NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO MÓDULO 5 (SÉTIMA SÉRIE) PROFESSOR Ardelino R Puhl
REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos, utilizadosna resolução de uma regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m 2 ) Identificação do tipo de relação: Energia (Wh) 1,2 400 1,5 X Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela: dade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 X Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 X Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 X Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Regra de três composta. A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m 3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m 3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordante para as inversamente proporcionais como mostra a figura abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12dias Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 6) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será? 7) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 06 horas? 8) Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste alimento. 9) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias? 10)Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas? 11Certa quantidade de suco foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco? 12)Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 13)Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o
número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 14) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango? 15) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas 2500 litros, qual o tempo necessário? 16) Em 15 minutos eu consigo descascar 2kg de batatas. Em uma hora conseguirei descascar quantos quilogramas? 17) Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões seriam necessários? 18) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos docinhos conseguirá fazer? 19) Um barco pesqueiro tem uma produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90 toneladas, qual é o número necessário de viagens? 20) Uma vela com pavio de 10cm demora 45 minutos para queimar por inteiro. Para queimar 3 cm desta vela, qual o tempo necessário? 21) Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos bonecos este artesão conseguiria produzir? 22)Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 23)Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 24)Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas: MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se PresentValue (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicaçõesfinanceiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) OBS; A taxa ( i) e o tempo ( t) devem estar na mesma unidade Exercícios 1) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários? 2) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 460,00. Qual era o preço do aparelho antes do aumento? 3)A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$ 350,00. Qual o percentual de aumento? 4) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos SEE/RJ 2004) CANDIDATOS NÚMERO DE VOTOS A 6000 B 5000 C 5500 D 3500 E 4000 TOTAL DE VOTOS 24000
VÁLIDOS Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos. O percentual de votos do candidato vencedor foi: 25%,30%,32%,35% Fórmula para calcular juros simples 1-Imagine que peguemos um empréstimo de R$ 1.000,00 para pagar em um mês, com taxa de juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, logo: J = C.I. T. Logo J = juros,c = capital = R$ 1000,00, i = taxa de juros = 15% ao mês t = tempo = 1 mês 2-Seu pai foi ao banco e pediu R$ 400,00 emprestados por três meses. O banco cobrou 5% de juros (simples) ao mês. Quanto seu pai deve pagar ao final dos três meses? 5% de R$ 400,00 é: 400/100 X 5 = 20 Logo seu pai vai pagar R$ 20,00 por mês. Como são três meses eles deve pagar R$ 60,00 de juros. "Então ele pega R$ 400,00 e paga só R$ 60,00?" Não, ele irá pagar R$ 400,00 mais R$ 60,00 o que totaliza R$ 460,00. 3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses J = C.i. t J = 1200.0,02. 10 J = 240 Montante = Capital + juro M = 1200 + 240 = 1440 4- Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO. 01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação? (Resposta R$ 609,50)
02) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? R - 4 anos 03) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? (Resp R$ 2000,00) 04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00? ( Resp 3% ao mês) 05) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? ( Resp R$ 225,00) 06) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? (Resp 5 meses) 07) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros? ( Resp 1% ao mês) 08) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital? ( Resp R$ 220,00) 09) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004? (Resp R$ 4640,00) 10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a taxa de 2% ao mês. (Resp 50 meses) 11)Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação. 12)Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado. 13)Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 14)Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
JURO COMPOSTO Fórmula para calcular juro composto M = C.( 1 + I ) t. Logo: M = montante C = capital I = taxa dividida por 100 T = tempo Exemplo resolvido 1) Exemplo: Um mutuário comprou um apartamento por R$ 100.000,00 financiado por um banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos? M = montante C = capital inicial = 100.000,00 i = taxa de juros = 15% ao ano t = tempo = 10 anos Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal mais juros) será de R$ 404.555,77, ou seja, ele deve mais de 4 apartamentos. 2) Exemplo: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final? M = montante C = capital inicial = R$ 1000,00 i = taxa de juros = 0,5% ao mês t = tempo = 12 meses Resposta: Ele ganhou a estratosférica quantia de R$ 61,68 para emprestar R$ 1.000,00, para o banco, por 1 ano.
