Exercícios de testes intermédios 1. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente 3 ao intervalo,? (A) sin x cos x (B) cos x tan x tan x sin x sin x tan x Teste intermédio, 11-03-014. Considere, em, a equação trigonométrica sin x 0,3. Quantas soluções tem esta equação no intervalo 0,0? (A) 0 (B) 40 60 80 Teste intermédio, 11-03-014 3. Na figura ao lado, estão representados: o retângulo [ABCD], em que CD 1 e BC o ponto O, ponto médio do segmento [AD] uma semicircunferência de centro no ponto O e raio 1 Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [AB], nunca coincidindo com A, mas podendo coincidir com B. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de interseção da reta PO com a semicircunferência. Seja x a amplitude, em radianos, do ângulo DOQ x 0, 4 Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. 3.1. Mostre que a área do polígono [BCDQP], representado a sombreado, é dada, em função de tan x sin x x, por 3 3 3.. Para uma certa posição do ponto P, tem-se cos x 5 Determine, para essa posição do ponto P, a área do polígono [BCDQP] Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Teste intermédio, 11-03-014 1 / 13
4. Considere o intervalo 5 4, 6 3 Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo? (A) cos x 0,5 (B) sin x 0,5 cos x 0,9 sin x 0,9 Teste intermédio, 06-03-013 5. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. xoy, o círculo trigonométrico. Os pontos A, B, C e D são os pontos de interseção da circunferência com os eixos do referencial. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à ordenada do ponto P e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à abcissa do ponto Q. Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo Ox e por lado extremidade a semirreta OP, Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora. 5.1. Mostre que a área do trapézio [OPQR] é dada por 3 sin cos 5.. Para uma certa posição do ponto P, a reta OP interseta a reta de equação x 1 num ponto 7 de ordenada. 4 Determine, para essa posição do ponto P, a área do trapézio [OPQR] Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Teste intermédio, 06-03-013 6. 1 Seja um número real. Sabe-se que é uma solução da equação sin x. 3 1 Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação sin x? 3 (A) (B) Teste intermédio, 09-0-01 / 13
7. Considere o triângulo [ABC] representado na figura ao lado. Sabe-se que: AB ACB 30º Seja BAC Qual das expressões seguintes representa AB, em função de α? (A) 4sin (B) 6sin 4cos 6cos Teste intermédio, 09-0-01 8. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. xoy, o círculo trigonométrico. Sabe-se que: o ponto A tem coordenadas 1,0 o ponto B tem coordenadas 3,0 Considere que um ponto P se move sobre a circunferência. Para cada posição do ponto P, seja d PB 0, a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem e seja é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OP. Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 8.1. Mostre que d 10 6cos Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de α e utilize a fórmula da distância entre dois pontos. 8.. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que 8..1. Determine os valores de 0, d para os quais 10 6cos d 8... Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0,, tem-se tan 35 Determine d, para esse valor de α. 7 Teste intermédio, 09-0-01 3 / 13
9. Determine o valor de 1 3 sabendo que 0, tan e que 3 4 cos 5 Resolva este item sem recorrer à calculadora. Teste intermédio, 4-05-011 10. Considere, em, a equação trigonométrica cos x 0,9 Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? (A), (B) 0, 3, 4 4, 4 4 Teste intermédio, 7-01-011 11. Na figura ao lado, está representado o círculo trigonométrico. Sabe-se que: a reta r é tangente à circunferência no ponto A 1,0 a reta s passa na origem do referencial e interseta a reta r no ponto P, cuja ordenada é o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à reta s. Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OQ. Qual é o valor de, arredondado às centésimas? (A) 4,3 (B) 4,5 4,7 4,9 Teste intermédio, 7-01-011 1. Sejam, e três número reais. Sabe-se que: 0, 4 Qual das expressões seguintes é equivalente a sin sin sin? (A) sin cos (B) sin cos cos cos Teste intermédio, 7-01-011 4 / 13
13. Na figura ao lado, está representada, em referencial o.n. xoy, a circunferência de centro em O e raio 5. Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência com os semieixos positivos Ox e Oy, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B. Para cas posição do ponto P, sabe-se que: o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO PQ a reta r é a mediatriz do segmento [OQ] o ponto R é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox α é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP 0, Seja f a função, de domínio 0,, definida por f x 5sin x cos x Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 13.1. Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por f 13.. Determine o valor de α, pertencente ao intervalo 0,, para o qual se tem f 5cos 13.3. Seja um número real, pertencente ao intervalo 0, Determine o valor de sin cos, tal que f 5 Teste intermédio, 7-01-011 5 / 13
14. Na figura ao lado, está representada um triângulo retângulo [ABC] cujos lados medem 3, 4 e 5. Considere que um ponto D se desloca ao longo do cateto [AB], nunca coincidindo com o ponto A. Para cada posição do ponto D, seja x o comprimento do segmento de reta [AD]. Qual das expressões seguintes dá o perímetro do triângulo [ACD], em função de x? (A) x 4 5 x (B) x x x 4 6 5 x 5 5 x x x x 5 6 5 Teste intermédio, 06-05-010 15. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica E, de equação x y z 4 Para um certo valor de α pertencente ao intervalo 0,, o ponto P, de coordenadas tan, sin, cos, pertence à superfície esférica E. Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto P. Teste intermédio, 06-05-010 16. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude? (A) (B) Teste intermédio, 7-01-010 17. Considere a equação trigonométrica sin x 0,1 Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução? (A), (B) 0, 0, 6, 6 Teste intermédio, 7-01-010 6 / 13
