Ralph S. Silva http://www.im.ufrj.br/ralph/especializacao.html Departamento de Métodos Estatísticos Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro Maio-Junho/2013
Tópicos Tópicos Séries temporais financeiras Modelos em espaço de estados (Modelos dinâmicos) Modelos heteroscedásticos condicionais Modelos não lineares e aplicações Análise de dados de alta frequência Modelos de tempo contínuo e aplicações Modelos de volatilidade estocástica
Referências Referências: Livros Analysis of Financial Time Series, R. S. Tsay, John. Wiley, 2002. The Econometric Modelling of Financial Time Series, T. C. Mills, Cambrigde University Press, 1996.
Séries temporais financeiras Séries temporais financeiras Foco em teoria e na prática da avaliação de ativos através do tempo. É uma disciplina altamente empírica. A teoria financeira e suas séries empíricas contêm elementos de incerteza. Existem várias definições para volatilidade de ativos. Volatilidade não é diretamente observável. Daremos ênfase a aplicações e análise de dados empíricos.
Séries temporais financeiras Retornos de ativos Muitos estudos envolvem retornos de ativos ao invés de preços. O retorno de um ativo é um resumo completo e de escala livre da oportunidade de investimento. Devido suas propriedades estatísticas, séries de retornos são mais fáceis de trabalhar do que preços. Existem várias definições para retornos de um ativo. Seja P t o preço de um ativo no instante t. Suponha por um momento que o ativo não paga dividendos.
Séries temporais financeiras Retornos de ativos Retorno simples de um período: Fixando o ativo pelo período de tempo de t 1 a t, para um retorno bruto simples, temos 1 + R t = Pt P t 1 ou P t = P t 1(1 + R t). O retorno líquido simples para um período (ou retorno simples) é R t = Retorno simples de vários períodos: Pt Pt Pt 1 1 =. P t 1 P t 1 Fixando o ativo pelos períodos de tempo entre t k a t, temos o retorno bruto simples de k períodos dado por 1 + R t[k] = Pt = Pt Pt 1 P k 1 t k+1 = (1 + R t j). P t k P t 1 P t 2 P t k j=0
Séries temporais financeiras Capitalização contínua Suponha que a taxa de juros de um depósito bancário seja 10% ao ano e que o depósito inicial seja de $1, 00. Se o banco pagar os juros uma vez ao ano, então o valor líquido do depósito se torna $1, 00 (1 + 0, 1) = $1, 10 depois de um ano. Se o banco paga os juros a cada 6 meses, então a taxa de juros é 10%/2 = 5% e o valor líquido do depósito é $1, 00 (1 + 0, 1/2) 2 = $1, 1025 depois de um ano. Se o banco paga os juros m vezes por ano, então a taxa de juros é 10%/m e o valor líquido do depósito é $1, 00 (1 + 0, 1/m) m depois de um ano. A tabela a seguir mostra resultados para alguns intervalos de tempo sobre um depósito de $1, 00 com juros de 10% ao ano. O valor líquido se aproxima de $1, 1052, que é obtido por exp(0, 1) e é referido como o resultado da capitalização contínua. O efeito da capitalização pode ser claramente visto.
Séries temporais financeiras Tabela : Ilustração do efeito da capitalização a Número de Taxa de Juros Valor Tipo Pagamentos por Período Líquido Anual 1 0,1 1,10000 Semestral 2 0,05 1,10250 Trimestral 4 0,025 1,10381 Mensal 12 0,0083 1,10471 Semanal 52 0,1/52 1,10506 Diário 365 0,1/365 1,10516 Contínuo 1,10517 a O intervalo de tempo é de 1 ano e a taxa de juros é 10%.
Séries temporais financeiras Em geral, o valor líquido do ativo A de uma capitalização contínua é A = C exp(r n), sendo r a taxa de juros anual, C o capital inicial, e n o número de anos. Da equação acima, temos que C = A exp( r n), que é referida como o valor presente de um ativo que valha A unidades monetárias em n anos a partir de agora, supondo que a taxa de juros da capitalização contínua seja r por ano.
