Problemas esolvidos do Capítulo 3 MVIMENT BIDIMENSINAL Atenção Leia o assunto no livro-teto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. utros são deiados para v. treinar PBLEMA 1 Um projétil é disparado com velocidade de 600 m/s, num ângulo de 60 com a horizontal. Calcular (a) o alcance horizontal, (b) a altura máima, (c) avelocidadeeaaltura30s após o disparo, (d) avelocidadeeotempo decorrido quando o projétil está a 10 km de altura. SLUÇÃ As equações para este movimento são a t 0 v t v 0 cos t v 0 cos t a t g v t v 0 sen gt t v 0 sen t 1 gt Dados: v 0 v 0 600m/s 60 g 9, 8 m/s Diagrama: v 0 v 0 a = -g j θ v 0 = m = A Figura 1 (a) Alcance horizontal Seja t t A o instante em que o projétil atinge o ponto A. A distância A é chamada de alcance do projétil, que é obtida fazendo-se t A 0. Assim, da epressão para t, encontramos t v 0 sen t 1 at 0 v 0 sen 1 t 0 gt t 0 t v 0 sen g Estas duas raízes correspondem às duas situações em que o projétil se encontra em 0, uma no instante de lançamento, t t 0 0, e a outra ao atingir o solo no ponto A, t t A v 0 sen g. Portanto, substituindo os valores, encontra-se t A 600 sen60 9, 8 600 Para calcular o alcance basta substituir este tempo em t, t A A, ou seja, (b) Altura máima 9, 8 3 106 s A v 0 cos t A 600 cos60º 106 31. 800 m 31, 8 km Demonstramos em classe que t A t m. Logo o tempo para atingir a altura máima vale Prof. Dr. Abraham Mosés Cohen Departamento de Física 3.1
t m 53s. Assim, t m m, ou seja m v 0 sen t m 1 gt m 600 3 53 1 9, 8 53 13775,5 m (c) Velocidade e altura 30s após o disparo componentes Para calcular a velocidade, vamos primeiro calculara as Como v v i v j então v 30s) v 0 cos60º 600 0, 5 300 m/s v 30s) v 0 sen60º gt 600 3 9, 8 30 5, 6 m/s v v v 300 5, 6 375, 4 m/s arctg v v arctg 5, 6 300 arctg 0, 75 37º Aaltura 30s vale 30s 600 sen60º 30 1 9, 8 30 11, 178 m 11, km. (d) Velocidade e tempo para 10 km correspondente: Neste caso, basta fazer 10. 000 na epressão de t e determinar o t 10. 000 600 3 t 1 9, 8t ou 4, 9t 5t 10. 000 0 t 5 s 81 s Estas duas soluções para 10. 000 m correspondem aos dois valores de, isto é, 1 600 0, 5 5 7. 500 m 7, 5 km 600 0, 5 81 4. 300 m 4, 3 km em torno de m 600 0, 5 53 15. 900 m 15, 9 km. Como vimos em sala, em pontos simétricos em relação a m, como são 1 e, as velocidades são iguais, invertendo apenas a componente, ou seja, v 1 v. Assim, para calcular a velocidade basta substituir t 5 s nas epressões v t e v t para a componentes de v, v 5s 600 cos60º 300 m/s v 5s 600 sen60º 9, 8 5 75 m/s v 5 s v 5s 300 75 407 m/s arctg 75 43º 300 PBLEMA Um avião de bombardeio voa horizontalmente com velocidade de 180 km/h na altitude de 1, km. (a) Quanto tempo antes de o avião sobrevoar o alvo ele deve lançar uma bomba? (b) Qual a velocidade da bomba Notas de Aula de Física I Movimento Bidimensional - Problemas esolvidos 3.
