Um método numérico para encontrar as raízes de um polinômio baseado no vetor gradiente. Flaulles Boone Bergamaschi 1 1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB) Cep 45.083-900- Vitória da Conquista BA Brasil flaulles@uesb.br Abstract. This method is an alternative to the problem of finding roots of a polynomial equation. He will be based on the gradient method used to find maximum and minimum of a function of two variables. Resumo. Este método é uma alternativa para o problema de encontrar raízes de uma equação polinomial. Ele será baseado no método gradiente utilizado para encontrar máximos e mínimos de uma função de duas variáveis. 1. Introdução Em 1823 um jovem matemático Norueguês pôs fim a um problema que durava séculos: o problema da quíntica. Niels Henrik Abel tinha apenas 21 anos quando conseguiu demonstrar que não podemos obter uma fórmula geral (que utilize apenas as quatro operações e extração de raízes) para obter as raízes de uma equação(do tipo polinomial) de grau cinco. De forma independente outro jovem matemático estava obcecado pelo mesmo problema. Évariste Galois, foi mais longe. Ele conseguiu mostrar quais equações poderiam ser resolvidas por fórmula e quais não poderiam. Para este feito Galois criou uma ferramenta que mais tarde se transformou em um novo ramo na matemática: a teoria dos grupos. A genialidade do feito de Galois impressionou e ainda impressiona matemáticos do mundo todo. Mais detalhes desse feito veja em [Livio 2009] e [Eves 2004]. Hoje temos vários problemas onde somos levados a encontrar as raízes de uma determinada equação polinomial de grau maior ou igual a cinco. Sabendo dos resultados de Abel e Galois, somos forçados a desenvolver métodos numéricos para o cálculo dessas raízes. Em geral os métodos clássicos são baseados no seguinte princípio: dada uma equação polinomial, construímos uma matriz chamada de matriz companheira. Os autovalores dessa matriz serão as raízes da equação. Devido a grande aplicabilidade, este método é encontrado em algumas funções pré-definidas de softwares como o Matlab([Hanselman 2003]), Maple e outros. Tais métodos baseados no cálculo de autovalores em certos casos são vulneráveis a erros de arredondamento. Sua estabilidade depende do condicional da matriz companheira. Assim, como alternativa vamos utilizar o vetor gradiente, que pode reduzir tais erros e encontrar respostas mais confiáveis. Nosso método consiste em criar uma função auxiliar a partir do polinômio dado e encontrar seus pontos de mínimo. Estes serão as raízes reais ou complexas da equação dada. Nesta busca vamos utilizar o método gradiente que é largamente utilizado na busca de máximos e mínimos de funções de várias variáveis.
2. Estrutura do método Antes de iniciar, lembramos que um polinômio de grau n mônico em C será do tipo: p(x) = x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 com a i C para todo i = 0,, n 1. Estamos interessados nas raízes desse polinômio, ou seja, onde p(x) = 0. Lembramos também que todo polinômio de grau n em C tem no máximo n raízes distintas em C(para mais detalhes veja em [Gonçalves 2006]). Vamos considerar que um número complexa a + bi pode ser visto em R 2 como o par (a, b). O teorema abaixo nos dá uma região circular do plano onde todas as raízes reais ou complexas estão. Teorema 1: Seja p(x) = x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 um polinômio de grau n e a 0 0. Se x é uma raiz de p, então onde L = 1 max { a i 1/(n i) } 0 i n 1 x L, Para a demonstração desse Teorema veja em [Bergamaschi 2006]. Dessa forma considere uma equação polinomial de grau n: onde a i C. x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0 Substituindo x = a + bi em p(x) podemos separar a parte real e a parte imaginária da seguinte forma: x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = U(a, b) + V (a, b)i. Se queremos p(x) = 0 então devemos ter:. U(a, b) + V (a, b)i = 0 Isto implica em U(a, b) = 0 e V (a, b) = 0. Onde podemos ter U 2 (a, b) = 0 e V 2 (a, b) = 0. Portanto devemos encontrar os pontos de mínimo da função F (a, b) = U 2 (a, b) + V 2 (a, b). Não demonstraremos, mas é possível ver que os pontos de mínimo de F serão as raízes da equação dada anteriormente. Na busca por mínimos de F vamos utilizar o método gradiente. Mas devemos lembrar que o método gradiente funciona somente com uma condição inicial, ou seja, precisamos de um ponto inicial (x 0, y 0 ) para iniciar o método. Assim vamos tomar a região dada pelo Teorema 1 e espalhar de forma aleatória vários pontos nessa região. Vamos iniciar o método em cada ponto. Dessa forma teremos uma grande chance de encontrar os mínimos de F. 2.1. Método Gradiente Vamos agora fazer algumas considerações sobre o vetor gradiente: que: Seja f : D R 2 R uma função derivável em D. Então podemos afirmar
