Uma Introdução à Teoria dos Jogos

Uma Introdução à Teoria dos Jogos Humberto José Bortolossi 1 Gilmar Garbugio 2 Brígida Alexandre Sartini 3 1 Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense 2 Departamento de Matemática Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia 3 Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Universidade Estadual de Santa Cruz ERMAC 2005 Universidade Federal do Espírito Santo 25 a 28 de outubro de 2005 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 1

Dia 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 2

Teoria dos jogos: descrição informal Criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si. Aplicações em eleições, leilões, balança de poder, evolução genética, etc. Mas sua teoria matemática é interessante por si própria. Teoria econômica teoria combinatória dos jogos. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 3

Um pouco de história... 1713: James Waldegrave (solução em estratégia mista para o jogo Le Her). 1838: Augustin Cournot (modelo do duopólio). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 4

Um pouco de história... 1944: John von Neumann e Oscar Morgenstern (The Theory of Games and Economic Behaviour). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 5

Um pouco de história... 1950: John Nash (existência de um equilíbrio de estratégias mistas para jogos não-cooperativos, teoria de barganha). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 6

Um pouco de história... 1994: John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten (prêmio Nobel de economia) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 7

O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 8

O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. Cada jogador g i G possui um conjunto finito de estratégias puras: S i = {s i1, s i2,..., s imi }. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 9

O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. Cada jogador g i G possui um conjunto finito de estratégias puras: S i = {s i1, s i2,..., s imi }. O produto cartesiano S = n i=1 S i = S 1 S 2 S n, é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus elementos de perfis de estratégia pura. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 10

O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. Cada jogador g i G possui um conjunto finito de estratégias puras: S i = {s i1, s i2,..., s imi }. O produto cartesiano S = n i=1 S i = S 1 S 2 S n, é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus elementos de perfis de estratégia pura. Para cada jogador g i G, existe uma função utilidade u i : S R que associa o ganho (payoff) u i (s) do jogador g i a cada perfil de estratégia pura s S. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 11

Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 12

Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob}, S Al ={confessar,negar}, S Bob ={confessar,negar} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 13

Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob}, S Al ={confessar,negar}, S Bob ={confessar,negar}, S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 14

Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob}, S Al ={confessar,negar}, S Bob ={confessar,negar}, S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}. Função utilidade de Al u Al : S R u Al (confessar,confessar)= 5, u Al (negar,confessar)= 10, u Al (confessar,negar)=0, u Al (negar,negar)= 1, Função utilidade de Bob u Bob : S R u Bob (confessar,confessar)= 5, u Bob (negar,confessar)=0, u Bob (confessar,negar)= 10, u Bob (negar,negar)= 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 15

Exemplo: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 16

Exemplo: a batalha dos sexos G={homem,mulher}, S homem ={futebol,cinema}, S mulher ={futebol,cinema}, S={(futebol,futebol),(futebol,cinema),(cinema,futebol),(cinema,cinema)}. MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 17

Exemplo: o jogo sete/meio de Silvio Santos (NADA, NADA) (TUDO, NADA) (NADA, TUDO) (METADE, METADE) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 18

Solução de um jogo: dominância Dizemos que uma estratégia pura s ik S i do jogador g i G é estritamente dominada pela estratégia s ik S i se u i (s ik, s i ) > u i (s ik, s i ), para todo s i S i. A estratégia s ik S i é fracamente dominada pela estratégia s ik S i se u i (s ik, s i ) u i (s ik, s i ), para todo s i S i. Dominância estrita iterada nada mais é do que um processo onde se eliminam as estratégias que são estritamente dominadas. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 19

Dominância: exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 20

Dominância: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 31

Dominância: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 32

Dominância: a batalha dos sexos MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 33

Dominância: a batalha dos sexos MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) Este jogo não possui estratégias dominantes! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 34

Dominância: mais um exemplo g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 35

Dominância: mais um exemplo g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) Este jogo também não possui estratégias dominantes! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 36

