Monotonicidade, Simetria e Comportamento Global em EDPs Elípticas Semilineares

Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Instituto de Ciências Exatas ICEx Departamento de Matemática DMat Monotonicidade, Simetria e Comportamento Global em EDPs Elípticas Semilineares Fabrício Goecking Avelar Orientador: Marcos da Silva Montenegro Dezembro de 2.003

Sumário 1 Monotonicidade e Simetria em EDPs Semilineares: O Método dos Planos Móveis 6 1.1 Método dos planos móveis para domínios limitados suaves...... 6 1.2 Método dos planos móveis para domínios limitados gerais....... 12 2 Comportamento Global para a Equação de Yamabe 18 A Princípios do Máximo 31 1

Agradecimentos Primeiramente, agradeço à Deus por me permitir chegar até aqui. Ao Professor Marcos pela ajuda, esforço, determinação, paciência e amizade. À Luciana pela paciência, compreensão e por ter estado sempre ao meu lado. Ao Jurandir pela inestimável ajuda nos momentos mais difíceis. À minha família pelo incentivo constante. Aos meus amigos do mestrado do doutorado que sempre estiveram prontos a me ajudar. À Professora Cristina Marques, que sempre acreditou em mim, pelo seu apoio e amizade. À Sandra pela simpatia, gentileza, prestimosidade e amizade. Ao Bruno pela prestimosidade e amizade. À todos os meus professores que estiveram comigo durante esta caminhada. À todos os grandes amigos da UFMG que sempre estiveram torcendo por mim. 2

Introdução Este trabalho está relacionado com o método dos planos móveis e algumas de suas aplicações, como por exemplo, o estudo de propriedades de monotonicidade e simetria de soluções positivas de EDPs elípticas semilineares. Primeiramente, vamos estudar a monotonicidade, em determinadas direções, de soluções clássicas positivas de { u = f(u) em Ω, u = 0 sobre Ω, (1) onde Ω R n, n 3 é um domínio limitado de classe C 2, f é de classe C 1 em [0, ). Em seguida estudamos o mesmo problema para domínios limitados Ω, funções f e soluções u mais gerais. Finalmente, vamos aplicar o método dos planos móveis no estudo do comportamento global de soluções não-negativas do problema particularmente no caso em que n 3 e 0 < p < n + 2 n 2. u = u p em R n, (2) Usando o método dos planos móveis, introduzido por Alexandrov, Gidas, Ni e Nirenberg [2] obtiveram resultados de monotonicidade e simetria para as soluções do problema (1) utilizando como principais ferramentas o princípio do máximo forte e o Lema de Hopf clássicos. Uma restrição de seus resultados é que não se aplica à certas regiões como, por exemplo, o cubo. Posteriormente, Nirenberg e Berestycki [1] obtiveram os mesmos resultados de monotonicidade e simetria de soluções positivas de (1) em domínios 3

limitados gerais, generalizando, assim, os resultados obtidos por Gidas, Ni e Nirenberg. Eles também enfraqueceram as hipóteses sobre f e u, exigindo apenas que f fosse localmente de Lipschitz em [0. ) e u W 2,n (Ω) C 0 (Ω). O pricipal argumento utilizado foi baseado em um princípio do máximo fraco em domínios de medida pequena, tornando assim desnecessário o Lema de Hopf. No primeiro capítulo trabalhamos com os dois artigos, sendo que na primeira seção está o principal teorema do primeiro artigo e na segunda seção a sua generalização. No segundo capítulo há uma aplicação do método dos planos móveis no espaço Euclidiano, baseado no trabalho de Chen e Li [5], que mostra que qualquer solução não-negativa de (2) é identicamente nula se n 3, e 0 < p < n + 2 n 2. Os requisitos básicos requeridos nesta dissertação tais como o Lema de Hopf e os Princípios do Máximo, estão enunciados no apêndice. 4

Notações Durante todo este trabalho, estaremos usando as seguintes notações: Ω: região limitada de R n. Para cada 0 < λ, denotamos: T λ : o hiperplano [x 1 = λ] = {x Ω : x 1 = λ} ; Σ λ : O conjunto {x Ω : x 1 > λ}. Dado x = (x 1, x 2,, x n ) Σ λ, denotamos x λ = (2λ x 1, x 2,..., x n ) a reflexão de x com respeito ao hiperplano T λ ; u λ (x) = u(x λ ); x = ( x 1, x 2,, x n ) e λ = (2λ, 0,, 0). Σ λ : o conjunto Σ λ \{e λ } = {x Σ λ : x e λ }; u + = max{u, 0} u = min{u, 0} 5

Capítulo 1 Monotonicidade e Simetria em EDPs Semilineares: O Método dos Planos Móveis 1.1 Método dos planos móveis para domínios limitados suaves Nesta seção, aplicamos o método dos planos móveis no estudo de monotonicidade e simetria de soluções clássicas de (1) em domínios de classe C 2. O principal resultado desta seção é: Teorema 1.1 Sejam Ω R n, n 2, um domínio limitado de classe C 2, convexo na direção x 1 e simétrico em relação ao plano x 1 = 0, f : [0, ) R uma função de classe C 1. Se u C 2 (Ω) é uma solução clássica positiva de { u = f(u) em Ω, u = 0 sobre Ω, (1.1) então u é simétrica em relação ao plano x 1 = 0 e u x1 < 0 em {x Ω : x 1 > 0}. Uma conseqüência simples e útil deste resultado é o seguinte: Corolário 1.1 Sejam B R n a bola de raio R centrada na origem e f uma função de classe C 1 em [0, ). Se u C 2 (B) é uma solução positiva de 6

