2. SEGMENTOS ORIENTADOS

FFCLRP-USP - ALGEBRA LINEAR - Vetores Geométricos 1 NOTAS DE AULAS Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos 1 1. LEMBRETE DA GEOMETRIA DE EUCLIDES RETA Dados dois pontos distintos no espaço P e Q, existe única reta que passa por P e Q. Denotaremos esta reta por PQ ou será utilizado uma letra minúscula para representar a reta, por exemplo s, t, ect.... Diremos reta PQ ou reta s por exemplo. SEGMENTO DE RETA Dada uma reta r e dois pontos distintos sobre ela, o segmento de reta AB é o conjunto dos pontos da reta r que estão entre os pontos A e B. Dada uma reta r e um ponto P fora da reta r, existe uma única reta t que passa por P que é paralela à reta r. Ainda existe uma única reta s que passa por P que é perpendicular à reta r. 2. SEGMENTOS ORIENTADOS Definição 1. Dado um segmento AB, um segmento orientado é um par ordenado AB de pontos do espaço onde deve ser considerado a orientação de A para B. Se nos for dado um segmento AB, tal que o ponto A coincide com o ponto B, diremos que o segmento AA ou BB é o segmento nulo. A reta AB que contém o segmento AB é denominada reta suporte do segmento orientado AB. Os pontos A e B são denominados origem e extremidade do segmento respectivamente. Geometricamente um segmento orientado será indicado por uma flexa, veja o seguinte exemplo. Exemplo 1. Dados quatro pontos A, B, C e D do espaço como abaixo, podemos considerar os segmentos AB e CD como segue C D A B. Segmento Oposto Definição 2. Dado um segmento orientado AB, chama-se segmento orientado oposto de AB o segmento orientado BA. 1 http://dfm.ffclrp.usp.br/ jair 1

Não é difícil ver que a cada segmento orientado AB está associado três conceitos geométricas importantes que são COMPRIMENTO, DIREÇÃO e SENTIDO. À partir deste instante, estas propriedades dos segmentos orientados passam a ser o nosso objeto de estudo e veremos que, com argumentos detalhados elas poderão nos oferecer uma vizualização particularmente especial do espaço que nos cerca. Estes conceitos geométricos, são aqui denominados importantes por serem conhecidos como Grandezas Vetorias e alguns dos exemplos mais populares são FORÇA, VELOCIDADE e ACELERAÇÃO. Note que, dois pontos quaisquer A e B do espaço, determinam os segmentos orientados AB e BA, que poderão ser iguais se o ponto A coincidir com o ponto B. Igualdade de Dois Segmentos Orientados Definição 3. Dois segmentos orientados AB e CD, SERÃO IGUAIS se e somente se, A B e C D. 3. COMPRIMENTO DIREÇÃO e SENTIDO Comprimento Definição 4. Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado AB podemos associar um número real positivo ou zero, que será o COMPRIMENTO de AB. Dado um segmento orientado AB, a distância do ponto A até o ponto B será o comprimento do segmento orientado AB. Como a distância de um ponto qualquer até ele mesmo é zero, ao segmento orientado AA (segmento nulo) está associado o número real zero, ou seja o comprimento do segmento orientado nulo AA é exatamente zero. Direção Definição 5. Dados dois segmentos orientados AB e CD, diremos que eles têm a mesma DIREÇÃO se as retas AB e CD forem paralelas. Se dois segmentos orientados AB e CD tiverem mesma direção, diremos que eles são paralelos. Note que um papalelogramo ABCD determina pelo menos um par de segmentos orientados paralelos que são AB e CD, B C A D 2

Exemplo 2. Considere os dois segmentos orientados AB e CD, de modo que as retas AB e CD sejam paralelas. B D A C Pela definção 5 os segmentos orientados AB e CD, têm a mesma direção. Sentido Definição 6. Dados dois segmentos orientados AB e CD, com mesma direção a : Se as retas AB e CD forem distintas, diremos que eles têm o mesmo SENTIDO se as segmentos de retas AC e BD tiverem interseção vazia. b : Se as retas AB e CD forem coincidentes, tome um ponto A / AB e a única reta s que passa por A e que é paralela à reta AB, em seguida tome o único ponto B s de modo que os segmentos orientados A B e AB satisfaçam a parte (a) desta definição. Diremos que os segmentos orientados AB e CD têm o mesmo SENTIDO se A B e CD tiverem o mesmo sentido. Exemplo 3. Considere os segmentos orientados AB, e CD de modo que as retas AB e CD sejam paralelas e distintas, como segue B A C D Note que os segmentos de retas AC e BD têm interseção vazia, ou seja pela definição 6 a, os segmentos orientados AB, e CD têm o mesmo sentido. Exemplo 4. Considere os segmentos orientados AB, e CD de modo que as retas AB e CD sejam paralelas e distintas, como segue B A D C 3