Solução de um jogo: equilíbrio de Nash Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem. Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia s = (s1,..., s (i 1), s i, s (i+1),..., s n) S é um equilíbrio de Nash se u i (si, s i ) u i(s iji, s i ) para todo i = 1,..., n e para todo j i m i 2. = 1,..., m i, com H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 37

Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 38

Equilíbrio de Nash: a batalha dos sexos MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 39

Equilíbrio de Nash: outro exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 40

Equilíbrio de Nash NEM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE NASH EM ESTRATÉGIAS PURAS! g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 41

Exercícios Hora de praticar! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 42

Para aquecer... Verdadeiro ou falso? Se um jogo possui um único equilíbrio de Nash, então este equilíbrio sempre pode ser obtido por dominância estrita iterada. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 44

Resposta: falso! C z 1 z 2 z 3 x 1 ( 1, +1) (+1, 1) ( 1, +1) A x 2 (+1, 1) ( 1, +1) (+1, 1) x 3 ( 1, +1) (+1, 1) (+5, +5) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 45

Relembrando: soluções de um jogo DOMINÂNCIA Uma estratégia s 1 é estritamente dominada por outra estratégia s 2 se a escolha de s 2 produz ganhos maiores do que a escolha de s 1 independentemente das escolhas dos outros jogadores. EQUILÍBRIO DE NASH Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 46

Melhor resposta A melhor resposta de um jogador com relação a um dado perfil de estratégia é o conjunto de todas as estratégias do jogador que maximizam o seu payoff supondo que os demais jogadores manterão as suas respectivas estratégias. Mais precisamente, a melhor resposta do jogador i a um perfil de estratégia s S é o conjunto: MR i (s) = {s i S i para todo s k S i tem-se u i (s k, s i ) u i (s i, s i )}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 47

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) MR Al (confessar) = {confessar} MR Al (negar) = {confessar} MR Bob (confessar) = {confessar} MR Bob (negar) = {confessar} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 48

Melhor resposta: o dilema do prisioneiro confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) MR Al (confessar) = {confessar} MR Al (negar) = {confessar} MR Bob (confessar) = {confessar} MR Bob (negar) = {confessar} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 49

Melhor resposta: a batalha dos sexos futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) MR Homem (futebol) = {futebol} MR Homem (cinema) = {cinema} MR Mulher (futebol) = {futebol} MR Mulher (cinema) = {cinema} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 50

Melhor resposta: a batalha dos sexos futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) MR Homem (futebol) = {futebol} MR Homem (cinema) = {cinema} MR Mulher (futebol) = {futebol} MR Mulher (cinema) = {cinema} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 51

Melhor resposta: exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) MR 1 (s 21 ) = {s 14 } MR 1 (s 22 ) = {s 12 } MR 1 (s 23 ) = {s 12 } MR 1 (s 24 ) = {s 13 } MR 2 (s 11 ) = {s 22 } MR 2 (s 12 ) = {s 22 } MR 2 (s 13 ) = {s 23 } MR 2 (s 14 ) = {s 24 } s = (s 1,..., s n) é equilíbrio de Nash MR i (s ) contém s i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 52

Melhor resposta: exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) MR 1 (s 21 ) = {s 14 } MR 1 (s 22 ) = {s 12 } MR 1 (s 23 ) = {s 12 } MR 1 (s 24 ) = {s 13 } MR 2 (s 11 ) = {s 22 } MR 2 (s 12 ) = {s 22 } MR 2 (s 13 ) = {s 23 } MR 2 (s 14 ) = {s 24 } s = (s 1,..., s n) é equilíbrio de Nash MR i (s ) contém s i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 53

Melhor resposta: outro exemplo g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) MR 1 (s 21 ) = {s 11 } MR 1 (s 22 ) = {s 12 } MR 2 (s 11 ) = {s 22 } MR 2 (s 12 ) = {s 21 } s = (s 1,..., s n) é equilíbrio de Nash MR i (s ) contém s i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 54

Distribuições de probabilidades S = {A, B} B A B A 0 p 1, p 2 1, p 1 + p 2 = 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 55

