SP-116 X SEPOPE 1 a 5 de maio de 6 May 1 st to 5 th 6 X SIMPÓSIO DE ESPECIALISTAS EM PLANEJAMENTO DA OPERAÇÃO E EXPANSÃO ELÉTRICA X SYMPOSIUM OF SPECIALISTS IN ELECTRIC OPERATIONAL AND EXPANSION PLANNING FLORIANÓPOLIS (SC) BRASIL COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SC E TCSC PARA ESTUDOS DE COMPORTAMENTO HARMÔNICO DE REDES ELÉTRICAS Fabricio L. Lirio CEPEL Sergio Gomes Jr. CEPEL Sergio Luis arricchio CEPEL SUMÁRIO Com o aumento da importância dada à qualidade de energia elétrica, o estudo do comportamento harmônico de sistemas de potência se tornou fundamental para que esta qualidade seja alcançada. Nos sistemas de transmissão, os equipamentos FACTS (Flexible AC Transmission System), tais como SCs (Static ar Compensator) e TCSCs (Thyristor Controlled Series Capacitor), são exemplos de geradores de harmônicos. Um método largamente utilizado para análise do comportamento harmônico de sistemas de potência é o de injeção de correntes. Neste método, a parte linear da rede elétrica é modelada detalhadamente, enquanto os elementos não lineares tais como os FACTS são modelados por fontes de correntes harmônicas. Neste artigo é proposta a comparação entre três modelos de SC e TCSC que podem ser utilizados em estudos de comportamento harmônico de sistemas de potência. O modelo 1 considera a interação entre as diversas tensões e correntes harmônicas, por meio de uma modelagem tensorial do sistema elétrico. O modelo considera apenas a interação entre a tensão e a corrente fundamentais, enquanto o modelo 3 considera que as correntes harmônicas, geradas pelos equipamentos FACTS (SCs e TCSCs), são calculadas considerando que as tensões nas barras onde os mesmos estão conectados são puramente senoidais e dadas pela solução de fluxo de potência de freqüência fundamental, considerando os capacitores dos SCs e TCSCs em paralelo com as susceptâncias equivalentes de freqüência fundamental dos reatores controlados a tiristores. Todos os três modelos geram como resultado principal as correntes harmônicas geradas pelos SCs e TCSCs. As diferenças entre estes resultados são apresentadas, bem como as diferenças entre os resultados de distorções de tensão em diversas barras de sistemas testes. Os resultados dos modelos também serão comparados com os gerados pelo programa de cálculo de transitórios eletromagnéticos, de modo a validá-los. PALARAS CHAES Análise Harmônica, Fluxo de Potência Harmônico, Modelagem de TCR, Modelagem Tensorial. Centro de Pesquisa de Energia Elétrica - CEPEL Av. Hum s/nº - Ilha da Cidade Universitária. Caixa Postal 68.7, 1944-97, Rio de Janeiro, RJ, Brazil. fabricio@cepel.br, sgomes@cepel.br, slv@cepel.br
1. Introdução Com o aumento da importância dada a qualidade de energia elétrica, o estudo do comportamento harmônico de sistemas de potência se tornou fundamental para que esta qualidade seja alcançada, considerando aspectos técnicos e econômicos. Nos sistemas de transmissão, os equipamentos FACTS (Flexible AC Transmission System), tais como SCs (Static ar Compensators) e TCSCs (Thyristor Controlled Series Capacitors), são exemplos de geradores de harmônicos [1], []. Um método largamente utilizado para análise do comportamento harmônico de sistemas de potência é o de injeção de correntes. Neste método, a parte linear da rede elétrica é modelada detalhadamente, enquanto os elementos não lineares tais como os FACTS são modelados por fontes de correntes harmônicas [3]. Desta forma, a exatidão do cálculo das distorções harmônicas de tensão, dadas pelo produto da matriz de impedâncias do sistema pelo vetor de correntes injetadas, depende fundamentalmente da exatidão do cálculo destas injeções harmônicas. Neste artigo é proposta a comparação entre três modelos de SC e TCSC que podem ser utilizados em estudos