Note que os segmentos de retas AC e BD têm interseção não vazia, ou seja pela definição 6a os segmentos orientados AB, e CD têm sentidos contrários. 4. EQUIPOLÊNCIA DE SEGMENTOS ORIENTADOS Definição 7. Dois segmentos orientados AB, e CD são EQUIPOLENTES se a : os dois forem nulos. b : os dois são não nulos e eles têm o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Notação AB CD indica que os dois segmentos orientados EF, e GH são equipolentes, Exemplo 5. Considere dois papalelogramos ABCD e EFGH suponha que eles estão representados nas figuras abaixo: B A C D F E H G Note que o fato de ABCD e EFGH serem um paralelogramos as definições 4 e 5 nos garante que os pares de segmentos orientados AB, e CD; EF, e GH têm mesmo comprimento, mesma direção, usando a definição 6 vemos que AB, e CD têm mesmo sentido e portanto são EQUIPOLENTES. Mas os segmentos orientados EF, e GH que têm mesmo comprimento e mesma direção, usando a definição 6 vemos que eles não têm o mesmo sentido, e por isto eles não são equipolentes. Proposição 1. A relação de equipolência goza das seguintes propriedades: a : AB AB Reflexiva b : Se AB CD então CD AB Comutativa c : Se AB CD e CD EF então AB EF Transitiva A demonstração será omitida. Exemplo 6. Considere os segmentos orientados abaixo. Suponha que as retas AB, CD, EF e FG sejam duas a duas paralelas e que os segmentos AB, CD, EF e FG tenham o mesmo comprimento ver figura abaixo : B D E G A C F H 4

Usando as definições 4, 5, 6 e a transitividade da relação de equipolência (ver Prop. 1), podemos verificar facilmente que os segmentos orientados AB, CD, EF, GH têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido, portanto eles são equipolentes (Note que verificamos a equipolência comparando grupos de dois apenas segmentos orientados). Dado um segmento orientado AB podemos pensar nos segmentos orientados que são equipolentes ao segmento orientado AB e estes serão muitos. Por exemplo sabe-se ao arremessar-mos um objeto de massa não nula para o alto, este objeto passará por uma quantidade enorme de pontos do espaço e a estes pontos denominamos trajetória do objeto. Em cada ponto desta trajetória o objeto estará sujeito à Força da Gravidade, ou seja ele estará sujeito à força de atração gravitacional, que aqui em nossa linguagem corresponde a um conjunto de segmentos orientados representado pela letra P (Força Peso). Podemos agora pensar em todos os segmentos orientados que são equipolentes à um segmento orientado fixado. Chama-se Classe de Equipolência de um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados que são equipolentes ao segmento orientado AB. Note que o próprio AB é um segmento orientado deste conjunto. Na verdade se dois segmentos orientados AB e CD forem equipolentes então a Classe de Equipolência de AB coincidirá com Classe de Equipolência de CD. 5. VETOR Definição 8. Um Vetor Geométrico é uma classe de equipolência. Cada segmento orientado da Classe de Equipolência ou do vetor será chamado de representante do vetor. A força da gravidade é um vetor, pois ela é um conjunto de segmentos orientados equipolentes ou seja ela é uma Classe de Equipolência. Representaremos os vetores por letra minúscula com uma seta sobre ela a b, u, v, w etc... ou ainda se o segmento orientado AB for um representante do vetor u, por exemplo podemos indicar o vetor u por AB. Definição 9. À classe de equipolência do segmento orientado nulo AA chamamos Vetor Nulo. Assim sendo podemos ver que (i) O vetor nulo tem comprimento zero. (ii) O vetor nulo tem a mesma direção que qualquer outro vetor. (iii) O vetor nulo tem a mesmo sentido que qualquer outro vetor. O vetor nulo será representado por 0. Definição 10. Chamamos Espaço IE 3 ao conjunto de todos os vetores geométricos. 5

