pela visada horizontal. O Nivelamento Trigonométrico é mais rápido que Niv. Geométrico. O método baseia-se na resolução de triângulo retângulo do qual se conhece um dos catetos (distancia horizontal) e se procura determinar o outro cateto( diferença de nível) e para tal mede-se o ângulo entre ambos. Aplica-se o N T quando os pontos a nivelar estão a grandes DN e grandes DH, como por exemplo a DN entre a base e o topo de um edifício ou de um morro. Em triangulação é o método utilizado para a medida das diferenças de nível. Definição: É aquele nivelamento que opera com visadas inclinadas, sendo as DNs (diferenças de nível) determinadas pela resolução de triângulos retângulos, conhecendo-se a base e o ângulo (inclinação / zenital) Princípio Geral: DN = DH tg α - fm + hi +... Como os teodolitos informam o ângulo zenital, então temos que usar a fórmula abaixo: DN = DH cot Ζ - fm + hi +... O nivelamento trigonométrico é aquele tipo de nivelamento em que a DN entre dois pontos é determinada, medindo-se a distância horizontal e o ângulo de inclinação entre eles, seja com relação ao horizonte, seja com relação ao zênite ( ângulo zenital). Como obter a DH 1- à trena - pequenas distâncias, pouco inclinadas, podem ser medidas á trena. Usa-se trena de fibra de vidro (cabo de agrimensor) ou trena metálica. 2- através de aparelho eletrônico - medida da distância por meio eletrônico (distanciômetros, telurômetro, estações totais).
3- através de mira invar. Dispositivo medindo horizontalmente exatamente 2 metros, composto de uma liga metálica com alto teor em Cromo. Não sofre alteração dimensional de -50 o a +50 o C DH = cot (α/2) A precisão da medida da DH através da mira Invar depende fundamentalmente da precisão da leitura do ângulo horizontal do aparelho. e também da distância de separação entre a mira e o teodolito. Para uma boa precisão, indicamos teodolitos tipo Wild T2 e Theo 10 com precisão angular de 1" e distâncias no máximo de 300 metros. Recomenda-se quatro reiterações para a determinação do ângulo α 4- por triangulação Um método muito utilizado pois requer apenas o uso de um teodolito e material acessório como trena, balizas, etc. Para medir a DN entre A e P, procedesse - se da seguinte forma: 4.1- Cria-se um ponto auxiliar B, próximo de A, mede-se a distância horizontal entre A e B com precisão, preferencialmente duas vezes. Chama-se a Distância Horizontal entre A e B de Base. 4.2- Estaciona-se o teodolito em A, mede-se o ângulo interno plano formado entre PAB (ângulo α). Estaciona-se o teodolito em B e lê-se o ângulo interno plano entre ABP ( ângulo β). 4.3- Calcula-se o angulo plano γ, sendo γ = 180 o - ( α + β ) 4.4- Aplica-se a lei dos senos para o cálculo das distâncias horizontais; DH AB / seno γ = DH AP / senoβ = DH BP / seno α
Como são conhecidos α, γ, β, e DH AB DH AP e DH BP. calcula-se por uma simples regra de três os valores de Observações: o ideal seria criar sempre um triângulo com todos os lados aproximadamente iguais para se ter uma elevada precisão, mas na prática se torna muito difícil encontrar no campo uma situação favorável para esta configuração. Então se cria uma base o maior possível e mede-se os ângulos com o máximo de precisão. Ângulo ZENITAL O Nivelamento Trigonométrico é medido com teodolito e usa-se o limbo vertical para as medir o ângulo zenital. Todo o aparelho após ser transportado deve ter seu erro zenital ou erro residual de seu limbo vertical verificado. O erro zenital ou residual do limbo vertical é um desvio da verticalidade de sua linha 0 o _180 o. Cálculo do erro zenital ( ε ) LD + L I + ε + ε = 360 o 2 ε + LD + LI = 360 o 2 ε = 360 o - LD - LI ε = 180 o - ((LD +LI)/2) ε * = ( (LD + LI) / 2) - 180 o
ε * - o valor é calculado pela fórmula acima, mas ao corrigir o ângulo zenital trocamos o sinal. Por exemplo: LD = 82 o 30' 20", sendo o valor do ε = - 30 ", então a LD do ângulo zenital corrigida será : 82 o 30' 20" + 30" = 82 o 30' 50" Influência da Curvatura terrestre e refração atmosférica nos nivelamentos. A curvatura terrestre e as diferentes densidades nas camadas da atmosfera afetam os nivelamentos principalmente quando as visadas são extensas. Já conhecemos e destacamos a curvatura terrestre e a sua influência no campo da Topografia. Todos conhecem aquela situação que estando à beira mar, primeiro avistamos, olhando horizontalmente, o mastro ou a vela de um navio que se aproxima da costa. Este fato deve-se ao efeito da curvatura terrestre. Pode-se afirmar que a um ponto na superfície terrestre correspondem 3 horizontes distintos: Horizonte Aparente - Ha Horizonte Ótico - Ho Horizonte Verdadeiro - Hv Ha é o horizonte tangente à superfície da terra, é o plano horizontal topográfico, é sem dúvida o horizonte que acreditamos enxergar, mas na realidade ele é aparente. Denominaremos o efeito de curvatura terrestre de C. Ho é o horizonte ótico, aquele que realmente enxergamos, ele se deve ao efeito da refração atmosférica. O raio luminoso ao atravessar as diferentes camadas da atmosfera sofre refração, deslocando-se abaixo da visada retilínea imaginária. Sabe-