de comportamento harmônico de sistemas de potência [4]. O modelo 1 considera a interação entre as diversas tensões e correntes harmônicas, por meio de uma modelagem tensorial do sistema elétrico [5], [6]. A metodologia tensorial produz modelos analíticos adequados para a solução do problema de fluxo de potência na componente fundamental e nos harmônicos por meio da solução de um sistema não linear, considerando a interdependência entre as freqüências. Portanto, este modelo é o mais exato comparado com os outros dois descritos a seguir. O modelo considera apenas a interação entre a tensão e a corrente fundamentais, enquanto para o modelo 3 as correntes harmônicas, geradas pelos equipamentos FACTS (SCs e TCSCs), são calculadas considerando que as tensões nas barras onde os mesmos estão conectados são puramente senoidais e dadas pela solução de fluxo de potência de freqüência fundamental, considerando os capacitores dos SCs e TCSCs em paralelo com as susceptâncias equivalentes de freqüência fundamental dos reatores controlados a tiristores. Em geral o modelo 3 é o mais comumente utilizado em conjunto com o método de injeção de correntes. Todos os três modelos geram como resultado principal as correntes harmônicas geradas pelos SCs e TCSCs. As diferenças entre estes são apresentadas. Além disto, estas correntes harmônicas serão injetadas em uma rede linear (método de injeção de correntes) para cálculo das distorções de tensão. As diferenças entre os resultados de distorções de tensão em diversas barras de sistemas testes também são apresentadas. Os resultados dos modelos também são comparados com os gerados pelo programa de cálculo de transitórios eletromagnéticos [7], de modo a validá-los.. Modelos de Injeção de Corrente Na Figura 1 está mostrado um reator controlado a tiristores (TCR Thyristor Controlled Reactor) em paralelo com um capacitor. il vtcr itcr Ctcr Ltcr Figura 1. Reator controlado a tiristores e capacitor paralelo. 1
Dependendo de sua conexão com a rede elétrica, este circuito pode representar um SC ou um TCSC. Uma vez que o reator controlado a tiristor constitui-se no elemento não linear responsável pela injeção de harmônicos produzida pelos SCs e TCSCs, adotou-se, neste artigo, o capacitor como parte integrante da rede elétrica linear, calculando-se apenas a injeção de corrente associada ao reator controlado. Nos itens a seguir, são apresentados os três modelos de injeção de corrente comparados neste artigo..1. No modelo 1 a corrente do TCR é obtida através de um processo iterativo onde as interações entre as diversas freqüências harmônicas é considerada por meio da modelagem tensorial do TCR [8]. Cada componente harmônica da corrente do TCR é então injetada no modelo fasorial da rede elétrica para obtenção das componentes harmônicas da tensão, que podem então ser utilizadas para novo cálculo da corrente do TCR. Este processo iterativo esta mostrado esquematicamente na Figura, onde v ( ) tcr e ( i ) tcr denotam a tensão e a corrente no TCR na iteração. Observe que ( v ) tcr (tensão inicial atribuída ao TCR) é puramente senoidal. Note, também, que a corrente injetada na rede é igual ao negativo da corrente no TCR. ( v ) tcr Modelagem Tensorial do TCR Modelagem Fasorial da Rede Elétrica ( i ) tcr Figura : Processo iterativo do modelo 1 Quando os TCRs estão conectados em as correntes injetadas na rede são os negativos das correntes nos nós do, i a, i b e i c e não as correntes nos TCRs, conforme mostrado na Figura 3. Neste trabalho i a, i b e i c serão denominadas de correntes de linha do TCR. -1 a i a i tcrab L tcr i tcrac i c b i tcrbc c i b Figura 3: Correntes de linha do TCR Na Figura 4 estão mostradas formas de onda de grandezas associadas ao TCR. O eixo horizontal representa tempo ou ângulo elétrico.
