Análise de Circuitos

Universidade de Aveiro Departamento de Electrónica, Telecomunicações e nformática Sistemas Electrónicos Mestrado ntegrado em Engenharia de Computadores e Telemática Análise de Circuitos Slide Conteúdos Grandezas eléctricas Carga Corrente Tensão Potência Elementos de um circuito eléctrico Fontes independentes esistências Fontes dependentes Condensadores Bobines Elementos topológicos Nó, amo e Malha Ligações série e paralelo Slide

Grandezas eléctricas - Carga Os efeitos da gravidade são facilmente apreciados no dia a dia. As forças da gravidade são conhecidas, sendo possível quantificá-las e determinar o seu efeito. Contudo, não as conseguimos ver. De forma semelhante, os efeitos da carga eléctrica também são facilmente observados. No entanto a carga eléctrica é algo que não conseguimos ver. Slide Grandezas eléctricas - Carga Continuando com a comparação entre gravidade e carga eléctrica A gravidade permite-nos compreender as forças atractivas entre corpos de massa diferente. Sabe-se que corpos de maior massa, exercem forças atractivas mais intensas sobre corpos de menor massa. elativamente à carga eléctrica foram identificadas forças atractivas e repulsivas Slide 4

Grandezas eléctricas - Carga A existência de forças atractivas e repulsivas pressupõe dois tipos de carga eléctrica: Carga negativa. Carga positiva. elativamente a estes dois tipos da carga, sabe-se que: Cargas de igual sinal repelem-se. Cargas de sinal contrário atraem-se. Slide 5 Grandezas eléctricas - Carga Toda a matéria é constituída por átomos. A carga eléctrica é uma propriedade das partículas do átomo: Carga negativa electrões. Carga positiva protões. Os neutrões têm carga nula. Globalmente o átomo é neutro. A carga de um electrão é de -.60E-9 C (Coulomb). Slide 6

Grandezas eléctricas - Corrente A corrente num condutor possui direcção e magnitude associadas. A corrente é a medida da razão em que a carga se está a movimentar, através de uma superfície de referência e numa determinada direcção. Se q(t) for a variação temporal da carga, a corrente é dada por: ( t) i dq( t) dt Slide 7 Grandezas eléctricas - Corrente A corrente é medida e Ampère(A), em virtude dos primeiros estudos sobre corrente eléctrica, executados por André Marie Ampère. A é corresponde ao movimento de carga à razão de C/s. De forma equivalente a carga transferida entre os tempos t 0 e t é definida por: q t t 0 i ( u)du Slide 8 4

Grandezas eléctricas - Tensão Quando uma corrente atravessa um determinado elemento do circuito, entrando no terminal A e saindo no terminal B, surge entre A e B uma diferença de tensão (ou potencial). A diferençade tensão através A do elemento é uma medida do trabalho realizado para que uma determinada quantidade AB E B de carga atravesse o elemento. Slide 9 Grandezas eléctricas - Tensão A tensão aos terminais de um elemento é o trabalho realizado para mover C de carga de um terminal ao outro. A tensão é medida em olts (), em virtude dos trabalhos de Alessandro olta. é equivalente a J/C. Slide 0 5

Grandezas eléctricas - Potência A potência é uma medida da energia despendida por unidade de tempo. A potência é medida em Watts (W). W equivale a J/s A potência é proporcional: À carga por unidade de tempo corrente E ao trabalho necessário para transferir C de carga - tensão P Slide Grandezas eléctricas - Potência O balanço de potência num circuito é sempre nulo, em consequência do principio fundamental da conservação da energia. Assim, pode coexistir num mesmo circuito: Potência fornecida: P<0 Potência absorvida: P>0 Potência dissipada: P>0 É necessário convencionar quando um elemento fornece, absorve ou dissipa potência. Slide 6

Grandezas eléctricas - Potência P>0 quando a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais têm o mesmo sentido. A B AB E P E >0 A P<0 quando a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais têm sentidos opostos. B AB E P E <0 Slide Elementos Fontes ndependentes Há dois tipos de fontes independentes: Fontes de tensão. Fontes de corrente. As fontes independentes servem para representar as variáveis de entrada de um determinado circuito, consequentemente podem representar: A alimentação do circuito (fontes DC). Os estímulos de entrada do circuito (fontes de sinal). Slide 4 7

