Aula 3 Distribuição de Frequências.

1 Estatística e Probabilidade Aula 3 Distribuição de Frequências. Professor Luciano Nóbrega

Distribuição de frequência 2 Definições Básicas Dados Brutos são os dados originais que ainda não foram numericamente organizados após a coleta. Frequência É a quantidade de vezes que um mesmo valor de uma variável é repetida. Rol é a ordenação dos valores obtidos em ordem crescente ou descrente de grandeza numérica ou qualitativa. Vejamos alguns exemplos:

Dados Brutos Faixa etária de crianças de um determinado acampamento 3 6 10 9 14 7 4 8 11 12 5 9 13 9 10 8 6 7 14 11 6 12 11 15 13 12 11 4 10 7 13 10 9 8 12 13 7 Observe a dificuldade de análise dos dados brutos: Como estabelecer em torno de que idade estão a maioria das crianças? Quantas crianças tem idade maior ou igual à 10? Vamos colocar esses números em ordem crescente:

Rol Dados organizados em ordem crescente 4 4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 Observe a facilidade de análise dos dados em ROL: Qual a idade da criança mais nova? E da mais velha? Qual a amplitude de variação das idades? Qual a idade predominante? Vamos contar as repetições de cada idade:

Tabela de frequência 5 Idade Frequência 4 3 5 1 6 3 7 4 8 3 9 4 10 4 11 3 12 4 13 4 14 2 15 1 Com os dados em ROL, podemos facilmente montar uma tabela de frequência. Observe a facilidade de análise dos dados em uma tabela de frequência: Há quantas crianças com 5 anos? E com 12 anos? Quantas crianças tem idade maior ou igual à 12? Vamos formar grupos, classificando por idade:

Elementos de uma distribuição de Frequência Classes Caso as colunas da tabela de distribuiçao de frequência contenham muitos valores, podemos reduzi-los agrupando-os em intervalos. Limite inferior ( l i ) O menor número de cada Idade Frequência classe é o limite inferior da classe. Na 1ª linha, temos: 4 -------- 6 4 l 1 = 4. 6 ------- 8 7 8 ------- 10 7 10 ------- 12 7 12 ------- 14 8 14 ------- 16 3 Limite superior ( L i ) O maior número da cada classe é o limite superior da classe. Na 2ª Linha, temos: L 2 = 8. 4 -------- 6 Significa inclusão do limite inferior (4) e exclusão do limite superior (6). 6

Elementos de uma distribuição de Frequência Amplitude de classes ( h i = L i l i ) É a diferença entre o limite superior e inferior de uma classe. Exemplos: h 1 = 6 4 = 2 anos; 7 Idade Frequência 4 -------- 6 4 6 ------- 8 7 8 ------- 10 7 10 ------- 12 7 12 ------- 14 8 14 ------- 16 3 h 2 = h 3 = 8 6 = 2 anos; 10 8 = 2 anos; Ponto médio da classe [ x i = (l i + L i )/2 ] É o ponto que divide o intervalo em duas partes iguais. Ex: x 1 = (4+6)/2 = 5.

Tipos de Frequência 8 Frequência simples ou absoluta ( f i ) É número de observações de um valor individual ou de uma classe. Idade f i 4 -------- 6 4 6 -------- 8 7 8 -------- 10 7 10 -------- 12 7 12 -------- 14 8 14 -------- 16 3 f r 0,11 0,20 0,20 0,20 0,22 0,07 Frequência relativa ( f r ) Representa a proporção de observações de um valor (ou de uma classe) em relação ao número total de observações, o que facilita a observação. Frequência Absoluta Frequência Relativa

Tipos de Frequência Frequência acumulada ( F i ) É a soma de todas as frequências abaixo do limite superior de uma classe considerada. F 4 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 4 + 7 + 7 + 7 = 25; F 4 = 25 9 Idade f i f r F i 4 -------- 6 4 6 -------- 8 7 8 -------- 10 7 10 -------- 12 7 12 -------- 14 8 14 -------- 16 3 0,11 0,20 0,20 0,20 0,22 0,07 4 11 18 25 33 36 Frequência Acumulada

