RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IX

UNIVERSIDDE FEDERL FLUMINENSE CENTRO TECNOLÓGICO ESCOL DE ENGENHRI Departamento de Engenharia Civil RESISTÊNCI DOS MTERIIS IX Flávia Moll de Souza Judice Mara Soares Pereira Lima Perlingeiro 005

SUMÁRIO 1 I Introdução... II Isostática... 4 III Tração e Compressão... 17 IV Cisalhamento Puro... 6 V Torção... 8 VI Tensões em Vigas... 3 VII Fleão Composta... 40 VIII nálise de Tensões... 45 IX Deformação em Vigas... 54 X Flambagem... 6 ibliografia... 69

I INTRODUÇÃO Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ou Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análise dos elementos mais comuns em estruturas. O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação de teoria e eperiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (145-1519) e Galileu Galilei (1564-164) fizeram eperiências para determinar a resistência de fios, barras e vigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para eplicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveram teorias matemáticas muito antes de qualquer eperiência que evidenciasse a importância do seu achado. O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais, tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento de elementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento. Sistema Internacional de Unidades (SI): Quantidade Símbolo Dimensional Unidade ásica Comprimento L metro (m) Tempo T segundo (s) Massa M quilograma (kg) Força F Newton (N) força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição, um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro por segundo ao quadrado. equivalência entre unidades é 1 N = 1 kg 1 m/s. Outras unidades derivadas do SI: Quantidade Unidade ásica Área metro quadrado (m ) Tensão Newton por metro quadrado (N/m ) ou Pascal (Pa) Prefios de Unidades: Prefio Símbolo Fator Giga G 10 9 Mega M 10 6 Quilo k 10 3 Deci d 10-1 Centi c 10 - Mili m 10-3 Micro µ 10-6 Nano n 10-9

Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kn), o quilopascal (kpa), o megapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa). 3 1 1 N 10 kgf 10 kn 1tf 1 MPa = 1 N/mm 3 = 10 kn / m 1 kgf / cm

II ISOSTÁTIC 4 1 Grandezas Fundamentais 1.1 Força s forças são grandezas vetoriais caracterizadas por direção, sentido e intensidade. F 1 F F 3... F n 1. Momento O momento representa a tendência de giro (rotação) em torno de um ponto provocada por uma força. O M i = F d i i d i F i Condições de Equilíbrio. Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático caso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação. F 1 F M 1 M F 3 s equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forças no espaço são: F F F z = 0 = 0 = 0 M M M z = 0 = 0 = 0

3 Graus de Liberdade 5 Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três rotações segundo três eios ortogonais. fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, estes graus de liberdade precisam ser restringidos. Esta restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que, por meio de esforços reativos, impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforços reativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um sistema em equilíbrio estático. 3.1 Tipos de poio Classificam-se em três categorias: a) poio móvel ou do 1º gênero é capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direção pré-determinada; POIO MÓVEL SÍMOLO Pino deslizante rolete R representação esquemática indica a reação de apoio R na direção do único movimento impedido (deslocamento na vertical). b) poio fio ou do º gênero ou rótula é capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a rotação; POIO FIXO H SÍMOLO rótula V

6 c) Engaste ou apoio do 3º gênero é capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto. E N G S T E H M V SÍMOLO 3. Estaticidade e Estabilidade a) Estruturas isostáticas C M C H H C V V V C Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário para impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. N b) Estruturas hipostáticas o reações = N o equações de equilíbrio C H C V V V C Quando o número de movimentos impedidos é menor que o necessário para impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hipostática, ocorrendo uma situação indesejável de equilíbrio instável. c) Estruturas hiperestáticas C M C D H H H C H D V V V C

Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo uma situação indesejável de equilíbrio estável. Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações. 7 4 Classificação das Estruturas a) Vigas são elementos estruturais geralmente compostos por barras de eios retilíneos que estão contidas no plano em que é aplicado o carregamento. viga apoiada viga em balanço b) Pórticos (ou Quadros) são elementos compostos por barras de eios retilíneos dispostas em mais de uma direção submetidos a cargas contidas no seu plano. presentam apenas três esforços internos: normal, cortante, momento fletor. pórtico plano c) Treliças são sistemas reticulados cujas barras têm todas as etremidades rotuladas (as barras podem girar independentemente das ligações) e cujas cargas são aplicadas em seus nós. presentam apenas esforços internos aiais. d) Grelhas são estruturas planas com cargas na direção perpendicular ao plano, incluindo momentos em torno de eios do plano. presentam três esforços internos: esforço cortante, momento fletor, momento torsor.

