Aplicação de Princípios Físicos na Simulação da Deformação de Objectos Em Imagens

Aplicação de Princípios Físicos na Simulação da Deformação de Objectos Em Imagens Patrícia C. T. Gonçalves, João Manuel R. S. Tavares, Renato M. Natal Jorge IDMEC Instituto de Engenharia Mecânica Pólo FEUP

Objectivo Dadas duas imagens de um objecto em instantes t distintos (ou de dois objectos diferentes), pretende-se simular a deformação envolvida: 2/15

Metodologia Identificação dos dois contornos (inicial i i e final) Modelação física dos contornos: método dos elementos finitos (FEM) correspondência entre os nodos (pontos) dos modelos FEM: análise modal Determinação do campo de deslocamentos: equação equilíbrio dinâmico 3/15

Elementos finitos de Sclaroff Para cada um dos dois contornos é construída: matriz de massa, M função das propriedades do material virtual adoptado e da interacção desejada entre matriz de rigidez, K nodos dos modelos FEM 4/15

Análise modal s s matriz modal, Φ, e da matriz das frequências de vibração, Ω, para cada modelos FEM através da resolução do problema de valores/vectores próprios generalizado: KΦ = MΦΩ A matriz modal é composta pelos vectores de forma que descrevem o deslocamento de cada nodo associado a cada modo de vibração 5/15

s s s matriz de afinidade, Z, entre os dois modelos FEM, a partir da matriz modal: r r 2 r r 2 = u u + v v Zij I,i F,j Z ij ét tanto t maior quanto menor for a afinidade id d entre os nodos i e j dos modelos inicial e final, respectivamente I,i F,j Encontrar a correspondência entre os nodos dos dois modelos FEM minimizando o custo global do emparelhamento problema de afectação 6/15

Equação de equilíbrio dinâmico Para estimar a deformação envolvida entre os dois modelos FEM emparelhados resolve-se a equação de equilíbrio dinâmico: t t t M U CU + KU = + & U vector de deslocamento U & vector de velocidade Ü vector de aceleração && R vector de carga C matriz de amortecimento (obtida a partir das matrizes de massa e de rigidez e do amortecimento crítico do material virtual adoptado) R t 7/15

Vector carga Consideramos a carga aplicada em cada nodo como proporcional ao seu deslocamento: r r r R( i ) = k( XF,j Xt,i ) X r t,i coordenadas do nodo i do modelo estimado (interpolado fisicamente) no instante t X r F,j coordenadas do nodo j (emparelhado com i) do modelo final k constante global de rigidez adoptada 8/15

Métodos de integração 9/15 Diferença central método explícito de integração directa condicionalmente estável intervalo de integração deve ser reduzido Newmark método implícito de integração directa incondicionalmente estável Sobreposição de modos considera novas matrizes de massa, rigidez e de amortecimento e to (com menor largura a de banda, o que permite a resolução da equação de equilíbrio com menor custo computacional) método de integração indirecta precisa de um método directo (diferença central ou Newmark)

Caixa torácica 23s para atingir U < 0,001 (Newmark) 46 pontos Material virtual: camada externa dos ossos das costelas 10/15

Coração (Newmark) 10s para atingir U < 0,001 11/15 35 pontos Material virtual: miocárdio

Pé 29 pontos 12/15

Pé (cont.) (Newmark) Material virtual: espuma de poliuretano 9s para atingir U < 0,001 13/15

Os resultados experimentais i obtidos na simulação da deformação entre dois estados de um objecto são coerentes com o comportamento físico esperado para os mesmos Os 4 métodos de integração considerados obtêm resultados bastante semelhantes O método da sobreposição de modos pode acelerar o processo computacional de resolução da equação de equilíbrio, mas pode comprometer significativamente a qualidade dos resultados obtidos Por ser incondicionalmente estável, o método de Newmark permite a utilização de intervalos de integração maiores, sendo por isso mais rápido 14/15

Trabalho futuro 15/15 Considerar restrições no processo de simulação para impedir que um ponto estimado afaste-se do ponto correspondente nos contornos inicial e final Desenvolver novas formulações para estimativa da carga envolvida Melhorar a fase de emparelhamento incluindo restrições de ordem Actualizar as matrizes FEM envolvidas ao longo do processo de resolução da equação dinâmica de equilíbrio Utilizar elementos finitos adequados a grandes deformações Desenvolvimento de implementações paralelizadas de forma a permitir realizar simulações mais realistas

Agradecimento Et Este trabalho blh fi foi parcialmente il desenvolvido lid no âmbito do Projecto de Investigação Segmentação, Seguimento e Análise de Movimento de Objectos Deformáveis (2D/3D) usando Princípios Físicos financiado pela FCT - Fundação para a Ciência e a Tecnologia em Portugal, com a referência: POSC/EEA- SRI/55386/2004