Caro Professor, Em 009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 0. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 0, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola. 1
GABARITO Caderno do Aluno de Matemática 7ª série/8º ano Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES Páginas 5-6 1. a) As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o conjunto dos hexágonos, etc. b) O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.} ou. a) As classes de equivalência seriam: {1, 1}, {, }, {3, 3}, {4, 4}, {5, 5}, e assim por diante. b) O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {1,, 3, 4, 5,...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto do módulo dos números inteiros. 3. a) As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja soma do numerador com o denominador é constante, começando pelo menor valor possível, que é, depois 3, 4, e assim por diante:
Soma igual a Soma igual a 3 Soma igual a 4 Soma igual a 5... 1, ou seja, 1 1 1, 4 1, 1 Soma igual a 1 3 5 6 7 8 9 11 1,,,,,,,,,, 13 1 11 8 7 6 5 4 3 1... e assim por diante. 1, 3, 3,... 3 1 3, 4 1 Assim sendo, podemos representar as classes de equivalência através do seguinte conjunto: 3
Outra forma de responder à pergunta seria a construção da seguinte tabela: b) O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a soma numerador + denominador: {, 3, 4, 5, 6,..., 13, 14,...}. A localização dos números racionais na reta Páginas 6-8 4. 5. a) 16 b) 6 c) não existe d) 5 e) infinitos f) infinitos 4
6. Alguns exemplos de resposta são: a) b) 1 3 4 5 1 4 5 4 9 4 5 8 9 8 c) 0,881 ou 0,88 ou ainda 0,888 d) 1,000000011 ou 1,0000000119 Página 8 1. 9 19 17 Algumas soluções possíveis são:,,. 80 160 160. Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais. É isso que caracteriza um conjunto denso. 3. Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de temperatura, de massa, de volume, de comprimento, etc. 5
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS... Desafio! Página Páginas 11-1 1. É possível constatar que frações irredutíveis em que o denominador é formado apenas por fatores primos, 5 ou e 5 geram decimais exatos quando o numerador é dividido pelo denominador. Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida baseando-se na tabela, é conveniente que sejam consideradas frações com numerador e denominador maiores 7 14 que 9, como ou. 160 15 6
. Quando for possível simplificar os termos da fração, eliminando o fator 3 do 9 3 denominador, como em 1, 5. 6 3. Sim. Os dados observados na tabela indicam que os denominadores 3 geram dízimas periódicas, quando o numerador não é múltiplo de 3. 4., 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3 e 9. 5. Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabela, observa-se que, excetuando-se os fatores e 5, todos os outros gerarão uma dízima periódica. Dessa forma podemos concluir que, se o denominador tiver um fator diferente desses dois, a fração irredutível gerará uma dízima. 6. Nesse caso, o aluno deve escrever frações irredutíveis, cujo denominador não seja múltiplo de ou de 5. Páginas 1-14 1. Quando o denominador tem fatores primos que não são ou 5. 1 7 9 3. Algumas possíveis soluções seriam:,,,,... 5 4 5 Desafio! Página 14 Seguindo o processo discutido em sala, podemos deduzir que em 7 5, como o primeiro resto é 5, seu desenvolvimento será: 7 5 = 0,71485 7
Páginas 15-16 1. a) b) 3 = 0,76930 c) = 0,30769 13 13 9 4 = 0,69307 d) = 0,30769 13 13. Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não apresenta o resto igual a, 1 ela não permite prever o desenvolvimento de a partir de 13 13. Portanto, temos a necessidade de efetuar a divisão de 13. Nessa divisão, além do resto, aparecem outros restos que não estavam presentes na primeira tabela: {, 5, 6, 7, 8, 11}. Agora, de posse desse novo desenvolvimento, 7 11 8 podemos escrever as frações 13, e observando o caráter cíclico dos 13 13 quocientes: 7 11 8 = 0,538461 = 0,846153 ou = 06153846 13 13 13 As tabelas juntas formam, agora, todos os restos que podem ser numeradores ou frações irredutíveis de denominador 13: {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 11, 1}. 8