Os vetores x, y não nulos serão paralelos (indica-se x// y) se e somente se um representante AB de x for paralelo a um representante CD de y Chamamos Norma, Módulo ou Comprimento de um vetor ao comprimento de qualquer um de seus representantes. Dado um vetor v podemos tomar um de seus representantes, digamos AB e indicarmos v por BA. Vetor Oposto Definição 11. Se o segmento orientado AB for um representante do vetor u então o segmento orientado BA será um representante do vetor u denominado Vetor Oposto de u ou seja o vetor BA é o oposto do vetor AB. Indicamos oposto de AB por AB. Dado um vetor u, existe um único ponto A IE 3 tal que u tem um representante com origem em A. Neste instante temos um conjunto muito bem definido que é IE 3 e a partir deste momento nosso interesse é em explorar mais este conjunto, isto é saber quais são seus elementos, como seus elementos se relacionam com nossa vida cotidiana, particularmente algumas relações dos elementos de IE 3 com a elementos da conhecida Geometria de Euclides. 6. ADIÇÃO DE VETORES Definição 12. A adição de vetores é uma função que a cada par de vetores ( u, v) de IE 3 IE 3 associa um vetor de IE 3 que é chamado SOMA de u por v e indicado por u + v. A função age da seguinte forma sobre o par ( u, v): considere um representante AB de u, e um representante de v com origem em B, e extremidade em C, a classe de equipolência que contém o segmento orientado AC é o vetor u + v. Ver a figura abaixo: B u v A w = v + v D Esta regra de adição de vetores é conhecida como regar triangular. Há outra regra que é a conhecida como regra do paralelogramo. B u v A w = v + v C 6 D u v

Esta regra se aplica da seguinte forma : Fixamos um ponto A IE 3 e tomamos o único ponto B IE 3 tal que o segmento orientado AB seja um representante do vetor u, em seguida com o ponto B tomamos o único ponto C IE 3 tal que o segmento orientado BC seja um representante do vetor v. Analogamente, determinamos o ponto D IE 3 e em seguida um ponto C que por nossa construção coincide com o ponto C. Assim teremos o paralelogramo ABCD, e a soma dos vetores u e u é a classe de equipolência do segmento orientado AC. Note que o segmento AC é a diagonal principal do paralelogramo ABCD. Exercício 1. Mostrar que a diagonal secundária do paralelogramo ABCD nos dá a diferença dos vetores u e v. Note que o conjunto IE 3 (ver definição ) juntamente com a definição 12 torna-se análogo ao conjunto R (números reais) com a operação de adição de números, já bem conhecida nossa. Mas a operação adição de números reais no conjunto R TEM ELEMENTO NEUTRO (ZERO), É ASSOCIATIVA, É COMUTATIVA, CADA NÚMERO REAL TEM INVERSO (a R tem inverso a R). Uma pergunta importante: A operação adição no conjunto IE 3 (ver definição 12) tem as mesmas propriedades que operação adição de números reais no conjunto R? A partir deste instante o espaço IE 3 será referido como (IE 3, +) espaço IE 3 com a operção de adição 7. PROPRIDADES DE ADIÇÃO DE VETORES Dados u, v e w em (IE 3, +), PA1 ( u + v) + w = u + ( v + w) PA2 u + v = v + u PA3 u + 0 = u PA4 u + ( u) = 0 Associativa Comutativa Elemento Neutro Elemento Oposto ou Simétrico 7

