Oficina Geoplano 1. Introdução O objetivo desta oficina é trabalhar com os alunos alguns conceitos ligados a medidas de comprimento e área de figuras planas, bem como investigar o Teorema de Pitágoras. As atividades apresentadas têm o objetivo de desenvolver as seguintes habilidades: H21 Aplicar o conceito de área de figuras geométricas para solucionar problemas. H23 Aplicar o conceito de perímetro de uma figura geométrica plana para solucionar problemas. H31 Utilizar o teorema de Pitágoras para resolver situações apresentadas em diferentes contextos. H34 Relacionar a unidade de medida com a grandeza envolvida. Para isso, serão desenvolvidas atividades com o geoplano um material didático bastante simples, mas muito rico, que permite ao aluno, por meio de manipulações, explorar diversos conceitos geométricos. Ele consiste em uma superfície retangular com pontos (normalmente marcados com pregos) que formam uma malha quadriculada, como mostra a figura abaixo. Usando barbantes, os alunos constroem as figuras geométricas e investigam suas propriedades. Caso a escola não disponha do geoplano, é possível fazer um com uma tábua e pregos, isopor e tachinhas/alfinetes ou, em último caso, com lápis e papel. Vale mencionar que as possibilidades de uso do geoplano são muitas, assim como os conceitos matemáticos que podem ser estudados através delas.
2. Medidas de comprimento e área Discussão inicial Primeiramente, falar aos alunos que o trabalho na oficina envolverá figuras geométricas planas, então é interessante começar discutindo o que é um plano. Provavelmente os alunos conseguem identificar um plano, mas terão dificuldades para dizer o que ele é. E essa dificuldade não é só deles. Na verdade, nem os matemáticos conseguem definir o que é um plano. É o que na Matemática se chama de conceito primitivo conceitos relativamente óbvios para quase todas as pessoas mas que não podem ser definidos. Dizer que plano é um tipo de superfície lisa, reta, sem dobras, sem ondulações. Dar o exemplo de uma toalha uma toalha esticada forma uma superfície plana. Já uma toalha embolada forma uma superfície não-plana. Boa parte dos nossos estudos de geometria aborda as figuras planas. Após essa discussão, apresentar o geoplano aos alunos, mostrando algumas figuras que podemos formar nele. Em seguida, mostrar que há dois tipos de tamanho que podemos determinar em uma figura plana: um é o tamanho de linhas e outro é o tamanho de superfícies. Perguntar se eles sabem os nomes destes tamanhos. Conduzir a discussão para os conceitos de comprimento como a medida do tamanho de uma linha e da área como a medida do tamanho de uma superfície. Significado de uma medida Questionar os alunos sobre o significado de medir alguma coisa. Conduzir a discussão para o conceito de medida como a comparação com um padrão, denominado unidade: medir uma grandeza de um objeto significa determinar quantas vezes essa grandeza no objeto é maior ou menor do que a mesma grandeza no objeto-padrão. Quando se fala em grandeza, isso significa qualquer coisa que possa ser quantificada: peso, temperatura, comprimento, área, volume etc. Dar o exemplo de uma medida simples da grandeza comprimento feita com a régua. Quando posicionamos a régua sobre o livro do Telecurso e verificamos que a medida de sua largura vale 20,5 cm, isso significa que a largura do livro tem um comprimento 20,5 vezes maior do que o comprimento-padrão de 1 cm. As divisões da régua existem para facilitar a determinação desse número. Voltar ao geoplano. Propor aos alunos a criação de duas unidades convenientes para medir comprimentos e áreas de figuras no geoplano: - Unidade de medida de comprimento: segmento de reta entre dois pregos adjacentes (atenção, adjacentes na horizontal ou vertical, não na diagonal). Unidade de comprimento Unidade de comprimento
- Unidade de medida de área: superfície quadrada delimitada por quatro pregos, como mostra a figura. Unidade de área Nas atividades a seguir, trabalharemos com o uso dessas unidades para medir comprimentos (perímetros) e áreas de algumas figuras. Atividades Atividade 1: Pedir que os alunos montem com barbantes as figuras abaixo e determinem suas áreas e perímetros, em termos das unidades definidas acima. a) Resposta: Área = 6 unidades Perímetro = 10 unidades Comentário: Este exemplo é bastante simples. Se contornarmos o retângulo, verificaremos que ele é formado por 10 segmentos como aquele que foi definido como unidade de comprimento. Também podemos verificar que nesse retângulo cabem 6 quadrados como aquele definido como unidade de área. b) Resposta: Área = 6 unidades Perímetro = 12 unidades
Comentário: Este exemplo traz duas dificuldades em relação ao anterior. Para a medida da área desse triângulo, não há mais um número inteiro de quadrados para contar. Entretanto, se observarmos que esse triângulo resulta da divisão ao meio de um retângulo 3 por 4 (como mostra a figura abaixo), concluiremos que sua área vale metade da área do retângulo, o seja, metade de 12. Para a medida do perímetro, surge a segunda dificuldade. Dois dos lados (o vertical - 3 unidades - e o horizontal - 4 unidades) são facilmente mensuráveis basta contar os segmentos. Entretanto, o lado diagonal não é. Neste caso particular, porém, se o aluno pegar o barbante que formou o triângulo e esticá-lo ao longo de linhas horizontais ou verticais do geoplano, verificará que o lado diagonal mede exatamente 5 unidades e que o barbante inteiro mede exatamente 12 unidades de comprimento (3 + 4 + 5). Posteriormente, veremos que esse resultado poderia ter sido calculado pelo teorema de Pitágoras, sem necessidade de medir o barbante. É muito importante deixar que os alunos tentem resolver sozinhos (ou nos grupos) o problema de determinar a área e o perímetro, isto é, não dar a resposta logo de cara! c) Resposta: Área = 4 unidades Perímetro 8,5 unidades Comentário: Neste exemplo, para calcular a área, deve-se novamente usar o recurso de identificar algumas partes da figura (neste caso um paralelogramo) como metades de um retângulo. Na figura abaixo, fica claro que a área do paralelogramo vale 4 unidades (1 + 2 + 1).