Diferente da fração 7 1, em que todos os possíveis restos apareceram na primeira tabela, na fração 13 1 tivemos necessidade de construir duas tabelas. 3. a) b) c) d) 5 9 45 99 1 990 316 697 99990 Páginas 16-17 1. 7.. Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x(3 + 0,1 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 +...) = 4. Observamos então que o coeficiente de x é uma dízima periódica: (3,15555...)x = 4. Encontrando sua geratriz, podemos resolver o problema: 84 90 x 4, isto é, x Solução 90 71 90 71 9
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS Páginas 18-19 1. a) Considerando-se o ano com 365 dias de 4 horas, a resposta exigirá o seguinte cálculo: 365. 4. 60. 60. 3. 8 = 9 460 800 000 000 000 m = 9,4608. 15 metros. b) Para responder a essa pergunta, se escrevermos os valores em notação científica, 11 1,5. 5 teremos: 1,58. 0, 0000158 15 9,4608. anos-luz. c) Como a distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente, 1,5. 11 metros e a velocidade da luz é de 3. 8 m/s, um feixe de luz demorará 1,5. 8 3. 11 500 segundos para atingir a Terra, o que é, aproximadamente, 8 minutos e 0 segundos. Para efeito de comparação, o professor pode comentar que um feixe de luz, em um segundo, dá, aproximadamente, 7 voltas e meia em torno da Terra. Página 19 Resposta pessoal. Exemplo: uma unidade de medida para medir grandes distancias é a unidade astronômica abreviada por UA, que corresponde a distancia média entre a Terra e Sole, cujo valor corresponde a 1,4 96 x 11 m = 1,496, 8 Km> Para calcular algumas medidas em UA, utiliza-se o valor aproximado de 1,5 x 8 Km, ou seja, 150 000 000 Km. No entanto, a medidas mais utilizada pelos astrônomos é o ano luz ( 9,5 x 1 km) ou o parsec ( 3 x 13 km)
Página 0 1. Para medir distâncias grandes é mais prático o uso de uma unidade grande. Na Astronomia existem unidades menores que o ano-luz, como a unidade astronômica, que é a distância média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km. O parsec, que corresponde a cerca de 3,6 anos-luz, é usado normalmente para indicar distâncias entre as estrelas ou as galáxias. Páginas 0-1 1. a) 6,7. 9 pessoas. b),3. 9 segundos. c) 1,9. 1 de reais. Página 1. Para resolver essa atividade, primeiro temos que converter km³ em cm³ (1 km³ = 1. 15 4 cm³), o que indicará a massa de água na Terra ( 1,4. gramas). Como sabemos (pela tabela) que 1g de água tem 3. moléculas, então o número de moléculas no total de água da Terra é, aproximadamente, igual a 46 4,.. Aproximando-se grosseiramente esse número para 50, pode-se discutir com os alunos que esse número é muito menor que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar, à primeira vista, que 50 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se dividirmos 1 googol por 50, o resultado será 50, que é o número de vezes que o número de moléculas na água da Terra caberia dentro de 1 googol. 11
Páginas 3-4 1. Resposta livre.. 3. Página 5 Resposta pessoal. 1
4. Página 6 1. 1 angstrom corresponde a m.. Para determinar a quantidade de fios de cabelo que correspondem a 1 metro, basta 1 que façamos a divisão: 5 = 39 370 fios. O professor pode ainda discutir com,54. os alunos que, como, em média, o ser humano tem 0 000 fios de cabelo, podemos também concluir que todos os fios de cabelo de um indivíduo, quando alinhados por seus diâmetros, resultariam cerca de,54 metros (,54. 5. 0 000). 3. A solução desse problema exige que efetuemos os seguintes cálculos: 3. 1,6. 5 78 dias e 3 horas. = 1,875. 3 horas, o que corresponde a 3 1,875. = 78,15 dias, ou seja, 4 13
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR Páginas 3 33 1. A tabela preenchida ficará da seguinte forma: a) Como podemos observar, a última letra do alfabeto que pode ser representada com 4 bits é a letra P. Daí para frente temos de acrescentar outros bits. b) A letra representada pelo número 0111 é a letra H. 14
. 8 ou 56 informações. 3. Para responder a essa atividade, podemos aplicar não só o raciocínio inverso, como também trabalhar com a estimativa. Seriam necessários ao menos bits, pois 9 é igual a 51 e é igual a 1 04. Múltiplos de byte Páginas 33-34 4. a). 6 = 7 bytes b) c) d) e) 9 6 quilobytes 3 3. 4 gigabytes 9.. 6 1 7 megabytes. 6 6 terabytes 1 5. a) 1. 0 11 4 30 34 b) c) quibibytes. bytes 0 1 40 41 d) mebibytes 5.. 5. bytes e) 5. 15 30 gibibytes 6. a) Basta transformar 700 mebibytes em megabytes. 15