Figura 4. Função de chaveamento. A modelagem tensorial do TCR baseia-se na utilização da função de chaveamento [9] para representação dos instantes de disparo e bloqueio dos tiristores. A função de chaveamento depende do instante de passagem por zero do sinal de referência do controle de disparo dos tiristores (θ), do ângulo de disparo (α) e do período de condução (σ) dos tiristores: j m ω [ ( )] ω t * j m t e e q = q q cos ωt β = (1) onde o sobrescrito "*" denota complexo conjugado, ω a freqüência da componente fundamental de q (freqüência industrial), q e q suas componentes cc e harmônica de ordem. As expressões para o cálculo de q e q são dadas em [9]. O ângulo β e o fasor de função de chaveamento Q m são dados por: m σ β = α θ Q m = q e jβ Fazendo uso da função de chaveamento q pode-se escrever a seguinte equação para o TCR: ditcr L tcr = q( α, θ, σ, t) v tcr (3) dt As variáveis no domínio do tempo incluindo a função de chaveamento podem ser escritas na forma de série de Fourier, conforme abaixo: x ( t) = X cos( ωt) X sin( ωt) Re Expandindo i tcr (t), v tcr (t) e q(t) de (3) em séries de Fourier, na forma dada por (4), obtém-se as expressões das partes real e imaginária dos fasores harmônicos da corrente no TCR em função das partes real e imaginária dos fasores harmônicos da tensão aplicada sobre ele e dos da função de chaveamento: Im () (4) ω L m n= m n= m n= tcr I tcr Im Re Re = tcrn Re Re tcrn Re tcrn Re Im Im tcrn Im Im tcrn Im tcrn Im (5) 3
ω L m n= tcr m n= m n= I tcr Re Im Im = tcrn Re Im tcrn Re tcrn Re Re Re tcrn Im Re tcrn Im tcrn Im Os ângulos de disparo e condução são calculados a partir da fase da componente fundamental da tensão do TCR, conforme Figura 4, visando ter um comportamento semelhante ao efeito do PLL ( Phase Loced Loop) [1]... No modelo apenas a componente fundamental da tensão é utilizada no cálculo da corrente no TCR utilizando as expressões (5) e (6). Por sua vez, apenas a componente fundamental da corrente calculada é injetada na rede elétrica na seqüência do processo iterativo. Este método dispensa a modelagem da rede elétrica para múltiplas freqüências harmônicas. As simplificações das expressões (5) e (6), para a consideração apenas da tensão fundamental, são dadas por: Q Re Im ω L tcr I tcr1im = Q Re tcr1re tcr1re tcr1im (7) Q (6) Q Im Re ω Ltcr I tcr1re = Q Re tcr1im tcr1re tcr1im (8) Q.3. No modelo 3 as tensões nas barras dos TCRs são obtidas pela solução de fluxo de potência de freqüência fundamental, considerando os capacitores dos SCs e TCSCs em paralelo com as susceptâncias equivalentes de freqüência fundamental dos TCRs, dadas por: π α sin α B( α) = (9) π ω A seguir estas tensões são utilizadas para determinação das componentes harmônicas da corrente nos TCRs, utilizando-se as expressões (5) e (6). Destaca-se que, na prática, normalmente é utilizada a expressão (1) [1], [3], para a obtenção das amplitudes destas componentes harmônicas e, quando existem mais de uma fonte de harmônicos, os ângulos das componentes harmônicas são considerados como sendo iguais aos que produziriam as condições mais severas de distorções harmônicas de tensão (composição linear). L tcr ( nα) n cosα sin( nα) 4 tcr sin α cos In ( α) = π ω (1) Ltcr n ( n 1) Observa-se que os valores das amplitudes de correntes obtidos com a utilização de (7) e (8) foram praticamente iguais aos obtidos utilizando (1). 3. Comparação Entre os Modelos de Injeção de Corrente No estudo de comparação entre os métodos de injeção de corrente, foi utilizada a rede elétrica de 3 apresentada na Figura 5. Esta rede apresenta dois compensadores estáticos conectados em 4