Séries temporais financeiras Retorno de capitalização contínua O logaritmo natural de um retorno bruto simples de um ativo é chamado de retorno de capitalização contínua ou log retorno: sendo p t = ln P t. r t = ln(1 + R t) = ln Pt P t 1 = ln P t ln P t 1 = p t p t 1, (1) Considerando log retornos de vários períodos, temos r t[k] = ln(1 + R t[k]) = ln[(1 + R t)(1 + R t 1) (1 + R t k+1 )] = ln(1 + R t) + ln(1 + R t 1) + + ln(1 + R t k+1 ) = r t + r t 1 + + r t k+1. O log retorno de vários períodos de capitalização contínua é simplesmente a soma dos log retornos de um período de capitalização contínua. Propriedades estatísticas dos log retornos são mais tratáveis.
Séries temporais financeiras Exemplo: Se o log retorno mensal de um ativo é de 4, 46%, então o retorno simples mensal correspondente é 100[exp(4, 46/100) 1] = 4, 56%. Utilizamos r t = 100 ln ( ) 1 + Rt 100 quando R t está descrito em porcentagem. R t = 100 (exp(r t/100) 1), Se os log retornos mensais de um ativo dentro de um trimestre são 4, 46%, 7, 34% e 10, 77% respectivamente, então o log retorno trimestral de um ativo é (4, 46 7, 34 + 10, 77)% = 7, 89%. Utilizamos r t[3] = r t + r t 1 + r t 2.
Momentos ordinários: m l = E(X l ) = Definimos µ x = m 1 = E(X) como a média. Momentos centrais: m l = E[(X µ x) l ] = x l f (x)dx. (x µ x) l f (x)dx. Definimos σ 2 x = m 2 = E[(X µ x) 2 ] como a variância.
O coeficiente de assimetria é definido por [ ] (X µx) 3 S(X) = E e o coeficiente de curtose por [ ] (X µx) 4 K(X) = E. σ 3 x σ 4 x A quantidade K(X) 3 é chamada de excesso de curtose porque K(X) = 3 para a distribuição normal. Uma distribuição com excesso de curtose positivo é dita ter caudas pesadas (leptocúrtica). Uma distribuição com excesso de curtose negativo é dita ter caudas leves (platicúrtica).
Momentos amostrais Suponha que {x 1, x 2,..., x T } seja uma amostra aleatória de X com T observações. Média amostral: ˆµ x = 1 T x t. T t=1 Variância amostral: ˆσ 2 x = 1 T 1 T (x t ˆµ x) 2. 1 O coeficiente de assimetria amostral: Ŝ(X) = (T 1)ˆσ x 3 O coeficiente de curtose amostral: ˆK(X) = 1 (T 1)ˆσ x 4 t=1 T (x t ˆµ x) 3. t=1 T (x t ˆµ x) 4. t=1
Sob a hipótese de normalidade, Ŝ(X) N (0, 6/T ) e ˆK(X) N (0, 24/T ). Estas aproximações para T grande podem ser utilizadas para testar a hipótese de normalidade dos retornos de um ativo. Dado uma série de retornos de um ativo {r 1, r 2,..., r T }, para testar a assimetria dos retornos, consideramos H 0 : S(r) = 0 H A : S(r) 0. A estatística da razão-t da assimetria amostral é t = Ŝ(r) 6/T N (0, 1). Rejeitamos H 0 ao nível α de significância se t > z α/2, sendo z α/2 o percentil 100(1 α/2) da distribuição normal padrão.