{ u = f(u) em B, u = 0 sobre B, (1.2) então u é radialmente simétrica e u < 0 para 0 < r < R. Demonstração: Pelo Teorema 1.1, temos que u é simétrica em relação ao plano x 1 = 0, isto é, u(x) = u(x). Tome uma direção ν S n 1 e defina a transformação ortogonal T tal que T (e 1 ) = ν. Seja x B e escolha z B tal que T z = x. Como u é simétrica em relação ao plano x 1 = 0, temos que u(z) = u(z). Defina v(x) = u(t x). Como o Laplaciano é invariante por rotações, temos que v também é solução de (1.2). Então v(z) = v(z). Logo u(t z) = u(t z) e com isso temos que u(x) = u( x), onde x é a reflexão de x em relação ao hiperplano ortogonal à direção ν. Portanto, u é simétrico em relação a qualquer hiperplano. Seja x B. Para verificarmos que u é radialmente simétrica, basta tomarmos o hiperplano T x tal que x Re 1. Como u é simétrico em relação a qualquer hiperplano, temos que u(x) = u( x) e chegamos à conclusão que u é radialmente simétrica. A última conclusão deste corolário segue da escolha de x 0 B tal que x 0i > 0, i, e da observação que u x 0 n (r 0 ) =< u(x 0 ), x 0 >= i u(x 0 ) x 0i < 0. i=1 Exemplo 1: Considere o problema { u = u p em B, u = 0 sobre B. Como aplicação de métodos variacionais, é bem conhecido que este problema possui solução clássica positiva se n 3 e 1 < p < n + 2. Pelo Corolário 1.1, esta n 2 solução é radial. 7

OBS: Para estudar a existência ou não-existência de solução de (1.2), basta, pelo Corolário 1.1 considerar o problema unidimensional. Precisamente, o problema u (n 1) u r = f(u), u (0) = 0, u(r) = 0. Primeiramente, denote λ 0 = max x Ω x 1. Seja x 0 Ω tal que x 01 = λ 0. O método dos planos móveis que desenvolveremos a seguir, é ilustrado pela seguinte figura: λ λ 0 Ω x λ Σ λ x x 0 x 1 [x 1 = 0] Figura 1: método dos planos móveis Para a demonstração do Teorema 1.1, vamos precisar dos seguintes lemas: 8

Lema 1.1 Sejam Ω R n, n 2, um domínio limitado de classe C 2 convexo na direção x 1 e simétrico em relação ao plano x 1 = 0, e f : [0, ) R uma função de classe C 1. Se u C 2 (Ω) é uma solução positiva de { u = f(u) em Ω u = 0 sobre Ω, então existe ε > 0 tal que u x1 (x) < 0 para todo x Ω B ε (x 0 ). Demonstração do Lema 1.1: Como u > 0 em Ω e u = 0 sobre Ω, segue que u 0 sobre Ω. Se ν u x1 (x 0 ) = u(x 0) < 0 então, como u C 2 (Ω), a afirmação é imediata. Se u x1 (x 0 ) = 0, ν suponha, por contradição, que a conclusão do lema é falsa. Então existe (x n ) Ω tal que x n x 0 e u x1 (x n ) 0. Seja z n a interseção de Ω com a semi-reta positiva na direção x 1 de origem x n. Como u x1 (z n ) 0, pelo teorema do valor médio, temos que u x1 x 1 (y n ) 0 com y n (x n, z n ). Portanto, u x1 x 1 (x 0 ) 0. Como u = 0 sobre Ω, temos que u xi x i (x 0 ) = 0 para todo i = 2,, n. Para vermos este fato, basta escolhermos um caminho γ i : R Ω, tal que γ i (0) = x 0 e γ i(0) = e i, i = 2,, n. Então (u γ i )(t) = 0, t R. Logo (u γ i ) (t) = 0 e (u γ i ) (t) = 0, t R, i = 2,, n. Logo, 0 = γ i(t) Hu(γ i (t))γ i(t)+ < u(γ i (t)), γ i (t) >, onde H é a matriz Hessiana de u no ponto γ i (t). Temos então que 0 = (u γ i ) (0) =< u(x 0 ), e i > para todo i = 2,, n. Isto implica que u xi (x 0 ) = 0, i = 2,, n e, portanto, temos que u(x 0 ) = 0, já que por hipótese, u x1 (x 0 ) = 0. Com isso concluímos que < u(γ i (0)), γ i (0) >= 0, i = 2,, n. Mas γ i(0) é um vetor que possui todas as ordenadas nulas, exceto a i-ésima. Logo u xi x i (x 0 ) = γ i(0) Hu(γ i (0))γ i(0) = 0. Com isso, temos que u xi x i (x 0 ) = 0 se i 1. 9