com capacidade de 3/-7 Mvar cada um e um capacitor série controlado no valor de 5% da impedância da linha, ou seja, capacitor série de 37,476Ω e reator controlado de,485ω. As linhas de transmissão são representadas por um modelo π. Os transformadores são de 3/13,8 conectados em YY, potência nominal de 7 MA e representados por sua impedância longitudinal (impedância de dispersão). Na Figura 5 os valores das resistências são dadas em Ω, as indutâncias em mh e as capacitâncias em µf. Os valores das tensões das fontes equivalentes são apresentadas em olts e as cargas são representadas por ramos RL série. 3.1. Simulações no Tempo Esta seção apresenta uma comparação entre os resultados obtidos com os três modelos de cálculo de injeção de corrente e com a simulação no tempo utilizando o programa de transitórios eletromagnéticos. Considere, inicialmente, que apenas o SC 1 esteja em operação na rede mostrada na Figura 5. Figura 5. Sistema exemplo 3 As curvas da corrente de linha e tensão da fase a do TCR (ver Figura 3), estão apresentadas na Figura 6 e na Figura 7, respectivamente, para um ângulo de disparo fixo de 11 o e considerando os diferentes modelos de injeção de correntes e o programa. Nota-se que a as curvas de corrente não apresentam harmônicos múltiplos de ordem 3, uma vez que a única fonte de geração de harmônicos do sistema é o SC 1 que esta conectado em a uma rede elétrica equilibrada...1 1 Corrente (A) Tensão () -.1-1 -..5.1.15..5.3 Figura 6. Corrente de linha da fase a do TCR do SC 1. -.5.1.15..5.3 Figura 7. Tensão da fase a do SC 1. Os três modelos apresentaram resultados bastante semelhantes aos obtidos com o programa. De fato, os resultados obtidos com os modelos e 3 são praticamente iguais. Considere, agora, que apenas o TCSC esteja em operação na rede elétrica mostrada na Figura 5. As curvas de corrente no TCR da fase a e de tensão sobre ele estão apresentadas na Figura 8 e na Figura 5
9, respectivamente, para um ângulo de disparo fixo de 155 o (tendo-se como sinal de referência a tensão do TCSC) e considerando os diferentes modelos de injeção de correntes e o programa.. Corrente (A).1 Tensão () 1 -.1-1 -..5.1.15..5.3 -.5.1.15..5.3 Figura 8. Corrente do TCR da fase a do TCSC. Figura 9. Tensão do TCSC da fase a. Neste caso, tomando-se o resultado gerado pelo programa de transitórios eletromagnéticos como referência, o modelo 1 apresentou resultado significativamente mais exato que os demais. Os resultados apresentados pelos modelos e 3 foram praticamente iguais. Para ângulos de disparo próximos à região de ressonância do TCSC, a tensão aplicada sobre o mesmo apresenta distorções harmônicas mais elevadas. Uma vez que, no cálculo das correntes harmônicas, os modelos e 3 consideram que esta tensão é puramente senoidal, seus resultados apresentaram maiores diferenças em relação aos do programa. Considere, finalmente, que todos os três equipamentos FACTS da rede elétrica mostrada na Figura 5 estejam em operação com ângulos de disparo de 11º, 15º e 155º respectivamente para os SC 1, SC e TCSC. As curvas de corrente de linha da fase a dos TCRs dos SCs, de corrente através do TCR da fase a do TCSC e de tensão da fase a destes equipamentos, considerando os três modelos de injeção de correntes e o programa estão apresentadas nas figuras a seguir. Corrente (A).3..1 -.1 -. Método 1 Método Método 3 Tensão () 1-1 -.3.5.1.15..5.3 Figura 1. Corrente de linha da fase a do TCR do SC 1. -.5.1.15..5.3 Figura 11. Tensão da fase a do SC 1. 6
Corrente (A).5.5 -.5 Tensão () 3 1-1 - -.5.5.1.15..5.3 Figura 1. Corrente de linha da fase a do TCR do SC. -3.5.1.15..5.3 Figura 13. Tensão da fase a do SC. Corrente (A)..1 Tensão () 1 -.1-1 -..5.1.15..5.3 -.5.1.15..5.3 Figura 14. Corrente no TCR da fase a do TCSC. Figura 15. Tensão do TCSC da fase a. Tomando-se o resultado gerado pelo programa de transitórios eletromagnéticos como referência, o modelo 1 apresentou resultado significativamente mais exato do que os demais no que se refere a corrente no TCR da fase a do TCSC. Em relação as correntes de linha dos TCRs dos SCs, os resultados foram próximos. Os resultados apresentados pelos modelos e 3 foram praticamente iguais. Na presença dos três equipamentos FACTS a distorções de tensão são maiores. Uma vez que, no cálculo das correntes harmônicas, os modelos e 3 consideram que as tensões são puramente senoidais, seus resultados de correntes harmônicas apresentaram maiores diferenças em relação aos do programa. 3.. ariação do Ângulo de Disparo Esta seção aborda a variação das componentes harmônicas da corrente injetada para diferentes valores de ângulo de disparo. Para estudo da variação da injeção de corrente com o ângulo de disparo do SC será utilizado a rede da Figura 5 considerando apenas a presença do SC 1, estando o SC e o TCSC ausentes do sistema. A Tabela 1 e a Tabela apresentam a amplitude e ângulos dos componentes harmônicos da corrente de linha da fase a do TCR para um ângulo de disparo de 1º. Destaca-se que os harmônicos de ordem 3 não estão presentes, uma vez que os reatores controlados estão conectados em e a rede elétrica é equilibrada. 7
