UMA PROPOSTA PARA A INTRODUÇÃO DA TEORIA DOS JOGOS COM ALUNOS DO SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO, ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

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1 UMA PROPOSTA PARA A INTRODUÇÃO DA TEORIA DOS JOGOS COM ALUNOS DO SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO, ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FERREIRA, Noélli ¹ 1 Curso de Mestrado Profissionalizante de Física e Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil nouuferreira@yahoo.com.br; RESUMO Sabemos que no Ensino Médio na disciplina de matemática existem muitos conteúdos a serem abordados, mas a Teoria dos Jogos poderá ser utilizada, por exemplo: para compreender o comportamento econômico, estratégias nucleares, situações de conflitos, aplicações em sociologia, negócios, psicologia, política, biologia, etc. Devido a isto, propomos uma breve introdução de alguns tópicos da Teoria dos Jogos para alunos do segundo ano do ensino médio, utilizando a resolução de problemas como metodologia de ensino, com a intenção de mostrar aos alunos uma forma de tornar o ensino de matemática interessante e compatível ao cotidiano. Palavras-chave: Teoria dos Jogos; Resolução de Problemas. 1. INTRODUÇÃO Em algum momento todos nós tivemos contato com algum jogo, como uma brincadeira na infância, jogos de futebol, jogos de azar, jogos eletrônicos, mas poucos consideram jogos como algo a ser estudado. Por exemplo, numa simples partida de xadrez, numa cobrança de pênalti na final de um campeonato ou no encontro de lideranças políticas para discutir conflitos, ocorrem características comuns a serem analisadas e discutidas. Tendo como base, o artigo publicado pela revista Unión: Jogos, estratégias e intuição de Uldarico Malaspina Jurado da PUC do Perú onde o pesquisador apresenta experiências didáticas e comentários, utilizando simples jogos como uma forma de introduzir este tema com estudantes de diferentes níveis educacionais. O objetivo deste artigo é apresentar uma proposta de ensino para a introdução da teoria dos jogos para alunos do segundo ano do ensino médio, através da resolução de problemas, sugerimos esta série, pois é nela que é abordado o conteúdo matemático de matrizes, as quais poderão servir para a representação das respostas (estratégias) de forma clara e simples um determinado jogo. Alem de revisar conceitos como linhas e colunas. Encontramos vários trabalhos acadêmicos abordando o tema: jogos, mas devemos ressaltar que a teoria dos jogos não é exatamente um jogo como é propostos em sala de aula envolvendo, por exemplo, os conteúdos de probabilidades ou analise combinatória, a Teoria dos Jogos, são tomadas de decisões no qual dois ou mais jogadores tentam maximizar seus ganhos, cada um consciente do que outros jogadores iram jogar. 1

2 2. O QUE É A TEORIA DOS JOGOS? Para muitos, a Teoria dos Jogos ficou conhecido devido ao pesquisador John Nash, ganhador do prêmio Nobel e em 2001, sujeito do filme A Beautiful Mind em português Uma Mente Brilhante baseado no livro de Sylvia Nasar, onde é retratada a sua vida e obra de Nash. Mas antes disso, a Teoria dos Jogos teve como marco o livro de John Von Neumamm e Oskar Morgensterm, The Theory of games and economic behaviour publicado em 1944, uma obra que aborda jogos de soma zero que são aqueles para os quais o somatório dos pagamentos efetuados a todos os jogadores é nulo, ou seja, não importa a estratégia adotada por cada um dos jogadores. Logo, o que o jogador ganha corresponde com o que é perdido pelos demais. Segundo Fiane (2004, p.17) este livro tinha uma limitação séria, que era o fato de se concentrar em jogos de soma zero, onde ganho para um jogador significava uma perda equivalente para o outro. Em 1951, John F. Nash em seu artigo Non-Cooperative Games demonstrou uma noção de equilíbrio para jogos que não se restringia a soma zero, conhecida como Equilíbrio de Nash. A contribuição de John Nash foi fundamental para o desenvolvimento da teoria dos jogos. A partir de sua noção de equilíbrio foi possível estudar uma classe de jogos muito mais ampla do que os jogos de soma zero. Foi possível também demonstrar que, em alguns casos, quando cada jogador escolhe racionalmente aquela estratégia que seria a melhor resposta em relação