i) o vetor gradiente f(x) aponta para uma direção onde f(x) é crescente. ii) dentre todas as direções ao longo das quais f(x) cresce, a direção do gradiente f(x) é a de crescimento mais rápido. Tendo em mente esses resultados considere um ponto p 0 qualquer em D. Pelo item ii a direção f(p 0 )(direção contrária ao vetor gradiente) tem maior decrescimento. Nosso objetivo é caminhar nesta direção para encontrar o mínimo de f(x). Para auxiliar vamos definir a função g 0 (t) = f(p 0 t f(p 0 )). Observe que a função g 0 (t) é de uma variável. Podemos então, aplicar o método da seção áurea(ou qualquer outro método para encontrar mínimos em uma dimensão) para encontrar seu mínimo, digamos p 1. Repetimos o processo para p 1, ou seja, definimos g 1 (t) = f(p 1 t f(p 1 )) e encontramos seu mínimo p 2. O processo segue até que a distância entre p n e p n 1 seja menor que um certo δ fixado, ou seja p i p i 1 < δ. Também podemos utilizar como critério de parada o próprio vetor gradiente. Nesse caso, paramos o método se a norma do vetor gradiente em p n for menor que um certo δ. 3. Exemplo Para facilitar, vamos considerar o polinômio p(x) = x 2 + 1. Utilizamos o Teorema 1 para encontrar a região onde todas as raízes desse polinômio estão. Para isto vamos calcular: L = 1 max { a i 1/(n i) }, com n = 2, ou seja, L = 1 0 i n 1 Max{ 1, 0}. 1 Onde temos L = 3, 321. Dessa forma temos que todos as raízes da equação estão dentro do círculo de raio R = L e centro [0,0] esta será nossa região D. Para encontrar essas raízes vamos construir a função F : Tomando x = a + bi e calculando p(x) temos p(a + bi) = (a 2 b 2 + 1) + 2abi. Assim U(a, b) = a 2 b 2 + 1 e V (a, b) = 2ab. Como F (a, b) = U 2 (a, b) + V 2 (a, b) temos que: F (a, b) = a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 + 2a 2 2b 2 + 1 Sabemos que os pontos de mínimo de F são exatamente as raízes do polinômio. Para encontrá-los vamos utilizar o método gradiente, ou seja, escolhemos um ponto na região D e iniciamos o método. Dois problemas surgem agora: i) o método gradiente pode divergir dependendo do ponto escolhido. ii) Dependendo da escolha dos pontos iniciais podemos não ter todas as raízes. Em relação a i) temos a seguinte conjectura: Dada F obtida da forma acima, ou seja, a partir de uma equação polinomial o método gradiente sempre converge para algum ponto de mínimo desde que o ponto escolhido não seja um ponto de mínimo/máximo local. Fizemos esta conjectura porque até o momento temos apenas fortes indícios sobre
o resultado. Em relação a ii) devemos iniciar o método em vários pontos escolhidos de alguma forma. A princípio vamos escolher de forma aleatória uma quantidade de pontos. Isto pode aumentar muito o tempo de busca. No exemplo acima aplicamos o método gradiente em dois pontos: (5,3) e ( 5, 3). Em ambos os casos, com poucas iterações temos os mínimos (0, 1) e (0, 1), que são exatamente as raízes complexas de p(x) = x 2 + 1, ou seja, ±i. Observe as curvas de nível na Figura 1. Nos pontos m 1 = (0, 1) e m 2 = (0, 1) temos os zeros da função F que são exatamente as raízes de p(x) = x 2 + 1. m 1 m 2 Figura 1. Curvas de nível F Figura 2. Gráfico com curvas de nível de F 4. Considerações finais Para encontrar a função F recomendamos a utilização de um software com manipulação algébrica, ou uma implementação para o Matlab baseada em vetores. Isto não é muito difícil uma vez que estamos trabalhando com funções polinomiais. Não poderíamos também deixar de comentar sobre a forma aleatória de iniciar o método gradiente. Sugerimos um número inicial de pontos dentro da região circular. Caso o método não encontre todas as raízes, essa quantidade deverá ser aumentada gradativamente. Podemos controlar isso uma vez que sabemos a quantidade máxima de raízes.
Figura 3. Gráfico com curvas de nível em 3D de F Também devemos observar a multiplicidade de cada raíz, pois a mesma pode ser contada duas vezes, é o caso do polinômio p(x) = x 2 2x + 1 que tem apenas uma única raíz. Acreditamos que a conjectura enunciada no texto acima não seja de demonstração complicada dada a forma relativamente simples de F. 5. Agradecimentos Agradeço ao professor Márcio A. A. Bortoloti por conversas valiosas. Referências Bergamaschi, F. B. (2006). Comparando os teoremas que tratam sobre o limite dos zeros de um polinômio. Ermac VI. Eves, H. (2004). Introdução à história da Matemática. Unicamp, 1th edition. Gonçalves, A. (2006). Introduçõ à álgebra. Impa, 5th edition. Hanselman, D. (2003). Matlab Curso Completo. Prentice Hall, 1th edition. Livio, M. (2009). A equação que ninguém conseguia resolver. Record, 1th edition.