Elementos Fontes ndependentes Fontes independentes de tensão Fontes independentes de corrente Slide 5 Elementos esistência Chama-se resistência a um elemento que exibe uma dependência linear entre a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais. Esta relação linear é conhecida por Lei de Ohm, e estabelece que: A resistência é medida em Ohms(Ω), em virtude dos resultados do físico George S. Ohm. Slide 6 8

Elementos esistência A resistência é uma propriedade existente em todos os materiais condutores. Quantifica a oposição que um determinado elemento condutor oferece à passagem de corrente. S L L ρ S L comprimento (m). S área de secção (m ). ρ resistividade do material (Ω/m). Slide 7 Elementos esistência Por definição, a resistência é um elemento que dissipa potência. A energia eléctrica fornecida a uma resistência é por esta convertida em calor. Consequentemente, P >0 P > 0 Slide 8 9

Elementos esistência O recíproco da resistência é a condutância. G A condutância é medida em Siemens (o recíproco do Ohm) (S, ou Ω - ). erifica-se de forma análoga que: P G G G > 0 Slide 9 Elementos Fontes Dependentes As fontes dependentes são classificadas quanto à variável de controlo e quanto à variável controlada. Assim podem existir 4 tipos de fontes dependentes: Fonte de tensão controlada por tensão (CS). Fonte de tensão controlada por corrente (CCS). Fonte de corrente controlada por tensão (CCS). Fonte de corrente controlada por corrente (CCCS). Slide 0 0

Elementos Fontes Dependentes CS A v éuma razão entre duas tensões. CCS m é uma razão entre uma tensão e uma corrente, com dimensão de Ω. Slide Elementos Fontes Dependentes CCS G m é uma razão entre uma corrente e uma tensão, com dimensão de Ω -. CCCS A i é uma razão entre duas correntes. Slide

Elementos Condensador Chama-se condensador a um elemento que exibe uma relação diferencial entre a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais. i dv C dt v idt v C t t 0 ( t ) A capacidade (C) do condensador é medida em Farads (F), em virtude dos resultados do físico Michael Faraday. 0 qcv Slide A capacidade é uma propriedade existente entre duas placas de material condutor que não se tocam. Quantifica a capacidade de armazenar energia sobre a forma de campo eléctrico. A Elementos Condensador d A C ε d A áreadas placas(m ). d distância entre as placas(m). ε permitividade dieléctrica (F/m). Slide 4

Elementos Condensador Um condensador não dissipa energia, armazena-a sobre a forma de campo eléctrico. A potência fornecida ao condensador: dv P C vi Cv dt A energia armazenada é: C P C dt Cv W t t 0 C Slide 5 Elementos Condensador Características importantes de um condensador: Se a tensão aos terminais de um condensador não varia com o tempo, então a corrente que o atravessa é nula. O condensador pode armazenar energia, mesmo quando a corrente que o atravessa é nula. A tensão aos terminais de um condensador não pode variar instantaneamente. Um condensador nunca dissipa energia, apenas a armazena. Slide 6

Elementos Bobine Chama-se bobine a um elemento que exibe uma relação integral entre a corrente que o atravessa e a tensão aos seus terminais. t di i vdt i( t ) v L L 0 dt t 0 A indutância (L) da bobine é medida em Henries (H), em virtude dos resultados do físico Joseph Henry. Slide 7 Elementos Bobine A indutância é uma propriedade existente em todos os materiais condutores. Quantifica a capacidade de armazenar energia sobre a forma de campo magnético. Lµ N A s N numerode espiras. A área de secção (m ). s comprimento da bobine (m). μ permeabilidade magnética (H/m). Slide 8 4

