NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros. = 0,,,,.... { } { } * =,,,.... i : unidade imaginária; i =. z=x+iy, x,y. z : conjugado do número z, z. z : módulo do número z, z. { } { }, = x ; ab, = x ; a < x < b. : conjunto vazio. A\ B= x A; x B. { } nu ( ) : número de elementos do conjunto U. P ( A) : coleção de todos os subconjuntos de A. f o g : função composta de f com g. I : matriz identidade n n. A : inversa da matriz inversível A. A T : transposta da matriz A. det A : determinante da matriz A. AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. AB : arco de circunferência de extremidades A e B. m AB : medida (comprimento) de AB. Questão. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9} : I. U e nu ( ) = 0. U e nu ( ) = 0. II. III. U e { } U. 0,,, =. IV. { } { } Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas I e III. B ( ) apenas II e IV. apenas II e III. D ( ) apenas IV. E ( ) todas as afirmações. Questão. Seja o conjunto = { : 0 e } I. S e 7 S. 4 II. { :0 } III. S. x x S =. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas S r r r, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I e II B ( ) I e III II e III D ( ) I E ( ) II
Questão. Seja α um número real, com 0 < α <. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que α x α x <., 0, + B ( ), 0, + 0, D ( ),0 E ( ), + Questão 4. Considere a função ( ) f ( x) f ( y) é igual a f :, f x = cosx+ isenx. Então, xy,, o valor do produto f ( x+ y) B ( ) f ( x+ y) 4i f( x+ y) D ( ) f ( xy ) E ( ) f ( x) + i f ( y) Questão. Considere pontos distintos dispostos no plano, dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? 0 B ( ) 40 D ( ) 4 E ( ) Questão 6. ( x + ) Seja x e a matriz A x =. Assinale a opção correta. x log x, A possui inversa. B ( ) Apenas para x > 0, A possui inversa. São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. D ( ) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. E ( ) Para x = log, A não possui inversa. Questão 7. Considerando as funções arc sen:, + π/, π/ e arc cos:, + 0, π, assinale o valor de 4 cos arcsen + arccos. 6 B ( ) 7 D ( ) E ( ) Questão 8. Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a o. Então, seu maior ângulo mede, em graus, 0 B ( ) 0 40 D ( ) 0 E ( ) 60
Questão 9. O termo independente de x no desenvolvimento do binômio x x x x é 79 4 B ( ) 97 89 D ( ) 76 E ( ) 6 7 Questão 0. Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n n, n : I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. II. Se A = ( a i j ) é tal que a ij = 0 para i > j, com i, j =,,..., n, então A= a a... ann. III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + e a segunda por, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas II. B ( ) apenas III. apenas I e II. D ( ) apenas II e III. E ( ) todas. Questão. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 60 π cm, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 4 cm, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm, 8 47 B ( ) 7 47 6 47 D ( ) 08 E ( ) 4 47 π Questão. O conjunto de todos os valores de α,, π α, tais que as soluções da equação (em x ) são todas reais, é 4 48 + tg = 0 4 x x α π,0 π π B ( ), 4 4 π π, 6 6 D ( ) π 0, π π E ( ), Questão. Sejam as funções f e g definidas em por f ( x) x α x e β são números reais. Considere que estas funções são tais que = + e gx ( ) ( x β x) f g Valor mínimo Ponto de mínimo Valor máximo Ponto de máximo < 0 9 4 > 0 Então, a soma de todos os valores de x para os quais ( f og) ( x ) = 0 é igual a = +, em que α 0 B ( ) 4 D ( ) 6 E ( ) 8
Questão 4. Considere todos os números z= x+ iy que têm módulo 7 e estão na elipse Então, o produto deles é igual a x + 4y = 4. 9 B ( ) 49 6 8 D ( ) 7 E ( ) 4 Questão. Para algum número real r, o polinômio dos números abaixo está mais próximo de r? x x x + é divisível por ( x r) 8 4 4 4. Qual, 6 B ( ),, 4 D ( ), E ( ), Questão 6. Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos ( x, y ) do plano que satisfazem a equação x + y x y 40 6 det = 88. 4 0 4 Uma elipse. B ( ) Uma parábola. Uma circunferência. D ( ) Uma hipérbole. E ( ) Uma reta. Questão 7. A soma das raízes da equação z z z z + + = 0, z, é igual a B ( ) 0 D ( ) E ( ) Questão 8. Dada a equação ( ) ( ) as seguintes afirmações: x + m+ x + m+ 9 x+ 9= 0, em que m é uma constante real, considere I. Se m 6,6, então existe apenas uma raiz real. II. Se m = 6 ou m =+ 6, então existe raiz com multiplicidade. III. m, todas as raízes são reais. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas I B ( ) II III D ( ) II e III E ( ) I e II Questão 9. Duas circunferências concêntricas C e C têm raios de 6cme 6 cm, respectivamente. Seja AB uma corda de C, tangente à C. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm, 9( π ) B ( ) 8 ( π + ) 8 ( π ) D ( ) 8 ( π + ) E ( ) 6 ( π + ) Questão 0. A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm, é igual a π R B ( ) π R π R D ( ) π R E ( ) π R
As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Questão. Seja A um conjunto não-vazio. a. Se n( A) ( ) = m, calcule n P ( A) em termos de m. ( ) k+ k b. Denotando P ( A) = P ( A) e ( A) = ( A) k menor k, tal que n P ( A), sabendo que ( ) ( ) 6000 P P P, para todo número natural k, determine o n A =. Questão. Uma caixa branca contém bolas verdes e azuis, e uma caixa preta contém bolas verdes e azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? Questão. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe um número real x satisfazendo x a x. Questão 4. Sendo z = + i, calcule 60 n... 60 z = z+ z + z + + z. n = log logb b Questão. Para b > e x > 0, resolva a equação em x : ( x) ( x) = 0. Questão 6. Considere a equação x + x x+ d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo 0,? Questão 7. Prove que, se os ângulos internos α, β e γ de um triângulo satisfazem a equação sen( α) + sen( β) + sen( γ) = 0, então, pelo menos, um dos três ângulos α, β ou γ é igual a 60 o. Questão 8. Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A = AT. II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a ij= 0, para todo,,...,, com i j = n i j. Determine as matrizes quadradas de ordem que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. Questão 9. Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60 o. Seja C uma circunferência de cm de raio, cujo centro O se situa em s, a cm de r. Determine o raio da menor circunferência tangente à C e à reta r, cujo centro também se situa na reta s.
Questão 0. Sejam os pontos :(, 0 ), :( 4, 0) A B e :(, + ) P. a. Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eixo y. b. Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P.