à estratégia dos demais, pode ocorrer que o resultado final para todos os jogadores seja insatisfatório e que, portanto, nem sempre a busca por indivíduo pelo melhor para si resulta no melhor para todos. (FIANI, 2004, p.18) O autor em seu livro ainda destaca os trabalhos de John C. Harsanyi e Reinhard Selten e enfatiza que desde a década de 1950, novos campos de pesquisa vão sendo desenvolvidos desde problemas de negociação até evolução de populações, tornando-se instrumento essencial no estudo de qualquer processo de interação. O Jogo é definido como situações que envolvam interações entre agentes racionais que se comportam estrategicamente, ou seja, é uma situação de competição com regras, onde dois ou mais jogadores a partir de suas escolhas fornecem o resultado (quanto cada um ganha ou perde), agindo racionalmente cada jogador faz as suas escolhas de modo a otimizar o resultado. A Teoria dos jogos é um ramo da matemática que estuda situações estratégicas onde jogadores escolhem diferentes ações na tentativa de melhorar seu retorno. Ou seja, ela fornece um resultado admitindo que o jogador maximize seu ganho mínimo ou minimize a sua perda máxima esperada. Além de analisar situações competitivas e conflitantes. Inicialmente desenvolvida como ferramenta para compreender comportamento econômico e depois usada para definir estratégias nucleares. Sendo hoje usada em diversos campos acadêmicos. Um exemplo muito conhecido deste tipo de problema é o dilema do prisioneiro, formulado por Albert Tucker em 1950, ilustrando a dificuldade de se analisar certo tipos de jogos. Para Fiani (2004) os elementos necessários para a compreensão do objeto de estudo da teoria dos jogos são: O jogo como modelo formal: envolve técnicas de descrição e análise de regras preestabelecidas. Interações: as ações de cada agente, consideradas individualmente, afetam os demais. Agentes (jogador): qualquer indivíduos ou grupo com capacidade de decisão para afetar os demais. 2

3 Racionalidade: supor que indivíduos empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam. (escolha da melhor resposta visando maximizar o resultado) Comportamento estratégico: cada jogador ao tomar a sua decisão, leva a consideração o fato que os jogadores interagem entre si, logo sua decisão terá conseqüências sobre os demais jogadores, assim como a decisão dos outros tem conseqüências sobre ele. Logo os jogadores tomam decisões estratégicas que não contemplam apenas os seus objetivos e possibilidades de escolha, mas também as dos demais jogadores. Ajudando a desenvolver a capacidade de racionar estrategicamente, explorando as possibilidades de interação racional dos agentes, que nem sempre corresponde a intuição. 3. METODOLOGIA Para introduzir a teoria dos jogos no ensino médio apresentaremos uma proposta de atividades utilizando à resolução de problemas para auxiliar a aprendizagem deste novo conteúdo. Sugerimos o segundo ano do ensino médio, pois os alunos já terão conhecimento sobre o conteúdo de matrizes, facilitando a compreensão das representações de algumas atividades. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006): O jogo oferece o estímulo e o ambiente propício que oferecem o desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos e permite ao professor ampliar seu conhecimento de técnicas ativas de ensino, desenvolvem capacidades pessoais e profissionais para estimular nos alunos a capacidade de comunicação e expressão, mostrando-lhes uma nova maneira, lúdica, prazerosa e participativa de relacionar-se com o conteúdo escolar, levando a uma maior apropriação dos conhecimentos envolvidos. (BRASIL, 2006, p.28) Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, exigindo soluções imediatas, possibilitando a compreensão e identificação de regras, facilitando o trabalho com símbolos e o raciocínio lógico. A definição de problema abordado pela resolução de problemas é aquilo que não sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer. O Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através das resoluções de problema é diferente daquele em que as regras de como fazer são privilegiadas. Ele reflete uma tendência de reação a caracterização passadas como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos, algoritmos ou um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental. (ONUCHIC, 