POLEMAS ESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Eatas Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualiação: 07/1/005 1:7 H ESNICK, HALLIDAY, KANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, IO DE JANEIO, 1996. FÍSICA 1 Capítulo 1 - Dinâmica da otação Problemas 01 0 0 04 05 06 07 08 09 10 11 1 1 14 15 16 17 18 19 0 1 4 5 6 7 8 9 0 1 4 5 6 7 8 9 40 41 4 4 44 45 46 47 48 49 50 51 5 5 54 55 56 57 58 59 60
Problemas esolvidos 6. A Fi. 6 mostra um bloco uniforme de massa M e arestas de comprimento a, b e c. Calcule a sua inércia rotacional em torno de um eio que passe em um vértice e seja perpendicular à face maior do bloco. (Dica: Veja a Fi. 9.) (Pá. 47) A Fi. 9 mostra que o momento de inércia de um bloco, semelhante ao da Fi. 6, em relação a um eio que passa pelo seu centro de massa e paralelo ao eio mostrado na Fi. 6 é dado por: ( + b ) M a ICM = 1 Para descobrir o momento de inércia do bloco em relação ao eio que passa pelo vértice basta aplicar o teorema do eios paralelos: I = ICM + Mh Considere o seuinte esquema, em que h, a distância de separação entre os dois eios, é dada pelo teorema de Pitáoras: h a/ b/ CM Loo: ( ) M a + b a b I = + M + 1 M a I = ( + b ) Como esperado, I > I CM. Quando o eio está localiado no vértice do bloco a distribuição eral de sua massa é mais afastada do eio quando comparada ao eio passando pelo centro de massa. esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação
8. Duas partículas, cada uma com massa m, estão unidas uma a outra e a um eio de rotação por duas hastes, cada uma com comprimento L e massa M, conforme a Fi. 7. O conjunto ira em torno do eio de rotação com velocidade anular ω. Obtenha uma epressão alébrica para (a) a inércia rotacional do conjunto em torno de O e (b) a eneria cinética de rotação em torno de O. Considere o esquema a seuir: ω C A (a) O momento de inércia total do conjunto vale: m D m I = Iarra A + Iola + Iarra C + Iola D (Pá. 47) Podemos tratar as barras A e C como sendo apenas uma barra E de comprimento L e massa M: I = Iarra E + Iola + Iola D O momento de inércia da barra E é (conferir Fi. 9, pá. 4): M ( L) 8ML I arra E = = Os momentos de inércia devido às bolas valem: Iola = ml () I m L ml ola D = ( ) = 4 (4) Substituindo-se (), () e (4) em (1): 8ML I = + ml + 4mL 8M I = 5m+ L (5) (b) A eneria cinética do sistema vale: 1 K = Iω (6) Substituindo-se (5) em (6): 5m 4M K = + Lω (1) () esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação
1. Neste problema desejamos calcular a inércia rotacional de um disco de massa M e raio em torno de um eio que passa através de seu centro, perpendicularmente à sua superfície. Considere um elemento de massa dm na forma de um anel de raio r e larura dr (veja a Fi. 9). (a) Qual é a massa dm desse elemento, escrita como fração da massa total M do disco? Qual é a inércia rotacional di desse elemento? (c) Intere o resultado da parte (b) para encontrar a inércia rotacional do disco como um todo. (Pá. 48) (a) O elemento de massa dm pode ser encontrado partindo-se da densidade superficial de massa β, supostamente uniforme. M dm β = = π π rdr Loo: dm rdr = M (b) A inércia rotacional de um anel de raio r e massa dm é dada por: di = r dm Utiliando-se o resultado do item (a), temos: Mrdr di = r (c) di = Mr dr Mr dr M M I = di = = r dr = 4 M I = 4 0 0 14. Neste problema, utiliamos o resultado do problema anterior para a inércia rotacional de um disco para calcular a inércia rotacional de uma esfera maciça uniforme de massa M e raio em torno de um eio que passe através de seu centro. Considere um elemento dm da esfera na forma de um disco de espessura d à altura do centro (veja a Fi. 40). (a) Quando escrita em fração da massa total M, qual é a massa dm do elemento? (b) Considerando-se o elemento como esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 4