Elementos Bobine Uma bobine não dissipa energia, armazena-a sobre a forma de campo magnético. A potência fornecida à bobine: di P L vi Li dt A energia armazenada é W t L Pdt L t 0 Li Slide 9 Elementos Bobine Características importantes de uma bobine: Se a corrente que atravessa uma bobine não varia com o tempo, então a tensão aos seus terminais é nula. A bobine pode armazenar energia, mesmo quando a tensão aos seus terminais é nula. A corrente que atravessa uma bobine não pode variar instantaneamente. Uma bobine nunca dissipa energia, apenas a armazena. Slide 0 5

Elementos Topológicos Nó Um nó de circuito é um ponto partilhado pelo menos por dois elementos. Nó Slide Elementos Topológicos amo Um ramo de circuito é a conexão existente entre dois nós, formada por um elemento de circuito. amo Slide 6

Elementos Topológicos Malha Uma malha de circuito é uma composição fechada de ramos de circuito Malha Slide Elementos Topológicos Nó de referência é o nó relativamente ao qual todas as tensões de um circuito podem ser especificadas. A sua escolha é perfeitamente arbitrária. Por regra e de forma a facilitar a análise, escolhese para referência o nó partilhado pelo maior numero de componentes possível. Slide 4 7

Elementos Topológicos Ligação série de elementos composição de N elementos envolvendo N- nós partilhados por elementos consecutivos. Nós com elementos apenas Slide 5 Elementos Topológicos Ligação paralela de elementos composição de N elementos envolvendo nós partilhados por todos os N elementos. nó apenas nó apenas Slide 6 8

Elementos Topológicos Topologicamente equivalentes Slide 7 Elementos Topológicos Topologicamente equivalentes Slide 8 9

Elementos Topológicos Dois circuitos são topologicamente equivalentes se: esistem a transformações topológicas mantendo as mesmas características: Esticar. Torcer (sem implicar curto-circuitos). E outras transformações que não envolvam cortes de algum ramo do circuito. Slide 9 Elementos Topológicos Slide 40 0

Conteúdos Leis de Kirchhoff Lei dos nós Lei das Malhas Análise Nodal Nó essencial Nó trivial Super-nó Análise de Malhas Malha essencial Malha trivial Super-malha Slide 4 Leis de Kirchhoff lei dos Nós É uma consequência directa do principio fundamental da conservação de energia. elaciona a forma como as correntes de um circuito se dividem na presença de um nó com vários ramos associados. Estabelece para estas situações que o balanço de correntes num nó de circuito é sempre nulo. A consequência é que nem todas as correntes que contribuem num nó de circuito tem o mesmo sentido: Umas chegam ao nó ; Outras abandonam o mesmo. Slide 4

Leis de Kirchhoff Lei dos Nós Formalmente k 0 Nó Slide 4 Leis de Kirchhoff Lei dos Nós Alternativamente in k out k Nó Slide 44

Leis de Kirchhoff lei das Malhas É também uma consequência directa do principio fundamental da conservação de energia. elaciona a forma como as tensões de um circuito se distribuem pelos vários elementos de uma malha. Estabelece para estas situações que o balanço das quedas de tensão numa malha de circuito é sempre nulo. A consequência é que nem todas as quedas de tensão de uma malha de circuito tem o mesmo sentido: Umas têm sentido horário ; Outras têm sentido anti-horário. Slide 45 Leis de Kirchhoff Lei das Malhas Formalmente k 0 Slide 46

Leis de Kirchhoff Lei das Malhas Alternativamente k CW CCW CW Clockwise CCW Counter Clockwise k Slide 47 Análise baseada na lei dos nós de Kirchhoff. Assenta no seguinte algoritmo: Escolha do nó de referência. dentificação dos restantes nós. Para cada nó: Análise Nodal Arbitrar os sentidos das correntes que contribuem no nó. Escrever a equação de correntes resultantes. elacionar cada corrente com as tensões nodais do circuito (usando para tal as leis descritivas dos elementos que compõem o circuito). Slide 48 4

Análise Nodal Num circuito contendo N nós, este algoritmo resulta sempre num sistema de N- equações, com N- incógnitas. As incógnitas são as tensões nodais do circuito. As tensões nodais são as tensões medidas entre cada nó do circuito e o nó de referência. Sendo arbitrária a escolha do nó de referência, são também arbitrários os valores das tensões nodais! No entanto, a relação entre as tensões nodais é sempre a mesma! Slide 49 Análise Nodal As leis descritivas dos elementos de um circuito (, L e C) relacionam as correntes que os atravessam com as quedas de tensão aos seus terminais. Um queda de tensão não é mais do que a diferença entre duas tensões nodais. E Slide 50 5