Tabela 1: Amplitude dos componentes harmônicos Tabela : Ângulo de fase dos componentes harmônicos Ordem do Harmônico PSCAD/ EMTDC Módulo (A) Ordem do Harmônico PSCAD/ EMTDC Ângulo ( ) 1,187,1846,1913,1913 5,883,878,91,91 7,36,39,35,35 11,168,166,166,166 13,14,16,1,1 17,66.64,67,67 19,5. 51,48,48 1 4,473 4,473 4,46 4,46 5-151,749-151,74-157,968-157,968 7-65,36-65,45-77,156-77,156 11-96,983-97,11-95,531-95,531 13-11,196-11,73-14,718-14,718 17-34,11-34,4-33,93-33,93 19 51,11 51, 47,7 47,7 A Figura 16 e a Figura 17 ilustram respectivamente o comportamento da amplitude e do ângulo de fase dos harmônicos de ordem 5 e 7, para uma variação do ângulo de disparo nos três modelos analisados. Nestes gráficos os modelos e 3 são praticamente coincidentes.. 6 Módulo (A).16.1.8 Ângulo (º) -6 Method 3.4-1 9 11 13 15 17 Ângulo de Disparo (º) -18 9 11 13 15 17 Ângulo de Disparo (º) (a) (b) Figura 16. Componente de 5º harmônico da corrente de linha da fase a do TCR (a) módulo e (b) ângulo de fase..1 18.8 1 Módulo (A).6.4 Ângulo (º) 6-6. -1 9 11 13 15 17 Ângulo de Disparo (º) -18 9 11 13 15 17 Ângulo de Disparo ( ) (a) (b) Figura 17. Componente de 7º harmônico da corrente de linha da fase a do TCR (a) módulo e (b) ângulo de fase. 8
erifica-se que os resultados obtidos a partir dos modelos e 3, que não consideram a interação harmônica entre as freqüências, são próximos aos resultados do modelo 1. Observa-se que no exemplo apresentado a magnitude do harmônico de ordem 5 obtida com os modelos e 3 é ligeiramente maior do que a do modelo 1, entretanto para o harmônico de ordem 7 a magnitude obtida nos modelos e 3 é menor do que a do modelo 1. Observa-se ainda que as maiores diferenças entre os três modelos de injeção de corrente ocorrem para um ângulo de disparo em torno de 11º. Para estudo da variação da injeção de corrente com o ângulo de disparo do TCSC será utilizado a rede da Figura 5 considerando apenas a presença do TCSC, estando o SC 1 e o SC ausentes do sistema. A Figura 18 e a Figura 19 ilustram, respectivamente, o comportamento da amplitude e do ângulo de fase dos harmônicos de ordem 3 e 5, para uma variação do ângulo de disparo nos três modelos analisados. Nestes gráficos os modelos e 3 também são praticamente coincidentes..1 16 Módulo (A).8.6.4 Ângulo (º) 15.5 15. 14.5 15 155 16 165 17 175 18 Ângulo de Disparo (º) 14 15 155 16 165 17 175 18 Ângulo de Disparo (º) (a) (b) Figura 18. Componente de 3º harmônico da corrente de linha da fase a do TCR (a) módulo e (b) ângulo de fase..6-41.5-4 -43 Módulo (A).4.3. Ângulo ( ) -44-45 -46-47.1-48 15 155 16 165 17 175 18 Ângulo de Disparo (º) -49 15 155 16 165 17 175 18 Ângulo de Disparo ( ) (a) (b) Figura 19. Componente de 5º harmônico da corrente de linha da fase a do TCR (a) módulo e (b) ângulo de fase. 3.3. Determinação das Distorções de Tensão Esta seção apresenta o cálculo das distorções harmônicas de tensão e distorção harmônica total (THD) nas barras do sistema levando em consideração a injeção harmônica obtida em cada um dos modelos analisados neste artigo. Como as distorções de tensão causadas pelo TCSC foram bem menores que as dos SCs, optou-se por apresentar resultados referentes aos SCs. 9