5 Tipos de Carregamento 8 a) Cargas concentradas são uma forma aproimada de tratar cargas distribuídas segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente; F b) Cargas distribuídas são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de empuos de terra ou água). q q c) Cargas-momento são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um ponto qualquer da estrutura. M 6 Esforços Simples Consideremos o corpo da figura submetido ao conjunto de forças em equilíbrio indicadas. Seccionemos o corpo por um plano P que o intercepta segundo uma seção S, dividindo-o nas duas partes E e D. m R D E S R m S Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seção S da parte E, um sistema estático equivalente ao das forças que ficaram na parte da direita e, analogamente, na seção S da parte D, um sistema estático equivalente ao das forças situadas na parte da esquerda. Esses esquemas estáticos equivalentes são obtidos reduzindo as forças à esquerda e à direita da seção S ao centróide desta seção. Resumindo: a resultante R r que atua na parte da esquerda é obtida pelas forças da direita e vice-versa. O momento resultante m r que atua na parte da esquerda foi obtido pelas forças da direita e vice-versa.

Uma seção S de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio, submetida a um par de forças R r e (- R r ) e a um par de momentos m r e (- m r ) aplicados no seu centróide e resultantes da redução, a este centróide, das forças atuantes, respectivamente, à esquerda e à direita da seção S. 9 R S C C m R m Decompondo os vetores R r e m r em duas componentes, uma perpendicular à seção S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N r (perpendicular a S) e Q r (pertencente a S) e os momentos T r (perpendicular a S) e M r (pertencente a S), aos quais chamamos esforços simples atuantes na seção S. C Q N R C M T m OS: É indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção entrando com as forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção na prática. Usaremos as forças do lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo. a) Esforço normal N r tende a promover variação da distância que separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma à outra. O esforço normal será positivo quando de tração, ou seja, quando tender a afastar duas seções infinitamente próimas, e negativo quando de compressão. ds N N N N b) Esforço cortante Q r tende a promover o deslizamento relativo de uma seção em relação à outra (tendência de corte). Dizemos que o esforço cortante Q r é positivo quando, calculado pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo do eio e quando calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver o sentido oposto ao sentido positivo do eio.

10 ds Q Q Q Q c) Momento torsor T r tende a promover uma rotação relativa entre duas seções infinitamente próimas em torno de um eio que lhes é perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade (tendência de torcer a peça). O momento torsor é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estiver como que tracionando a seção. ds T T d) Momento fletor M r tende a provocar uma rotação da seção em torno de um eio situado em seu próprio plano. Como um momento pode ser substituído por um binário, o efeito de M r pode ser assimilado ao binário da figura, que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte, deiando a peça fletida. ds M M Para o momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que fibras estão comprimidas (para, no caso das vigas de concreto armado, por eemplo, sabermos de que lado devemos colocar as barras de aço, que são o elemento resistente à tração). figura mostra a convenção de sinais adotada. Compressão Tração

7 Determinação da Resultante de um Carregamento Distribuído 11 Uma carga distribuída pode ser tratada como uma soma infinita de cargas concentradas infinitesimais, q ds, cuja resultante é: R = q ds (1) z s s q.ds R Ω Eq. (1) indica que a resultante do carregamento distribuído é igual à área Ω limitada entre a curva que define a lei de variação do carregamento e o eio da estrutura. Para obtermos a posição desta resultante, aplicamos o Teorema de Varignon o momento de um sistema de forças em equilíbrio é igual ao momento da resultante das forças. Chamando s a distância da resultante a um ponto genérico O, temos: Momento da resultante: R s = s q ds Soma dos momentos das componentes: ( q ds) s Igualando: s = q s ds q ds O ds que é a razão entre o momento estático da área Ω em relação ao eio z e o valor Ω dessa área. Isto indica que s é a distância do centróide da área Ω ao eio z. Finalmente, a resultante de um carregamento distribuído é igual à área compreendida entre a linha que define este carregamento e o eio da barra sobre a qual está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centróide da área referida.

