Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos 27.05.2009 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 Página 1
Formulário Comprimento de um arco de circunferência α< ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H3+19+6 7+39< H3+19+6 7/9< F+=/ 7+39< F+=/ 7/9< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema α < Sector circular: (α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: % Área da base Altura Área da base Altura $ $ 1 < ( < raio ) Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ tg + tg, " tg + Þ tg, Complexos 3-3= ) œ 3-3= Ð ) Ñ Probabilidades. œ ":" ÞÞÞÞ : " " 5 œ É. : ÞÞÞÞ. : Se \ é RÐ.5 ß Ñ, então: T Ð. 5 \. 5 Ñ!,')( T Ð. 5 \. 5 Ñ!,*&%& T Ð. $ 5 \. $ 5 Ñ!,**($ Regras de derivação Ð? @Ñ œ? @ Ð?Þ@Ñ œ? Þ @? Þ @ ˆ??Þ@?Þ@ @ @ œ " Ð? Ñ œ Þ? Þ? Ð Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis " Š " œ/ Ä! Ä! Ä! Ä sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" ln œ! È 3 ) È ) 5 1-3= œ 3-3= ß 5 Ö!ß ÞÞÞß " Ä / : œ Ð: Ñ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item. Não apresente cálculos, nem justificações. Se apresentar mais do que uma alternativa, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta será classificada com zero pontos. 1. Sejam + ß e C três números reais tais que log + œ" & log + C Qual das igualdades seguintes é necessariamente verdadeira? (A) œ+c & () œ&+c (C) œ&c (D) œc & 2. Sejam +,,, -, e. as funções reais de variável real definidas por: +ÐÑ œ $ ln,ðñ œ / -ÐÑ œ "! sen.ðñ œ tg Considere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais para os quais tem significado a expressão que a define. Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assimptota? (A) A função + () A função, (C) A função - (D) A função. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
3. Seja 0 a função, de domínio, definida por 0ÐÑ œ " Seja 1 a função cujo gráfico é a recta representada na figura 1. Seja 2œ0 1. Seja 2 a função derivada da função 2. Figura 1 O gráfico da função 2 é uma recta. Sejam 7 e,, respectivamente, o declive e a ordenada na origem desta recta. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) (C) 7! e,! () 7! e,! 7! e,! (D) 7! e,! 4. Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem exactamente nove elementos. Escolhem-se ao acaso dois desses nove elementos. Qual é a probabilidade de escolher dois números cujo produto seja igual a )? " % (A)! () * (C) * (D) * 5. Para um certo número real positivo 3 e para um 1 certo número real α compreendido entre! e, o número complexo 3-3= α tem por imagem geométrica o ponto T, representado na figura 2. Qual é a imagem geométrica do número complexo 3-3= α? Figura 2 (A) O ponto E () O ponto F (C) O ponto G (D) O ponto H Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
GRUPO II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto. 1. Seja o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária. $& Ð 3Ñ " '3 Determine sem recorrer à calculadora. " 3 Apresente o resultado na forma algébrica. 2. Efectua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de 1 a 4. Considere que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baixo. O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair. Sejam E e F os acontecimentos seguintes: E À «sair número ímpar»; F À «sair número maior do que 2». Sabe-se que: TÐE FÑ œ!,% TÐEÑ œ TÐEÑ TÐE FÑ œ!,) Seja \ a variável aleatória «número saído no lançamento efectuado». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória \. Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efectuar na determinação dos valores das probabilidades. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
3. De uma função 0, de domínio, sabe-se que a sua derivada, 0, é definida por 0 ÐќР%Ñ/ Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora. 3.1. Seja E o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo das ordenadas. Sabe-se que a ordenada deste ponto é igual a ". Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de 0 no ponto E. 3.2. Estude a função 0 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. " 4. Considere a função 1, de domínio ß, definida por Ò Ò 1ÐÑ œ Ú Ý Û " ln " =/ Ÿ " =/ œ" Ý Ü " È " =/ " 4.1. Verifique se a função 1 é contínua em œ", sem recorrer à calculadora. 4.2. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o valor de " pertencente ao intervalo Ò ß" Ò tal que 1ÐÑœ 1Ð%Ñ. Indique o valor pedido arredondado às décimas e apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6
5. Na figura 3 estão representados: uma circunferência de centro S e raio " dois pontos, E e F, sobre a circunferência, tais que ÒEFÓ é um diâmetro uma semi-recta SE Þ um segmento de recta ÒT UÓ Considere que: o ponto T, partindo de E, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pelas setas da figura 3 o ponto U se desloca sobre a semi-recta SE Þ, acompanhando o movimento do ponto T, de tal forma que se tem sempre TU œ $ Para cada posição do ponto T, seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semi-recta SE Þ e por lado extremidade a semi-recta ST Þ (ver figura 4). Seja. a função que, a cada valor de pertencente a Ò!ß 1Ó, associa a distância,.ðñ, do ponto U ao ponto S. Figura 3 Figura 4 5.1. Considere as seguintes afirmações sobre a função. e sobre a sua derivada,. (a função. tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio). I..Ð!Ñ œ.ð1ñ II. a Ò!ß 1Ó ß. ÐÑ! Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira, ou falsa. Nota: neste item, não defina analiticamente a função.; a sua composição deve apoiar-se na forma como esta função foi apresentada (para cada valor de, tem-se que.ðñ é a distância do ponto U ao ponto S ). 5.2. Defina analiticamente a função. no intervalo!ß (isto é, determine uma expressão que dê o valor de.ðñ, para cada pertencente a este intervalo). Sugestão: trace a altura do triângulo ÒST UÓ relativa ao vértice T, designe por V o ponto de intersecção desta altura com a semi-recta SE Þ, e tenha em conta que SU œ SV VU. Ó 1 Ò Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 7
COTAÇÕES Grupo I... (5 10 pontos)...50 pontos Grupo II...150 pontos 1.... 20 pontos 2.... 20 pontos 3.... 35 pontos 3.1....15 pontos 3.2....20 pontos 4.... 35 pontos 4.1....20 pontos 4.2....15 pontos 5.... 40 pontos 5.1....20 pontos 5.2....20 pontos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página