Análise Nodal Fontes de corrente (independentes ou dependentes) estabelecem de forma directa qual o valor da corrente no ramo que ocupam. Fontes de tensão (independentes ou dependentes) apresentam algumas dificuldades: É impossível saber à priori qual a corrente fornecida/absorvida por uma fonte de tensão Podem em casos particulares, estabelecer de forma directa o valor de uma tensão nodal. Slide 5 Análise Nodal Nó Trivial Nó trivial: um nó para o qual o valor da tensão nodal é conhecido à priori. Os nós triviais surgem sempre que exista uma fonte de tensão entre o nó em causa e o nó de referência. a Slide 5 6

Análise Nodal Super-Nó Um super-nó é um nó formado por dois nós interligados por uma fonte de tensão. A aplicação da lei dos nós de Kirchhoffa cada nó que compõe um super-nó inclui a referência à corrente que atravessa a fonte de tensão: Num caso a abandonar o nó; No outro a chegar ao nó. Slide 5 Análise Nodal Super-Nó Nó Nó Nó Nó a 4 a 0 4 a 0 Eq. Auxiliar do super-nó Slide 54 7

Análise Nodal Nó Essencial Todos os nós que não são nem triviais, nem supernós. Os nós essenciais são objecto da aplicação directa da lei dos nós de Kirchhoff. Não necessitam de equações auxiliares. O valor das suas tensões nodais não é conhecido à priori. Slide 55 Análise baseada na lei das malhas de Kirchhoff. Assenta no seguinte algoritmo: dentificação das malhas do circuito. Para cada malha: Análise de Malhas Arbitrar os sentidos das correntes de malha. Escrever a equação de tensões resultantes. elacionar cada queda de tensão com as correntes de malha do circuito (usando para tal as leis descritivas dos elementos que compõem o circuito). Slide 56 8

Análise de Malhas Num circuito contendo N malhas, este algoritmo resulta sempre num sistema de N- equações, com N- incógnitas. As incógnitas são as correntes de malha do circuito. As correntes de malha são correntes abstractas que circulam dentro de cada malha. Os sentidos atribuídos ás correntes de malha são arbitrários Uma corrente de malha com sinal negativo indica que o sentido real é o oposto do sentido arbitrado. Slide 57 Análise de Malhas As leis descritivas dos elementos de um circuito (, L e C) relacionam as correntes que os atravessam com as quedas de tensão aos seus terminais. A corrente que atravessa um elemento pertencente a duas malhas, relaciona-se com as respectivas correntes de malha. E Slide 58 9

Análise de Malhas Fontes de tensão (independentes ou dependentes) estabelecem de forma directa qual o valor da queda de tensão do ramo que ocupam. Fontes de corrente (independentes ou dependentes) apresentam algumas dificuldades: É impossível saber à priori qual a queda de tensão numa fonte de corrente. Podem em casos particulares, estabelecer de forma directa o valor de uma corrente de malha. Slide 59 Análise de Malhas Malha Trivial Malha Trivial: uma malha na qual o valor da corrente de malha é conhecido à priori. As malhas triviais surgem sempre que exista uma fonte de corrente não partilhada dentro de uma malha. a Slide 60 0

Análise de Malhas Super-Malha Uma super-malha é uma malha formada por duas malhas que partilham uma fonte de corrente. Super-Malha A aplicação da lei das malhas de Kirchhoffa cada malha que compõe uma super-malha inclui a referência à queda de tensão na fonte de corrente: Num caso no sentido horário; No outro no sentido oposto. Slide 6 Análise de Malhas Super-Malha Malha Malha Malha 4 a Malha 5 6 7 a 0 4 5 6 7 a Eq. Auxiliar da super-malha Slide 6 0