3-Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 4% a.m e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses 4-Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, de R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 i = 4% = 0,04 n = 12 M = C (1 + i) n M = 600 (1 + 0,04) 12 M = 600 (1,04) 12 M = 600 1,60103 M = R$ 960,62 5-O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? Resolução: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C (1 + i) n M = 500 (1,05) 8 M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738,73 500 J = R$ 238,73 6- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? Resolução: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C (1 + i) n 477,62 = C (1,03) 6 C = R$ 400,00
Exercícios 1-Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 2 meses, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%? 2-Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à taxa de 3,5% ao mês. 3-Um pequeno investidor aplicou R$ 200,00 (duzentos reais) com rendimento de 1% (um por cento) de juros compostos ao mês. O valor total em dinheiro dessa aplicação, ao final de três meses, é: a)r$ 206,00 b)r$ 206,06 c)r$ 206,46 d)r$ 206,86 4-Determine o montante aproximado da aplicação de um capital de R$ 12.000,00 no regime de juros compostos, com uma taxa de 1% ao mês, após três meses de aplicação. a)r$ 12.305,75 b)r$ 12.276,54 c)r$ 12.363,61 d)r$ 12.234,98 e)r$ 12.291,72 5-João obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagá-lo 3 meses depois. Sabendo que a taxa de juros composta cobrada pela instituição foi de 2,0% ao mês, o valor que João pagou para quitar o empréstimo foi, em reais, de a)5.100,00 b)5.202,00 c)5.300,00 d)5.306,04 e)5.314,20 6-Antônio aplicou R$ 12.000,00 em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a juros simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica totalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre. No final da segunda aplicação, o valor do montante é de: a) R$ 15.214,50 b) R$ 14.817,60 c) R$ 14.784,40 d) R$ 13.800,00 e) R$ 13.230,00 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Em diversas situações problemáticas empregamos letras em substituição aos números. Estas substituições nos permitem estabelecer fórmulas pelas quais podemos resolver, com facilidade, uma infinidade de problemas. Exemplos: Se chamarmos de n certo número, podemos escrever: a)o dobro de n será : 2 x n = 2n b) O triplo de n será : 3 x n = 3n TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO É o produto de números reais indicados por letras e números. São exemplos de termos algébricos: COEFICIENTES DE UM TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO - Coeficiente Numérico de um termo algébrico: é a parte numérica que antecede a parte literal. - Coeficiente Literal de um termo algébrico: é a parte literal formada pelas variáveis e seus respectivos expoentes. Pode, também, ser chamado simplesmentede parte literal.nos exemplos anteriores, teremos: GRAU DE UM MONÔMIO Grau de um Termo Algébrico ou Monômio Racional é a soma dos expoentes das variáveis desse monômio. Exemplo 01) O monômio 3x 2 y 3 é do 5 º grau já que a soma dos expoentes de x e y é 2 + 3 = 5
Exemplo 02) O monômio - 7mn 2 p 5 é do 8 º grau já que a soma dos expoentes de m, n e p é 1 + 2 + 5 = 8 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Consideremos as seguintes situações: O triplo de um número é adicionado ao dobro de outro número. Se chamarmos cada um desses números de a e b, podemos escrever: 3a + 2b Essa expressão algébrica é formada por 2 termos algébricos unidos pelo sinal de adição. A diferença entre o quadrado de um número e seu dobro é adicionada a3 Expressões algébricas é toda expressão que indica termos algébricos 1-Uma Expressão Algébrica será um monômio quando apresentar apenas 1 termo algébrico 2-Uma Expressão Algébrica será um polinômio quando apresentar 2 ou mais termos algébricos 3-Quando um polinômio apresentar apenas 2 termos algébricos ele será um binômio. 4-Quando um polinômio apresentar apenas 3 termos algébricos ele será um trinômio. 5-Um polinômio será racional inteiro quando apresentar apenas termos algébricos racionais inteiros. 6-Um polinômio será racional fracionário quando apresentar, pelo menos, 1 termo algébrico racional fracionário. 7-Um polinômio será irracional quando apresentar pelo menos 1 termo algébrico irracional. REDUÇÃO DE TERMOS ALGÉBRICOS SEMELHANTES Quando uma expressão algébrica apresentar termos algébricos semelhantes é necessário reduzir, ou seja, efetuar a adição algébrica entre eles. Veja outros exemplos:
Expressões algébricas possuem números e letras ou apenas letras Valor numérico de uma expressão algébrica Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo: 1º) Substituir as letras por números reais dados. 2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem: Potenciação Divisão e multiplicação Adição e subtração Observação: Utilize parênteses quando substituirmos letras por números negativos. Exemplo: Calcular o valor numérico de 2 x + 3 y para x = 5 e y = 5. Solução: Vamos trocar x por 5 e y por 5. 2 x + 3 y = 2.5 + 3.( 5 ) 2 x + 3 y = 10 + ( 15) 2 x + 3 y = 10 15 2 x + 3 y = 5 1- Calcule o valor numérico das expressões.a) b) c) d)
e) f) Frações Algébricas Frações algébricas utilizam o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo O cálculo de-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero. Simplificação de frações algébricas: Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador. Exs: M.M.C de polinômios: Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns cada um deles com o maior expoente. Exemplos: m.m.c =» e e» m.m.c = (a+b)(a-b) Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles m.m.c = e» e Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores. Ex:
Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores. Ex: Multiplicação e divisão de frações algébricas Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns. Exs: Potenciação de frações algébricas Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas. Exs: PRODUTOS NOTÁVEIS Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos: 1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x² 2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y² Exercícios 1) Calcular: a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²) b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25) c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²) d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4) e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4) f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1) g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²) h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²) i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²) j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²) l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²) m) (-5 + n)² = (R: 25-10n + n²) n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25) o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²) p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²) q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1) r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9] s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²] t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²] uv) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4) x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4] QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS Observe: (a - b)² = ( a - b). (a - b)
= a² - ab- ab + b² = a² - 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² - 2.(primeiro termo). (segundo termo) + (segundo termo)² 1) ( 3 X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9 6x + x² 2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y² Exercícios 1) Calcule a) ( 5 x)² = (R: 25 10x + x²) b) (y 3)² = (R: y² - 6y + 9) c) (x y)² = (R: x² - 2xy + y²) d) ( x 7)² = (R: x² - 14x + 49) e) (2x 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25) f) (6y 4)² = (R: 36y² - 48y + 16) g) (3x 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²) h) (2x b)² = (R: 4x² - 4xb + b²) i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1) j) (x² - 1)² = (R: x⁴ - 2x² + 1) l) (9x² - 1)² = (R: 81x⁴- 18x² + 1) m) (x³ - 2)² = (R: x⁶ - 4x³ + 4) n) (2m⁵ - 3)² = ( R: o) (x 5y³)² = p) (1 - mx)² =
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a + b). (a b) = a² - ab + ab - b² = a²- b² conclusão: (primeiro termo)² - (segundo termo)² Exemplos : 1) ( x + 5 ). (x 5) = x² - 5² = x² - 25 2) (3x + 7y). (3x 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y² REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo 2013. Santo André Luis Pereira Mendes, Denise Carrochano, Maria Clara. Fernandes, Maria Lídia Bueno. Catelli, Roberto Júnior. Giansanti, Roberto Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna. Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD. Praticando Matemática- Álvaro Andrini (5 0, 6 0, 7 0 e 8 0 série) Editora do Brasil. S/A. OBSERVAÇÃO: Para entender melhor e se preparar bem para a prova é importante que estude o módulo ou os módulos anteriores ao que vai cursar.