8 s Equações Fundamentais da Estática. Diagramas de Esforços 1 s equações fundamentais da Estática, deduzidas para uma viga com carga vertical uniformemente distribuída, são: dm s = Q s () ds dq s = q( s ) (3) ds Essas epressões permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da viga em função do carregamento q() atuante. representação gráfica dos esforços nas seções ao longo de todo o elemento é feita a partir dos diagrama de esforços (linhas de estado). Com base na Eq. (), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante. partir da Eq. (3), temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taa de carga atuante nesta seção com o sinal trocado. 8.1 Caso de Vigas iapoiadas Sujeitas à Carga Concentrada P a b H V l V F = 0 H = 0 F = 0 V + V = P M = 0 V l P a = 0 V = P a V l = P b l DMF P b l P a b l DEC P a l

Pelas Eq. () e (3), sabemos que, num trecho descarregado ( q = 0 ), o DEC será dq dm uma reta horizontal = q = 0 e o DMF será uma reta ds ds = Q = constante. 13 OS: dm a) O DMF possui um ponto anguloso em S, pois temos = Qs esq ds s esq dm ds s dir = Qs dir e, no caso, Qs esq Qs dir ; e b) Na seção S, não se define o esforço cortante; ele é definido à esquerda e à direita da seção, sofrendo nela uma descontinuidade igual a P. Conclusão: Sob uma carga concentrada, o DMF apresenta um ponto anguloso e o DEC apresenta uma descontinuidade igual ao valor dessa carga. 8. Caso de Vigas iapoiadas Sujeitas à Carga Uniformemente Distribuída q q H V l V F = 0 H = 0 F = 0 V + V = q l l M = 0 V l q l = 0 V q l q l = V = Numa seção genérica S, temos: M s = q l q l = q l l Q s = q l q

14 q l M ma = q l 8 DMF DEC O DEC será uma linha reta que fica determinada pelos seus valores etremos correspondentes a = 0 e = l, que são: Q Q q l = q l = q l em O DMF será uma parábola de º grau, passando por zero em e e por um máimo = l dm q l 1 1 q l (seção onde Q = = 0 ), de valor M ma = =. d 4 8 Conclusão: Sob carga uniformemente distribuída, o DMF é parabólico do º grau e o DEC é retilíneo. * Construção Geométrica do DMF q l a) Sendo MM1 =, marcamos M 1M = MM1 8 b) Dividimos os segmentos M e M em partes iguais (por eemplo: oito), obtendo os pontos I a VII e I a VII que, ligados alternadamente, nos dão tangentes eternas à parábola que é, então, facilmente obtida. M I II III IV V VI VII M 1 I II III IV V VI VII M q l q l 8 8

8.3 Caso de Vigas iapoiadas Sujeitas à Carga-Momento 15 a M b H V l V F = 0 H = 0 F = 0 V + V = 0 M = 0 V l M = 0 V M b l M a l = M l V DMF DEC = M l M l Conclusão: O DMF, na seção de aplicação da carga-momento, sofre uma descontinuidade igual ao momento aplicado. Roteiro para traçado dos diagramas de esforços a) Cálculo das reações de apoio a partir das equações da Estática; b) Determinação dos esforços seccionais em todos os pontos de aplicação ou transição de carga. Normas: a) Os valores dos esforços seccionais serão marcados em escala, em retas perpendiculares ao eio da peça, nos pontos onde estão atuando; b) Valores positivos de esforço normal e esforço cortante serão marcados para cima nas barras horizontais e para fora nas verticais (ou inclinadas); N Q