Tipos de Frequência 10 Frequência relativa acumulada ( F ri ) É a soma de todas as frequências relativas abaixo do limite superior de uma classe considerada. Fr 3 = Fr 1 + Fr 2 + Fr 3 = 0,11 + 0,20 + 0,20 = 0,55; Fr 3 = 0,55 Idade f i f r F i F ri 4 -------- 6 4 0,11 4 0,11 6 -------- 8 7 0,20 11 0,31 8 -------- 10 7 0,20 18 0,51 10 -------- 12 7 12 -------- 14 8 0,20 0,22 25 33 0,71 0,93 14 -------- 16 3 0,07 36 1,00 Frequência Acumulada Frequência Relativa

Testando os conhecimentos 1 Faça o que se pede em cada item: a) Tabule os seguintes dados; b) Elabore 6 classes com amplitude igual à 8; c) Calcular o ponto médio de cada classe; d) Calcule as respectivas frequências; 28 20 45 27 66 55 48 40 32 54 45 27 54 55 48 40 45 55 61 49 53 57 48 49 30 55 61 46 50 57 41 47 30 46 63 34 50 59 41 36 21 49 65 32 25 45 35 39 23 49 25 29 25 44 28 39 56 62 24 29 31 44 26 43 60 65 33 37 33 37 26 42 33 23 37 38 26 37 36 30 Idade dos principais clientes de 11

Resumo Em uma tabela de distribuição de frequências, temos: Amplitude da Classe (h) Classes Limite Inferior ( l i ) Idade f i 4 -------- 6 4 6 -------- 8 7 8 -------- 10 7 10 -------- 12 7 12 -------- 14 8 14 -------- 16 3 f r 0,11 0,20 0,20 0,20 0,22 0,07 Limite Superior ( L i ) F i Vejamos mais alguns elementos: 4 11 18 25 33 36 F ri 0,11 0,31 0,51 0,71 0,93 1,00 Frequência Absoluta (f i ) Frequência Relativa (fr i ) Frequência Absoluta Acumulada (F i ) Frequência Relativa Acumulada (Fr i ) 12

Amplitude total (H) É a diferença entre o maior e o menor valor das varíaveis observadas. Exemplo: 4 4 4 5 6 6 13 Aqui, temos: H = 15 4 = 11 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15

14 Número de classes (k) As primeiras preocupações que temos, na construção de uma tabela de distribuição de frequência, são: 1º) A determinação da quantidade de classes; 2º) Qual o tamanho do intervalo de cada classe? Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes, mas as duas maneiras mais usuais são: 1ª) Até 100 elementos k = n 2ª) Acima de 100 k = 1 + 3,3. log n (regra de Sturges) Vejamos alguns exemplos:

Número de classes (k) 15 1ª) Até 100 elementos k = n 2ª) Acima de 100 k = 1 + 3,3. log n 4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 Aqui, temos: n = 36 e k = 36 = 6 Outro exemplo: Se n = 78, então k = 78 = 8,83 Portanto, k = 9 Mais um exemplo: Se n = 300, então k = 1 + 3,3 x log 300 k = 1 + 3,3 x 2,47 k = 1 + 8,151 k = 9,151 Portanto, k = 9

Mais exemplos: 1ª) k = n 2ª) k = 1 + 3,3. log n 16 Utilize os dois métodos para calcular a quantidade de classes k quando: a) n = 24 b) n = 51 c) n = 100 d) n = 987 e) n = 97 535 376

Tamanho do intervalo de classe (h) 17 Decidido a quantidade de classes, resta-nos resolver qual o tamanho de cada classe. Devemos fazer a divisão entre a amplitude total (H) e o número de classes (k). Exemplo: 4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 h = H / k H = 15 4 = 11 n = 6 e k = 36 = 6 Então, h = 11/6 = 1,8 Portanto, h = 2 13 13 13 14 14 15

Mais exemplos: // Premonição As notas obtidas pelo alunos dessa turma na 1ª prova: Faça o que se pede: a) Determine a quantidade de classes pelos dois métodos; b) Considerando os dois resultados, determine o tamanho de cada classe ; 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 c) Ajustando k e h, complete a tabela de distribuição de frequências. 18

19 Notas f F F f i i ri r 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10

Testando os conhecimentos A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência dos salários de uma determinada empresa: Salários 300 --- 500 --- 700 --- 900 --- 1100 --- 1300 --- 1500 --- 1700 Quantidades 12 8 22 36 18 10 2 Determine: a) A amplitude total (H); b) O limite superior da 5ª classe (L 5 ); c) O limite inferior da 6ª classe (l 6 ); d) O ponto médio da 3ª classe (x 3 ); e) A amplitude da 2ª classe (h 2 ); 20