Exercício 2. Considere os vetores a e b cujos representantes são os segmentos orientados AB e BC respectivamente (ver figura abaixo) e calcule a + b e a b usando a regar do triângulo e do paralelogramo. A C B Exercício 3. Considere os vetores a, b e e cujos representantes são os segmentos orientados AB, CD e EF respectivamente (ver figura abaixo) e calcule ( a + b) + e; a b e a ( b e) usando a regra do triângulo e do paralelogramo. A E F D C B 8. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO REAL (ESCALAR) POR VETOR Vamos definir uma operação externa em IE 3. Definição 13. Multiplicação de número real ou escalar por um vetor é uma função que a cada par ordenado (α, u) R IE 3 associa um vetor w IE 3 denotado por α u, (α, u) m α u. Como a função multiplicação a associa um par ordenado, como na definição, um vetor, se faz necessário saber informar qual é o comprimento a direção e o sentido deste novo vetor. Se α = 0 então (0, u) m 0 ou 0 u = 0. Se u = 0, então (α, 0) m 0 ou α 0 = 0. Se α 0, e u 0, então a : α u = α u b : α u // u ; (os vetores α u e u são paralelos). c : α u e u terão o mesmo sentido se α > 0 e terão sentidos contrários se α < 0. 8

Note que a multiplicação de vetor por escalar (número) pode aterar o comprimento e o sentido do vetor, mas não altera a direção. Exemplo 7. Dado um vetor v IE 3 com segmento orientado (A,B), tomemos retas CD, EF e GH de modo que ass retas AB CD, EF e GH sejam duas à duas paralelas e os comprimentos dos segmentos CD, EF e GH satisfaçam a relação comp( CD) = 2comp( AB) = comp( EF) e comp( GH) = 5 2 comp( AB). (1.2) Usando a definição 5 podemos ver os segmentos orientados (A,B) (C,D), (E,F) e (G,H) têm mesma direção, usando (1.2) e a definição 13 (Note que α 0), podemos ver que segmento orientado CD é representante do vetor 2 v (α = 2), segmento orientado EF é representante do vetor 2 v, (α = 2) segmento orientado GH é representante do vetor 5 2 v, (α = 5 2 ) e com isto construir a figura abaixo. B v A D E 2 v 2 v C F G 5 2 v H Vejamos agora como as duas operações dadas nas definições 12 em IE 3 IE 3, e 13 em R IE 3 se relacionam. PROPRIEDADES DE MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Dados u, v IE 3, α R β R, então M1 α( u + v) = α u + α v. M2 (α + β) u = α u + β u. M3 1 u = u. M2 α(β u) = (αβ) u = β(α u). A partir deste instante o espaço IE 3 será indicado por (IE 3, +, ) onde lê-se espaço IE 3 com as operções de Adição e Multiplicação por Escalar (Número real) As quatro propriedades de adição juntamente com a quatro propriedades de Multiplicação por escalar (número real) fazem uma estrutura especial dentro do conjunto IE 3 9

chamada Estrutura de Espaço Vetorial e por isto de agora em diante nos referiremos ao conjunto (IE 3, +, ) como um Espaço Vetorial Se α R e v R com α 0, será utilizado apenas a notação 1 v, de modo algum α será permitida a notação v α. Exercício 4. Prove a regra dos sinais a ( α) v = (α v) para todo α R e v IE 3. b α( v) = (α v) para todo α R e v IE 3. c ( α)( v) = α v para todo α R e v IE 3. Prova a : Note que pela definição 11 a igualdade (a) nos diz que o vetor oposto de ( α) v é (α v) ou seja, devemos provar que ( α) v + (α v) = 0. Mas ( α) v + (α v) M2 = ( α + α) = 0 v Def 13 = 0 Prova b: Agora devemos provar que α( v) + (α v) = 0. Mas α( v) + (α v) M1 = α( v v) = α 0 Def 13 = 0. A prova de c é deixada como exerício. Proposição 2. Dado α,β R e u IE 3, se α u = 0, então α = 0 ou u = 0. se u 0 e α u = β u, então α = β. Prova : Primeiro vamos provar. Suponha que α 0, então existe α 1 R tal que α 1 α = 1. Multiplicando α u = 0 de ambos os membros por α 1 teremos αα 1 u = α 1 0 = 0, então u = 0. Vamos provar agora. Como Mas, α u = β u, então α u β u = 0 então pela Def 13 α u + (( β u)) = 0, α u + ( β u) = 0 então (α β) u ver M2, pela Prop 2 (α β = 0) ou u = 0. Portanto, por hipótese u 0, portanto α = β. 10