c) Valores positivos de momento fletor serão marcados para baio nas barras horizontais ou para dentro nas verticais (ou inclinadas); 16 M d) Sob a ação de uma carga concentrada, o diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso e o diagrama de esforço cortante uma descontinuidade de intensidade igual ao da carga atuante; DMF DEC e) Sob a ação de uma carga-momento, o diagrama de momento fletor apresenta uma descontinuidade de intensidade igual ao da carga-momento; DMF f) Num trecho descarregado, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha paralela em relação ao eio da peça; g) Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, o diagrama de esforço cortante apresenta uma linha inclinada em relação ao eio da peça. Já o diagrama de momento fletor apresenta uma curva de grau duas vezes superior ao da ordenada de carga no trecho. DMF DEC

III TRÇÃO E COMPRESSÃO 17 1 Tensões e deformações em barras carregadas aialmente Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forças aiais P que produzem tração, conforme mostra a figura. P L δ P tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação da força P, é: σ = P O alongamento total da barra é designado pela letra δ. O alongamento específico ou alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade de comprimento) é dado por: δ ε = L Propriedades Mecânicas.1 Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é encontrada por meio de um teste de tração. Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquina de testar e sujeito à tração. força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a carga aumenta. s tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal da barra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre a deformação. figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal de tração e compressão.

3 4 5 18 7 6 1 8 1 cilindro e êmbolo bomba hidráulica (medidor de vazão) 3 mesa (chassi) móvel 4 corpo de prova para tração 5 corpo de prova para compressão 6 mesa (chassi) fio 7 manômetro (medidor de pressão) 8 fluido hidráulico forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte. Nesse diagrama, as deformações aiais encontram-se representadas no eio horizontal e as tensões correspondentes no eio das ordenadas. σ (MPa) 350 D E * 300 50 C E 00 150 100 50 O F 1 3 4 5 6 7 10 4 (ε) No trecho de 0 a, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o diagrama é linear. lém desse ponto, a proporcionalidade já não eiste mais e o ponto é chamado de limite de proporcionalidade.

Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumento apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto é denominada tensão de escoamento. Na região C, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-se plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de proporcionalidade. No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valor máimo ou tensão máima (tensão de ruptura) no ponto D. lém desse ponto, maior deformação é acompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama. Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E ). É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão ligeiramente menores do que os reais. lguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,%. partir dessa deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear O, até atingir a curva tensãodeformação. presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformação plástica, é uma das características do aço. 19 σ σ 0 ε 0 ε a) diagrama σ ε típico de b) diagrama σ ε típico de material dúctil material frágil Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou quebradiços quebram com valores relativamente baios das deformações. s cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são eemplos desses materiais. É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de proporcionalidade, escoamento e tensão máima. Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do escoamento são, aproimadamente, as mesmas na tração e na compressão. Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são muito maiores que as de tração.

3 Elasticidade 0 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando carregados por tração (ou compressão). Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente. O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico. Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade são aproimadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma propriedade a elasticidade que pode continuar muito além do limite de proporcionalidade. 3.1 Lei de Hooke Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região inicial de comportamento elástico e linear. relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, pode ser epressa por: σ = E ε onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do material. Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke. P Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão aial é σ = e a δ deformação específica é ε =. L Combinando estas epressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da P L barra é δ =. E Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto E é conhecido como rigidez aial da barra. fleibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga unitária. Da equação anterior, vemos que a fleibilidade é L E. De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a E, que é o inverso da fleibilidade. L

Vários casos que envolvem barras com carregamento aial podem ser solucionados P L aplicando-se a epressão: δ =. E figura mostra uma barra carregada aialmente. O procedimento para determinação da deformação da barra consiste em obter a força aial em cada parte da barra (, C e CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada parte. 1 P C P P L 1 L L 3 P a b D P soma algébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de comprimento da barra, tal que: δ = n i= 1 Pi Li Ei i O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com diferentes seções transversais. 3. Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento aial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu comprimento cresce. δl P P L δ a relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por: deformação lateral ν = (0 ν 0,5) deformação aial Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,5.