Testando os conhecimentos Salários 300 --- 500 --- 700 --- 900 --- 1100 --- 1300 --- 1500 --- 1700 Quantidades 12 8 22 36 18 10 2 21 f) Complete a tabela de distribuição de frequências; Salários f i f r F i F ri Determine: g) A frequência da 4ª classe; h) A frequência relativa da 6ª classe; i) A frequência acumulada da 3ª classe; j) A frequência relativa acumulada da 7ª classe;

Histograma É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos, de tal forma que: 7 5 4 2 22 As bases tem centro no ponto médio dos intervalos de classe e as larguras são iguais às amplitudes dos intervalos das classes; Para a construção do histograma, colocamos no eixo x os limites de cada intervalo de classe e em y as freqüências das classes. A área de um histograma é proporcional a soma das freqüências das classes;

Exemplo: 23 Idade f i 4 -------- 6 4 6 -------- 8 7 8 -------- 10 9 10 -------- 12 6 12 -------- 14 5 14 -------- 16 3 Construa o histograma da tabela de distribuição de frequências ao lado, para isso siga o procedimento: 1º Marque nos eixos x e y, respectivamente, as classes e as frequências; 2º Construa, um à um, os retângulos correspondentes à cada classe.

Polígono de frequência 24 Para a construção do polígono de freqüência partimos do histograma e marcamos o topo dos pontos médios de cada retângulo e os unimos por meio de retas. Devemos tomar o cuidado de deixar um espaço correspondente a uma classe para a esquerda e outra para a direita. 7 5 4 2

Exemplo: Idade f i 4 -------- 6 4 6 -------- 8 7 8 -------- 10 9 10 -------- 12 6 12 -------- 14 5 14 -------- 16 3 Retomando o exemplo anterior... Construa o histograma da tabela de distribuição de frequências ao lado, para isso siga o procedimento: 1º Marque nos eixos x e y, respectivamente, as Ok classes e as frequências; 2º Construa, um à um, os retângulos correspondentes à cada classe. Construa um polígono de frequência. 25

Curva de frequência Imagine que considerássemos um grande número de classes. Ao esboçar o polígono de frequência, as retas se comportariam como curvas. 26 Tamanho da classe Tamanh o da classe v v Assim, esse resultado perde em exatidão, porém nos permite observar o comportamento para um grande número de dados.

Curva de frequência 27 Algebricamente, obtemos uma curva de frequência aplicando a seguinte fórmula: fc i = f i-1 + 2f i + f i+1 4 Onde: fc i é a frequência calculada da classe considerada; f i é a sequência simples da classe considerada; Vejamos um exemplo:

Curva de frequência 28 fc i = f i-1 + 2f i + f i+1 4 Complete a tabela: Idade 4 -------- 6 4 6 -------- 8 9 8 -------- 10 11 10 -------- 12 8 12 -------- 14 5 14 -------- 16 3 f i fc i fc 1 = 0 + 2.(4) + 9 4 fc 2 = fc 3 = fc 4 = fc 5 = fc 6 =

Formas da curva de frequência Após feita a curva de frequência, nós podemos classificá-las quanto ao seu comportamento, tirando conclusões importantes. Curva de Gauss Simétrica Distribiuição perfeita Curva de Gauss Assimétrica Distribiuição natural 29 Curva em jota Comum em fenômenos econômicos jota invertido Parábola Representa máximos e mínimos

Testando os conhecimentos 30 A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência dos salários de uma determinada empresa: Salários 300 --- 500 --- 700 --- 900 --- 1100 --- 1300 --- 1500 --- 1700 Quantidades 12 8 22 36 18 10 2 Confeccione o histograma; o polígono de frequência; a curva de frequência; e, por último, o polígono acumulado.

Polígono de frequência acumulada O gráfico de frequência acumulada é traçado, relacionando as classes (eixo x) e frequûencia acumulada (eixo y) por meio de um plano cartesiano. Os pontos são marcados, relacionando as frequências acumuladas correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. Classes f i 4 -------- 6 3 6 -------- 8 2 8 -------- 10 9 10 -------- 12 2 F i 3 5 14 16 16 14 5 3 4 6 8 10 12 31

Exemplo: Idade 4 -------- 6 4 6 -------- 8 9 8 -------- 10 11 10 -------- 12 8 12 -------- 14 5 14 -------- 16 3 f i F i Complete a coluna referente à frequência acumulada. Em seguida, faça um pollígono de frequência acumulada. 32