Exercício 5. Considere a figura abaixo (o sólido ABCD é um tetraedro), e os vetores m, n e p cujos representantes são os segmentos orientados AB, AC e AD respectivamente. C D A B (i) Encontre os vetores u, v e w cujos representantes são os segmentos orientados CB, CD e BD respectivamente, como função de m, n e p. (ii) Seja M ponto médio do segmento de reta CB, exprima o vetor a com um representante dado pelo segmento orientado AM em função de m e n. 9. SOMA DE PONTO COM VETOR Neste momento nós temos dois conjuntos muito bem definidos que são o espaço no qual vivemos que denotaremos por IE ou o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de Vetores Geométricos (ver Def. 6) que estamos indicando por IE 3. Poderíamos dizer que o conjunto IE é o conjunto de dos pontos do espaço. Em verdade podemos definir uma correspondência entre estes dois conjuntos que é uma função. Veja definição a seguir. Definição 14. Dado um ponto P em IE e um vetor v em IE 3, seja Q o único ponto em IE tal que o segmentos orientados PQ seja um representante para o vetor v. Este ponto Q IE é denominado a Soma do Ponto P com o Vetor v, e denotamos por Q = P + v. Q v P Dados P IE e v IE 3, Q = P + v ou Q = P + PQ Usaremos a notação P v para indicar a soma do ponto P com o vetor v, e assim teremos P v = P + ( v). 11

10. PROPRIEDADES DA SOMA DE PONTO COM VETOR Dados P, IE, v, u IE 3, temos PS1 P + 0 = P, Esta é uma decorrência do imediata da definição 14, pois PP = 0 (ver Def. 9) então P + 0 = P. PS2 Se P + v = P + u então v = u. Note que se Q = P + v = P + u, ent ao da defnição14 PQ = v e PQ = u, portanto u = v. Esta propriedade permitem um tipo de Cancelamento do ponto P na igualdade P + u = P + v. PS3 (P + v) + u = P + ( v + u). Sejam Q = P + u, R = Q + v,(ver figura abaixo) então R = (P + u) + v. Ainda, segue da definição 14 que PQ = u, QR = v. Realizando a soma de PQ com QR teremos PQ+ QR = v+ u, mas PQ+ QR = PR. Novamente pela definição 14 R = P +( u+ v) agora pela propriedade PS3 tem-se (P + u) + v = P + ( u + v). u P Q PS4 Se P + v = Q + v, então P = Q. Como v w = v + v R P + v = Q + v (P + v) v = (Q + v) v PS3 PS5 (P v) + v = P P + ( v v) = Q + ( v v) P + 0 = Q + 0 PS1 P = Q Esta propriedade decorre de PS3 e PS1. Pois (P v) + v = PS3 = P + ( v + ( v) = PS1 = P + 0 = P. Neste caso se o vetor u tem como representante o segmento orientado (A,B), é comum representar o vetor AB por B A. A soma de ponto com vetor é uma relação muito importante entre os conjuntos IE e IE 3, porque ela relaciona o conjunto de pontos do espaço com o conjunto de Vetores Geométricos. Esta relação será utilizada para descrever subconjuntos de pontos do espaço, por exemplo Retas, Planos, Semi-retas, Semi-planos, e posições entre eles. 12

Exercício 6. Na figura ao abaixo os pontos M, N e O são pontos médios de PQ, QR e RP respectivamente. Exprima RM, QO e PN como função PR e PQ. Resolução Q M N P O R É fácil ver que RM = RP + PM, isto porque M é ponto médio de PQ, e pudemos nos valer da definição 12. Mas com a definição 13 podemos ver que e novamente que M é ponto médio de PQ, vemos que PM = 1 PQ. Então, 2 Encontramos a função de PR e PQ que procurávamos. Vamos escrever PN em função de PR e PQ. Use a defição 12 e note que RM = RP + 1 PQ. (1.3) 2 PN Def.12 = PR + RN,N ponto médio de QR nos dá 2 RN = QR Def.12 = RP + PQ, Então, Logo, PN Def.12,13 = 1 ( ) PQ + RP + PR 2 MS1 = 1 PQ 2 1 PR 2 + PR. PN = 1 PQ + 1 PR. (1.4) 2 2 Fica como exercício provar que QO é função PR e PQ. A conclusão do exerício 6 é válida mesmo quando os pontos M, N e O escolhidos não forem pontos médios, ver o exercício abaixo : Exercício 7. Na figura abaixo a medida de PX é a metade da medida de XR. Exprima QX em função de QP e QR. Q P R X 13