Agora mostremos que u x1 x 1 (x 0 ) = 0. De fato, suponha, por absurdo, que u x1 x 1 (x 0 ) < 0. Como u C 2 (Ω), então existe ε > 0 tal que u x1 x 1 (x) < 0, x B ε (x 0 ) Ω. Tome um ponto x Ω tal que o vetor x x 0 seja paralelo ao eixo x 1. Pela Fórmula de Taylor, temos que u(x) = u(x 0 )+ < u(x 0 ), (x x 0 ) > + 1 2 (x x 0) Hu(c)(x x 0 ) = 1 2 u x 1 x 1 (c) < 0, pois x pode ser tomado de modo que c B ε (x 0 ). Como u x1 (x 0 ) = 0 e u(x 0 ) = 0, temos que u(x) = u x1 x 1 (c) < 0, o que é um absurdo. Logo, u xi x i (x 0 ) = 0, i = 1,, n Isto implica que u(x 0 ) = 0 e, assim, f(0) = 0. Pelo teorema do valor médio, temos que f(u(x)) f(0) = f (d(x))(u(x)) para algum d(x) (0, u(x)). Denotando c(x) = f (d(x)), segue que u satisfaz u + c(x)u = 0 em Ω. Como u(x 0 ) = 0 e u > 0 em Ω, pelo Lema de Hopf (Teorema A.3) temos que u x1 (x 0 ) = u(x 0) < 0, o que é um absurdo. ν Conseqüentemente, existe ε > 0 tal que u x1 (x) < 0, para todo x Ω B ε (x 0 ). Lema 1.2 Sejam Ω R n, n 2, um domínio limitado de classe C 2 convexo na direção x 1 e simétrico em relação ao plano x 1 = 0, e f : [0, ) R uma função de classe C 1 em [0, ). Se u C 2 (Ω) é uma solução positiva de (1.1) satisfazendo u(x λ ) u(x), u(x λ ) u(x) em Σ λ para 0 λ < λ 0, então u(x λ ) > u(x) em Σ λ e u x1 < 0 em Ω T λ. 10

Demonstração do Lema 1.2: Seja w λ (x) = u(x λ ) u(x). Considerando c(x), como no lema anterior, temos w λ + c(x)w λ = 0 em Σ λ, w λ 0, w λ 0 em Σ λ, w λ = 0 sobre T λ Ω. Segue do princípio do máximo Forte (Corolário A.1) que w λ > 0 em Σ λ e do Lema de Hopf (Teorema A.3) que (w λ ) x1 > 0 sobre T λ Ω. Mas, (w λ ) x1 = 2u x1 sobre T λ Ω. Daí segue a conclusão do lema. Lema 1.3 Sejam Ω R n, n 2, um domínio limitado de classe C 2 convexo na direção x 1 e simétrico em relação ao plano x 1 = 0, e f : [0, ) R uma função de classe C 1 em [0, ). Se u C 2 (Ω) é uma solução positiva de (1.1) então para cada 0 < λ < λ 0, temos u(x λ ) > u(x) u x1 < 0. em Σ λ Demonstração do Lema 1.3: Pelo Lema 1.1, temos u(x λ ) > u(x) u x1 < 0 em Σ λ (1.3) se λ 0 λ > 0 é suficientemente pequeno. Assim, o conjunto é não-vazio. Defina µ 0 = inf Λ. Λ = {µ > 0 : (1.3) é satisfeito µ < λ < λ 0 } Afirmamos que µ 0 = 0. De fato, assuma que µ 0 > 0. Neste caso, para x Σ µ0 \T µ0, temos x µ0 Ω. Assim, u(x µ0 ) > 0 = u(x). Logo, por Lema 1.2, segue que u x1 < 0 sobre Ω T µ0. Isto implica que existe ε > 0 tal que 11

u x1 < 0 em Σ µ0 ε. Pela definição de µ 0, existe uma seqüência (λ n ) (µ 0 ε, µ 0 ) e x n Σ λn tal que u(x n λ n ) u(x n ) e λ n µ 0. Passando à uma subseqüência, se necessário, podemos afirmar que x n x Σ µ0. Assim, por continuidade, temos u(x µ0 ) u(x). Isto implica que x Σ µ0. Claramente, x / Ω pois, caso contrário, teríamos x µ0 Ω e u(x µ0 ) u(x) = 0, absurdo. Logo, x Ω T µ0 e assim u x1 (x) < 0. Por outro lado, aplicando o teorema do valor médio a u entre x n λ n e x n, usando que u(x n λ n ) u(x n ), e tomando o limite, concluímos que u x1 (x) 0; absurdo. Portanto, µ 0 = 0. Isto finaliza a demonstração do lema. Vamos agora passar à demonstração do principal teorema desta seção: Demonstração do Teorema 1.1: Do Lema 1.3, segue que u x1 < 0 em {x Ω : x 1 > 0}. Falta verificar a simetria de u em relação ao plano x 1 = 0. Para isso, basta aplicar o mesmo raciocínio na região simétrica de Σ 0 e direção oposta à x 1, para concluir que u(x) u(x) em Σ 0. Portanto, u(x) = u(x), x Σ 0, ou seja, u é simétrica em relação à T 0. 1.2 Método dos planos móveis para domínios limitados gerais A seguir, veremos que o Lema de Hopf não é necessário para mostrarmos o principal teorema desta seção e sim um princípio do máximo em domínios de medida pequena. Além disso, tal resultado pode ser enunciado para domínios limitados gerais. Com o objetivo de enunciar o teorema, considere as seguintes definições: Definição 1.1 u L 1 loc (Ω) é dita fracamente diferenciável se para cada i = 1,..., n, v i L 1 loc (Ω) tal que u i ϕdx = v i ϕdx, ϕ C0 (Ω). Ω Ω 12