Análise de Malhas Malha Essencial Todas as malhas que não são nem triviais, nem super-malhas. As malhas essenciais são objecto da aplicação directa da lei das malhas de Kirchhoff. Não necessitam de equações auxiliares. O valor das suas correntes de malha não é conhecido à priori. Slide 6 Conteúdos Associação de resistências Série Paralelo Divisor de tensão Divisor de corrente Teorema da sobreposição Circuitos duais Slide 64

Slide 65 Associação de esistências - Série ( ) N N N N.... eq N k eq k Aplicando a lei das malhas Slide 66 Associação de esistências - Paralelo N N N N.... eq N k k eq Aplicando a lei dos nós

Divisor de Tensão AB BC Slide 67 Divisor de Corrente eq Slide 68 4

Teorema da Sobreposição O teorema da sobreposição é uma consequência directa do princípio de linearidade. Se y é a resposta ao estímulo x y a resposta ao estímulo x Então, ay by é resposta ao estímulo ax bx, onde a e b são constantes reais. Circuitos que contenham, resistências, condensadores, indutâncias fontes independentes e fontes dependentes, obedecem a este princípio. Slide 69 Teorema da Sobreposição Se as fontes independentes ([.. N ], ([.. M ]), de um circuito representarem os estímulos de entrada do mesmo, então: Qualquer queda de tensão no circuito é obtida como uma combinação linear das fontes independentes. X [a a.. a N ] [.. N ] T [b b.. b M ] [.. M ] T Qualquer corrente no circuito é obtida como uma combinação linear das fontes independentes. X [c c.. c N ] [.. N ] T [d d.. d M ] [.. M ] T Slide 70 5

Teorema da Sobreposição As constantes a k, b k, c k e d k dependem dos restantes elementos que compõem o circuito. O teorema da sobreposição consiste na aplicação inversa do principio da linearidade. Uma vez que todas as correntes e tensões num circuito são combinações lineares das fontes independentes do mesmo, Então, é possível determinar o valor de qualquer tensão ou corrente no circuito, como uma soma de contribuições tomando uma fonte independente de cada vez. Slide 7 Teorema da Sobreposição X X X X ( ) X( ) X( ) ( ) ( ) ( ) X X Slide 7 6

Circuitos Duais Circuitos duais, são circuitos que têm descrições formais semelhantes. Assentam numa série de transformações duais bem definidas. Obtêm-se de forma topológica, por aplicação directa dos princípios e transformação. Dual de Nó Malha Corrente Tensão esistência () Condutância (G) Capacidade (C) ndutância (L) Fonte de corrente Fonte de tensão Slide 7 Circuitos Duais Slide 74 7

Conteúdos Teorema de Thévenin Teorema de Norton Transformação de fontes Slide 75 Teorema de Thévenin O Teorema de Théveninestabelece que todos os circuitos lineares podem ser representados por um circuito equivalente contendo: Uma fonte de tensão ideal fonte de Thévenin; Em série com uma resistência equivalente resistência de Thévenin. Slide 76 8

Teorema de Thévenin O processo para determinar o circuito equivalente de Thévenin é algo complexo: A tensão equivalente de Théveniné a tensão que surge entre os terminais A-B identificados, com estes em aberto. A resistência de Théveniné a resistência vista dos terminais A-B identificados, quando se coloca a 0 todas as fontes independentes do circuito. Este ponto é particularmente complexo, quando o circuito inclui fontes dependentes. Neste caso, é necessário utilizar uma fonte de teste. Slide 77 Teorema de Thévenin Uma alternativa é utilizar sempre uma fonte de teste. Partindo do equivalente de Thévenin, A TH No circuito original: T TH dentificar o nó B como referência. Escreveras equações nodais e resolver em ordem a A. O termo constante é TH, o termo dependente de T é TH. Slide 78 9

Teorema de Norton O Teorema de Norton estabelece que todos os circuitos lineares podem ser representados por um circuito equivalente contendo: Uma fonte de corrente ideal fonte de Norton; Em paralelo com uma resistência equivalente resistência de Norton. Slide 79 Teorema de Norton O processo para determinar o circuito equivalente de Norton é parecido com o anterior: A corrente equivalente de Norton é a corrente que passa nos terminais A-B identificados, quando estes estão em curto-circuito. A resistência de Norton é a resistência vista dos terminais A-B identificados, quando se coloca a 0 todas as fontes independentes do circuito. Este ponto é particularmente complexo, quando o circuito inclui fontes dependentes. Neste caso, é necessário utilizar uma fonte de teste. Slide 80 40