Resolução O enunciado do exercício nos diz que PX = 1 2 XR, então QX QP = PX = 1 XR 2 = 1 ) QR QX MS1 = 2( 1 QR 2 1 QX 2 Observe a primeira e última igualdade, elas no dão, QX QP = 1 QR 2 1 QX 2 Def. 11 3 2 CX = 1 2 QR + QP Def. 13 CX = 1 3 QR + 3 2 QP. (1.5) Exercício 8. Seja ABC um triângulo, e M e N pontos médios de AC e BC respectivamente. Mostre que MN = 1 AB. 2 Exercício 9. Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero convexo forem vétices de um segundo quadrilátero, este será um paralelogramo. 11. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Observe que em (1.3), (1.4) e (1.5) temos os vetores RM, PN e CX foram exprimidos como função de outros vetores, em verdade, a função que aparece no lado direito de cada uma das expressões de (1.3), (1.4) e (1.5) é uma Função Linear dos vetores envolvidos. Este tipo de expressão é denominado COMBINAÇÃO LINEAR ou seja, em (1.3) o vetor RM aparece escrito como COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores RP e PQ; em (1.4) o vetor PN aparece escrito como COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores PQ e PR; ver em (1.5) qual a COMBINAÇÃO LINEAR que aparece. Definição 15. Dadas (α 1,α 2,,α n ) sequência de números reais (n-upla ordenada), e ( u 1, u 2,, u n ) sequência de vetores (n-upla de ordenada de vetores), dizemos que um vetor u IE 3 é COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores u 1, u 2,, u n, se u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n. (1.6) 14

Exemplo 8. Tome na expressão CX = 1 3 QR + 3 2 QP. Observe que α 1 = 1, u 3 1 = QR, α 2 = 3 e u 2 2 = QP e se u = CX, temos a sequência de números reais (α 1,α 2 ) = ( 1, 3) e a sequência de vetores ( u 3 2 1, u 2 ) = ( QR, QP) e u escrito como COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores ( u 1, u 2 ) = ( QR, QP). Exemplo 9. Seja PN = 1 2 PQ + 1 2 PR como em (1.4). Note que se α 1 = α 2 = 1 e u 2 1 = PQ, u 2 = PR, então se u = PN teremos u escrito como COMBINAÇÃO LINEAR de u 1 e u 1. Diremos que a COMBINAÇÃO LINEAR u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n. (1.7) é a COMBINAÇÃO LINEAR NULA se u = 0 for o vetor nulo. Dada uma sequência de vetores ( u 1, u 2,, u n ), há uma maneira muito fácil, digamos trivial, de se obter a COMBINAÇÃO LINEAR NULA destes vetores, que é escolher todos os elementos da sequência de números (α 1,α 2,,α n ) = (0, 0,, 0), e assim teremos a COMBINAÇÃO LINEAR 0 u 1 + 0 u 2 + + 0 u n = 0. Exemplo 10. Considere os vetores u, v e w com segmentos orientados (P, Q), (Q, R) e (R,P) respectivamente, como na figura abaixo: Q u v P w R Segue diretamente da definição 12 que 0 = u + v + w ou seja, o vetor 0 é combinação nula de u, v e w e neste caso a sequência (α 1,α 2,α 3 ) = (1, 1, 1). Teorema 1. Se dois vetores u e v forem paralelos existirá um número real α tal que u = α v. Prova Como u e v são paralelos e simultaneamente não nulos, u e v têm mesma direção. Ainda não é difícil ver que existe α R tal que u = α v. Como { α = α, se α > 0, α = α, se α < 0, 15