Definição 1.2 W 2,n loc (Ω) = {u Ln loc (Ω) : iu, ij u L n loc (Ω), i, j = 1,..., n} O ingrediente fundamental para obtermos resultados de simetria sem assumir regularidade é o seguinte princípio do máximo para domínios pequenos: Lema 1.4 Assuma que b i (x) L n (Ω) e c + (x) L (Ω). Seja u W 2,n loc (Ω) tal que Lu 0 em Ω (qtp). Então existe δ > 0 tal que se tem-se Ω < δ = δ(n, diam(ω), b i (x) L n (Ω), c + (x) L (Ω)), sup u C δ Ω sup u +. Ω Demonstração: Seja L 0 = L c +. Então, L 0 u c + u e aplicando o Teorema [A.5], com f = c + u +, temos sup Ω u + sup u + + C c + u + L Ω n (Ω) sup Ω u + + C c + Ω 1 L n (Ω) sup u +, Ω onde C é definido no Teorema [A.5]. Isto implica que sup u + C δ Ω sup u +, Ω onde C δ não depende de u. Daí segue o resultado. Vamos agora enunciar o teorema principal desta seção: Teorema 1.2 Sejam Ω R n, n 2, um domínio limitado convexo na direção x 1 e simétrico em relação ao plano x 1 = 0, e f é uma função localmente Lipschitziana em [0, ). Se u W 2,n loc (Ω) C(Ω) é uma solução forte positiva de (1.1), então u é simétrica em relação ao plano x 1 = 0 e u x1 < 0 em {x Ω : x 1 > 0}. Vamos dividir a demonstração do Teorema 1.2 em dois lemas: 13

Lema 1.5 Existe ε > 0 tal que w λ > 0 em Σ λ para todo λ 0 ε < λ < λ 0. Demonstração do Lema 1.5: Para 0 < λ < λ 0, podemos escrever onde w λ + c λ (x)w λ = 0 em Σ λ, (1.4) c λ (x) = f(u(x λ )) f(u(x)) u(x λ ) u(x) se u(x) u(x λ ), 0 caso contrário, é uma função limitada em Σ λ porque f é localmente Lipschitiziana em [0, ). Claramente, w λ 0 sobre Σ λ. Além disso, tomando ε > 0 tal que Σ λ < δ para todo λ 0 ε < λ < λ 0, pelo Lema 1.4, (1.4) satisfaz o princípio do máximo. Logo, w λ 0 em Σ λ. Pelo Corolário A.2, temos w λ > 0 em Σ λ ou w λ 0 em Σ λ. Como w λ 0 sobre Σ λ Ω, segue que w λ > 0 em Σ λ para todo λ 0 ε < λ < λ 0, e temos assim a demonstração do lema. Lema 1.6 Para cada 0 < λ < λ 0, tem-se w λ > 0 em Σ λ. Demonstração do Lema 1.6: Considere o conjunto Λ = {µ > 0 : conjunto é não-vazio pelo Lema 1.5. Seja w λ > 0 em Σ λ, µ < λ < λ 0 }. Este µ 0 = inf Λ. Mostremos que µ 0 = 0. Assuma por absurdo que µ 0 > 0. Fixemos δ > 0 como no Lema 1.4. Seja K Σ µ0 um compacto tal que Σ µ0 \K < δ. Por compacidade, 2 14

temos w µ0 > 0 em K. Por continuidade, temos w µ0 ε > 0 em K para todo ε > 0 suficientemente pequeno. Diminuindo ε, se necessário, também temos Σ µ0 ε\k < δ. Como no Lema 1.5, escrevemos w µ0 ε + c µ0 ε(x)w µ0 ε = 0 em Σ µ0 ε\k. Além disso, claramente w µ0 ε 0 e w µ0 ε 0 sobre Σ µ0 ε K. Pelo Lema 1.4 e Teorema A.7, temos w µ0 ε > 0 em Σ µ0 ε\k. Portanto, w µ0 ε > 0 em Σ µ0 ε e isto contradiz a definição de µ 0. Assim, aplicando o Lema de Hopf em T λ, tem-se 2u x1 = (w λ ) x1 > 0 sobre T λ para todo 0 < λ < λ 0. Assim, u x1 < 0 sobre T λ. Demonstração do Teorema 1.2: Do Lema 1.6, segue que u x1 < 0 em {x Ω : x 1 > 0}. A simetria de u em relação ao plano x 1 = 0 é mostrada com os mesmos argumentos usados na demonstração do Teorema 1.1. Exemplo 2: Seja Ω = {(x, y) R 2 : 1 < x < 1, 1 < y < 1} um quadrado de R 2 com centro na origem e f é uma função de Lipschitz contínua em [0, ). Seja u C 2 (Ω) C 0 (Ω) uma solução positiva de { u = f(u) em Ω, u = 0 Ω, O quadrado é convexo e simétrico em relação às seguintes retas: r 1 = {(x, y) : x = 0}, r 2 = {(x, y) : y = 0}, r 3 = {(x, y) : x = y} e r 4 = {(x, y) : x = y}. Então, pelo Teorema 1.2, temos que u é simétrico em relação às retas r i, i = 1,, 4. Portanto, conhecidos os valores de u em 15

Ω + = {(x, y) : 0 < y < 1, 0 < x < y}, automaticamente conhecemos todos os valores de u em qualquer ponto de Ω. Este exemplo pode ser ilustrado pela figura: Ω Ω + Figura 2 Exemplo 3: Seja Ω = {(x, y, z) R 3 : 1 < x < 1, 1 < y < 1, 1 < z < 1} um cubo de R 3 com centro na origem, f e u como no exemplo anterior. Seja T 1 o plano x = 0, T 2 o plano y = 0 e T 3 o plano z = 0. Sabemos que o cubo é convexo e simétrico em relação a estes três planos. Além desses, o cubo é convexo e simétrico em relação aos seguintes planos: T 4 = {(x, y, z) : x = z}, T 5 = {(x, y, z) : x = z}, T 6 = {(x, y, z) : x = y}, T 7 = {(x, y, z) : x = y}, 16

