Geometria Analítica em Problemas de Olimpíadas. Vitor Alves PIMI

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Luiz Gustavo Fragoso Azambuja
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1 Geometria Analítica em Problemas de Olimpíadas Vitor Alves PIMI A finalidade do artigo é apresentar exemplos e propor problemas de Geometria Olímpica que podem ser solucionados com o auxílio da Geometria Analítica que é ensinada normalmente no 3º ano do Ens. Médio, mas que pode ser aprendida por qualquer aluno das séries anteriores. Algumas dicas serão dadas durante as resoluções dos exemplos e vale a pena lembrar que os problemas podem ter resoluções que não usem Geometria Analítica. Um bom artigo para quem quer entender o que se deve ter em mente para resolver um problema de Geometria utilizando é o Geometria com Contas, de Carlos Shine, que pode ser encontrado na Eureka No.17 ou no livro 1 Aulas de Matemática Olímpica, que também é de Carlos Shine. Vejamos alguns exemplos: 1)(Círculo de Apolônio) Seja S um plano,a e B pontos distintos desse plano e seja k um número real positivo distinto de 1,encontre todos os pontos de S tal que AX BX = k. Resolução: Se Nesse problema vamos mostrar uma das primeiras armas da Geometria Analítica: você pode escolher o melhor jeito de colocar as figuras no eixo, e dependendo da forma que você fizer isso o problema pode ser resolvido mais facilmente. Primeiro colocamos o ponto B na origem do plano cartesiano e o ponto A no eixo das abscissas, com isso as coordenadas ficam: B= (0,0) e A=(a,0), onde a é distinto de 0. Agora, sejam X=(x,y) a coordenada de um ponto que satisfaz o enunciado, e AX e BX as distâncias de A à X e de B à X, respectivamente, essas distâncias são facilmente calculadas na Geometria Analítica: Com isso nós temos: BX= x + y AX= x b + y x b + y = k x + y

2 k (x + y ) = x b + y x xb + b + y = k x + k y x + y + xb k 1 b k 1 = 0 Completando quadrados nós obtemos: (completar quadrados é sempre uma boa idéia quando se trabalha com cônicas) x + b k 1 + y = b k 1 Que é a equação de uma circunferência. O Círculo de Apolônio tem várias propriedades interessantes que podem ajudar a resolver problemas de olimpíadas, quem quiser conhecer essas propriedades, um bom artigo é o Crônicas de Nérdia, de Carlos Shine, que pode ser facilmente encontrado no blog treinamentoimoibero.blogspot.com. )(Romênia) Sejam ABC um triângulo isósceles com AB = AC, D o ponto médio de BC, M o ponto médio de AD e N a projeção de D sobre BM. Prove que ANC = 90. Resolução: Esse problema é bem interessante de ser resolvido com Geometria Analítica, pois podemos aproveitar as retas perpendiculares e pontos médios de segmentos, também vamos mostrar que podemos usar alguns fatos que não são de Geometria Analítica (Trigonometria, Geometria Projetiva, Geometria Sintética, etc.) para ajudar nas soluções com a mesma. O fato que vamos usar será: TEOREMA: Dado um triângulo ABC e seja D o ponto médio de BC temos que AD=BD se, e somente se, A é ângulo reto. Uma demonstração disso pode ser encontrada no artigo Elementos de Cícero e Yuri que pode ser encontrado em treinamentoconesul.blogspot.com. Bom, agora vamos ao que interessa! Primeiro aproveitamos o fato de o triângulo ser isósceles e com isso além de AD ser mediana de BC também será altura, com isso para facilitar nossas vidas colocamos AD sobre os eixos das ordenadas,com D na origem, assim as coordenadas dos pontos ficam:a(0,a),d=(0,0),b=(-b,0) e o fato de D e M serem pontos médios de BC e AD

3 implica que as coordenadas de C e M são C=(b,0) e M=(0,a/). Obtemos então a figura abaixo. Agora seja E o ponto médio de BC, então pelo teorema anterior para provarmos que ANC é reto basta provarmos que NE=EC, para isso vamos seguir o seguinte roteiro: 1) Calcular as coordenadas de E; ) Calcular as coordenadas de N.Para isso vamos usar o fato de DN ser perpendicular à BM, depois vamos calcular EN. 1) Como E é ponto médio de CB,temos que C = b, a,,com isso nós temos que EC = 1 a + b. ) Seja m o coeficiente angular da reta BM,temos que m = a b, agora sendo n o coeficiente angular de DN temos que n = b, logo vamos ter que as equações das a retas BM e DN são y = a x + a b e y = x, respectivamente. Agora seja N=(x b a n, y n ) para calcularmos x n vamos substituir y na equação da reta BM pelo valor de y na reta

4 DN, com isso vamos ter que x n = equações obtemos y n = a b a +4b a b a +4b,substituindo esse valor em alguma das duas,agora só nos resta calcular EN: EN = a b a + 4b b + ab a + 4b a a 4 b a + 4b + b 4 + a b a + 4b + a 4 + 4a b a + 4b a b a + 4b a b (a + 4b ) a + 4b + a 4 + b 4 a b a + 4b 1 a b a + 4b a b a + 4b + a 4 + b 4 a + b = EC, como queríamos demonstrar. PROBLEMAS 1) Dado o quadrado ABCD de lado x,sejam P e Q pontos sobre o lado CD tais que DP=PQ=QC.Calcule a distância do vértice A ao baricentro G do triângulo BPQ em função de x. ) Seja ABC um triângulo retângulo em A,temos que AB=10cm e AC=15cm.Seja AD a bissetriz interna de Â.Calcule as áreas dos triângulos ABD E ACD. 3) As medianas AM e BN de um triângulo ABC são perpendiculares e medem respectivamente 3a/4 e a,onde a é um real positivo.calcule o comprimento da 3ª mediana de ABC. 4) Calcule a área do triângulo retângulo ADE retângulo em E,inscrito num trapázio retângulo,que tem como ângulos retos BAE e CDE,com AB=10cm,CD=0cm e AD=30cm. 5) ABCD é um retângulo com AB=60 e BC=80.Calcule a distância da diagonal AC ao centro de uma circunferência que tangencia os lados AD,AB e BC.

5 6) (Torneio das Cidades) Sejam ABCD um paralelogramo,m o ponto médio de CD e H o pé da perpendicular baixada de B a AM. Prove que BCH é um triângulo isósceles. 7) (Bielorrússia 005) Seja H o ponto de interseção das alturas BB1 e CC1 do triângulo acutângulo ABC. Seja l uma reta perpendicular a AC passando por A. Prove que as retas BC, B1C1 e l possuem um ponto em comum se e somente se H for o ponto médio de BB1. 8) Seja ABCD um quadrilátero convexo e M e N os pontos médios dos lados CD e AD, respectivamente. As retas perpendiculares a AB passando por M e a BC passando por N cortam-se no ponto P. Prove que P pertence à diagonal BD se, e somente se, as diagonais AC e BD são perpendiculares.

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