então u = α v e α = u v,. Se um dos vetores u e v for o vetor nulo, por exemplo u = 0, então tomamos α = 0 e poderemos escrever u = α v. Note que o vetor nulo é paralelo à qualquer outro vetor. Nas condições da observação 1 podemos concluir que u e v terão mesma direção se α > 0 e sentido contrário se α < 0. Também nas condições da observação 1 pode-se obter a COMBINAÇÃO LINEAR NULA dos vetores, u e v ( u α v = 0). Note que a sequência de números (1, α) é não nula. Vejamos qual é a relação de depenência entre α e e u e v, indnependente do valor de α. Cálculo do valor de α. O comprimento de α v e u são iguais, então u = α v Def. 13 = u = α v ; se os dois vetores forem não nulos, então v 0 e assim, ou seja α é unicamente determinado. α = u v, Dada uma sequência de vetores { u 1, u 2,, u n }, tal que um deles é o vetor nulo, então existirá pelo menos uma sequência de números reais (α 1,α 2,,α n ) (0, 0,, 0) que torna possível a COMBINAÇÃO LINEAR NULA de { u 1, u 2,, u n }. Vejamos é possível encontrar uma sequência de números reais (α 1,α 2,,α n ) não nula. Suponha que u 1 0. Então existe a sequência de números reais (α 1,α 2,,α n ) com α 1 0 por exemplo α 1 = 2, e todos os outros α s nulos, então a sequência de números reais toma a forma (2,α 2 = 0,,α n = 0), e como u 2 = 0, u 3 = 0,, u n = 0 a COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores dados será dada por 2 0 + α 2 u 2 + + α n u n = 2 0 + 0 u 2 + + 0 u n Def. 13 = 0. Definição 16. Uma sequência de vetores { u 1, u 2,, u n } será Linearmente Independente e indicaremos LI, se a única possibilidade de se obter a COMBINAÇÃO LINEAR NULA dos vetores { u 1, u 2,, u n } for escolher (α 1,α 2,,α n ) = (0, 0,, 0). Definição 17. Uma sequência de vetores { u 1, u 2,, u n } LINEARMENTE DE- PENDENTE, indicaremos por LD se e somente se ela não for LI. Teorema 2. Dado uma sequência com um vetor {S} 1 = ( u), ela será Linearmente Independente se e somente se u 0. 16

Prova Suponhamos que o único elemento da sequência {S} dado por u seja não nulo. Devemos mostrar que a COMBINAÇÃO LINEAR NULA da sequência { u} isto é, α u = 0 somente é possivel se α = 0. Mas, pela Proposição 2, α u = 0 implica que α = 0 ou u = 0, como a u é não nulo, α = 0 ou seja a única sequência possível de números reais que produz a COMBINAÇÃO LINEAR NULA α u = 0, é (α) = (0). Isto prova as duas afirmações. Dada uma sequência de vetores { u 1, u 2,, u n }, se houver pelos menos uma maneira de se obter a COMBINAÇÃO LINEAR NULA destes vetores utilisando-se uma n-upla ordenada não nula isto é (α 1,α 2,,α n ) (0, 0,, 0), diremos que a sequência de vetores { u 1, u 2,, u n } é LD. Uma sequência com dois vetores { u, v} é LD se e somente se u e v forem paralelos. Prova Se u e v forem paralelos, os comentários logo após a Obsevação 1 nos assegura que existe α R tal que u = α v, ou seja u α v = 0 e isto implica que a sequência (1, α) poder ser utilizada para se obter a COMBINAÇÃO LINEAR NULA de u e v. Como (1, α) (0, 0), independentemente do valor que α assumir, a definição nos diz que a sequência { u, v} é LD. Se u e v forem LD então existe α R tal que u α v = 0, então u = α v = 0. A definição 13 assegura que u e v têm msma direção Exercício 10. Considere a figura abaixo (o sólido ABCD é um tetraedro), e os vetores m, n e p cujos representantes são os segmentos orientados AB, AC e AD respectivamente. C D A B (i) Encontre os vetores u, v e w cujos representantes são os segmentos orientados CB, CD e BD respectivamente, como função de m, n e p. (ii) Seja M ponto médio do segmento de reta CB, exprima o vetor a com um representante dado pelo segmento orientado AM em função de m e n. 17

(iii) Seja G o encontro das medianas do triângulo BCD. Exprima o vetor f com um representante dado pelo segmento orientado AG em função de m, n e p. (iv) Seja H o encontro das medianas do triângulo ABC. Exprima o vetor g com um representante dado pelo segmento orientado DH em função de m, n e p. (v) Mostre que qualquer vetor u do espaço E 3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores m, n e p. 18