OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível Nível questão 1 a) O número de cartões na caixa é a soma dos números inteiros de 1 a 10, isto é, 1 + + + + 9 + 10 = 55 b) Basta escolher o cartão de número 1 e depois dois cartões de cada um dos números de a 10 No total, teremos 1+ 9 = 19 cartões, sem que haja três com o mesmo número c) Primeiro notamos que escolhendo o cartão de número 1, os dois de número, os três de número e depois quatro de cada um dos números de a 10, teremos um total de 1+ + + 7 = cartões sem que cinco quaisquer tenham o mesmo número Logo, para que tenhamos certeza que cinco cartões têm o mesmo número, é necessário escolher pelo menos 5 cartões Por outro lado, se escolhermos 5 cartões, podemos afirmar que pelo menos cinco deles terão o mesmo número De fato, se isto não fosse verdadeiro, teríamos no máximo cartões de cada número Como há apenas um cartão como número 1, dois com o e três com o, teríamos retirado no máximo 1+ + + 7 = cartões, o que é uma contradição Concluímos que entre 5 cartões há, necessariamente, pelo menos cinco com o mesmo número Nível questão a) Lembrando que ( a + b ) = a + ab + b, podemos simplificar a expressão (x + 1) + (x + ) (5x + ) como segue: (x + 1) + (x + ) (5x + ) = 9x + 6x + 1+ 16x + 16x + 5x 0x b) Aqui temos = (9 + 16 5) x + ( + x + + = x + 6 16 0) (1 ) 1 ( x m) + ( x n) (5x 5) = (6m + 8n 50) x + ( m + n 5) = x e desse modo devemos encontrar inteiros m e n tais que m + n 5 = 0 e (6m 8n 50) + =, isto é, m + n = 5 e m + n = A primeira equação (que também pode ser obtida pela substituição x = 0 na identidade) tem as possíveis soluções em números inteiros: m 0 ± ± ± 5 n ± 5 ± ± 0 Verificação direta mostra que apenas os valores m = e n = satisfazem a segunda equação c) Do enunciado temos + 7 8 = 1 Multiplicando esta expressão por, obtemos + 7 8 =, ou seja, 8 + 1 16 =, o que mostra que é simpático Outras expressões são = 5 + 10 11 = 6 + 7 9 = 7 + e, mais geralmente, = ( k + ) + (k + ) (5k + ) para k > d) Vamos dividir o argumento para números ímpares e pares Números ímpares: seja n = k + 1 um número ímpar maior que 1, ou seja, com k > 0 O item (a) mostra que fazendo a = k + 1, b = k + e c = 5k + temos n = a + b c Notamos que a < b < c segue de k > 0 Como já sabemos que 1 é simpático, segue que todo número ímpar positivo é simpático Números pares: seja n = k um número par maior que, ou seja, com k > Aqui o item (b) mostra que fazendo a = k, b = k e c = 5k 5 temos n = a + b c Notamos que a < b < c ; de fato, a < b vem do fato de k ser positivo e b < c decorre de k > Como já sabemos que e são simpáticos, segue que todo número par positivo é simpático Concluímos então que todos os inteiros positivos são simpáticos Uma curiosidade aqui é uma fórmula geral (entre outras) que mostra que todo número positivo n é simpático: n + 5n + 8 n + 5n + 8 n = ( n + ) + + 1
OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível Nível questão a) Mostramos abaixo um jogo completo para cada tabuleiro, destacando as casas apertadas b) Dividimos o tabuleiro 100 em 5 retângulos e, em cada um desses retângulos, tornarmos as casas cinzas procedendo como ilustrado no item (a); notamos que ao aplicar este procedimento em um retângulo os demais não são afetados Desse modo podemos preencher todas as casas do jogo 100 c) Dividimos o tabuleiro como ilustrado na figura a seguir Na primeira linha selecionamos as casas 1, 9, 17,, 19, 01 e na segunda as casas 6, 1,,, 190, 198 Cada uma das casas selecionadas está dentro de uma região destacada com traço mais forte Ao apertar uma destas casas, ela e todas as outras casas de sua região ficam cinzas, sem afetar as outras regiões Apertando todas estas casas podemos então preencher todas as casas do jogo 101 Notamos que há uma casa selecionada de duas em