T 8 = {(x, y, z) : z = y} e T 9 = {(x, y, z) : z = y}. Novamente, pelo Teorema 1.2, temos que u é simétrico em relação aos planos T i, i = 1,, 9. Portanto, conhecidos os valores de u em Ω + = {(x, y, z) : 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < y}, automaticamente conhecemos os valores de u em qualquer ponto de Ω. Esse exemplo é ilustrado pela seguinte figura: Ω Ω + Figura 3 17

Capítulo 2 Comportamento Global para a Equação de Yamabe O principal resultado deste capítulo é o Teorema 2.1 Seja u C 2 (R n ), n 3 uma solução não-negativa de Se 0 < p < n + 2, então u 0. n 2 u = u p em R n. Um ingrediente fundamental na demonstração do Teorema 2.1, além de princípios do máximo, é o seguinte resultado: Lema 2.1 (Teorema das três esferas de Hadamard) Seja w C 2 (R n \{0}), n 3 uma função tal que w 0. Denotando para 0 < r 1 r r 2, temos m(r) = min{w(x) : x = r}, m(r) m(r 1)(r 2 n r2 2 n ) + m(r 2 )(r1 2 n r 2 n ) r1 2 n r2 2 n Demonstração do Lema 2.1: Defina ϕ(r) = a+br 2 n, onde a e b são constantes escolhidas tal que ϕ(r 1 ) = m(r 1 ) e ϕ(r 2 ) = m(r 2 ). A função w(x) = w(x) ϕ(r) satisfaz 18

{ w = w 0 em R n \{0}, w 0 sobre B r1 B r2. Pelo princípio do máximo fraco, temos w 0 em B r2 \B r1 w(x) ϕ(r) para todo r 1 < r < r 2. Conseqüentemente, Logo, min{w(x) : x = r} ϕ(r). Assim, temos que m(r) ϕ(r) para todo r 1 < r < r 2. Notando que ϕ(r) é o lado direito da desigualdade requerida, finalizamos a demonstração. Uma conseqüência importante do Lema 2.1 que será utlizada constantemente ao longo da demonstração do Teorema 2.1 é a seguinte: Corolário 2.1 Seja w C 2 (R n \{0}), n 3, uma função positiva tal que w 0. Para cada ε > 0, tem-se: w(x) m(ε), 0 < x ε, w(x) m(ε)εn 2 x n 2, x ε. Demonstração do Corolário 2.1: Para cada 0 < r 1 < r < ε, desde que w > 0, pelo Lema 2.1 temos: n 2 m(r) m(ε) r2 n 1 r 2 n r1 r 2 n r1 2 n = m(ε)1 ε2 n 1 r1 n 2 ε. 2 n Tomando o limite r 1 0, segue que m(r) m(ε). Portanto w(x) m(ε) para todo 0 < x < ε. Similarmente, para ε < r < r 2, temos m(r) m(ε) r2 n r2 2 n ε 2 n r 2 n. Assim, m(r) m(ε)r2 n. Logo, w(x) m(ε)εn 2 para todo x ε. ε 2 n r n 2 2 19

Seja u C 2 (R n \{0}) uma solução positiva de u = u p, em R n \{0}. Considere a transformada de Kelvin de u, isto é, Verifiquemos que v(x) = 1 x u( x n 2 x ). 2 v(x) = De fato, por cálculo direto temos: 1 x n+2 p(n 2) vp (x). n i v(x) = (2 n) x n x i u(x x 2 ) 2x i x n 2 u xj (x x 2 )x j + x n u xi (x x 2 ) e j=1 ii v(x) = n(2 n) x n 2 x 2 i u(x x 2 ) + (2 n) x n u(x x 2 ) n 2x 2 i (2 n) x n 4 u xj (x x 2 )x j + (2 n) x n 2 u xi (x x 2 )x i j=1 n n 2 x n 2 u xj (x x 2 )x j 2( n 2)x 2 i x n 4 u xj (x x 2 )x j j=1 j=1 n n n +4x 2 i x n 6 x j u xl x j (x x 2 )x l 2x i x n 4 u xi x j (x x 2 )x j l=1 j=1 j=1 2 x 2 n x i u xi (x x 2 ) n x n 2 x i u xi (x x 2 ) n 2x i x n 4 u xi x j (x x 2 )x j + x n 2 u xi x i (x x 2 ). j=1 20

n Calculando ii v(x), temos: i=1 v(x) = n(2 n) x n u(x x 2 ) + n(2 n) x n u(x x 2 ) n 2(2 n) x n 2 u xj (x x 2 )x j + (2 n) x n 2 j=1 n u xi (x x 2 )x i i=1 n n 2n x n 2 u xj (x x 2 )x j 2( n 2) x n 2 u xj (x x 2 )x j j=1 j=1 +4 x n 4 n n n n x j u xl x j (x x 2 )x l 2 x n 4 x i u xi x j (x x 2 )x j l=1 j=1 j=1 i=1 2 x 2 n n x i u xi (x x 2 ) n x n 2 i=1 n x i u xi (x x 2 ) i=1 n n 2 x n 4 x i u xi x j (x x 2 )x j + x n 2 j=1 i=1 n u xi x i (x x 2 ). i=1 Logo, v(x) = x n 2 n i=1 u xi x i (x x 2 ) = 1 x u( x n+2 x ). 2 Então, temos: e, concluímos portanto que v(x) = 1 x n+2 up ( x x 2 ) = 1 x n+2 x p(n 2) v p (x) 1 = x n+2 p(n 2) vp (x) 21

