Mecânica dos Materiais

Mecânica dos Materiais Esforços axiais Tensões e Deformações Esforços multiaxiais Lei de Hooke generalizada 2 Tradução e adaptação: Victor Franco Correia (versão 1/2013) Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf McGraw-Hill. Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

Deformação normal P tensão normal A deformação normal L 2-2

Teste de tracção uniaxial: tensão-deformação 2-3

Diagrama tensão-deformação: materiais dúcteis 2-4

Diagrama tensão-deformação: materiais frágeis Aspecto da fractura de um material dúctil Aspecto da fractura de um material frágil 2-5

Lei de Hooke: Módulo de elasticidade No regime elástico: E E Módulode Young ou Módulo de elasticidade A resistência mecânica é influenciada pelos elementos de liga, tratamentos térmicos, processos de fabrico, etc. mas não a rigidez Módulo de Elasticidade que se mantém inalterado. 2-6

Comportamento elástico vs. plástico Quando a deformação se recupera totalmente quando a tensão é retirada, diz-se que o material tem um comportamento elástico A maior tensão para a qual este comportamento ocorre é designado por limite elástico ou tensão limite de elasticidade Quando a deformação não se recupera totalmente, depois de a tensão ter sido anulada, diz-se que o material tem um comportamento plástico 2-7

Deformações sob a acção de Forças Axiais Da Lei de Hooke E E P AE Da definição de deformação L Igualando e resolvendo em ordem ao deslocamento PL AE Se a barra tiver variações na força axial, na área da secção transversal ou nas propriedades materiais, ter-se-á: P il A E i i i i 2-11

Exercício Calcular: a) Diagrama de esforços normais b) Qual o perfil HEA adequado para suportar os esforços indicados, assumindo um aço S235 e um coeficiente de segurança de 2.5 em relação ao limite elástico? c) Expressão para cálculo do deslocamento vertical da extremidade superior do pilar?

Exercício Considere o sistema da figura, que é composto por duas barras de aço ligadas à barra de cobre através de um pino. A barra de cobre tem um comprimento de 2 m, uma área da secção transversal de 4800 mm 2 e um módulo de elasticidade E c = 120 GPa. As barras de aço têm um comprimento de 0.5 m, uma área da secção transversal de 4500 mm2 e um módulo de elasticidade E a = 200 GPa. barra de aço a) Determinar o deslocamento vertical da extremidade inferior da barra de cobre provocado por uma força P = 180 kn. (0,625mm + 0,05mm = 0,675 mm) b) Qual a força P máxima admissível se o deslocamento vertical da extremidade inferior da barra de cobre for limitado a 1 mm? barra de cobre (266,7 kn)

Exercício Considere o sistema da figura, que é composto por três tirantes em Titânio, (AB, DC e EF) e uma viga rígida AEC. A área da secção transversal de cada tirante é indicada na figura. Se for aplicada uma força vertical P = 20 kn em F, determinar: a) As tensões nos tirantes. b) O deslocamento vertical do ponto E. c) O deslocamento vertical do ponto F. E Titânio = 114 GPa

Exercício Considere o sistema da figura, constituído por uma viga rígida ABD e um tirante CB, contruído numa liga de alumínio 6061, cuja área da secção transversal é de 14 mm 2. As ligações em C, B e A são efectuadas através de pinos. Determinar o deslocamento vertical do ponto D quando é aplicada a carga distribuída de 300 N/m conforme ilustrado. E Aluminio = 70 GPa

Exemplo Determinar o deslocamento da extremidade D em relação a A, para a barra de aço ABCD, sujeita às forças indicadas. E = 200 GPa 2-20

Exemplo 2-21

Problema 2.1 A barra rigida BDE é suportada por 2 barras AB e CD. A barra AB é de aluminio (E = 70 GPa) e tem uma área da secção transversal de 500 mm 2. A barra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma área da secção transversal de 600 mm 2. Para a força de 30-kN ilustrada, determinar os deslocamento dos pontos: B, D e E. 2-22

Problema 2.1 Diagrama de corpo livre da barra BDE Deslocamento de B: B PL AE 3 6010 N 0.3m -6 2 9 50010 m 7010 Pa 51410 6 m M F F AB B 0 CD M D 0 0 30kN 0.6m 0 30kN 0.4 m F 90kN tracção F CD AB 60kN compressão 0.2 m 0.2 m Deslocamento de D: D PL AE B 0.514mm 3 9010 N 0.4m -6 2 9 60010 m 20010 Pa 30010 6 m D 0.300mm 2-23

Problema 2.1 Deslocamento de D: BB DD BH HD 0.514mm 0.300 mm x 73.7 mm 200mm x x EE DD E 0.300mm E HE HD 1.928mm 400 73.7 mm 73.7 mm E 1.928mm 2-24

Problemas estaticamente indeterminados As estruturas, para as quais as forças internas e as reacções não podem ser calculadas através das equações da estática, dizem-se estaticamente indeterminadas (pq possuem mais apoios dos que aqueles que seriam estritamente necessários para manter o equilibrio) As reacções redundantes são substituídas pelas forças correspondentes, que em conjunto com as restantes forças actuantes na estrutura, têm de originar deformações compatíveis As deformações causadas pelas forças actuantes na estrutura e pelas reacções redundantes são calculadas separadamente e depois são adicionadas através do principio da sobreposição L R 0 2-25