um disco, qual é a sua inércia rotacional di? (c) Intere o resultado de (b) sobre a esfera toda para encontrar a inércia rotacional da esfera. (Pá. 48) (a) O elemento de massa dm pode ser encontrado partindo-se da densidade volumétrica de massa ρ, supostamente uniforme. M dm ρ = = 4 π π rd Loo: ( ) dm d = M 4 (b) A inércia rotacional de um disco de raio r e massa dm é dada por: 1 di = r dm Utiliando-se o resultado do item (a), temos: 1 Mr d di = r 4 (c) ( ) M d di = 8 + M ( ) d M ( ) I = di = = d 8 8 0 5 5 5 5 4 5 8 15 0 M M M I = + = + = 8 5 4 5 4 M I = 5 esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 5
8. A Fi. 45 mostra dois blocos, cada um de massa m, suspensos nas etremidades de uma haste ríida e sem massa de comprimento L 1 + L, com L 1 = 0,0 cm e L = 80,0 cm. A haste é mantida na posição horiontal mostrada na fiura e então liberada. Calcule as acelerações lineares dos dois blocos quando eles começarem a mover-se. Considere o seuinte esquema das forças que atuam sobre a haste: L1 L (Pá. 49) m O CM m F Como a haste é ríida as acelerações anulares (α) de ambos os blocos serão iuais. Suas acelerações lineares serão dadas por: a1 α L1 = (1) a α L = () A aceleração anular é calculada por meio da seunda lei de Newton: τ = Iα Torques em : Lm 1 Lm = I 0 α α m L ( L ) 1 = () I 0 O momento de inércia da barra em relação a um eio ortoonal ao seu comprimento e que passa pelo seu centro de massa é ml /1. O momento de inércia da barra em relação ao eio atual é calculado por meio da aplicação do teorema dos eios paralelos. I = I + mh I 0 CM ( + ) m L L L L 1 1 1 0 = + m m ( I0 = L1 LL 1 + L ) (4) Substituindo-se (4) em (): α ( L ) L 1 = = ( L1 LL 1 + L),9576 rad/s (5) esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 6
O sinal neativo de α indica que o sentido da aceleração da barra é horário. Para o cálculo de a 1 e a, a partir das Eqs. (1) e (), o sinal de α não é relevante. a1 6,79 m/s a 7, m/s 9. Dois blocos idênticos, cada um com massa M, são liados por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio e inércia rotacional I (Fi. 46). A corda não escorrea sobre a polia e não se sabe se eiste atrito ou não entre o plano e o bloco que escorrea. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia ira do ânulo θ durante o intervalo de tempo t e a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual a aceleração anular da polia? (b) Qual a aceleração dos dois blocos? (c) Quais as trações nas porções superior e inferior da corda? Epresse todas as respostas em termos de M, I,, θ, e t. (a) A polia percorre um ânulo θ num tempo t, loo: 1 θ θ0 = ω0t+ αt 1 θ 0= 0+ αt (Pá. 49) θ α = (1) t O sinal neativo de α está em acordo com o referencial adotado. (b) A aceleração do bloco sobre a superfície horiontal vale: a= α () O sinal neativo corrie o sinal da aceleração em (positiva) em relação ao sinal da aceleração anular da polia (neativa). Substituindo-se (1) em (): θ a = t θ a = t (c) Esquema de forças sobre o bloco 1 (suspenso pelo fio): esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 7
M T1 a M Forças no bloco 1 em : F = Ma θ T1 M = M t θ T1 = M () t Esquema de forças na polia: T α Torques na polia em : τ = Iα T1 T1+ T = Iα (4) Substituindo-se () e () em (4) θ θ M T + = I t t T θ I Mθ = + M t t θ I T = M M + t 4. Uma esfera oca uniforme ira em torno de mancais verticais sem atrito (Fi. 47). Uma corda de massa despreível passa pelo equador da esfera e sobre uma polia; ela está presa a um pequeno objeto que pode cair livremente sob a influência da ravidade. Qual será a velocidade do objeto após este ter caído a distância h a partir do repouso? esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 8