v(x) = 1 x n+2 p(n 2) vp (x). Seja λ > 0. Para cada x Σ λ, defina w λ (x) = v(x λ ) v(x). Claramente, temos w λ = 1 1 x λ n+2 p(n 2) vp (x λ ) x n+2 p(n 2) vp (x) Como 0 < p < n + 2 n 2 e x x λ, x Σ λ, temos. w λ + 1 x λ n+2 p(n 2) (vp (x λ ) v p (x)) 0 Daí, segue do teorema do valor médio que onde c λ (x) = w λ + c λ (x)w λ 0 em Σ λ, (2.1) p x n+2 p(n 2) ξp 1 e ξ está entre v(x) e v(x λ ). Inicialmente, gostaríamos de concluir que w λ 0 em Σ λ para algum λ > 0. Para isto, defina a função auxiliar onde para x 1 > 0. De (2.1) segue imediatamente que W λ = w λ g, g(x) = 1 + x 1 W λ + 2 g ( ) g g W λ + g + c λ(x) W λ 0. 22

A demonstração do Teorema 2.1 é baseada no estudo de monotonicidade e simetria de v. Nosso primeiro lema permite o início do processo do método dos planos móveis com o objetivo de obter tais propriedades: Lema 2.2 Existe λ > 0 tal que W λ 0 em Σ λ para todo λ λ. A demosntração desse lema será baseada em quatro fatos que serão expostos a seguir: 1 o Fato: Se W λ > 0 em uma bola furada Bε(e λ ) Σ λ e m λ = inf{w λ (x) : x Σ λ } é negativo, então W λ atinge seu ínfimo em Σ λ. Demonstração do 1 o Fato: Lembrando que W λ (x) 0 quando x, segue que existe R > 0 tal que W λ 1 2 m λ em R n \B R. Assim, W λ atinge seu ínfimo no compacto B R Σ λ \B ε (e λ ). Como W λ = 0 sobre T λ, temos que W λ atinge seu ínfimo em Σ λ. 2 o Fato: Existe λ 1 > 0 tal que W λ > 0 em B1(e λ ) Σ λ para todo λ λ 1. Demonstração do 2 o Fato: Pelo Colorário 2.1 aplicado a v, temos que existem c 1, r 1 > 0 tais que v(x) c 1 para 0 < x 1, v(x) c 1 2 para x r 1. Notando que x λ 1 para todo x B1(e λ ), tomando λ 1 = max{r 1, 1}, temos W λ (x) = v(x λ) v(x) g(x) 1 ( c 1 c ) 1 > 0 g(x) 2 23

para todo x B1(e λ ), pois pela escolha de λ 1, tem-se que x r 1 quando x B1(e λ ) e λ λ 1. 3 o Fato: Existe uma constante d > 0 tal que para cada λ λ 1 tem-se para todo x Σ λ tal que W λ (x) < 0. c λ (x) pdp 1 x 4 Demonstração do 3 o Fato: Para λ λ 1, se x Σ λ satisfaz W λ (x) < 0, segue do 2 o Fato que x Σ λ \B 1 (e λ ). De W λ (x) < 0, temos v(x λ ) ξ v(x). Assim, supondo que p 1, temos: c λ (x) = p 1 ξp 1 x n+2 p(n 2) p 1 x n+2 p(n 2) vp 1 (x) = p 1 x 4 up 1 ( x x 2 ) pdp 1 x 4, onde d = max{u(x) : x 1 λ 1 }, pois x λ λ 1. Se 0 < p < 1, pelo Corolário 2.1 aplicado a u, temos 24

c λ (x) = p 1 ξp 1 x n+2 p(n 2) p = p 1 x n+2 p(n 2) vp 1 (x λ ) 1 x u p 1 ( x λ x λ ) 2 n+2 p(n 2) x λ (n 2)(p 1) p 1 x 4 up 1 ( x λ x λ 2 ) pdp 1 x 4, onde d = min{u(x) : x = 1}, pois x x λ e x λ 1. 4 o Fato: Existe λ λ 1 tal que para cada λ λ, tem-se para todo x Σ λ, tal que W λ (x) < 0. Demonstração do 4 o Fato: De e do 3 o Fato segue que g g + c λ(x) < 0 g g = 1 4(1 + x 1 ) 2 1 8(1 + x 2 1) g g + c 1 λ(x) 8(1 + x 2 1) + pdp 1 x. 4 Por outro lado, existe R > 0 tal que 25

1 8(1 + x 2 1) + pdp 1 1 x 4 16 x + pdp 1 < 0 2 x 4 para x > R. Portanto, tomando λ λ 1 tal que para cada λ λ, tem-se x > R para todo x Σ λ, encontramos g g + c λ(x) < 0. Finalmente estamos prontos para demonstrar o Lema 2.2 Demonstração do Lema 2.2: Seja λ como no 4 o fato e tome λ λ. Afirmamos que W λ 0 em Σ λ. De fato, suponha por contradição, que W λ (x) < 0 para algum x Σ λ. Neste caso, pelo 2 o Fato, temos m λ = inf{w λ (x) : x Σ λ } < 0. Também pelo 2 o Fato e pelo 1 o Fato, W λ atinge seu ínfimo em algum x 0 Σ λ. Assim, temos W λ (x 0 ) < 0, e W λ (x 0 ) = 0 g(x 0 ) g(x 0 ) + c λ(x 0 ) < 0, pelo 4 o Fato. Logo, em x 0 Σ λ, o que é um absurdo. W λ + 2 g ( ) g g W λ + g + c λ(x) W λ < 0 26

