Análises e Cálculos do Conjunto Massa-Mola utilizando Matlab 1,2 Rolden Baptista, 1 Newton Tavares e 1 Dorotéia Vilanova Garcia Baptista, R. Tavares, N. Garcia, D. V. rolden.baptista@unimonte.edu.br nilton-tavares@uol.com.br dorasoft@gmail.com 1 UNISANTA - Universidade Santa Cecília Departamento de Pós-Graduação Mestrado em Engenharia Mecânica Rua Osvaldo Cruz, 288 CEP 11045-000- Santos-SP Brasil 2 UNIMONTE Centro Universitário Monte Serrat Rua Comador Martins, 52, Bairro Vila Mathias CEP: 11015-530 Santos/SP Resumo O desenvolvimento de soluções de cálculo de energia cinética, energia estática, energia total e deslocamento, em mecanismos de sistemas massa-mola utilizando-se do software Matlab têm apresentado resultados condizentes com modelos matemáticos usualmente executados por integral e / ou derivada e por processos analíticos. Tal simulação apresenta como vantagens, além da repetitividade, ganhos significativos de tempo e esforço. Este trabalho apresenta os conceitos matemáticos que regem o cálculo de sistema massa-mola e compara com os resultados a partir de rotina de simulação desenvolvida no Software Matlab. Palavras chave: Sistema massa-mola, Simulação em Matlab, Energias em molas. Abstract - The development of solutions for the calculation of kinetic energy, static energy and total energy and displacement in mechanisms of mass-spring systems using Matlab software has shown consistent results with mathematical models usually performed by integral and / or derivative and analytical processes. This simulation has the advantage, besides the repeatability, significant gains in time and effort. This paper presents mathematical concepts that govern the calculation of mass-spring system and compared with the results from simulation routine developed in Matlab. Keywords: Mass-spring system, Matlab simulation, energy in springs. I. INTRODUÇÃO Quando uma força é aplicada a uma mola esta sofre um alongamento, e quando esta força não é mais exercida a mola volta na sua posição inicial, dentro de um limite que não deforme plasticamente o material. Desta forma este alongamento é chamado de deformação elástica e a força que leva a mola a voltar em sua condição inicial é a força elástica (equação 2) [2][3]. Segundo a Lei de Hooke (Robert Hooke, 1635-1703 Inglaterra) a deformação sofrida por uma mola é diretamente proporcional à força aplicada à mesma [3], conforme a equação 1. (1) (3) A unidade de K é N/m. A Energia potencial Elástica se dá quando uma mola é sujeita à ação de uma força que produza nela uma deformação elástica x, que é demonstrada na Figura 1. (2) Onde: F: Força Externa; F el : Força Elástica; x: deformação da Mola; K: constante elástica; A constante elástica de uma mola é dada pela razão entre a força aplicada à mola e a deformação sofrida pela mesma, conforme a equação 3. Figura 1 Demonstração da Força F e da Força Elástica (Fel) (Fonte: Garcia, D.V, 2013) Quando é aplicada uma força, surge na mesma a força elástica de sentido contrário a to a uma ISSN 1809-0648 12
posição de equilíbrio na mola, conforme equação 4. Como temos (4) Como a Fel não é constante, para calcular-se o trabalho realizado pela força elástica, recorremos ao processo gráfico. Representa-se o módulo da força elástica na ordenada e o alongamento da mola na abscissa (Gráfico 1). A energia mecânica do sistema é calculada pela equação 8. Onde A é a deformação máxima da mola. Portanto pela equação 9 chega-se na Energia Cinética E c. (8) (9) Gráfico 1 Força Elástica versus deformação (Fonte: LENCE, 1993). A área abaixo da reta é numericamente igual ao trabalho que é realizado pela força elástica (em módulo) para justamente levar a mola em sua posição original. A equação 5 demonstra justamente este trabalho realizado. Gráfico 3 Energia Cinética versus deformação (Fonte: LENCE, 1993). Para representar graficamente a E c e a E Pel usa-se o eixo das ordenadas e o alongamento no eixo das abscissas, conforme o gráfico 4. Sabe-se que: (5) (6) Como a energia potencial elástica da mola é nula em sua posição original, então se tem pela equação 7, que: (7) I.1. GRÁFICO DA ENERGIA EM UMA MOLA A energia potencial elástica numa mola é dada pela equação 7 e representando esta na ordenada, e a deformação na abscissa, o resultado é o visto no gráfico 2. Gráfico 2 Energia Potencial Elástica versus deformação (Fonte: LENCE, 1993). Gráfico 4 Energia Potencial Elástica e Energia Cinética versus deformação (Fonte: LENCE, 1993). Agora se pode construir o gráfico da energia cinética em função do alongamento, conforme o gráfico 3. Através da revisão bibliográfica e de posse das equações fundamentais para um sistema massa-mola foi feito um programa através do software MatLab (utilizada versão R2.010a) para o estudo de tal sistema. Este programa recebe via teclado as seguintes informações (solicitações): Dê o valor da massa em (g); Dê a constante elástica da mola em (N/m); Dê o deslocamento máximo da mola em (cm); Neste programa constam condicionantes para garantir a entrada correta dos dados como, por exemplo, se o valor da constante elástica da mola for 0 o programa não executará a próxima linha de comando e exibirá mensagem de erro para aquela entrada: ISSN 1809-0648 13