Exemplo Determinar as reacções em A e B para a barra de aço ilustrada na figura. Assumir um ajustamento perfeito entre a barra e os apoios antes da aplicação das cargas representadas. L R 0 2-26

Exemplo (cont.) Calcular o deslocamento em B devido às forças aplicadas com a reacção redundante libertada P A L 1 1 1 L 0 A L 2 i 2 P i 2 L 3 P L i i A E i P 3 40010 L 60010 4 6 m 2 1.12510 E 9 3 N A 3 0.150m P 4 A 4 90010 3 25010 N 6 m 2 Calcular o deslocamento em B devido à reacção redundante P L δ 1 A 1 1 R 40010 P L 2 i 2 R P ili A E 6 0.300m i i B m 2 A 2 1.9510 E 25010 3 R B 6 m 2 2-27

Exemplo (cont.) Impor que os deslocamentos devidos às forças aplicadas e devido à reacção redundante têm de ser compatíveis: 1.12510 E R B L R 57710 0 9 3 3 1.9510 E N 577kN R B 0 Calcular a reacção em A F R A y 0 R 323kN A 300kN 600kN 577kN R R A B 323kN 577kN 2-28

Exemplo Determinar as reacções em A e B para a barra de aço ilustrada na figura. Assumir que existe uma folga de 4.5 mm entre a barra e o apoio em B, antes da aplicação das cargas representadas. =4.5 mm L R 1.12510 E 4.510 9 3 m 1.9510 E 3 R B 4.510 3 m R B 115 kn; R A 784.6 kn 2-29

Problemas estaticamente indeterminados Equação adicional obtida através de compatibilização de deslocamentos E Considere-se o sistema da figura composto por: uma barra rígida EAD articulada no pino A; um cabo de aço BC, com um comprimento não deformado de 200 mm e uma área da secção transversal de 22.5 mm 2 ; um bloco de alumínio em D, com um comprimentos não deformado de 50 mm e uma área da secção transversal de 40 mm 2. Se a barra rígida EAD for sujeita à força de 450 N ilustrada, calcular: a) As tensões normais médias no cabo BC e no bloco D b) A rotação da barra rígida

Tensões de origem térmica Uma variação de temperatura origina uma deformação de origem térmica: T Não existem tensões associadas, excepto se a deformação estiver restringida pelos apoios Assumir o apoio como redundante e aplicar o principio da sobreposição T T L coeficient e de dilatação P térmica PL AE A deformação térmica e a deformação provocada pela reacção redundante têm de ser compatíveis T P PL AE 0 T L 0 P AE P A T E T 2-31

Problema estaticamente indeterminado (B&J 6th ed.) A barra de aço ABC está fixa entre dois suportes rígidos A e B e está livre de tensões a uma temperatura de 25ºC. Se a temperatura da barra for aumentada até 150 ºC, determinar: a) As tensões normais nos troços AC e CB b) O deslocamento do ponto C E = 200 GPa, α = 11.7 x 10-6 /ºC

Exemplo 2.4 B&J 6th Ed. A barra rígida CDE está articulada num apoio em E e encosta em D num cilindro de latão BD com diâmetro de 30 mm. Um tirante AC, em aço, com 22 mm de diâmetro está fixo em C conforme mostra a figura e foi perfeitamente ajustado, quando a temperatura do conjunto era de 20ºC. A temperatura do cilindro de latão foi posteriormente aumentada até 50ºC enquanto o tirante de aço foi mantido a 20ºC. Assumindo que antes do aumento de temperatura as tensões eram zero, determinar as tensões no cilindro para as condições finais.

Cont.

Coeficiente de Poisson Para uma barra esbelta sujeita a força uniaxial: x x E, 0 y O alongamento na direcção x é acompanhado de uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico, z y z 0 O coeficiente de Poisson é definido como deformação lateral deformação axial y x z x 2-35

Compressão 2-36

Exemplo determinação de E e 2-37

Tensões em planos oblíquos Imaginemos uma secção que forma um ângulo q com a normal ao eixo da barra Das condições de equilibrio, as forças distribuídas no plano tensões têm de equilibrar a força P. Decompondo P nas suas componentes normal e tangencial à secção oblíqua, F Pcosq V Psinq A tensão normal e a tensão de corte médias, no plano oblíquo são: F A V A q q Pcosq A0 cosq Psinq A0 cosq P A P A 0 0 cos 2 q sinq cosq 2-38

Tensão normal e tensão de corte máximas Tensão normal e tensão de corte no plano oblíquo: P A 0 cos A tensão normal máxima ocorre quando o plano de referencia é perpendicular ao eixo da longitudinal da barra, ie. segundo a direcção da força aplicada: 2 max q, P, 0 A A tensão de corte máxima ocorre para um plano a + 45 o em relação ao eixo longitudinal da barra: P P P max sin45º cos 45º, A 2A A 0 P A sinq cos q 0 0 2 0 0