quando ela atinge o solo? (c) Qual a velocidade da bomba quando ela está a 00 m de altura? (d) Qual a distância horizontal percorrida pela bomba? SLUÇÃ As equação que usaremos são a t 0 v t v 0 cos t v 0 cos t a t g v t v 0 sen gt t 0 v 0 sen t 1 gt Dados: v 0 v 0 180 km/h 50 m/s, 0, 0 1, km/h 1. 00 m, 0 0, g 9, 8 m/s Diagrama: bomba v 0 a = -g j 0 Alvo a Figura (a) Tempo antes do sobrevoar o alvo diagrama mostra que o avião deve lancar a bomba a uma distância horizontal a do alvo para que este seja atingido. Em outras palavras, ao lançar a bomba sobre esta percorre sua trajetória e atinge o solo no ponto de coordenadas a e a 0 (alvo). Fazendo t a 0 encontra-se o tempo que a bomba leva para atingir o alvo ao ser lançada sobre. t 0 v 0 sen t 1 gt 0 1. 00 1 9, 8 t a t a 15, 6 s A solução t a 15, 6 não serve porque t é um intervalo de tempo e tem que ser positivo. Portanto, a solução fisicamente aceitável é t a 15, 6 s. Logo, o avião tem que lançar a bomba 15, 6 s antes de sobrevoar o alvo para que ela o atinja. (b) Velocidade da bomba ao atingir o solo Usando as componentes v e v, encontramos v v 0 cos v 50 m/s v v 0 sen gt v 9, 8 t a 153 m/s v a v i v j v a 50 153 161 m/s a arctg 153 50 7º u seja, a bomba atinge o alvo com uma velocidade cujo módulo vale v a 161 m/s, com um ângulo a 7º abaio da horizontal. Prof. Dr. Abraham Mosés Cohen Departamento de Física 3.3
(c) Velocidade da bomba em 00 m Para isto, basta calcular o tempo que a bomba leva para atingir 00 m e com ele determinar as componentes de v. Assim, t 0 v 0 sen t 1 gt 00 1. 00 4, 9t t 14, 3 s Novamente a solução física é t 14, 3 s. Com este tempo calculamos v, ou seja, v v 0 cos v 50 m/s v v 0 sen gt v 9, 8 14, 3 140 m/s v a v i v j v a 50 140 149 m/s a arctg 140 50 70º (d) Distância horizontal percorrida pela bomba Desde o lançamento até tocar no solo, a bomba levou um tempo t a 15, 6 s. Portanto, a distância horizontal que a bomba percorre é dada por t a. Logo t v 0 cos t 50 15, 6 780 m PBLEMA 3 Um projétil é disparado num ângulo de 35 com a horizontal. Ele atinge o solo a 4 km do ponto do disparo. Calcular (a) o módulo da velocidade inicial, (b) o tempo de trânsito do projétil, (c) a altura máima, (d) o módulo da velocidade no ponto de altura máima. SLUÇÃ As equações que usaremos são a t 0 v t v 0 cos t v 0 cos t a t g v t v 0 sen gt t v 0 sen t 1 gt Dados: A 4 km 4. 000 m, 35, g 9, 8 m/s Diagrama: v 0 v 0 35º v 0 v m = m 4.000 m = A a = -g j Figura 3 (a) Módulo da velocidade inicial problema forneceu o alcance: A 4. 000 m. Então, podemos usar o resultado t A v 0 sen g, obtido no Problema 1, e fazer A v 0 cos t A para encontrar a velocidade incial. Assim, Notas de Aula de Física I Movimento Bidimensional - Problemas esolvidos 3.4
A v 0 cos v 0 sen g v 0 sen g v 0 ga sen 9, 8 4. 000 0, 94 04 m/s (b) Tempo de trânsito Esteéotempoqueoprojétillevouparaatingirosolo,t A (também conhecido como tempo de vôo). Logo, da epressão para t A, encontra-se t A v 0 sen g 04 0, 5 9, 8 3, 7 s (c) Altura máima Já vimos que t m t A e portanto t m 11, 9 s. Substituindo na epressão para t encontra-se m t m v 0 sen t m 1 gt m 04 0, 57 11, 9 0, 5 9, 8 11, 9 670 m (d) Módulo de v m Como sabemos o tempo que o projétil leva para atingir a altura máima, podemos calcular as componentes de sua velocidade. Neste caso, devemos lembrar que a componente da velocidade se anula. Então, temos apenas a componente, v v 0 cos35º 04 0, 8 167 m/s v 0 Assim, o módulo da velocidade no ponto de altura máima é: v m 167 m/s PBLEMA 4 Um avião voa horizontalmente na altitude de 1 km com a velocidade de 00 km/h. Ele deia cair uma bomba sobre um navio que se move no mesmo sentido e com a velocidade de 0 km/h. (a) Calcule a distância horizontal entre o avião e o navio, no instante do lançamento, para que este seja atingido pela bomba. (b) esolver o mesmoproblemaparaocasodeoaviãoeonavioterem movimentos de sentidos contrários. SLUÇÃ As equação que usaremos são a t 0 v t v 0 cos t v 0 cos t a t g v t v 0 sen gt t 0 v 0 sen t 1 gt Dados: Avião 0 1 km 1. 000 m v a 00 km/h 56 m/s Navio v n 0 km/h 5, 6 m/s g 9, 8 m/s Diagrama: Prof. Dr. Abraham Mosés Cohen Departamento de Física 3.5