Assim, W λ 0 em Σ λ para todo λ λ. Agora, defina λ 0 = inf{µ > 0 : W λ 0 em Σ λ, λ µ}. Pelo Lema 2.2, λ 0 está bem definido e é não-negativo. Se λ 0 é diferente de zero, temos: Lema 2.3 Se λ 0 > 0, então W λ0 0 em Σ λ0. Demonstração do Lema 2.3: Por continuidade, segue que W λ0 0 em Σ λ0. Assim, da equação W λ0 + 2 g(x) g(x) W λ0 + ( ) g(x) g(x) + c λ 0 (x) W λ0 0 em Σ λ0 e do Teorema A.4, tem-se que W λ0 0 ou W λ0 > 0 em Σ λ0. Suponha, por contradição, que W λ0 > 0 em Σ λ0. Como W λ0 = 0 sobre T λ0, pelo Lema de Hopf (Teorema A.3) temos (W λ0 ) x1 > 0 sobre T λ0. Vamos verificar que este último fato não pode ocorrer. Pela definição de λ 0, se λ k é uma seqüência tal que λ k < λ 0, então existe seqüência x k Σ λk tal que W λk (x k ) < 0. Tomemos λ k tal que λ k λ 0. Como w λ0 > 0 e c λ0 > 0 em Σ λ0, da equação w λ0 + c λ0 (x)w λ0 0 em Σ λ0, temos que w λ0 0 em Σ λ0. Pelo Corolário 2.1 aplicado à w λ0, existe c 0 > 0 tal que w λ0 (x) c 0 para todo x B R (e λ0 )\{e λ0 )}, onde R = λ 0. Afirmamos que 2 27

w λk (x) c 0 2 para todo x B R (e λk )\{e λk } 2 para k suficientemente grande. Supondo o contrário, existe z k B R (e λk )\{e λk } tal 2 que w λk (z k ) < c 0, a menos de uma subseqüência. 2 Por outro lado, denotando z k = (z k1, z k2,, z kn ), podemos escrever w λk (z k ) = v(2λ k z k1, z k2,, z kn ) v(z k ) = v(2λ 0 (2λ 0 2λ k + z k1 ), z k2,, z kn ) v(2λ 0 2λ k + z k1, z k2,, z kn ) +v(2λ 0 2λ k + z k1, z k2,, z kn ) v(z k ). Notando que (2λ 0 2λ k + z k1, z k2,, z kn ) B R (e λ0 ) para k suficientemente grande e que é diferente de e λ0, pois z k e k, segue da relação acima que w λk (z k ) c 0 + v(2λ 0 2λ k + z k1, z k2,, z kn ) v(z k ). Assumindo, a menos de uma subseqüência, que z k z, segue que lim inf k w λ k (z k ) c 0, contradizendo w λk (z k ) < c 0 2. Portanto, existe constante c 0 > 0 tal que W λk (x) c 0 para todo x B R (e λk )\{e λk }. 2 Como W λk (x k ) < 0, pelo 1 o Fato, segue que o ínfimo de W λk em Σ λk é atingido em um ponto y k Σ λk. Afirmamos que a seqüência (y k ) é limitada. Caso contrário, argumentando como no 3 o e 4 o Fatos, teríamos que se y k. Como g(y k ) g(y k ) + c λ k (y k ) 1 16 y k 2 + pdp 1 y k 4 < 0, W λk (y k ) < 0, 28

W λk (y k ) = 0, W λk (y k ) 0, teríamos W λk (y k ) + 2 g(y ( ) k) g(y k ) W g(yk ) λ k (y k ) + g(y k ) + c(y k, λ k ) W λk (y k ) > 0, uma contradição. Conseqüentemente, a menos de uma subseqüência, podemos assumir que y k y Σ λ0. Primeiramente, temos y e λ0. Se não, teríamos y k B R (e λk )\{e λk } 2 para k suficientemente grande. Isto implicaria que W λk (y k ) c 0 > 0, contradizendo W λk (y k ) < 0. Como y e λ0, segue por continuidade que W λ0 (y) 0 e W λ0 (y) = 0. Como, assumimos por absurdo, que W λ0 > 0 em Σ λ0, temos y T λ0 e (W λ0 ) x1 (y) = 0. Isto contradiz o fato que (W λ0 ) x1 < 0 sobre T λ0. Isto finaliza a demonstração do Lema 2.3. Utilizando o Lema 2.3, seremos capazes de demonstrar o Teorema 2.1. Demonstração do Teorema 2.1: Suponha por contradição que u > 0 em R n. Utilizando o Lema 2.3, segue que w λ0 0 em Σ λ0, se λ 0 > 0. Mostremos que λ 0 > 0 nos conduz à um absurdo. Suponha que λ 0 > 0. Então v(x λ0 ) = v(x), x Σ λ0. Então temos Logo, v(x) = x v(x λ0 ) = v(x λ0 ). 1 x n+2 p(n 2) vp (x) = o que implica que x = x λ0, o que é um absurdo. 1 x λ0 n+2 p(n 2) vp (x λ0 ), 29