Uma alternativa é utilizar sempre uma fonte de teste. Partindo do equivalente de Norton, T AB N No circuito original: Teorema de Norton N Escreveras equações de malha e resolver em ordem a AB. O termo constante é N, o termo dependente de T é N. Slide 8 Transformação de Fontes As fontes independentes podem ser de dois tipos: Fontes de tensão. Fontes de corrente. Em ambos os casos, estas fontes representam circuito ideais. Na realidade, não existem fontes ideais de corrente ou tensão. As fontes reais têm perdas: No caso de uma fonte de tensão, a tensão nominal baixa com a corrente fornecida ao circuito. No caso de uma fonte de corrente, a corrente nominal baixa com a tensão imposta pelo circuito. Slide 8 4

Transformação de Fontes Este efeito de diminuição da tensão nominal ou corrente nominal nas fontes reais pode ser quantificado por uma resistência interna de perdas. No caso das fontes de tensão, em série com a fonte ideal. No caso das fontes de corrente, em paralelo com a fonte ideal. Slide 8 Transformação de Fontes AB S S L AB S L S Slide 84 4

Transformação de Fontes As fontes reais tem um comportamento linear. Como tal, enquadram-se dentro dos pressupostos dos teoremas de Norton e Thévenin. Em consequência, uma fonte real de tensão pode ser representada por uma fonte real de corrente e vice-versa. Slide 85 Transformação de Fontes F S N N S S F S S TH TH F F F Slide 86 4

Exercícios esolvidos. Análise nodal e de malhas. Super-nós e super-malhas. Análise nodal com fontes dependentes 4. Análise de malhas com fontes dependentes 5. Equivalentes de Thévenin e Norton 6. Transformação de fontes Slide 87 Análise nodal e Análise de malhas - 4 nós trivial referência essenciais malhas trivial essencial Slide 88 44

45 Slide 89 Análise nodal e Análise de malhas - a 0 0 b b é um nó Trivial Slide 90 Análise nodal e Análise de malhas - ( ) 0 0 a a b é uma malha Trivial

Super-nós e super-malhas - 4 nós super-nó referência essencial malhas super-malha essencial Slide 9 Super-nós e super-malhas - b b Equação auxiliar a 4 4 - é um super-nó 4 Slide 9 46

Super-nós e super-malhas - a a b 0 ( ) 0 0 ( ) 0 4 4 - é uma super-malha Slide 9 Análise nodal com fontes dependentes 4 nós trivial referência essenciais fontes dependentes CS CCCS Slide 94 47

Análise nodal com fontes dependentes A v c A i c é um A i nó trivial c c b Equações de controlo c 0 b 0 Slide 95 Análise de malhas com fontes dependentes 4 malhas trivial essencial fontes dependentes CCS CCS Slide 96 48

Análise de malhas com fontes dependentes 4 G m c é uma malha trivial a a m m c 0 c 0 Equações de controlo c c m c m c Slide 97 Equivalentes de Thévenin e Norton 5 a - - é um divisor de tensão. Colocando uma fonte de teste entre os pontos A e B, a tensão AB (a corrente AB )pode ser determinada pelo teorema da sobreposição Slide 98 49

50 Slide 99 Equivalentes de Thévenin e Norton 5 ( ) c m AB T AB AB AB AB G T a a T 0 4 0 0 0 c a ( ) T a m AB G 4 TH TH Slide 00 ( )( ) 4 4 G T a m AB Equivalentes de Thévenin e Norton 5 c m AB T AB AB AB AB G T a a T 4 0 4 0 0 0 c a N N

Transformação de fontes - 6 a a eq Slide 0 Transformação de fontes - 6 b b a a eq Slide 0 5

Transformação de fontes - 6 b A B AB AB a 4 b Slide 0 5