Distribuições de probabilidades S = {A, B, C, D, E, F} F A F A E B E D D C C B 0 p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 1, p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 56

Média dos payoffs q 1 q 2 U V p 1 A (a, x) (b, y) p 2 B (c, z) (d, w) 0 p 1, p 2 1, p 1 + p 2 = 1. 0 q 1, q 2 1, q 1 + q 2 = 1. u 1 (p 1, p 2, q 1, q 2 ) = p 1 q 1 a + p 1 q 2 b + p 2 q 1 c + p 2 q 2 d, u 2 (p 1, p 2, q 1, q 2 ) = p 1 q 1 x + p 1 q 2 y + p 2 q 1 z + p 2 q 2 w. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 57

Exemplo: média dos payoffs 1/3 2/3 s 21 s 22 1/4 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 3/4 s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 ( 1 4, 3 4, 1 3, 2 3 ) = 1 1 4 3 (+1) + 1 4 2 1 3 ( 1) + 3 4 3 ( 1) + 3 4 3 (+1) = +1 6, 2 u 2 ( 1 4, 3 4, 1 3, 2 3 ) = 1 1 4 3 ( 1) + 1 4 2 1 3 (+1) + 3 4 3 (+1) + 3 4 3 ( 1) = 1 6. 2 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 58

Exemplo: média dos payoffs 1/2 1/2 s 21 s 22 1/2 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 1/2 s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) = 1 1 2 2 (+1) + 1 2 u 2 ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) = 1 1 2 2 ( 1) + 1 2 1 2 ( 1) + 1 2 2 ( 1) + 1 2 1 2 (+1) + 1 2 2 (+1) + 1 2 1 1 1 2 1 2 (+1) = 0, ( 1) = 0. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 59

Exemplo: média dos payoffs 1 0 s 21 s 22 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 0 s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)(+1) + (1)(0)( 1) + (0)(1)( 1) + (0)(0)(+1) = +1, u 2 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)( 1) + (1)(0)(+1) + (0)(1)(+1) + (0)(0)( 1) = 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 60

Média dos payoffs q U 1 q V p A (a, x) (b, y) 1 p B (c, z) (d, w) 0 p 1, 0 q 1. u 1 (p, q) = pqa + p(1 q)b + (1 p)qc + (1 p)(1 q)d = [ p (1 p) ] [ a b c d ] [ q (1 q) ] H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 61

Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B} de dois elementos? H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 62

Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B} de dois elementos? 2 = {(p 1, p 2 ) R 2 0 p 1, p 2 1 e p 1 + p 2 = 1}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 63

Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B} de dois elementos? 2 = {(p 1, p 2 ) R 2 0 p 1, p 2 1 e p 1 + p 2 = 1}. p 2 1 0 1 p 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 64

Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B, C} de três elementos? H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 65

Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B, C} de três elementos? 3 = {(p 1, p 2, p 3 ) R 3 0 p 1, p 2, p 3 1 e p 1 +p 2 +p 3 = 1}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 66

Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B, C} de três elementos? 3 = {(p 1, p 2, p 3 ) R 3 0 p 1, p 2, p 3 1 e p 1 +p 2 +p 3 = 1}. p 3 1 0 1 p 2 1 p 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 67

Distribuições de probabilidades O conjunto de todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto de n elementos, n = { (p 1,..., p n ) R n 0 p 1,..., p n 1 e } n p 1 = 1, i=1 é convexo e compacto em R n. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 68

Equilíbrio de Nash em estratégias mistas Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua escolha de distribuição de probabilidades se os demais jogadores não o fizerem. p = (p 1,..., p n ) é equilíbrio de Nash MR i (p ) contém p i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 69

Exemplo: equilíbrio de Nash q 1 q s 21 s 22 p s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 1 p s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 (p, q) = +4pq 2q 2p + 1 e u 2 (p, q) = 4pq + 2q + 2p 1. (p, q) = (1/2, 1/2) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. u 1 (p, 1/2) = 0 0 = u 1 (1/2, 1/2), u 2 (1/2, q) = 0 0 = u 2 (1/2, 1/2). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 70