7.. 6 0 7. 0 4 7. 1 048 576 734 megabytes. 000 Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 734 MB. b) Basta transformar 4,7 gigabytes em gibibytes. 47. 1 30. 9 47. 30 8 4 700 000 000 4,4 gibibytes. 1 073 741 84 Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é de 4,4 gibibytes. Páginas 35-39 1. 3 1 = 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1. 5 1 = 31 16
3. n elevado a n Número de algarismos 0 1 1 1 1 4 1 3 8 1 4 16 5 3 6 64 7 18 3 8 56 3 9 51 3 1 04 4 11 048 4 1 4 096 4 13 8 19 4 14 16 384 5 15 3 768 5 16 65 536 5 17 131 07 6 18 6 144 6 19 54 88 6 0 1 048 576 7 1 097 15 7 4 194 304 7 3 8 388 608 7 4 16 777 16 8 5 33 554 43 8 6 67 8 864 8 17
4. Utilizando o recurso gráfico das planilhas eletrônicas, encontramos um gráfico semelhante a esse: 5. n elevado a n Número de algarismos 39 5,498E+11 1 40 1,0E+1 13 41,199E+1 13 4 4,398E+1 13 43 8,796E+1 13 44 1,759E+13 14 6. Para responder a essa pergunta, podemos proceder com algumas estratégias próprias, como efetuar com a contagem da quantidade de algarismos baseando-se nos dados da tabela na sequência: 4, 3, 3, 4, 18
Outra forma é utilizar o gráfico dos colegas e ajustar, pelo menos quatro deles, fazendo coincidir os pontos iniciais e finais até encontrar o valor correspondente ao expoente 0. Contudo, podemos buscar uma forma mais simples para se chegar à solução do problema. Para isso, investigaremos, no gráfico, uma correspondência entre a variação de algarismo e do expoente. A ideia é perceber que, a cada variação de no expoente, há um acréscimo de 3 algarismos na escrita por extenso da potência de, isto é, há uma variação de 3 no número de algarismos. Basta, portanto, fazermos a relação para 3. Contudo, como a sequência parte do 1, devemos acrescentar uma unidade no resultado dessa relação. Assim, para encontrarmos o número de algarismos do desenvolvimento de 0, devemos fazer a seguinte relação: se a cada no expoente acrescentamos 3 no número de algarismos, quando o expoente for 0 teremos acrescentado 30 algarismos. Como a sequência da quantidade de algarismos partiu do 1, teremos como solução 31 algarismos. Isso é o mesmo que realizar as seguintes operações: 0. 3 = 30 30 + 1 = 31 algarismos Agora vamos observar o que acontece quando o expoente não é múltiplo de, como é o caso de 36 e 37. 36 3,6 3,6. 3 =,8 + 1 = 11 algarismos 37 3,7 3,7. 3 = 11,1 11 + 1 = 1 algarismos Como vemos, a casa decimal resultante do produto por 3 é ignorada na determinação do número de algarismos da escrita por extenso, o que percebemos quando ligamos por um traço os pontos do gráfico. AJUSTES Caderno do Professor de Matemática 7ª série/8º ano Volume 1 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página. 19
Configuração dos capacitores Estado: D desligado L ligado Número binário (4 casas) Letra D D D D 0000 A menos bytes, pois 9 é igual a 51 e é igual a 1 04. Múltiplos de byte D D D L 0001 B D D L D 00 C D D L L 0011 D D L D D 00 E D L D L 01 F D L L D 01 G D L L L 0111 H L D D D 00 I L D D L 01 J L D L D K L D L L 11 L L L D D 10 M L L D L 11 N L L L D 11 O L L L L 1111 P b) A letra representada pelo número 0111 é a letra H. Atividade Um byte é composto por oito bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte? 8 ou 56 informações. Atividade 3 Quantos bytes seriam necessários para armazenar 1 000 informações? Neste item o aluno deve aplicar não só o raciocínio inverso, como também trabalhar com a estimativa. Seriam necessários ao No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de dez. Assim, um quilobyte (Kb) equivale a 3 bytes, um megabyte (Mb) a 6 bytes, um gigabyte (Gb) a 9 bytes, e assim por diante. Atividade 4 Com base no Sistema Internacional, complete a tabela a seguir fazendo as transformações pedidas. Dê a resposta na forma de potência de dez. a) megabytes em bytes. 6 = 7 bytes. b) 1 gigabyte em quilobytes 9 3 = 6 quilobytes c) 0 quilobytes em gigabytes. 3 9 = 4 gigabytes d) 0 terabytes em megabytes.. 1 =. 7 megabytes 6 e) 1 megabyte em terabytes 6 = 1 6 terabytes Atividade 5 Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de dois. Um quibibyte (Kib) equivale a bytes, um mebibyte (Mib) a 0 bytes, um gibibyte (Gib) a 30 bytes, e assim por diante. Faça as transformações a seguir e dê as respostas na forma de potência de dois. 40 MAT_CP_7a_vol1_FINAL.indd 40 4//09 1:11:39 PM