Logo, λ 0 = inf{λ > 0 : W λ 0, Σλ } = 0. Então temos que W 0 0 em Σ 0 e, portanto, concluímos que v(x) v(x). Aplicando o mesmo raciocínio para {x R n : x 1 < 0}, teremos v(x) v(x). Logo, v(x) = v(x), x R n \{0}. Com isso temos que Então v(x) = 1 x u( x n 2 x 2 ) = 1 x u( x n 2 x ) = v(x), x 2 Rn, x 0. Logo, u(y) = u(y), y 0. u( x x ) = u( x ), x 0. 2 x 2 Portanto, u é simétrica em relação ao hiperplano x 1 = 0. Como o Laplaciano é invariante por rotações, dada uma direção ν em S n 1, podemos aplicar uma transformação ortogonal tal que T (e 1 ) = ν e com isso conseguimos que u é simétrica em relação a qualquer hiperplano de R n que passa pela origem e, como conseqüência disto, u é radialmente simétrica com relação à origem. Usando translação, temos que u é radialmente simétrica em relação a qualquer ponto. Então u(x) = u(0) para todo x R n, isto é, u é uma constante positiva. Como u satisfaz u = u p, chegamos a uma contradição. Logo, u 0 em R n. 30

Apêndice A Princípios do Máximo Considere o operador de segunda ordem sobre Ω onde Ω é um domínio de R n, n 1. L + b i (x) i + c(x), Teorema A.1 Suponha que b i (x) é localmente limitada e c = 0 em Ω. Seja u C 2 (Ω) C 0 (Ω) tal que Lu 0 em Ω. Então sup Ω u sup u. Ω Demonstração: Primeiramente, vamos mostrar que se Lu > 0 em Ω, então u não possui máximo no interior de Ω. Suponha, por absurdo, que existe x 0 no interior de Ω tal que x 0 é ponto de máximo de u. Então i u(x 0 ) = 0 e a matriz ij u(x 0 ) é não-positiva. Então Lu(x 0 ) = ii u(x 0 ) 0, contrariando o fato que Lu > 0. Como b i é localmente limitado, então existe um γ grande o suficiente tal que Le γx 1 = (γ 2 + γb 1 )e γx 1 > 0. Então para qualquer ε > 0, L(u + εe γx 1 ) > 0 em Ω. Logo sup Ω (u + εe γx 1 ) = sup(u + εe γx 1 ). Fazendo ε 0, temos que sup Ω (u) = sup Ω (u). Ω 31

Teorema A.2 Suponha que b i (x) é localmente limitada e c 0 em Ω. Seja u C 2 (Ω) tal que Lu 0 em Ω. Então sup Ω u sup u +. Ω Demonstração: Considere o subconjunto Ω + Ω no qual u > 0. Como Lu 0 em Ω, então L 0 u = u+b i i u cu 0 em Ω +. Pelo teorema anterior, temos que o máximo de u em Ω + está sobre Ω + e, portanto, em Ω. Com isso temos o resultado. Teorema A.3 (Lema de Hopf) Suponha que Ω seja de classe C 1 em uma vizinhança de x 0, b i (x) e c(x) são limitadas. Seja u C 2 (Ω) contínuo em x 0 tal que u(x 0 ) = 0, u > 0 em Ω e Lu 0 em Ω. Então u(x 0 ) ν < 0 onde ν é a normal unitária exterior à Ω em x 0. Demonstração: Como Ω é de classe C 1 em uma vizinhança de x 0, então existe uma bola B = B R (y) Ω com x 0 B. Para 0 < ρ < R, definiremos uma função auxiliar v por v(x) = e αr2 e αr2, onde r = x y > ρ e α é uma constante positiva que será determinada posteriormente. Então temos (L c + )v(x) = e αr2 [4α 2 (x i y i ) 2 2αe αr2 (x i y i )] + (c(x) c + (x))v e αr2 [4α 2 r 2 2α(1 + b r) + c c + ]. Por hipótese, temos que b e c são limitados. Então podemos escolher α grande o suficiente tal que (L c + )v 0 na região anular A = B R (y)\b ρ (y). Como u > 0 sobre B ρ (y), então existe uma constante ε > 0 tal que u εv 0 sobre B ρ (y). 32

Esta desigualdade também é satisfeita sobre B R (y), onde v = 0. Então temos que (L c + )(u εv) 0 em A, e u εv 0 sobre A. Então, pelo Teorema A.2, temos que u εv 0 em A.. Tomando a derivada normal em x 0, nós obtemos u v (x 0) ε v ν = εv (R) < 0. Teorema A.4 Assuma que b i (x) e c(x) são limitadas e c 0 em Ω. Seja u C 2 (Ω) tal que u 0 em Ω e Lu 0 em Ω. Então u 0 em Ω ou u > 0 em Ω. Demonstração: Por absurdo, encontramos B ρ (y) B R (y) Ω tal que u > 0 em B ρ (y) e x 0 B R (y) tal que u(x 0 ) = 0. Sejam A = B R (y)\b ρ (y) e v(x) = e α x y 2 e α x 0 y 2. para α > 0 suficientemente grande é fácil mostrar que Lv 0 em A. Assim, L(u + εv) 0 em A. Para ε > 0 suficientemente pequeno, temos u + εv > 0 sobre B ρ (y) e u + εv > 0 sobre B R (y). Temos u + εv > 0 A, contradizendo u(x 0 ) = 0. 33