Exemplo: equilíbrio de Nash Como calcular os equilíbrios de Nash em estratégias mistas? q 1 q s 21 s 22 p s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 1 p s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 (p, q) = +4pq 2q 2p + 1 e u 2 (p, q) = 4pq + 2q + 2p 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 71

Exemplo: equilíbrio de Nash Como calcular os equilíbrios de Nash em estratégias mistas? q futebol 1 q cinema p futebol (10, 5) (0, 0) 1 p cinema (0, 0) (5, 10) u 1 (p, q) = +15pq 5p 5q + 5 e u 2 (p, q) = +15pq 10p 10q + 10. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 72

Exercícios Hora de praticar! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 73

Média dos payoffs q U 1 q V p A (a, x) (b, y) 1 p B (c, z) (d, w) u 1 (p, q) = pqa + p(1 q)b + (1 p)qc + (1 p)(1 q)d = [(a + d b c) q + b d] p + (c d) q + d u 2 (p, q) = pqx + p(1 q)y + (1 p)qz + (1 p)(1 q)w = [(x + w y z) p + z w] q + (y w) p + w H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 75

Equilíbrio de Nash via otimização u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = [ ] [ a b p 1 p 2 c d ] [ q1 q 2 ] 0 p 1, p 2 1, p 1 + p 2 = 1 0 q 1, q 2 1, q 1 + q 2 = 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 76

Equilíbrio de Nash via otimização z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (1, 0; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (0, 1; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 1, 0) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 0, 1) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 77

Equilíbrio de Nash via otimização z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (1, 0; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (0, 1; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 1, 0) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 0, 1) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ). (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) é equilíbrio de Nash z 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 78

Equilíbrio de Nash via otimização g 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 79

Equilíbrio de Nash via otimização g 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}. (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) é equilíbrio de Nash z 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0. g 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 80

Equilíbrio de Nash via otimização (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) é equilíbrio de Nash g 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0. (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) minimiza [g 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 + [g 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 + [g 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 + [g 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 sujeito a 0 p 1, p 2, q 1, q 2 1, p 1 + p 2 = 1, q 1 + q 2 = 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 81

Exemplo: o dilema do prisioneiro minimizar G(p, q) = (max {0, ( 1 + p) (4 q + 1)}) 2 + (max {0, p (4 q + 1)}) 2 + (max {0, (4 p + 1) ( 1 + q)}) 2 + (max {0, q (4 p + 1)}) 2 sujeito a 0 p 1, 0 q 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 82

Exemplo: o dilema do prisioneiro p 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 25 0.8 20 15 10 0.6 0.4 q 5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p 0 1 0.5 q 0.2 0 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 83

Exemplo: a batalha dos sexos minimizar G(p, q) = (max {0, 5 ( 1 + p) (3 q 1)}) 2 + (max {0, 5 p (3 q 1)}) 2 + (max {0, 5 (3 p 2) ( 1 + q))) 2 + (max {0, 5 q (3 p 2)}) 2 sujeito a 0 p 1, 0 q 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 84

Exemplo: a batalha dos sexos p 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 3 2.5 0.8 2 0.6 1.5 q 1 1 0.5 0.8 0.6 0.4 q 0 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 1 p 0.4 0.2 0 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 85

Le Her simplificado Vamos jogar! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 86

Le Her simplificado Analysis of N-Card Le Her A. T. Benjamin e A. J. Goldman H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 87

Le Her simplificado A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462 2 0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500 3 0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533 4 0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559 5 0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578 6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590 7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593 8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588 9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573 10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549 Q 0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514 J 0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468 K 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 88

Le Her simplificado A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Q J K A 0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462 2 0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500 3 0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533 4 0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559 5 0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578 6 0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590 7 0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593 8 0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588 9 0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573 10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549 Q 0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514 J 0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468 K 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 Equilíbrio de Nash: (6/7, 1/7; 4/7, 3/7) Payoff médio: (0.551, 0.449) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 94