v a v a 0 v n 0 v n d A (a) n A d (b) n Figura 4 Posições do avião e do navio no instante do lançamento. (a) Cálculo de d A bomba é deiada cair de um avião que voa a 56 m/s. Portanto, a bomba é lançada horizontalmente 0º com velocidade inicial v 0 56 m/s v 0 0 v 0 56 m/s. Para atingir o navio, a bomba deve ser lançada sobre o ponto, que está a uma distância horizontal d do navio (Figura 4(a)). bserve nesta figura que A d n, onde A éoalcancedoprojétile n é a distância percorrida pelo navio desde o instante do lançamento da bomba e d é a distância procurada. Mas, o tempo que o projétil leva para percorrer a distância A (alcance) é obtido fazendo t 0 para t t A, ou seja, e, portanto, t A 14, 3 s. Logo, t 0 v 0 sen t 1 gt 0 1. 000 4, 9t t 14, 3 s A t A A v 0 cos0º t A 56 14, 3 800 m Por outro lado, neste intervalo de tempo t A o navio percorreu uma distância n (MU) dada por n v n t A 5, 6 14, 3 80 m Desta maneira, usando a identidade A d n encontramos d A n 800 80 70 m. (b) Neste caso o navio está em movimento em sentido contrário ao do avião (Figura 4(b)). Nesta figura obsevamos que d A n. Como os valores são os mesmos, encontramos d 800 80 800 m. PBLEMA 5 Calcular a velocidade angular de um disco que gira com movimento uniforme de 13, rad em cada 6 s.calcular,também,operíodoeafreqüência do movimento. SLUÇÃ Como o disco gira de um ângulo Δ 13, rad em Δt 6 s, sua velocidade angular é dada por Δ Δt 13, 6, rad/s Notas de Aula de Física I Movimento Bidimensional - Problemas esolvidos 3.6
Neste caso, o período do movimento, dado pela epressão, T, vale T 3, 14,, 9 s A frequência é definida como o inverso do período, 1 T. Portanto,, 1 9 0, 34 Hz ou 0, 34 s 1. PBLEMA 6 Quanto tempo leva o disco do problema anterior para (a) girar de um ângulo de 780, e para (b) completar 1 revoluções? SLUÇÃ (a) Como a velocidade angular do disco é constante e igual a, rad/s, então para girar de um ângulo Δ 780º 13, 6 rad, o tempo gasto é dado por Δt Δ 13, 6, 6, s (b) Ao completar 1 revoluções, o disco terá girado de um ângulo Δ 1 75, 4 rad (lembre-se que cada volta equivale a rad). Portanto, Δt Δ 75, 4, 34, 3 s PBLEMA 7 Calcular (a) a velocidade angular, (b) a velocidade linear, e (c) a aceleração centrípeta da Lua, considerando-se que a Lua leva 8 dias para fazer uma revolução completa, e que a distância da Terra à Lua é 38, 4 10 4 km. SLUÇÃ (a) Para calcular a velocidade angular da Lua, basta usar a definição Δ onde Δ rad 6, 8 Δt rad é o ângulo que a Lua percorre no intervalo Δt 8 dias 8 4 60 60, 4 10 6 s. Assim, 6. 8. 4 10 6, 6 10 6 rad/s (b) Sabendo o raio da órbita, 38, 4 10 4 km 38, 4 10 7 m, a velocidade linear, dada por v, vale v, 6 10 6 38, 4 10 7 998, 4 m/s (c) A aceleração centrípeta, definida como a c v, vale então a c 998, 4 38, 4 10 7, 6 10 3 m/s. PBLEMA 8 Um volante com diâmetro de 3 mgiraa10 rpm. Calcular: (a) a sua freqüência, (b) o seu período, (c) a sua velocidade angular, e (d) a velocidade linear de um ponto na sua periferia. SLUÇÃ (a) Comoovolantegiraaumataade10 rpm (rotações por minuto), ou seja, realiza 10 rotações em cada1min 60 s. Por isto, o número de rotações por segundo, que éasuafrequência, vale 10 60 Hz. (b) períodoéoinversodestafrequência, e então vale Prof. Dr. Abraham Mosés Cohen Departamento de Física 3.7