A Figura apresenta os valores de distorção de tensão na barra do SC 1 considerando apenas a presença deste no circuito da Figura 5 e um ângulo de disparo de 11º. 5 Distorção de Tensão 4 3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 THD Ordem do Harmônico Figura. Distorção da tensão na barra do SC1. As distorções obtidas com o modelo 1 são mais próximas dos resultados obtidos com a simulação no tempo, pois consideram a interação entre as freqüências da tensão aplicada e da corrente injetada. Os resultados de distorção obtidas com os modelos e 3 são praticamente iguais e bem próximos dos resultados do modelo 1. A Figura 1 apresenta os valores de distorção de tensão na barra do SC 1 considerando a presença dos SCs 1 e no circuito da Figura 4. Os ângulos de disparo são respectivamente de 11º e 15º para os SCs 1 e. Distorção de Tensão (%) 14 1 1 8 6 4 3 5 7 9 11 13 15 17 19 THD Ordem do Harmônico Figura 1. Distorção da tensão na barra do SC 1. As distorções obtidas a partir do modelo 1 são mais próximas aos resultados obtidos com a simulação no tempo, pois levam em consideração a interação entre as freqüências da tensão aplicada e das correntes injetadas pelos dois SCs. Os resultados obtidos com os modelos e 3, praticamente iguais entre si, são conservativos pois não consideram a interação entre as freqüências. 1
4. Conclusões Este artigo apresentou uma análise comparativa entre três modelos de injeção de corrente para reatores controlados a tiristores. A eficiências das modelagens utilizadas foi verificada através de comparações com o programa de simulação de transitórios eletromagnéticos. Os modelos e 3, baseados na freqüência fundamental, apresentaram resultados praticamente coincidentes, sendo que o modelo 3 apresenta a vantagem de não exigir método iterativo para a solução. O modelo 1 fornece resultados mais precisos no entanto requer maior esforço computacional pois, além de necessitar de um processo iterativo para a sua obtenção, exige a modelagem da rede elétrica para as freqüências harmônicas características produzidas pelos diversos equipamentos FACTS. Os três modelos apresentados permitem a correta determinação dos ângulos de fase das componentes fundamental e harmônicas das correntes produzidas por múltiplos equipamentos FACTS, permitindo um cálculo mais preciso das distorções harmônicas. Para o caso da modelagem de apenas uma fonte de geração de harmônicos os resultados obtidos com os três modelos foram muito próximos dos obtidos com o programa. No caso da presença dos três equipamentos FACTS, o modelo 1 apresentou resultados próximos aos apresentados pelo programa, enquanto que os modelos e 3, por não considerarem a interação harmônica, produziram resultados menos satisfatórios. O fenômeno de interação harmônica torna-se mais acentuado em redes elétricas mais fracas. No caso de rede como dois SCs operando e o TCSC desligado, os resultados de distorções harmônicas de tensão, obtidos com os modelos e 3, foram mais conservativos do que os obtidos com o modelo 1, que foram praticamente iguais aos do. BIBLIOGRAFIA [1] R.M. Mathur e R.K. arma, Thyristor-Based FACTS Controllers for Electrical Transmission Systems, John Wiley & Sons, Inc. Publication,, p. 495. [] N. G. Hingorani e L. GYUGYI, Understanding FACTS, IEEE press, Estados Unidos, 1999. [3] Tas Force on Harmonics Modeling and Simulation, Characteristics and Modeling of Harmonic Sources Power Electronic Devices, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 16, no. 4, Outubro, 1. [4] S. L. arricchio, S. Gomes Jr., N. Martins, L. R. Araujo, F. C. éliz e C. O. Costa, Advanced Tool for Harmonic Analysis of Power Systems, IX Symposium of Specialist in Electric Operational and Expansion Planning, Rio de Janeiro, Maio, 4. [5] C. M. Portela, Análise de Redes Elétricas Algumas Aplicações, edição subsidiada pelo Instituto de Alta Cultura, Lisboa, Portugal, 197. [6] S. Gomes Jr. Modelagem e Métodos Numéricos para Análise Linear de Estabilidade Eletromecânica, Ressonância Subsíncrona, Transitórios Eletromagnéricos e Desempenho Harmônico de Sistemas de Potência, Tese de Doutoramento, Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Rio de Janeiro,. [7] User s Manual, Manitoba HDC Research Center, Canada, 1994. [8] F.L. Lirio, S. Gomes Jr. e E.H. Watanabe, Static ar Compensator Tensorial Modeling for Harmonic Power Flow, IX Symposium of Specialist in Electric Operational and Expansion Planning, Rio de Janeiro, Maio, 4. [9] L.A.S. Pilotto, J.E.R. Alves e E.H. Watanabe, High Frequency Engenanalysis of HDC and FACTS Assisted Power Systems, PES Summer Meeting. IEEE, vol., pp. 83-89, 16- de Julho,. 11