Estado de tensões num ponto As componentes das tensões são definidas segundo as direcções dos eixos x, y e z e actuando em planos perpendiculares aos eixos x, y e z. As forças resultantes têm de satisfazer as condições de equilibrio estático: F x M x 0; 0; xy z F y M yx yz 0; y 0; xy zy F z 0 M z xz 0 Se considerarmos os momentos em torno do eixo z : M 0 Aa Aa igualmente, e yx zx 2-40

Estado de tensões num ponto caso geral O estado de tensão num ponto pode ser representado, no caso geral, por 6 componentes independentes: x xy,, y, yz, z zx tensões normais tensões de corte com : xy yx, yz zy, zx xz 2-41

Forças multiaxiais - Lei de Hooke generalizada Para um elemento sujeito a forças multiaxiais, as componentes normais das deformações resultantes das tensões normais podem ser determinadas usando o principio da sobreposição, sendo condições necessárias: 1) relação linear entre deformações e tensões 2) pequenas deformações Nestas condições, as deformações normais são dadas pelas equações seguintes: x y z x E E E x x E y y E E E E E y z z z 2-42

Exemplo Lei de Hooke generalizada Considere-se a barra de cobre representada na figura, que está sujeita às forças uniformemente distribuídas representadas. A barra tem comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm, antes da aplicação das forças distribuídas. Determinar as novas dimensões da barra (comprimento, largura e espessura) após a aplicação das forças. E cobre = 120 GPa, cobre = 0.34.

Estado de tensões num ponto Tensões de corte 2-45

Deformações ou distorções de corte Um elemento cubico infinitésimal sujeito a uma tensão de corte deforma-se como representado na figura. A relação entre as tensões de corte e as distorsões correspondentes é dada por: xy G xy yz G yz zx G zx em que G é o módulo de elasticidade transversal. 2-46

Exemplo distorções e tensões de corte

Relação entre E, e G Considere-se a barra sólida sujeita a uma força axial que sofre um alongamento na direcção axial e uma contracção na direcção transversal Um elemento cúbico orientado como ilustrado na figura de cima, sofrerá a deformação representada. A força axial origina uma deformação axial Se o elemento cúbico estiver orientado como ilustrado na figura de baixo, sofrerá a distorção representada: A força axial origina também uma distorção de corte Em materiais isotrópicos, o módulo de elasticidade E e o módulo de elasticidade transversal G estão relacionados: E E 2G1 ou G 2(1 ) 2-48

Materiais Compositos Materiais compósitos reforçados com fibras: laminas; fibras de reforço; matriz As tensões normais e as deformações estão relacionadas pela Lei de Hooke: E x x x, E y y xy, x y y, xz E z z As deformações transversais estão relacionadas com longitudinais através dos coeficientes de Poisson: z Os materiais compósitos, com propriedades mecânicas dependentes da direcção, dizem-se anisotrópicos. x z 2-49

Principio de Saint-Venant Principio de Saint-Venant: Pode-se assumir que a distribuíção de tensões é independente do modo de aplicação da força, excepto na vizinhança imediata do ponto de aplicação da força. 2-50

Concentração de tensões: furo circular max med Descontinuídades da secção transversal podem resultar efeitos de concentração de tensões K max med 2-51

Concentração de tensões: concordância max med 2-52

Exemplo r Determinar a maior força axial P que pode ser suportada em segurança por uma barra plana em aço com uma concordância, ou variação de secção: D para d, ambas com uma espessura de 10 mm. D= 60 mm; d= 40 mm; raio da concordância r = 8 mm. Assumir uma tensão normal admissivel de 165 MPa. 2-53

Determinar as relações geométricas e obter o factor K, a partir dos gráficos apropriados: D d 60mm 40mm 1.50 r d 8mm 40mm 0.20 K 1.82 Tensão normal máxima: max K med adm med K adm 165MPa 1.82 90.7 MPa Força máxima: P A med 36.310 40mm10mm 90.7 MPa 3 N P 36.3kN 2-54

Deformações plásticas P med A max K A Deformação elástica: enquanto a tensão máxima é menor que a tensão limite de elasticidade e0.2 P Y e0.2a K A tensão máxima é igual à tensão limite de elasticidade para a carga máxima em regime elástico max e0.2 Para cargas acima do limite elástico, desenvolve-se uma região de deformações plásticas junto ao furo P U e02. K P Y A À medida que a carga aumenta, a região deformada plasticamente aumenta até que toda a secção está sujeita a uma tensão uniforme igual à tensão limite de elasticidade (material idealmente plástico) 2-55

Exemplo 250 mm O parafuso de aço tem um diâmetro nominal de 8 mm e é montado no tubo de alumínio como indicado na figura. O tubo de alumínio tem um diâmetro interior de 12 mm e um diâmetro exterior de 14 mm. A porca em A é ajustada por forma a somente eliminar a folga não introduzindo qualquer força de aperto. Se o conjunto estiver inicialmente a uma temperatura T i = 20º C e fôr aquecido até à temperatura T f = 80º C, calcular as tensões desenvolvidas no parafuso e no tubo.