1999, p.203) As atividades propostas para a introdução da Teoria dos Jogos, onde os alunos com o auxilio do professor de modo colaborativo serão o ponto de partida e orientação para a construção e aprendizagem do conteúdo matemático através das suas resoluções. Segundo Onuchic (2008) a organização das atividades para a resolução de problemas apresenta-se da seguinte forma: Preparação do problema: selecionar um problema visando à construção de um novo conceito principal (problema gerador) que não tenha ainda sido trabalhando em sala de aula. Leitura individual Leitura em conjunto (grupos) Resolução de problema: os alunos (em grupos) buscam resolve-los. Observar e incentivar: o professor estimula o trabalho colaborativo Registro das resoluções no quadro: (certa, errada ou feita por diferentes processos) apresentadas para discutirem. 3

4 Plenária: defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas duvidas, o professor se coloca como mediador. Busca do consenso: o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. Formalização do conteúdo: o professor realiza uma apresentação formal, estruturada e organizada em linguagem matemática padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução de problemas, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades sobre o assunto. Os problemas são propostos antes de ser apresentado formalmente o conteúdo matemático, (expressando aspectos-chave desse tópico) e sua avaliação do crescimento é feita continuamente. Após a etapa de formalização novos problemas deverão ser propostos com o objetivo de analisar a aprendizagem do conteúdo matemático introduzido. 4 PROBLEMAS PROPOSTOS: Os problemas propostos deveram seguir os passos da resolução de problemas anteriormente citados. Sugerimos que a sala de aula seja dividida em dois grupos, cada grupo terá seus representantes que chamaremos de J1 e J2 e o restante do grupo iram ajudar nas decisões. Nem os jogadores e nem os grupos poderão se comunicar e a decisão têm que ser racional. Problema um: Imagine que um Gênio da Lâmpada entrega duas cartas C1 e C2, a cada jogador, cada uma com um pedido que será comprido por ele. O jogo consiste em que cada grupo obtenha o maior ganho possível. C1: Dê R$ 300,00 ao outro jogador. C2: Ganhe R$100,00. Após a leitura do problema, organize as informações apresentadas nos quadros abaixo, visando às possibilidades do jogador 1 e do jogador 2 respectivamente. QUADRO 1: Jogador 1 Escolha J1 Escolha J2 Pagamento J1 T1 T1 R$300,00 T1 T2 0 T2 T1 R$400,00 T2 T2 R$100,00 QUADRO 2: Jogador 2 Escolha J1 Escolha J2 Pagamento J2 T1 T1 R$300,00 T1 T2 R$400,00 T2 T1 0 T2 T2 R$100,00 Represente o jogo, na forma de uma matriz e observe as estratégias de cada jogador: QUADRO 3: estratégias de cada jogador 4

5 J1/J2 T1 T2 T1 (300,300) (0,400) T2 (400,0) (100,100) Se os jogadores tomam a decisão racionalmente, que carta cada jogador escolheria? Justifique: Se J1 entregar C1 obterá um menor pagamento que se entregar C2, qualquer que seja a entrega de J2. Porque R$ 300,00 é menor que R$400,00 e zero é menor que R$100,00. O mesmo ocorre com J2, descartando ambos de entregar C1. Por mais que para ambos convém entregar C1, pois poderia ganhar R$300,00 a racionalidade leva a optar ambos por entregar C2. Os alunos neste problema poderão trabalhar com critérios que correspondem a uma abordagem intuitiva de estratégia estritamente dominante e a racionalidade. Racionalidade: é a escolha da melhor resposta para maximizar o resultado. Problema dois: Dilema dos Prisioneiros Dois suspeitos foram presos e acusados de um crime. Não há evidencias suficientes para condená-los, a decisão de condená-los a certo tempo de prisão ou libertá-los, serão tomadas com base na declaração dos suspeitos. Os suspeitos são encerrados sem possibilidade de se comunicarem entre si e sem chance de comunicarem-se uns com os outros e são informados que tem a possibilidade de se confessar ou não. Se nenhum confessar, ambos serão condenados por um delito menor e sentenciados o a um ano cada; se ambos confessam, serão condenado a seis anos de prisão cada um pelo delito cometido. E se alguém confessar e outro não, o que confessar será dado a liberdade e o que não confessar será condenado a 9 anos de prisão. Após a leitura do problema, organize