queéotempoqueovolantegastapararealizarumavolta. (c) A velocidade angular é T 1 1 0, 5 s 3, 14 1, 6 rad/s. T 0, 5 (d) A velocidade linear, em qualquer ponto da periferia, é dada por v. Mas,odiâmetrodovolantevaleD 3 m, de onde tiramos o raio 1, 5 m. Assim, v 1, 6 1, 5 18, 9 m/s PBLEMA 9 A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 0 rad/s para 30rad/s em 5 s. Calcular a aceleração angular e o ângulo total através do qual o volante gira nesse intervalo de tempo. SLUÇÃ Sabe-se que a aceleração angular é definida por Δ Δt. Assim, 30 0 5 rad/s. A lei horária do movimento circular uniformemente acelerado t 0 0 e 0 0 é t 0 0 t 1 t 5 s) 0 5 1 5 15 rad. PBLEMA 10 Um ponto descreve uma circunferência de acordo com a lei s t t 3 t, onde s é medido em metros ao longo da circunferência e t, em segundos. Se a aceleração total do ponto é 16 m/s, quando t s, calcular o raio da circunferência. SLUÇÃ Trata-se aqui de um movimento circular qualquer. problema fornece o módulo da aceleração total do ponto, isto é, a s) 16 m/s. Como sabemos, aceleração total num movimento qualquer possui duas componentes, ou seja, a a T a N r a a T a N Por isto, precisamos calcular os módulos das acelerações tangencial a N e normal a N. De acordo com as Eqs. (3.8.16) e (3.8.17) do LT, a T dv e a N v. Agora precisamos calcular v. Como é dada a lei horária em termos do arco percorrido, s t, podemos calcular o módulo da velocidade instantânea num instante t qualquer, que é dada pela derivada desta função: v t ds. Assim, lembrando que a derivada de uma potência t n é dada por d t n nt n 1, encontra-se e, portanto, v t ds d t3 t 3t 4t. Notas de Aula de Física I Movimento Bidimensional - Problemas esolvidos 3.8
Logo, para t, encontra-se a T t dv d 3t 4t 6t 4 a N t v 3t 4t a T s) 6 4 16 m/s a N s) 3 4 400 Usando agora a epressão para o módulo da aceleração total e igualando a seu valor em t s, que foi dado, encontra-se a a T a N 16 16 400 esolvendo para, temos finalmente, 56 160. 000 51 51 56 160. 000 160. 000 65 5 m. 56 PBLEMA 11 As coordenadas de um corpo são cos t, sen t onde e são medidos em metros. (a) bter a equação cartesiana da trajetória, (b) Calcular o valor da velocidade num instante qualquer, (c) Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração num instante qualquer. Identificar o tipo de movimento descrito pelas equações acima. SLUÇÃ (a) Para obter a equação da trajetória em coordenadas cartesianas, vamos eliminar t entre as equações para e. u seja, cos t e sen t cos t sen t 1 ou seja, a equação da trajetória no sistema é 4. que é a equação de uma circunferência de raio r m com origem no ponto (Figura 5). 1 4 r v P θ = ωt. Figura 5 (b) Para calcular o módulo da velocidade num instante qualquer, basta usar a epressão em termos de suas Prof. Dr. Abraham Mosés Cohen Departamento de Física 3.9
componentes no sistema. As componentes são, v d v d d cos t sen t d sen t cos t onde usamos as identidades, d cos t sen t d sen t cos t para as derivadas de cos t e sen t, respectivamente. Logo, o módulo da velocidade em qualquer tempo, é dado por: v t v v sen t cos t 4 sen t cos t m/s mostrando que é independente do tempo. (c) As acelerações tangencial e normal são dadas por a T dv a N v 0 4 onde a T 0, reflete o fato de que v t constante. Na útlima equação, é o raio de curvatura da curva no ponto P, cujas coordenadas são,. Mas, a equação da trajetória, obtida no ítem (a), dada por 4 é a equação de uma circunferência de raio r com centro na origem (Figura 5). Sendo uma circunferência, o raio de curvatura é constante em todos os pontos, de modo que podemos fazer r na epressão de a N para obter finalmente a T 0 a N 4 4 m/s o que resulta numa aceleração total de módulo iguala a a T a N m/s Notas de Aula de Física I Movimento Bidimensional - Problemas esolvidos 3.10