duas colunas, começando da primeira à esquerda, e uma na última coluna Como as colunas são em número de 101, vemos que foram selecionadas 51 casas, que é o número de jogadas que foram necessárias para terminar o jogo do modo descrito d) Não é possível acabar o jogo 101 com menos de 51 jogadas, pois cada jogada muda a cor de no máximo quatro casas Assim com 50 jogadas ou menos conseguiremos mudar a cor de no máximo 50 = 00 casas, mas no jogo 101 devemos mudar a cor de 0 casas Logo é impossível fazer menos do que 51 jogadas e deixar cinzas todas as casas Observação: A solução dos itens (b) e (c) mostra como terminar o jogo no caso de tabuleiros n, onde n deixa restos 0 ou 1 quando dividido por É interessante completar a análise nos casos em que os restos são ou ; deixamos isto para o(a) leitor(a) Nível questão a) O número total de partidas disputadas no torneio é + + 1 = 6 Como 6 não é divisível por, o torneio não pode acabar com os quatro times tendo o mesmo número de vitórias b) 1ª solução: Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve ganhar todas as suas partidas De fato, se ele ganhar duas ou menos então os outros três times dividirão pelo menos quatro vitórias entre si, e assim algum deles deve ter pelo menos duas vitórias; nesse caso, o Quixajuba não seria o campeão isolado Para cada um dos três jogos entre os outros times há duas possibilidades Logo, o número de maneiras do Quixajuba terminar 6 sozinho em primeiro lugar é 1 1 1 = 8 Como há = 6 resultados possíveis para as seis partidas, a probabilidade de o Quixajuba ser o campeão isolado é 8 = 1 6 8
OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível ª solução: Argumentamos como acima que o Quixajuba será o campeão isolado se e somente se ele vencer suas três partidas Como a probabilidade de o Quixajuba ganhar um jogo contra qualquer dos outros times é 1, a probabilidade de ele ganhar suas três partidas é 1 1 1 = 1 8 c) Suponhamos que os times sejam A, B, C e D e que o torneio termine com D isolado em último lugar Então D perdeu todas suas partidas; de fato, se D tivesse ganho suas três partidas, teria terminado o torneio em primeiro lugar (como vimos no item anterior); se od tivesse ganho duas (ou uma) partidas, os outros times dividiriam quatro (ou cinco) vitórias entre si; neste caso, pelo menos um deles teria ganho no máximo uma partida e assim D não teria ficado em último lugar isolado Logo A, B e C dividem entre si as seis vitórias, ou seja, cada um deles ganhou duas vezes; uma contra D e uma contra um dos outros Para as partidas entre A, B e C temos apenas duas possibilidades: A ganhou de B que ganhou de C ou A ganhou de C que ganhou de B Em resumo, há apenas duas possibilidades para que A, B e C dividam a liderança, e neste caso D acaba o torneio em último lugar isolado Como qualquer um dos times pode acabar em último lugar isolado, enquanto os outros dividem a liderança, segue que o número de possibilidades para que isto aconteça é = 8 Por outro lado, o número total de possibilidades para os resultados das seis partidas é = 6 Logo a probabilidade de que três times dividam a liderança é 6 8 1 = 6 8 Nível questão 5 O argumento geral para a resolução desta questão está ilustrado ao lado O triângulo ABC é um dos triângulos resultantes do corte do quadrado, e D é um ponto qualquer no lado AB Fazendo DE perpendicular a AB, o triângulo ADE também é retângulo de lados iguais, e sua área é igual a metade da área do quadrado ADEF; a área do triângulo ADG é então igual a 1 da área do quadrado ADEF a) Quando x = 1, a figura formada pela formado pela sobreposição dos triângulos maiores é um triângulo menor, indicado em cinza na figura à esquerda A observação acima mostra que 1 sua área é a quarta parte da área de um quadrado de lado 1, isto é, f (1) = Quando