as informações apresentadas no quadro abaixo, visando às possibilidades do prisioneiro 1 e do prisioneiro 2, respectivamente. DICA: para resumir a situação, use números negativos para os anos de prisão. QUADRO 4: Penas dos prisioneiros ESCOLHA P1 ESCOLHA P2 PENA P1 PENA P2 Confessar Confessar -6-6 Confessar Não confessar 0-9 Não confessar Confessar -9 0 Não confessar Não confessar -1-1 Se ambos suspeitos tomam a decisão racionalmente, qual a opção escolheria? Confessar? Ou não confessar? Análogo ao jogo anterior, embora para ambos os prisioneiros seja conveniente optar por não confessar. A racionalidade os levaria a confessar. A racionalidade baseia-se no ganho de cada prisioneiro por não confessar será sempre menor do que o ganho por confessar. Porque -1 é menor que zero, e -9 é menor que -6. Na linguagem da teoria dos jogos, a estratégia de não confessar está estritamente dominado (melhor escolha em qualquer caso) pela estratégia de confessar. Problema três: Dois times de futebol do Rio Grande do Sul, Internacional e Grêmio, estão investindo em seus estádios de futebol, o Internacional ira reformar seu atual estádio Beira Rio para a Copa de 2014, já o Grêmio ira construir a Arena, para obterem novos sócios os dois clubes lançam duas campanhas publicitárias. O internacional utilizara as estratégias I1, I2 e I3 e o Grêmio utilizara as estratégias G1, G2 e G3 (o lucro será milhões). Observe a matriz abaixo com as respectivas estratégias QUADRO 5: estratégias de cada time 5

6 INTER/GRÊMIO G1 G2 G3 I1 (3,3) (4,3) (3,4) I2 (3,4) (2,2) (0,3) I3 (4,3) (3,1) (4,2) Após a leitura do problema, observe as informações apresentadas na tabela acima, visando às estratégias de cada clube de futebol, respectivamente. Compare as estratégias do Internacional, elemento a elemento, independente da escolha do Grêmio, existe alguma estratégia dominada entre as estratégias do Internacional?Se sim, qual? Percebemos que há estratégia dominada para o clube do Internacional a estratégia I2. Agora, faça a mesma comparação das estratégias do Grêmio, se tiver, qual será? Percebemos para o clube do Grêmio observamos e a estratégia G2. Se houver, elimine as estratégias dominadas e construa a matriz analogamente, retirando as estratégias dominadas. QUADRO 6: Inter/Grêmio G1 G2 I1 (3,3) (3,4) I3 (4,3) (4,2) Observe novamente a matriz acima que você construiu e elimine as estratégias dominantes. Podemos eliminar a estratégia I1 para o Internacional, mas para o Grêmio não possui estratégia dominante neste caso. E novamente, construa a matriz eliminando a estratégia dominada. QUADRO 7: Inter / Grêmio G1 G3 I3 (4,3) (4,2) E agora o que você observou?e qual será a melhor resposta eliminando todas as estratégias dominadas, qual deve ser a estratégias utilizadas pelos dois clubes? Para qualquer escolha para o Grêmio, o Internacional ganhara o valor de 4 milhões, mas para Grêmio poderia ganhar 3 se escolher G1 ou 2 para G3. Logo, para o Internacional, será a estratégia I3 e para Grêmio, será a estratégia G1. Estratégia estritamente dominante: é a melhor resposta em qualquer estratégia que os outros jogadores possam escolher. Problema quatro: Otávio e Arthur vão ao parque de diversões e querem ganhar os melhores prêmios da pescaria. A premiação varia de acordo com a soma de pontos que possui cada peixe. Cada jogador poderá escolher apenas um peixe, e nenhum sabe o peixe que o outro irá escolher, pensando racionalmente qual a escolha do melhor peixe para cada jogador? Jogador 1(Otávio): dispõem de 3 peixes da cor: LARANJA, AZUL, VERMELHO Jogador 2(Arthur): dispõem de 3 peixes da cor: ROXO, PRATA, BRANCO. Se o jogador 1 escolhe o peixe LARANJA, ganhará 1, 3 ou 3 pontos, se jogador 2 escolher o peixe ROXO, PRATA ou BRANCO, respectivamente. Em cada um desses casos, o ganho do jogador 2 será de 9, 4 ou 8 pontos respectivamente. 6