18. Na figura abaixo, está representado o quadrado [ABCD] de lado Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BAP x, 4 Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos. 18.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por 4. tan x 18.. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é 1 3 3. 15 18.3. Para um certo valor de x, sabe-se que cosx 17 Determine, para esse valor de x, a área da região sombreada. Teste intermédio, 7-01-010 19. Na figura abaixo, está representado, em referencial o.n. xoy, o círculo trigonométrico. Os pontos P e Q pertencem à circunferência, sendo a reta PQ paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence ao eixo Ox. O ângulo ROP tem 53º de amplitude. Qual é o perímetro do triângulo [OPQ] (valor aproximado às décimas)? (A) 3, (B) 3,4 3,6 3,8 Teste intermédio, 07-05-009 7 / 13
0. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10h e 45 minutos. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado 3 radianos. Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante? (A) 11h e 15 min (B) 11h e 45 min 1h e 15 min 13h e 45 min Teste intermédio, 07-05-009 1. Considere a equação trigonométrica cos x 0,3 Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles? (A) 0, (B) 0, 3, 3, Teste intermédio, 9-01-009. Na figura estão representados, em referencial o.n. xoy: o círculo trigonométrico o raio [OB] deste círculo o arco de circunferência AB, de centro no ponto C Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta BC é perpendicular a este eixo. Seja a amplitude do ângulo AOB. Qual é a abcissa do ponto A? (A) 1 sin (B) 1 cos cos sin 1cos sin Teste intermédio, 9-01-009 3. Relativamente à figura junto, sabe-se que: o triângulo [ABD] é retângulo o ponto C pertence ao cateto [BD] x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD AB e BC 1 3.1. Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por tan x 1. 3.. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1. 8 / 13
3.3. Sabendo que 5 sin 13 e que 0,, determine o valor de tan 1 Teste intermédio, 9-01-009 4. Na figura está representado, em referencial o.n. xoy, um arco de circunferência AB, de centro na origem do referencial e raio igual a 1. A reta r tem equação y 1. O ponto C pertence ao arco AB Seja α a amplitude do ângulo AOC. Qual das expressões seguintes dá a distância d do ponto C à reta r? (A) 1 sin (B) 1 sin 1 cos 1 cos Teste intermédio, 06-05-008 5. Seja x 0,. Qual das expressões seguintes designa um número positivo? (A) cos x (B) sin x 3 cos x 3 sin x Teste intermédio, 06-05-008 6. Na figura está representado um triângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude α e um ângulo de amplitude β. Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições? (A) cos sin (B) cos cos cos sin cos cos Teste intermédio, 4-01-008 9 / 13
7. Seja um valor pertencente ao intervalo,. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo? (A) cos sin (B) sin cos sin tan sin tan Teste intermédio, 4-01-008 8. Considere a equação x 13tan 4. Qual dos seguintes valores é solução desta equação? (A) (B) 8 3 8 5 8 7 8 Teste intermédio, 4-01-008 9. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xoy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O ponto A também pertence ao eixo das abcissas. Admita que o ponto B se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OB Seja d o comprimento do segmento [AB] 9.1. Mostre que d 50 50cos. 9.. Para uma certa posição do ponto B, tem-se tan 4 Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d. Teste intermédio, 4-01-008 30. Indique as soluções da equação 5 cos x 6 que pertencem ao intervalo 0, (A) 4 e 3 3 (B) 5 e 3 3 7 e 6 6 11 e 6 6 Teste intermédio, 10-05-007 10 / 13
31. 31.1. Na figura junta estão representados, em referencial o.n. xoy: o circulo trigonométrico a reta r, de equação x 1 o ângulo, de amplitude α, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OA o ponto B, interseção do prolongamento da semirreta OA com a reta r. Como a figura sugere, a ordenada de B é 8 Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 5sin cos3 31.. Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1. Sejam rs, as coordenadas do ponto P. Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P. Seja Q o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox. Prove que a abcissa do ponto Q é 1 r. Teste intermédio, 10-05-007 3. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR]. O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. 11 / 13
O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre isósceles. Sendo α a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OPR], em função de α? (A) sin.cos (B).sin.cos 1 sin.cos 1 cos.sin Teste intermédio, 19-05-006 33. Da amplitude α de um certo ângulo orientado sabe-se que cos 0 e tan 0. Qual das expressões seguintes dá o valor de sin? (A) 1 cos (B) 1 cos 1 cos 1 cos Teste intermédio, 19-05-006 34. Sabe-se que é uma solução da equação 1 sin x 5 Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação (A) (B) 1 cos x? 5 Teste intermédio, 19-05-006 Bom trabalho!! 1 / 13
Principais soluções 1.. (B) 3. 3.1. 77 3.. 40 4. 5. 5.1. 5 5.. 65 6. (B) 7. (A) 8. 8.1. 8.. 5 8..1. ; 3 3 8... d 11 3. 3.1. 3.. x 4 3.3. 19 5 4. (B) 5. (B) 6. 7. 8. 9. 9.1. 9.. d 60 30. (B) 31. 31.1. 31.. 3. (A) 33. (B) 34. (B) 9. 9 4 10. 11. (B) 1. 13. 13.1. 13.. 4 13.3. 7 5 14. 3 5 15. 3,, 16. (B) 17. 18. 18.1. 18.. x 3 44 18.3. 15 19. (A) 0. 1. (B). 13 / 13