se que este deslocamento devido à variação do índice de refração eqüivale a 13% do valor da curvatura terrestre (C ). Chamaremos o efeito de refração de r. Então r = 0,13 C. A imagem acima retrata diferentes estratos na atmosfera da terra. Hv é o horizonte verdadeiro, ou seja, aquele horizonte que corresponde a mesma altitude do ponto do inicial da visada. Se a terra fosse e uma superfície plana, só teríamos o horizonte verdadeiro. Para corrigirmos os efeitos de curvatura e refração atmosférica devemos inicialmente calcular os valores de C e r. DH 2 + R 2 = ( R + C ) 2 DH 2 = R 2 + R 2 + 2 R C + C 2 DH 2 = ( 2R + C ) C C = (DH 2 ) / 2 R + C Cabe, neste momento fazer um comentário. Adotamos nesta disciplina o valor do raio ( R ) da terra como 6 370 000 m. Então, ao dividirmos DH 2 por 2 * 6 370 000 m ou dividirmos por 2 * 6 370 000 + C, o resultado será muito semelhante. Por isso podemos descartar C do lado direito a igualdade. Fica-se com: C = (DH 2 ) / 2 R r = 0,13 C ( determinação experimental ) C r é o valor que devemos corrigir, ou seja, do horizonte ótico Ho ao horizonte verdadeiro Hv. ( C r ) = (DH 2 ) / 2 R - 0,13 (DH 2 ) / 2 R ( C r ) = ( 0,87DH 2 ) / 2 R ( C r ) = ( 0,87DH 2 ) / 2 * 6 370 000 ( C r ) = 0,0683 * DH 2 * 10-6 ( entra-se com o valor de DH em metros e obtém-se o resultado em metros). Exemplo: calcular o efeito de curvatura e refração atmosférica de uma visada para nivelamento trigonométrico realizada desde o marco Geodésico do Laçador ( Próximo ao Aeroporto Salgado Filho ) até o marco Geodésico situado no Morro Teresópolis. A distância horizontal entre os marcos é de 9 000 metros. ( C r ) =... m Exercício Cálculo da Cota de um Ponto Inacessível. Dados DH AB = 60,00 m α = 88 o 30 β = 71 o 42 hi A = 1, 50 m hi B = 1, 42 m m = fm = 0 Z 1 (A P ) = 86 o 59 00 Z 2 (A B ) = 91 o 17 20
Z 3 (B A ) = 91 o 29 56 Z 4 (B P ) = 87 o 11 00 ε = 0 Cota de A = 100, 00 m Desconsidere o valor de C r pois as distância medidas são pequenas. Calcule: γ = 180 o - (α + β ) DH AP, DH BP, DN AB, DN BA, DN AP, DN BP Erro e Correções Cota de P a partir de A e a Cota de P a partir de B. Resolução : γ = 180 o ( 88 o 30 + 71 o 42 ) =... DH AP =... m DH BP =...m DN AB =... m DN BA =...m DN AP =... m DN BP =...m DN AB média =... DN AB inferida =... Erro = DN AB inferida - DN AB média ( medida no campo) Erro = (...... ) -... Erro =... -... =... Correção: Erro /2 =... / 2 =... DN maior -... = 10,36 0,04 =... DN menor +... = 10,13 + 0,04 =... 10,32 10,17 = 0,15 m ( o k ) Cota de B = Cota de A + 0,15 =... m Cota de P = Cota de A + 10,32 =... m Cota de P = Cota de B + 10,17 =... m
COMO CALCULAR UMA DN MÉDIA Exemplo -as seguintes medidas foram observadas em campo: DN AB = - 2,86 m DN BA = + 2,88 m Primeiro passo - iniciar o cálculo usando os módulos das DNs -2,86 + +2,88 2 = + 2,87 pois a resposta sempre será positiva, porque estamos trabalhando com módulo. Mas temos que verificar se o sinal é positivo ou negativo em função das observações de campo. Segundo passo - então observamos o seguinte: se quisermos a DN AB média adotamos o sinal de DN AB, que é negativo, então: DN AB média = - 2,87 m se quisermos a DN BA média adotamos o sinal de DN BA, que é positivo, então: DN BA média = + 2,87 m Costumeiramente trabalha-se com a DN AB média, e não com a DN BA média. No caso a resposta mais usada seria DN AB média = - 2,87 m
PRECISÃO DO NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO Anotações da aula do Prof Laureano Ibrahim Chaffe DN = DH * tgα - Fm + hi d DN = d (DH * tgα - Fm + hi) d DN = DH * 1 d α cos²α dα = 1 ou 60 Precisão dos nossos teodolitos dα = 1 ou 60 ou 60 radianos 626520 α ângulo de inclinação para o nosso terreno α 30 d DN = DH 1 * 60 _ cos²30 206265 d DN = εrro = DH * 60 _ ¾ 206265 d DN = εrro = DH * 0,00038 εrro = DH * 0,0004 Exemplos: Se DH = 100m εrro = 0,04m Se DH = 200m εrro = 0,08m Se DH = 1000m εrro = 0,4m
GEO 05 501 - TOPOGRAFIA I Prof. JORGE L B da SILVA 1- DETERMINAÇÃO DO ERRO ZENITAL DO APARELHO ( ε ) APARELHO NÚMERO = MARCA = TIPO= LEITURA DIRETA 1 = LEITURA INVERSA 1= LEITURA DIRETA 2 = LEITURA INVERSA 2= LEITURA DIRETA 3 = LEITURA INVERSA 3= L. DIRETA MÉDIA = L. INVERSA MÉDIA = ε = ( ( L D média + L I média ) /2 ) - 180 ε = * Corrigir o valor de ε sempre com o sinal trocado TURMA: Data: P Componetes do Grupo :