A variação da eneria cinética do bloco m é iual ao trabalho ravitacional: W =Δ K = K K 1 mh T1h = mv 0 (Pá. 50) T1 v = h m (1) Forças no corpo m em : m F T1 m = Ma am T1 m = mam T 1 am m = + () Torques na polia em : T m αm r τ = Iα rt rt1 = Iα T 1 T1 Iα = T + () r Substituindo-se () em () e α por a m /r:: Iam T = mam + m+ (4) r Torques na casca esférica: 9 esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação
M αm T τ = Iα = Iα M T a T M = M am T = Ma M (5) Substituindo-se (5) em (4): Iam MaM = mam + m + (6) r Na Eq. (6), a M é a aceleração linear do fio liado à casca esférica, está na coordenada e é positivo. a m é a aceleração linear do bloco m, está na coordenada e é neativo. Portanto: a M = a m (7) Substituindo-se (7) em (6): Iam Mam = mam + m + r I am M + m+ m = r a m = M I + 1+ m mr Substituindo-se (8) em (): T1 = m M I + 1+ m mr Substituindo-se (9) em (1): = + M I + 1+ m mr v h h v = M I + 1+ m mr (8) (9) esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 10
6. Um corpo ríido é formado por três barras finas idênticas, presas na forma de uma letra H (Fi. 48). O corpo pode irar livremente em torno de um eio horiontal que passa por uma das pernas do H. Solta-se esse corpo a partir do repouso, de uma posição na qual o plano do H é horiontal. Qual é a velocidade anular do corpo quando o plano do H for vertical? (Pá. 50) Considere o seuinte esquema da situação, em que CM indica o centro de massa das duas barras que efetivamente iram: L L CM L ω0 = 0 U = 0 h CM ω Pode-se aplicar o princípio da conservação da eneria mecânica aos estados inicial (E 0 ) e final (E): E0 = E K + U = K + U 0 0 1 0+ mh = Iω + 0 4mh ω = (1) I Na Eq. (1), m é a massa de cada barra, I é o momento de inércia das barras que iram, sem contar com a barra que está no eio e h é a queda sofrida pelo centro de massa das barras que iram. A distância que vai do eio até o centro de massa das barras que iram vale: M = m Cm i i L mcm = m + ml L Cm = =h () 4 Momento de inércia do conjunto das barras que iram: ml I = I1+ I = + ml 4mL I = () esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 11
Substituindo-se () e () em (1): L 4m 4 9 4mL 4L ω = = ω = L 50. Uma bolinha compacta de massa m e raio r rola sem desliar ao lono do trilho em curva mostrado na Fi. 50, tendo sido abandonada em repouso em alum ponto da reião reta do trilho. (a) De que altura mínima, a partir da base do trilho, a bolinha deve ser solta para que percorra a parte superior da curva? (O raio da curva é ; suponha que >> r). (b) Se a bolinha for solta da altura 6 acima da base do trilho, qual a componente horiontal da força que atua sobre ela no ponto Q? Considere o seuinte esquema das situações (a) e (b): m, r C (Pá. 51) A 6 h vc m 0 (a) Aplicando-se o princípio da conservação da eneria mecânica aos pontos A e C: E = E A C K A + UA = KC + UC C N vq Q esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 1
1 1 0+ mh = mvc + IωC + m Sabendo-se que o momento de inércia de uma esfera sólida de raio r e massa m é mr /5 e aplicando-se a relação v = ωr: 1 1 mr vc mh = mvc + + m 5 r vc C h = v + + 4 5 7v h= C + (1) 10 A condição mínima para que a esfera possa dar a volta em torno do círculo de raio é que no ponto C a força centrípeta do movimento circular seja iual ao peso da esfera: Fc mv C vc = P m = () = Substituindo-se () em (1): 7 h= + 10 7 h = 10 (b) Aplicando-se o princípio da conservação da eneria mecânica aos pontos e Q: E = E Q K + U = KQ + UQ 1 1 0+ m6 = mvq + IωQ + m 1 1 mr vq 6m = mvq + + m 5 r v Q Q 1 = v + + 5 7v 10 = Q 5 50 v Q = () 7 A componente horiontal da força que ae na esfera no ponto Q (força normal, N) é a força centrípeta do movimento circular da esfera naquela posição: N = F c mv N = Q (4) Substituindo-se () em (4): 1 esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação
m N = 50 7 50 N = m 7 51. Um cilindro maciço de comprimento L e raio tem peso P. Duas cordas são enroladas em torno do cilindro, perto de cada borda, e as pontas das cordas são presas a anchos no teto. O cilindro é mantido na horiontal com as duas cordas eatamente verticais e então é abandonado (Fi. 51). Ache (a) a tração em cada corda enquanto elas se desenrolam e (b) a aceleração linear do cilindro enquanto ele cai. (Pá. 51) (a) Considere o seuinte esquema das forças que aem sobre o cilindro: M T a α P Torques em : τ = Iα M a.t = Pa T = (1) 4 Análise da translação do cilindro: F = Ma P T P= a a = (T P ) () P Substituindo-se (1) em (): esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 14
P T = P 4P ( T ) 4T = P T P T = () 6 (b) Substituindo-se () em (): P 1 a = P = 1 P 6 a = 5. Mostre que um cilindro vai derrapar num plano inclinado com inclinação θ se o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor do que 1/ tan θ. (Pá. 51) Considere o seuinte esquema da situação: f N α a θ P A condição de rolamento do cilindro é dada por a = α, em que a é a aceleração linear, α é aceleração anular e é o raio do cilindro. A condição para que o cilindro deslie pela rampa ao invés de rolar é que a seja maior do que o produto α: a> α (1) Aora vamos calcular a e α para substituir em (1). Forças em : F = 0 Forças em : N mcosθ = 0 N = mcosθ () F = ma P f = ma m senθ μn = ma () Substituindo-se () em (): m senθ μm cosθ = ma esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 15
) a= (senθ μcosθ (5) Torques em relação ao eio que passa pelo centro de massa do cilindro, em : τ = Iα m f = α m μm cosθ = α μ cosθ α = (6) Substituindo-se (5) e (6) em (1): μ cosθ ( senθ μcosθ) > senθ μcosθ > μcosθ tanθ μ > μ 1 μ < tan θ 54. Um corpo rola horiontalmente, sem desliar, com velocidade v. A seuir ele rola para cima em uma rampa até a altura máima h. Se h = v /4, que corpo deve ser esse? (Pá. 51) Este é um sistema conservativo e, portanto, a eneria mecânica é conservada. A estratéia para resolver este problema é descobrir o momento de inércia do corpo e compara-lo com o momento de inércia de corpos conhecidos. E0 = E U + K = U + K 0 0 1 1 0+ mv + Iω = mh + 0 Aplicando-se a condição de rolamento v = ω: 1 1 v v mv + I = m 4 I m m + = m I = Com este momento de inércia, o corpo pode ser um disco ou um cilindro de massa m e raio. esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 16
57. Um cilindro maciço de 10,4 cm e massa 11,8 k parte do repouso e rola sem desliar uma distância de 6,1 m para baio do telhado de uma casa, que é inclinado de 7 o. (a) Qual a velocidade anular do cilindro em torno de seu eio, quando ele deia o telhado? (b) A parede eterior da casa tem 5,16 m de altura. A que distância da parede o cilindro deverá tocar no solo? Veja a Fi. 54. Considere o seuinte esquema da situação: v ωβ θ m, r d h θ A (Pá. 51) l h (a) Aplicando-se o princípio da conservação da eneria mecânica do sistema aos estados A e : E A = E K A + UA = K + U 1 1 0 + m ( h + h ') = mv + Iω + mh mh ' = mv + Iω mr md senθ = mωr + ω r d senθ = ω 4d senθ ω = r esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 17
4 d senθ ω = = 57,9655 rad/s (1) r ω 58,0 rad/s (b) Análise do movimento da esfera do momento em que perde contato com o telhado até tocar o solo. Em : = 0 + vt = 0 v cosθt t = () v cosθ Em : 1 0 = vt+ at 1 0 sen Substituindo-se () em (): h= v θt t () 1 h= + v senθ vcosθ vcosθ h= tanθ v cos θ Como v = ωr, temos: h = ω cos ω cos tan r θ θ ( θ ) h tan 0 = r θ As raíes desta equação do seundo rau são: 1 = 4, 108 m = 7, 079 m De acordo com o referencial adotado, a coordenada onde a esfera toca o solo é neativa. Loo, a distância alcançada pela bola na queda do telhado vale: l = 4, 1 m esnick, Hallida, Krane - Física 1-4 a Ed. - LTC - 1996. Cap. 1 Dinâmica da otação 18