Para testar o excesso de curstose dos retornos, consideramos H 0 : K(r) 3 = 0 H A : K(r) 3 0. A estatística da razão-t da assimetria amostral é t = ˆK(r) 3 24/T N (0, 1). Rejeitamos H 0 ao nível α de significância se t > z α/2, sendo z α/2 o percentil 100(1 α/2) da distribuição normal padrão. Temos também o teste de Jarque e Bera para normalidade com JB = Ŝ2 (r) 6/T + ( ˆK(r) 3) 2 χ 2 2. 24/T Rejeitamos H 0 (normalidade) se JB > χ 1 α, sendo χ 1 α o percentil 100(1 α) da distribuição χ 2 2. Mostrar exemplo no R: descritiva.r
Aplicação 1 O conjunto de dados reais que trabalharemos contém 10 fundos atuariais brasileiros. Temos disponíveis os preços semanais para o período de janeiro de 2004 a agosto de 2011, totalizando 245 observações. Safra: Safra Index 10 CEF_P: Caixa Patrimônio FIC Renda Fixa LP CEF_C: Caixa Patrimônio FIC Renda Fixa LP IB_FIC: IB Inflation Index FIC Renda Fixa Unibanco: Unibanco Indice de Preços FIC Renda Fixa Paribas: BNP Paribas Inflação FI Renda Fixa BB_F: BB Atuarial FI Renda Fixa LP I BB_A: BB Fachesf Atuarial FI Renda Fixa Western: Western Asset Inflation FI Referenciado IGP-M LeggM: Legg Mason Price FIC Referenciado Renda Fixa Mostrar exemplo no R: aplicacao_01.r 1 Os dados foram gentilmente cedidos por Reinaldo A. Marques. Marques, Pizzinga e Vereda (2012), Restricted Kalman Filter Applied to Dynamic Style Analysis of Actuarial Funds, Applied Stochastic Models in Business and Industry.
Distribuição dos retornos A forma geral do modelo dos log retornos de um ativo, {r t; t = 1,..., T }, é sua função de distribuição conjunta: sendo F r (r 1, r 2,..., r T Y, θ) Y um vetor de estados consistindo de variáveis que resumem o ambiente em que os retornos do ativo foram determinando, e θ o vetor de parâmetros que determina unicamente a função de distribuição F r (.). É possível generalizar F r (.) para vários log retornos de diferentes ativos.
Para um determinado ativo, podemos escrever ainda F r (r 1, r 2,..., r T ) = F r (r 1)F r (r 2 r 1) F r (r T r 1, r 2,..., r T 1 ) T = F r (r 1) F r (r t r 1, r 2,..., r t 1) sendo o vetor de parâmetros θ omitido na notação. Para distribuições contínuas temos T f r (r 1, r 2,..., r T ) = f r (r 1) f r (r t r 1, r 2,..., r t 1) t=2 t=2 sendo o vetor de parâmetros θ omitido na notação.
Função de verossimilhança dos retornos Sejam {r 1,..., r T } os log retornos de um ativo. Então, supondo distribuições condicionais normais, temos T { } f (r 1,..., r T θ) = f (r 1 θ) (2πσt 2 ) 1/2 exp 1 (r 2σt 2 t µ t) 2 t=2 sendo µ t e σt 2 a média e a variância condicional respectivamente, ambas dependendo de θ. O logaritmo da função de verossimilhança é dado por ln f (r 1,..., r T θ) = ln f (r 1 θ) T 1 2 ln(2π) 1 2 Mostrar exemplo no R (dados do IBOVESPA): aplicacao_02.r T [ ] ln σt 2 + 1 (r σt 2 t µ t) 2. t=2
Volatilidade Além dos retornos de um ativo, vamos considerar também: A volatilidade deste ativo; O processo de volatilidade foca na evolução da variância condicional dos retornos através do tempo. Tem papel importante na precificação de opções e na gestão de riscos. Veja e analise os gráficos dos retornos do IBOVESPA mostrados no R. Exercício Analise os seguintes conjuntos de dados e compare com o IBOVESPA: 1. Preços da Petrobas PN (em petr4_sa.csv); e 2. Preços da Vale PNA EDJ N1 (em vale5_sa.csv). Note que só dispomos dos preços a partir de janeiro de 2003. Em ambos os casos, utilize os preços de fechamento.