x =, a figura formada pela sobreposição dos dois triângulos é um pentágono, como na figura à direita Como os triângulos têm catetos de medida e AB =, vemos que os catetos se sobrepõem em um segmento de medida 1 Logo o pentágono é a união de um quadrado de lado 1 e um triângulo idêntico ao que consideramos no início desta questão Logo f () = 1+ = 1 5 b) Para valores de x tais que 0 x, a figura formada pela sobreposição dos triângulos é x o triângulo em cinza à esquerda, donde f ( x ) = para 0 x, conforme observação inicial Quando < x, a figura é um pentágono, como ilustrado à direita Temos então AC + CD = = BD + CD, donde = AC + BD + CD + CD = x + CD, ou seja, CD = x ; logo AC = BD = ( x) = x Vemos assim que o pentágono pode ser decomposto em um retângulo CDFE de base x e altura x
OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível CE = AC = x e um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa x Segue que para < x temos área do retângulo ( x) = x + x f ( x) = ( x)( x ) + área do triângulo Notamos que esta última expressão também assume o valor 1 para x = Em resumo, temos x f ( x) = se 0 x x + x se x Notamos também que f () = 0 (como era de se esperar) O gráfico de f está esboçado a seguir; nele marcamos os valores calculados no item anterior, bem como outros valores importantes para a resolução do item (c) c) A observação direta do gráfico mostra que o valor máximo da função no intervalo [0,] é f () = 1 Resta analisar a função no intervalo [,] Esquecendo por um momento que estamos neste intervalo, vamos considerar a função quadrática g( x) = x + x definida para todo número real x; ela é da forma f ( x) = ax + bx + c com a =, b 8 b = e c = Como a < 0, ela assume um valor máximo para x = = e seu valor neste ponto é = a a 8 (podemos também calcular diretamente g = ) Uma vez que 8 pertence ao intervalo [,], segue que o máxi- mo de f neste intervalo é, e como > 1 concluímos que este é o valor máximo de f no intervalo [0,]
OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível Nível questão 6 Para facilitar a exposição, vamos denotar por A' a posição do ponto A após a segunda dobra a) A figura mostra que A ' MP = CMP (ou seja, P foi escolhido de modo que MP é a bissetriz de AMC ), e segue que A ' MC = A ' MP (conforme figura ) Por outro lado, temos AMB = A' MB, donde AMA ' = A' MB Logo 180 = AMA ' + A' MC = A' MB + A' MP = ( A' MB + A' MP ) = BMP e segue que BMP = 90 b) (figura 1) Lembramos que as diagonais de um retângulo são iguais e se interceptam em seu ponto médio; no nosso caso, temos BM = AM = CM Segue que o triângulo BMC é isósceles e concluímos que M BC = MCB = ACB Logo os triângulos retângulos ABC e PMB têm um ângulo (agudo) em comum, ou seja, eles são semelhantes Aqui fazemos um reparo ao enunciado deste item na prova Em geral, ao falar da semelhança de triângulos, deve-se listar os vértices na ordem que indica a correspondência correta No nosso caso, o enunciado deveria ser mostre que os triângulos PMB e ABC são semelhantes, de vez que os ângulos em M e B do triângulo PMB são iguais aos ângulos em B e C do triângulo ABC, respectivamente O Comitê de Provas pede desculpas por esta incorreção c) Como os triângulos PMB e ABC são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão entre 1 lados correspondentes Como vimos acima, temos BM = AM = CM, ou seja, BM = AC Por outro lado, o teorema de Pitágoras no triângulo ABC (figura 1) nos dá AC = AB + BC = 1 + 16 = 0 ; logo BM = 10, e segue que a BM 10 5 razão de semelhança dos triângulos BMP e ABC é BC = 16 = 8 Denotando a área do triângulo BMP por ( BMP ) (e 5 5 1 16 75 similarmente para outras figuras a seguir) temos ( BMP) = ( ABC) = 8 = 6 d)desdobrando a figura, segue que ( A' BMP) + ( BMP) = ( ABC) Logo 75 117 ( A' BMP) = ( ABC) ( BMP ) = 96 =