Vide lógica abaixo: if k>0 xmax = input('dê o deslocamento maximo da mola em (cm): ') disp('constante elastica errada.'); O sistema com estas entradas irá calcular: Energia total; A energia potencial; A energia cinética; Velocidade da massa. Para tais cálculos são utilizadas como base para desenvolvimento algumas das equações de 1 a 15. Fazo então em subgráficos as seguintes representações: deslocamento versus energia cinética, deslocamento versus energia potencial, deslocamento versus energia total e deslocamento versus velocidade da massa. Para tanto temos as seguintes equações: Sistema Massa-mola II. O PROGRAMA NO MATLAB (10) (11) (12) Demonstra-se abaixo o script confeccionado para o cálculo proposto neste trabalho: %sistema massa - mola resp='s'; while resp=='s' resp=='s' clc; clear all; disp('sistema massa - mola'); disp(' ') ; m =input('dê o valor da massa em (g): '); k = input('dê a constante elastica da mola em (N/m): '); if k>0 xmax = input('dê o deslocamento maximo da mola em (cm): '); if xmax>0 i=0; et=(1/2)*k*(xmax/100)^2; for x = -xmax:0.1:xmax; i=i+1; d(i)=x; ep(i)=(1/2)*k*x^2; ec(i)=et-ep(i); a= -k/m*x; %calculo da aceleração v=int('a',0,x); % cálculo da derivada de x subplot(2,2,1);plot(d,ec,'k*'); grid on; ('Ec'); title('ec versus x'); subplot(2,2,2);plot(d,ep,'r*'); grid on; ('Ep'); title('ep versus x'); subplot(2,2,3);plot(d,et,'b*'); grid on; ('Et'); title('et versus x'); subplot(2,2,4);plot(d,v,'k*'); grid on; ('v'); title('velocidade versus x'); disp('deslocamento maximo errado.'); disp('constante elastica errada.'); resp=input('novo ensaio? s ou n ','s'); III. RESULTADOS A partir da entrada correta dos dados o programa gera os seguintes sub-gráficos para a simulação abaixo, que está demonstrada conforme a figura 2. Segue entrada: Valor da massa em (g) = 50; Constante elástica da mola em (N/m) = 4; Deslocamento máximo da mola (cm) = 2; ISSN 1809-0648 14
Figura 2 Tela de entrada dos dados simulados. A partir da entrada destes dados o programa efetua os cálculos e gera como saída uma única tela com os sub-gráficos (4), conforme visto nos gráficos expostos na figura 3 a seguir. Figura 3 Tela de resultado com sub-gráficos. III.1 DISCUSSÃO Comparando-se os resultados obtidos através do programa MatLab com a teoria apresentada na introdução e com suas equações 1 a 15 é observado que o programa conseguiu calcular e demonstrar que a lógica utilizada para a sua formulação esta condizente com a teoria apresentada. IV. CONCLUSÃO Através de uma sólida e embasada pesquisa bibliográfica e de posse do software MatLAb foi feito um script com linhas de comando que permitiram o cálculo de Energia Total, Energia Potencial, Energia Cinética e Velocidade da massa. Este programa possibilita ganhos significativos de tempo e esforço para o cálculo de vários conjuntos de entradas de dados e rapidamente é possível a visualização gráfica dos resultados alcançados. Através do comando subplot foi alocado em uma única tela os gráficos de deslocamento versus energia cinética, deslocamento versus energia potencial, deslocamento versus energia total e deslocamento versus velocidade da massa. V. REFERÊNCIAS [1] Garcia, D. V., Apostila de Matlab Noções de Matlab, Universidade Santa Cecília, Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica, Santos, 2.013. [2] Lence, R. Física Vol.1 2ª. Edição, Editora Érica, São Paulo, 1993, pp. 234-238. [3] Tipler, Pl. A. Física para Cientistas e Engenheiros Vol.1 6ª. Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2009, pp. 175-176. ISSN 1809-0648 15
Rolden Baptista Graduado em Engenharia Elétrica com ênfases em Energia e Sistemas de Automação pela UNISANTA Universidade Santa Cecília de Santos - SP. Possui especialização em Engenharia de Telecomunicações e em Gestão Empresarial (INATEL-MG/FECAP-SP). Atua como Engenheiro de Planejamento no Setor de Telecomunicações. Também é professor Universitário na UNIMONTE (Universidade Monte Serrat - Santos- SP) nos Cursos de Manutenção Industrial, Engenharias (Produção, Ambiental e de Petróleo e Gás) e de Gestão em Recursos Humanos e Processos Gerenciais. Mestrando no programa de pós-graduação em engenharia da UNISANTA - Universidade Santa Cecília Santos-SP. Nilton Tavares Graduado em Engenharia Mecânica pela UNISANTA Universidade Santa Cecília de Santos - SP. Possui especialização em Administração Industrial pela Fundação Vanzolini POLI Escola Politécnica da Universidade de São Paulo SP. Atua como Consultor na área de Gestão Empresarial. Mestrando no programa de pós-graduação em engenharia da UNISANTA - Universidade Santa Cecília Santos-SP. Dorotéa Vilanova Garcia Mestrado realizado na UFU (Universidade Federal de Uberlândia), onde desenvolveu projetos voltados para I.A. Atualmente é pesquisadora do IPTBS (Instituto de Pesquisa e Tecnologia da Baixada Santista) e pertence ao quadro de docentes do Mestrado Profissional da Mecânica da UNISANTA (Universidade Santa Cecília em Santos SP). Ministra aulas nas seguintes Instituições: UNISANTA e FATEC-Baixada Santista Rubens Lara, Santos São Paulo. Com formação de graduação nas áreas de Matemática, Computação e Pedagogia. Foco de pesquisa na área Sistemas Especialistas voltado para algoritmos de Lógicas não-classica, principalmente Lógica Paraconsistente Aplicada. ISSN 1809-0648 16