7 Se o jogador 1 escolhe o peixe AZUL vai ganhar 2,0 ou 4 pontos, de acordo com jogador 2 escolher o peixe ROXO, PRATA ou BRANCO, respectivamente. Em cada um destes casos, o ganho do jogador 2 seria 4, 4 ou 6 pontos respectivamente. Se o jogador 1 escolhe o peixe VERMELHA vai ganhar 3, 2 ou 3 pontos, de acordo jogador 2 escolher o peixe ROXO, PRATA ou BRANCO, respectivamente. O ganho em cada um desses casos do jogador 2 seria 5, 6 ou 4 pontos respectivamente. Lembrando que os jogadores conhecem as regras, mas ninguém sabe o que o outro irá jogar. Após a leitura do problema, organize as informações apresentadas, visando às estratégias de cada jogador, respectivamente. QUADRO 8 J1/J2 Roxo Prata Branco Laranja (1,9) (3,4) (3,8) Azul (2,4) (0,4) (4,6) Vermelho (3,5) (2,6) (3,4) Você observou alguma estratégia dominante? Se existir, qual? Neste jogo não existe estratégias dominadas para nenhum dos jogadores. A ausência de estratégias estritamente dominantes não implica na ausência de uma solução. O pagamento zero para a combinação da estratégia azul para J1 e prata para J2, faz com que os estudantes não considerem a estratégia AZUL uma boa opção para J1. Quais as melhores respostas para cada jogador? QUADRO 9 QUADRO 10 Se J2 escolher Então J1 Roxo Vermelho Prata Laranja Branco Azul Se J1 escolher Laranja Azul Vermelho Então J2 Roxo Branco Prata Qual é a melhor estratégia para os jogadores? Por quê? Chegamos à solução correspondente a um Equilíbrio de Nash, em que a melhor escolha é AZUL para J1 e BRANCO para J2. Como aparecem nas duas listas, esta é uma solução racional do jogo. (correspondência de melhor resposta). Problema cinco Dois laboratórios farmacêuticos L1 e L2, têm que decidir se investem em pesquisas de novos medicamentos ou não investem em pesquisas. A pior situação para os dois laboratórios são quando ambos investem em pesquisas, pois os gastos são elevados e não há lucros com as vendas e cada laboratório tem um prejuízo de 30 milhões. Se um laboratório investe em pesquisa, e o outro não, o que investiu tem um lucro de 15 milhões e o que não investiu tem um prejuízo de 15 milhões. Se nenhum laboratório investiu tudo fica inalterado. Após observar os dados do problema, faça a matriz correspondente aos resultados na tabela abaixo. QUADRO 11 L1/L2 Investir Não investir Investir (-30,-30) (15,-15) 7

8 Não Investir (-15,15) (0,0) E se as duas empresas investirem o que ocorrerá? Dados os ganhos envolvidos, corre-se o risco de que as duas empresas decidam investir em pesquisas, maximizando seus prejuízos. Qual a melhor estratégia para cada laboratório? Por que você chegou a esta conclusão? Podemos observar que neste caso há dois equilíbrios, (investir, não investir) e (não investir, investir). Porque a melhor resposta ao laboratório que investi é não investindo e ao laboratório que não investe é investir, pois ganhará 15 milhões. Equilíbrio de Nash (ou Equilíbrio Cooperativo) representa uma situação em que nenhum jogador pode melhorar a sua situação dado a estratégia seguida pelo jogador adversário. Um par de estratégias E A e E B, em que E A é a estratégia seguida pelo jogador A e E B é a estratégia seguida pelo jogador B diz-se um Equilíbrio de Nash se não for possível a nenhum dos jogadores melhorarem a sua situação dada a estratégia do outro jogador. Para encontrar o Equilíbrio de Nash basta identificar a(s) melhores respostas, diante de cada estratégia escolhida pelo(s) outro jogador, ou seja, as melhores respostas para todos os envolvidos. Este conjunto de estratégias será identificado como um Equilíbrio de Nash. Após as atividades serem realizadas, é necessário fazer uma breve introdução do conteúdo contando um pouco da parte histórica, como foi apresentado no começo do artigo, por exemplo, e revisando as principais definições presentes nas atividades. 5 CONCLUSÃO: A Teoria dos jogos oferece oportunidades muito interessantes para o exercício do pensamento matemático, especialmente em situações de conflitos e em muitas aplicações em economia, sociologia, negócios, psicologia, política, direito entre outras. As idéias apresentadas no artigo poderão servir de base para a introdução deste conteúdo estudantes do ensino médio, obtendo novas fontes de informação sobre o uso da intuição na solução de problemas e a viabilidade de introduzir o tema no currículo da educação básica. 6 BIBLIOGRAFIA: Alevato N. S. G; Onuchic L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da resolução de problemas. BRASIL, Ministério da Educação, Secretária de Educação Básica, p. (Orientações Curriculares Nacionais para o ensino médio: volume 2). FIANI, Ronaldo Teoria dos jogos: Para cursos de administração e economia. Editora Campus Jurado U. M; Jogos, estratégias e Intuição. Revista Unión. 8