A área deste triângulo vale metade da área de um retângulo de área 2, ou seja, vale 1 unidade. A área deste triângulo vale metade da área de um retângulo de área 2, ou seja, vale 1 unidade. A área deste retângulo vale 2 unidades. Já a medida do perímetro deve ser feita novamente esticando o barbante ao longo de uma linha ou coluna de pontos do geoplano. Fazendo isso, verifica-se que o barbante fica praticamente na metade entre 8 e 9 unidades de comprimento, ou seja, o perímetro vale aproximadamente 8,5 unidades. d) Resposta: Área = 10 unidades Perímetro 20,1 unidades Comentário: Os procedimentos de determinação da área e do perímetro são exatamente os mesmos do exemplo anterior.
Atividade 2: Pedir aos alunos que formem dois retângulos, com as seguintes condições: - ambos devem ter perímetro de 10 unidades de comprimento Oficina CNI/EF - ambos devem ter formatos diferentes, isto é, devem ser retângulos com diferentes proporções entre base e altura. O fato de duas figuras terem o mesmo perímetro significa que elas têm a mesma área? Resposta: os dois únicos retângulos possíveis são os apresentados a seguir (evidentemente eles podem ser girados para ficar na vertical, mas neste caso seriam retângulos semelhantes). Em relação à pergunta, o fato dos perímetros serem iguais NÃO significa que as áreas são iguais. No exemplo, o retângulo de cima tem área = 4 e o de baixo tem área = 6, ambos com perímetro = 10. 3. Teorema de Pitágoras Para finalizar a oficina, os alunos farão uma breve atividade de investigação do Teorema de Pitágoras. Discutir com os alunos que o teorema de Pitágoras é apresentado normalmente com o enunciado Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, acompanhado de uma figura e da sentença algébrica que o traduz.
b c a a 2 = b 2 + c 2 Mostrar aos alunos que uma interpretação geométrica desse teorema identifica os termos a 2, b 2 e c 2 como as áreas de quadrados cujos lados são os lados do triângulo retângulo. Veja no desenho: Área = b 2 b Área = c 2 c a Área = a 2 Nessa interpretação, o teorema de Pitágoras diz que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores (a 2 = b 2 + c 2 ). A atividade com o geoplano tem o objetivo de fazer os alunos explorarem essa igualdade de áreas. - Pedir para os alunos montarem com o barbante um triângulo retângulo com lados 2 e 3; - Em seguida, pedir para eles montarem os 3 quadrados adjacentes aos lados; - Por último, pedir que eles determinem as áreas de cada um dos quadrados, pelo mesmo procedimento descrito na atividade 1, e verifiquem que a soma das áreas dos dois menores é igual à do maior.
Resposta: Área = 13 Área = 4 Área = 9 Assim, podemos verificar, nesse caso, o teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados adjacentes aos catetos (4 + 9) é igual à área do quadrado adjacente à hipotenusa (13). Veja na figura abaixo como podemos concluir que a área do quadrado maior vale 13 unidades: Área = 3 Área = 3 Área=1 Área = 3 Área = 3 Área do quadrado maior = 3 + 3 + 3 + 3 + 1 = 13
Os alunos podem fazer essa verificação com outros triângulos. Veja o exemplo abaixo com um triângulo de base 2 e altura 5. Área=5 Área=5 Área = 25 Área=9 Área=5 Área=5 Área=4 25 + 4 = 5 + 5 + 5 + 5 + 9 A última atividade consiste em uma verificação do teorema de Pitágoras na forma algébrica. Pedir para os alunos que calculem o valor de x no triângulo retângulo abaixo: 8 6 x Solução: x 2 = 8 2 + 6 2 x 2 = 64 + 36 x 2 = 100 x = 100 x = 10
Após o cálculo, pedir que os alunos montem no geoplano o triângulo retângulo com catetos 6 e 8, marquem a medida da hipotenusa e verifiquem que esse comprimento vale exatamente 10 unidades. Observe na figura abaixo. Os alunos devem formar esse triângulo com o barbante. Em seguida, devem marcar no barbante a medida da hipotenusa. Por último, devem pegar o pedaço de barbante correspondente à hipotenusa e alinhá-lo na horizontal ou vertical, verificando que ele mede 10 unidades de comprimento (10 espaçamentos entre pregos).