Para fins práticos, o valor numérico de ν é o mesmo, independentemente do material estar sob tração ou compressão. Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material, pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na figura seguinte. ν.ε 1 P 1 ν.ε P 1 ε Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção da força P e encurtamento das arestas na direção transversal. ssim, a área da seção transversal do cubo passa a ser ( 1 ν ε ) e o volume passa a ser ( 1+ ε ) ( 1 ν ε ). Desenvolvendo a epressão, chega-se a: V' = V' = V' = ( 1 + ε ) ( 1 ν ε ) ( 1 + ε ) ( 1 ν ε + ν ε ) 3 ( 1 ν ε + ν ε + ε ν ε + ν ε ) Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se: V ' ( 1+ ε ν ε ) = variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial: V ' ( 1+ ε ν ε ) 1 = ε ( 1 ν ) V = V = variação do volume unitário é epressa por: V V ( 1 ν ) = ε equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra tracionada, desde que se conheçam a deformação ε e o coeficiente de Poisson ν. Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando tracionado, pode-se concluir que ν é sempre menor do que 0,5.

4 Tensão dmissível ou Tensão-Limite 3 Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança. σ Para os materiais dúcteis, tem-se. γ > 1 σ Para os materiais frágeis, tem-se u. γ > 1 No concreto armado, γ aço = 1, 15 e γ conc = 1, 4. 5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar às solicitações da estrutura. s equações a mais, necessárias para solucionar o problema, são encontradas nas condições de deformação. Um eemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura seguinte. R L 1 L C F R R + + R -F DEN barra tem as etremidades presas a suportes rígidos e está carregada com uma força F em um ponto intermediário C. s reações R e R aparecem nas etremidades da barra, porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pela Estática. única equação fornecida pelo equilíbrio é: R + R = F Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo: L = 0 L1 + L = 0 ( R F ) R L1 L + = 0 E E R L1 + R L F L = 0 R ( L1 + L ) = F L

F L L = F R = ( L1 + L ) L 4 L = F F L L = F L R 1 O diagrama real do esforço normal é: L F L + DEN - L F 1 L 6 Tensões Térmicas Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação de temperatura. Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se epandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas. propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é denominada coeficiente de dilatação térmica α. Seja a barra da figura restringida pelos apoios e. Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R. R L R O diagrama de esforço normal é:

5 R - DEN Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se: LN + L T = 0 R L - + α L T = 0 E R = α T E σ R = = α T E

IV CISLHMENTO PURO 6 Vimos que as forças aiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. componente normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma) e a componente vertical V irá provocar tensão de cisalhamento τ (tau). Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte, enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. Consideremos duas chapas e ligadas pelo rebite CD. F C D F onde a área da seção transversal do rebite é denominada por. Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal F do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento τ cuja intensidade média é τ med =. fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento, consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de cisalhamento τ na sua face superior. τ τ τ τ Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção horizontal só é possível se, na face inferior, eistir tensão de cisalhamento igual e em sentido contrario à da face superior. lém disso, essas tensões de cisalhamento irão produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio. Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura anterior é dito em cisalhamento puro. Conclusão: a) as tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e opostos; b) as tensões de cisalhamento eistem sempre em planos perpendiculares entre si. Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se aproimam ou se afastam da linha de interseção dos planos.

deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaio, que mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam, porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado. c τ d O ângulo no vértice c, que media π antes da deformação, fica reduzido a π γ. o mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para π + γ. O ângulo γ é a medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento γ é igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela distância entre essas duas arestas (altura do elemento). determinação das tensões de cisalhamento τ em função das deformações de cisalhamento γ pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração. ssim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às deformações de cisalhamento: τ = G γ onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como módulo de elasticidade transversal. O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade longitudinal do material de acordo com a seguinte epressão: E G = ( 1 +ν ) τ a γ τ b τ γ 7